2024-2025学年天津市重点校联考高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市重点校联考高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2xf′(π6)+sinx，则f′(A.32 B.12 C.−2.在(x−12xA.454 B.−358 C.353.已知函数f(x)=ex−12ax2A.−1e B.e2 C.e4.若直线y=kx+1为曲线y=lnx的一条切线，则实数k的值是(

)A.e B.e2 C.1e 5.已知f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)=ax2+bx(a,b∈R)，则f(x)的图象不可能是A. B.

C. D.6.若函数f(x)=13x3+x2在区间A.[−5,1) B.(−5,1) C.[−2,1) D.(−2,1)7.由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有(    )种．A.540 B.684 C.756 D.7928.已知函数f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数，当x∈(0,+∞)时，xf′(x)<f(x)，则不等式5f(2−x)+(x−2)f(5)<0的解集为(

)A.(−∞,−3)∪(3,+∞) B.(−3,0)∪(0,3)

C.(−3,0)∪(0,7) D.(−3,2)∪(2,7)9.已知函数f(x)=x3+2x2+2120x,x≤0lnxx,x>0A.(120,14e) B.(二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.若(x−2x11.函数y=12x12.已知函数f(x)=x−ln(mx)，若对∀x>0，f(x)≥0，则实数m的取值范围为______．13.若函数f(x)=23x3−5a214.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为______.(用数字作答)15.已知函数f(x)=xlnax+aex,g(x)=−x2+x三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

(2x−1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn17.(本小题15分)

已知曲线f(x)=ex(x+1)．

(1)求f(x)在x=1处的切线方程；

(2)求f(x)在[−3,0]内的最值；

(3)若函数g(x)=f(x)−3ex18.(本小题15分)

一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生．

(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？

(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？

(3)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法？19.(本小题15分)

已知函数f(x)=12ax2−(1+a)x+lnx(a∈R)．

(1)若a=0，判断φ(x)=xf(x)+12x2的单调性；

(2)讨论f(x)的单调性；20.(本小题16分)

如果函数y=f(x)，x∈D满足：对于任意x1，x2∈D(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|<|x1−x2|n(n为正整数)成立，则称函数y=f(x)在D上具有“n级”性质．

(1)判断f(x)=12x2+1在区间(0,1)上是否具有“1级”性质，并说明理由；

(2)参考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.B

6.C

7.B

8.D

9.D

10.−80

11.(0,1)

12.(0,e]

13.3

14.14

15.[116.解：(1)(2x−1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则Cn3=Cn7，解得n=10，所以n=10．

(2)由(1)知，(2x−1)10的展开式中x2项为：C102(2x)2(−1)8=180x2，所以a2=180．

(3)由(1)知，(2x−1)10的展开式中，

当x=0时，a0=1，

因为a0，a2，a4，17.解：(1)f′(x)=ex(x+1)+ex=(x+2)ex，

则f′(1)=3e，

又f(1)=2e，

则所求切线方程为y−2e=3e(x−1)，即y=3ex−e；

(2)由(1)可知，函数f(x)在[−3,−2]上单调递减，在(−2,0]上单调递增，

又f(−3)=−2e−3，f(−2)=−e−2，f(0)=1，

则f(x)在[−3,0]内的最小值为−e−2，最大值为1；

(3)依题意，m=f(x)−3ex=ex(x+1)−3ex=ex(x−2)有两个解，

即直线y=m与函数g(x)=ex(x−2)的图象有两个交点，

又g′(x)=ex(x−2)+ex=ex(x−1)，18.解：一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生，

(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有C63=20种选法；

(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，共有C32C32=9种选法，

再分为1，1，2三组，有C42=6种分法，

最后将三组分到三个活动，有A33=6种排法，则不同的安排方法有9×6×6=324种；

(3)根据题意，从6人中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有A19.解：(1)当a=0时，f(x)=−x+lnx，φ(x)=−x22+xlnx,x∈(0,+∞)，

则φ′(x)=−x+lnx+1，

记ℎ(x)=−x+lnx+1，x∈(0,+∞)，则ℎ′(x)=−1+1x=−x+1x，

令ℎ(x)=0，则x=1，

所以ℎ(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减，ℎ(x)≤ℎ(1)=0，

所以φ′(x)≤0，

∴φ(x)在(0,+∞)单调递减．

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

求导得f′(x)=ax−(1+a)+1x=(x−1)(ax−1)x，

当a≤0时，由f′(x)>0，得0<x<1；由f′(x)<0，得x>1，

f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；

当0<a<1时，由f′(x)>0，得0<x<1或x>1a；由f′(x)<0，得1<x<1a，

函数f(x)在(0,1)，(1a,+∞)上单调递增，在(1,1a)上单调递减；

当a=1时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>1时，由f′(x)>0，得0<x<1a或x>1；由f′(x)<0，得1a<x<1，

函数f(x)在(0,1a),(1,+∞)上单调递增，在(1a,1)上单调递减，

综上，当a≤0时，函数f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+∞)；

当0<a<1时，函数f(x)的递增区间为(0,1)，(1a,+∞)上单调递增，递减区间为(1,1a)；

当a=1时，函数f(x)的递增区间为(0,+∞)；

当a>1时，函数f(x)的递增区间为(0,1a),(1,+∞)，递减区间为(1a,1)；

(3)由(2)知当a<0时，函数f(x)在20.解：(1)对于函数f(x)=12x2+1，由于x1，x2∈(0,1)，所以x1+x2<2，

故|f(x1)−f(x2)|=|12x12+1−12x12−1|=12|x1+x2||x1−x2|<12×2|x1−x2|=|x1−x2|1，

所以函数f(x)=12x2+1具有“1级”性质．

(2)由于g(x)=a(x−1)ex−xlnx−12x2+x在区间[1,2]上具有“1级”性质，

不妨设1≤x1<x2≤