2024届高三数学下学期第三次模拟考试含答案

/高三第三次模拟考试数学注意事项：1．本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列的公差为，且，则的值为A．1980 B．1981 C．1982 D．19832．已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为A．1 B．2 C．4 D．3．已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若，则的值是A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能5．当时，的最大值是A．2 B． C．0 D．6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且离心率为，过点的直线l与C的一条渐近线垂直相交于点D，则A． B． C．2 D．37．若偶函数的最小正周期为，则A． B．的值是唯一的C．的最大值为 D．图象的一条对称轴为8．已知实数m，n满足，则的最大值为A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9．在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩情况如下表：班级人数平均分方差甲45881乙45902记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则A． B． C． D．10．已知函数定义域为R且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点（0，1）对称，则A．B．C．是图象的一条对称轴D．（56，0）是图象的一个对称中心11．一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点∠的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角．为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值．已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则A．的最大值为B．的最小值为C．D．．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在中，，．若，则的面积为________．13．已知正四棱台ABCD-EFGH中，，则该正四棱台内部能够放入的最大球体的半径为________．14．在龙年元宵节的一项无人机飞行表演中，将7架不同的“焰火”无人机和架不同的“灯光”无人机排成一列．已知每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火”无人机相邻，设这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为p，要使得，则n的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局．根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．（1）经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；（2）若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．16．（本小题满分15分）已知函数在处的切线方程为．（1）求a的值；（2）证明：．17．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为菱形，，点E，F分别为棱AB，上的点，（1）若，且平面以平面，求实数的值；（2）若F是的中点，平面与平面BDF的夹角的余弦值为，求的值．18．（本小题满分17分）如图，动直线与抛物线：交于A，B两点，点C是以AB为直径的圆与的一个交点（不同于A，B），点C在AB上的投影为点M，直线为的一条切线．（1）证明：为定值；（2）求与的内切圆半径之和的取值范围．19．（本小题满分17分）一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．已知集合A为有理数集Q的一个子集，且满足以下条件：①且；②对任意的，存在唯一的，满足，其中，表示不超过y的最大整数；③若，，则．证明：（1）；（2）对任意的，对每一个整数，都有；（3）．湘豫名校联考2024届春季学期高三第三次模拟考试数学参考答案题号1234567891011答案BCCADADBBDBCDABD一、选择题：本题共8小题，毎小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】由条件可得，且，所以．故选B．2．C【解析】依题知，解得，所以E的长轴长为4．故选C．3．C【解析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理可知C正确，故选C．4．A【解析】令，则，，所以．故选A．5．D【解析】因为原式（其中，，由条件知，所以，所以原式的最大值为．故选D．6．A【解析】不妨设焦点为，其中一条渐近线为，则直线l的方程为，由解得即，因为，所以，所以．故选A．7．D【解析】对于A，因为周期只与有关，因此只需考虑的情况．若对任意，都有，即，所以，所以，所以A错设．对于B，因为为偶函数，所以．因为，，所以．又，所以或，所以B错误．对于C，，当时取得最大值，所以C错误．对于D，容易知道或时，，所以的图象关于直线对称．所以D正确．故选D．8．B【解析】令，，则己知条件化为，即．利用直线与圆的有关知识可求得．令，则．所以，所以，令，则当时，，于是在上单调递增，所以．综上所述，的最大值为2．故选B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的将0分．9．BD【解析】依题意得，．故选BD．10．BCD【解析】因为的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称．因为的图象关于点（0，1）对称，所以的图象关于点（2，0）对称．所以．令，得．所以函数的周期为，所以，A错误，，B正确；因为图象的对称轴为，，所以是函数图象的一条对称轴，C正确；因为图象的对称中心为，，所以（56，0）是函数图象的一个对称中心，D正确．故选BCD．11．ABD【解析】，的几何意义：如图，点Z在以（1，0）为圆心、以r为半径的圆上或圆内．对于A，B，的凡何意义为点Z与的距离，易得到其最大值为．也可以由绝对值三角不等式得．同理可知的最小值为，所以A，B正确．对于C，注意到图中辐角的余弦值不小于，所以C错误．对于D，设，有（其中是z的辐角的主值），由于，所以，所以D正确．故选ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【解析】显然，，，所以．所以．所以．13．【解析】如图1，延长AE，BF，CG，DH交于点I，易得与相似，相似比为，，，I在正四棱台上、下底面的投影点分别记为，，，．首先四棱台内部能够放入的球体的直径，即；其次取AD，BC，GF，EH的中点M，N，S，T，作纵截面MNST，如图2，设球的球心为O．O到线段SN的距离为d，则．，，，所以，，所以．所以．14．4047【解析】方法一：从排列的角度看问题．每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火"无人机相邻有四科情况，情况1：7架“焰火”无人机排在一起，此时有种方法，情况2：，组成方式为〇〇，〇〇〇〇〇，此时有种方法，情况3：，组成方式为〇〇〇，〇〇〇〇，此时有种方法．情况4：．组成方式为〇〇，〇〇，〇〇〇，此时有种方法．所以这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为，所以．因为，所以n的最小值为4047．方法二：我们可以不考虑“灯光”无人机的排法，同时也不考虑“焰火”无人机之间的相对位置，只需将对应的“焰火”无人机放入“灯光”无人机形成的空位中即可．对7架“焰火”无人机排法进行分类，①7架在一起，有种排法；②，由插空法知有，种排法；③，由插空法知有种排法；④．由插空法知有种排法；所以这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为．所以．因为，所以n的最小值为4047．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）由题意，得X的取值可能为0，1，2，3，则，，，．所以X的分布列为X0123P方法一：故X的期望．方法二，因为，所以X的期望．（2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜2局，甲获胜3局，所以所求概率为．16．【解析】（1）由题可得函数的定义域为R，又，由条件知，解得，（2）注意到，令，则．令，则，所以在R上单调递增，即在R上单调递增．因为，所以当时，；当时，，所以在上单调遂减，在上单调递增．所以，即，所以在R上单调遂增．因为，所以当时，；当时，，所以．17．【解析】（1）方法一：如图1，取AB的中点，连接，因为四边形ABCD是菱形．且，所以是等边三角形，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以．因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面，所以E点和点重合．所以，即，即．图1方法二：如图2，在上取一点G，使，连接EG，．则平面平面，且．因为平面ABCD，平面ABCD，所以，所以．又平面平面，平面平面．平面．所以平面以．又平面，所以．又因为四边形ABCD是菱形，且，所以是等边三角形，所以，即．图2（2）方法一：以E为AB的中点．建立如图3所示的空间直角坐标系Dxyz．不妨设，，则，，，，，，所以，，，．设平面的法向量为，则即令，则，，所以平面的一个法向量为，设平面BDF的法向量为，则即令，则，，所以平面BDF的一个法向量为．设平面与平面BDF的夹角为，则令，解得或，所以或．所以或．图3方法二：连接AC，与BD相交于点O，连接与相交于点，连接，OF，．由题意得，，平面ABCD．建立如图4所示的空间直角坐标系，不妨设，，则，，所以，．易知，，所以．所以．解得或，所以或．所以或．图418．【解析】（1）由消去y得．由，，得．所以的方程为，所以，．设，则由，得，结合，求得，所以点C的横坐标为，所以，为定值．（2）设，内切圆的半径分别为，，则，．设的内切圆半径为R，则．所以，因为，易得函数在上单调递增，所以，所以．故与内切圆