安徽省2025年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷（二）（含详解）

2025年安徽省普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷（二）本试卷共150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组样本数据为2，2，3，3，4，6，7，8，9，9，则该组数据的第50百分位数为A.3 B.4 C.5 D.62.若椭圆x25+y2k=1的一个焦点的坐标是(0，2)A.1 B.9 C.3 D.73.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE=λAB+μAD，则λ-μ=A.1 B.34 C.-12 D4.若函数f(x)=loga(x2-ax+a)(a>0，且a≠1)在R上存在最小值，则实数a的取值范围是A.1<a<4 B.0<a<4且a≠1 C.0<a<1 D.a≥45.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，而且只能从下往上取，则不同取法的种数为A.180 B.120 C.60 D.906.若sinα+π3=3sinα-π6，则tan2α-π3=A.34 B.23 C.53 D7.如图，已知M，N为双曲线G：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，ME=32MQ，直线NE交双曲线G的右支于点P.若MNA.102 B.62 C.52 8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动，若D1O⊥OP，则C1P的最小值为A.255 B.455 C.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)=2sin2x+π6，则下列结论正确的有A.f(x)的图象关于点-π12，0中心对称B.f(x)在5π3C.fx-π6的图象关于y轴对称D.将f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到g(x)=2sin4x+π6的图象10.已知复数z=-12+32iA.z2=z− B.(z−)2≠z C.z−=1z D11.已知函数f(x)对任意的x，y∈R，恒有f(x+y)+f(x-y)=f(x)·f(y)，且f(1)=1，则下列结论正确的有A.f(0)=2 B.f(x)为奇函数C.[f(3)]2>f(6)+1 D.6是函数f(x)的一个周期题序1234567891011答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合A={x|x>0}，B={-2，0，a}，(∁RA)∩B={-2，0}，则实数a的取值范围是.

13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，BC=2，AB⊥BC，则点B到平面AB1C1的距离为，若三棱锥A-A1B1C1的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为.

14.已知正实数x，y满足xex=xylnxy，则2exx+四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知等差数列{an}，a2=5，a5=14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn=(-1)nan+2n+1，求数列{bn}的前2n项和T2n.16.(15分)小张家的消毒柜里装有5个型号相同的杯子，其中2个是玻璃杯，3个是纸杯.小张每次使用杯子时，从消毒柜中随机地取出1个杯子，若取出的是纸杯，则使用后直接放入垃圾袋中，若取出的是玻璃杯，则使用后经过清洗再次放入消毒柜中，以备下次取用.(1)求在第2次取出的是玻璃杯的条件下，第1次取出的是纸杯的概率；(2)若取了3次，取出的纸杯的个数为X，求X的分布列及数学期望.17.(15分)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AB∥CD，DA=DC=2，AB=C1D1=1，∠BAD=60°，D1D⊥AD，AB⊥BD1，DD1=3.(1)证明：D1D⊥平面ABCD.(2)求二面角B-CC1-D的余弦值.18.(17分)已知函数f(x)=(x-1)e2x.(1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)证明：∀m，n∈(1，+∞)，f(m+n)>f(1+m)+f(n).19.(17分)已知抛物线M：y2=ax(a>0)的焦点为A12，0，P是抛物线M上一点.(1)求抛物线M的方程；(2)过点A且斜率为k的直线l与抛物线M交于B，C两点，若l∥OP(O为坐标原点)且直线OP与直线x=1交于Q点，求|AB||OP

参考答案1.C【命题意图】本题考查百分位数，要求考生理解百分位数的概念.【解题分析】∵10×0.5=5，∴第50百分位数为4+62=52.B【命题意图】本题考查椭圆，要求考生理解椭圆的概念和性质.【解题分析】∵椭圆的一个焦点坐标是(0，2)，∴k-5=22=4，∴解得k=9.3.A【命题意图】本题考查平面向量，要求考生理解平面向量的定理和性质.【解题分析】∵DE=DA+AE=DA+14AC=-AD+14(AB+AD)=1∴λ=14，μ=-34，∴λ-μ=4.A【命题意图】本题考查对数函数，要求考生理解对数函数的性质.【解题分析】∵函数f(x)=loga(x2-ax+a)在R上存在最小值，∴a>1,(-a)25.D【命题意图】本题考查排列组合问题，要求考生理解排列组合的性质.【解题分析】∵取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取，∴必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，∴不同取法的种数为A66A6.A【命题意图】本题考查三角恒等变换，要求考生理解三角恒等变换的公式和性质.【解题分析】∵sinα+π3=3sinα-π6，∴sin(α−π6)+π2=3sinα-π∴cosα-π6=3sinα-π6，∴tanα-π6=sin(α−π6)cos(α−π6∴tan2α-π3=2tan(α−π6)1−tan27.B【命题意图】本题考查双曲线，要求考生理解双曲线的性质.【解题分析】设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(-x1，-y1)，Q(x1，-y1).由ME=32MQ，得E(x1，-2y1)，∴kMN=y1x1，kPN∵MN·MP=0，∴∠NMP=90°，又kMN=y1x1，∴kMP∵x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1⇒1a2∴kPM·kPN=b2a2，∴kPM·kPN=-x1y1·-y12x1=18.B【命题意图】本题考查立体几何，要求考生理解线面垂直的判定定理和性质定理.【解题分析】如图所示，当点P在C处时，D1O⊥OC，当点P在B1B的中点P1处时，∵OP2=(2)2+12=3，D1O2=(2)2+22=6，D1P12=(22)2+12=9，∴OP2+D1O2=D1P12，∴D1O⊥OP1，又OP1∩OC=O，∴D1O⊥平面OP1C，∴点P的轨迹是线段P1C，∴当C1P⊥P1C时，C∴C1P的最小值为C1C×BCP1C9.ABD【命题意图】本题考查三角函数，要求考生理解三角函数的性质.【解题分析】对于A，∵f-π12=2sin-π6+π6=0，∴f(x)的图象关于点-π12，0中心对称，∴A项正确；对于B，∵当x∈5π3,2π时，2x+π6∈7π∴f(x)在5π3,2π上单调递增，∴对于C，∵fx-π6=2sin2x-π6的图象不关于y轴对称，∴C项错误；对于D，∵将f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到g(x)=2sin4x+π6的图象，∴D项正确.10.ACD【命题意图】本题考查复数，要求考生理解复数的性质.【解题分析】∵z=-12+32i，∴z2=-12+32i2=-12-32i=z∵(z−)2=-12-32i2=-12+32i=z，∵z·z−=|z|2=1，∴z−=1z，∵z2=z−，∴z3=z·z2=z·z−=1，∴11.ACD【命题意图】本题考查函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性和周期性等.【解题分析】对于A，令x=1，y=0，则f(1)+f(1)=f(1)f(0)，∵f(1)=1，∴f(0)=2，∴A项正确；对于B，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(y)，∴f(-y)=f(y)，∴f(x)为偶函数，∴B项错误；对于C，令x=y，则f(2x)+f(0)=[f(x)]2，∴[f(x)]2=f(2x)+2>f(2x)+1，∴[f(3)]2>f(6)+1，∴C项正确；对于D，令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x)，∴f(x+2)+f(x)=f(x+1)，∴f(x+2)+f(x-1)=0，∴f(x+3)=-f(x)，∴f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)，∴6是函数f(x)的一个周期，∴D项正确.12.(0，+∞)【命题意图】本题考查集合的补集和交集，要求考生了解集合的概念和运算性质.【解题分析】∵∁RA={x|x≤0}，(∁RA)∩B={-2，0}，∴a>0.13.226π【命题意图】本题考查立体几何，要求考生理解立体几何的定理和性质【解题分析】∵点B和点A1关于平面AB1C1对称，∴点B和点A1到平面AB1C1的距离相等.设三棱锥A1-AB1C1的高为d，∵AA1⊥平面A1B1C1，∴VA-A1B1C1=13AA1×S△A1B∵AC1=AA12+A1C12=6，AB1=2，B1C1=2∴∠AB1C1=90°，∴VA1-AB1C1=13d×S△AB1C∴解得d=22，∴点B到平面AB1C1的距离为2∵将直三棱柱ABC-A1B1C1补全为以BA，BC，BB1为三条相邻棱的长方体，可知长方体的外接球即为直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球，即为三棱锥A-A1B1C1的外接球，∴其外接球的半径为R=BA2+BC2+BB122=614.2e-1【命题意图】本题考查函数和导数，要求考生理解函数和导数的性质.【解题分析】∵xex=xylnxy=lnxy∴设f(t)=tet，则f(x)=flnxy，f'(t)=et(t+1)，∵当t>-1时，f'(t)>0，∴f(t)在(-1，+∞)上单调递增.∵x，y均为正实数，∴yex=lnxy>0由f(x)=flnxy，可得x=lnxy，即y=xex(x>由y'=1−xex，知当0<x<1时，y'>0，y=xe当x>1时，y'<0，y=xex在(1，+∞)上单调递减，∴y=xex∈0，则2exx+lny=2y+lny，0<y≤1e，令g(u)=2u+lnu则g'(u)=-2u2+1u=u-2u2<0，∴g(u)在0∴g(u)min=g1e=2e-1，∴2y+lny≥2e-1，∴2exx+lny的最小值为2e15.【命题意图】本题考查数列问题，要求考生理解数列的性质.【解题分析】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵d=a5-a∴an=a2+(n-2)d=5+3(n-2)=3n-1，n∈N*.5分(2)∵bn=(-1)nan+2n+1，n∈N*，∴T2n=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)+(22+23+…+22n+1)=3×n+22×(1−22n)1−2=3n+22n+2-4=3n+416.【命题意图】本题考查概率和数学期望，要求考生理解概率和数学期望的性质.【解题分析】(1)设“第1次取出的是纸杯”为事件A，“第2次取出的是玻璃杯”为事件B，则P(B)=35×12+25×25=2350，P(AB)=P(A)P(B|A)=3∴在第2次取出的是玻璃杯的条件下，第1次取出的是纸杯的概率为P(A|B)=P(AB)P((2)X=0，1，2，3，P(X=0)=253=8125，P(X=1)=35×122+25×35×12+252×35P(X=3)=35×24×13=110，P(X=2)=1-8125-183X的分布列为X0123P8183471E(X)=183500+2×47100+3×110=80317.【命题意图】本题考查立体几何，要求考生理解立体几何的定理和性质.【解题分析】(1)在四边形ABCD中，∵AD=2，AB=1，∠BAD=60°，∴BD=4+1−2×2×12=3，∴AB2+BD2=AD2，∴AB又∵AB⊥BD1，BD∩BD1=B，BD⊂平面BDD1，BD1⊂平面BDD1，∴AB⊥平面BD1D，而DD1⊂平面BD1D，∴AB⊥DD1.又∵D1D⊥AD，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴DD1⊥平面ABCD.7分(2)建立如图所示的空间直角坐标系，∵B(3，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，1，3)，D(0，0，0)，∴BC=(-3，2，0)，CC1=(0，-1，3设平面BCC1的法向量为n1=(x，y，z)，则n1·BC=0,n1·CC1=0⇒-3x+2y=0,-平面CC1D的一个法向量为n2=(1，0，0)，设二面角B-CC1-D的平面角为θ，显然θ为锐角，∴cosθ=|n1·n2||18.【命题意图】本题考查函数与导数，要求考生理解函数与导数的性质.【解题分析】(1)∵f'(x)=(2x-1)e2x，∴f'(0)=(0-1)e0=-1，f(0)=(0-1)e0=-1，∴其切线方程为x+y+1=0.4分(2)∵f'(x)=(2x-1)e2x，当x<12时，f'(x)<