中考数学几何模型归纳训练专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型（原卷版）

专题30最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？

如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，

则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型1-4.定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．

如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．

如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径

之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，

点A的坐标为(6，4)；RtCOD中，COD90，OD43，D30，连接BC，点M是BC中点，连

接AM．将RtCOD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

A．3B．624C．2132D．2

例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段AB为O的直径，点C在AB的延长线上，AB4，BC2，

点P是O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作RtPCD，且使DCP60，连接OD，则OD

长的最大值为．

例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，

线段BP以B为中心逆时针旋转90得到线段BQ，连接MQ．若AB4，MP1，则MQ的最小值为．

例4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB2,AD7，动点P在矩形的边上沿

BCDA运动．当点P不与点A、B重合时，将ABP沿AP对折，得到ABP，连接CB，则在点P的

运动过程中，线段CB的最小值为．

例5．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，ABCBAD90,AB5,AD4,ADBC，

点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF∠BAE，则线段BF的最小值为．

例6．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，点A，C，N的坐标分别为(2，0)，(2，0)，(4，3)，以点C为圆心、

2为半径画C，点P在C上运动，连接AP，交C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段

MN的最小值为．

例7．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形ABCD,AB6,BC4,P为矩形ABCD内一点，

且BPC135，若点P绕点A逆时针旋转90到点Q，则PQ的最小值为．

例8．（2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出：

（1）如图①，在ABC中，ABAC，BAC120，BC43，则AB的长为__________；

问题探究：（2）如图②，已知矩形ABCD，AB4，BC5，点P是矩形ABCD内一点，且满足APB90，

连接CP，求线段CP的最小值；

问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中AD∥BC，AD40m，

BC60m，点E为CD边上一点，且CE:DE1:2，AEB60，为了美化环境，要求四边形ABCD的面

积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值．

课后专项训练

1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在ABC中，B45，AC2，以AC为边作等腰直角ACD，连

BD，则BD的最大值是（）

A．102B．103C．22D．102

2．（2023春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在ABC中，BAC30，BC4，ABC面积的最大

值是（）．

A．843B．834C．83D．883

3．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是B上任意一点，点C在B外，已知

AB2，BC4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）

A．434B．4C．438D．6

4．（2023·山东济南·一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，

DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小

值为（）

A．252B．25+2C．102D．10+2

5．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB3，BC4，点P是BC边上

一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值

为．

6．（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G是ABC内的一点，且BGC120，△BCF是等边

三角形，若BC3，则FG的最大值为．

7．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD10，AB16，P为CD的中点，连接BP．在

矩形ABCD外部找一点E，使得BECBPC180，则线段DE的最大值为．

8．（2023·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC5，点E在BC上，且CE4BE，点M

为矩形内一动点，使得CME45，连接AM，则线段AM的最小值为______．

9．（2023江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平

行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．

10．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，ABC为等腰直角三角形，BAC90，ABAC22，

点D为ABC所在平面内一点，BDC90，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为．

11．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点（含边界），且ADEB8，

点F在BE上，BF2，则以下结论：①CF的最小值为6；②DE的最小值为828；③CECF；④DECF

的最小值为10；正确的是．

12．（2021·广东·中考真题）在ABC中，ABC90,AB2,BC3．点D为平面上一个动点，ADB45，

则线段CD长度的最小值为_____．

13．（2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中

点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．

14．（2023秋·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形ABCD中，AB6，点E是以BC为直径的圆

上的点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90，得到线段DF，连接CF，则线段CF的最大值与最

小值的和．

15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，Q是矩形ABCD左侧一点，连

接AQ、BQ，且AQB90，连接DQ，E为DQ的中点，连接CE，则CE的最大值为．

16．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角ABC中，BAC90，AB5，点D是平面内一点，AD2，

连接BD，将BD绕D点逆时针旋转90得到DE，连接AE，当DAB(填度数)度时，AE可以取

最大值，最大值等于．

17．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图，ABC是腰长为4的等腰直角三角形，ABC90，以A为圆

心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接BE，把BE绕点B顺

时针旋转90°到BD的位置，连接AE，CD．

(1)求证：EBA≌DBC；(2)当BE与半圆A相切时，求弧EM的长；(3)直接写出△BCD面积的最大值．

18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向

右(a0)或向左(a0)平移a个单位长度，再向上(b0)或向下(b0)平移b个单位长度，得到点P'，点P'

关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点

1

P(2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NTOM;(2)O

2

1

的半径为1，M是O上一点，点N在线段OM上，且ONt(t1)，若P为O外一点，点Q为点P的

2

“对应点”，连接PQ.当点M在O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）

19．（2023下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P

不与A，C重合），连接