2025年中考数学总复习讲义（山东专用）35 第一部分 第六章 第二节 与圆有关的位置关系

第二节与圆有关的位置关系考点一与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．d<r⇔点在⊙O__________；d＝r⇔点在⊙O__________；d>r⇔点在⊙O__________．2．直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交示意图公共点个数__________个__________个__________个大小关系______________________________考点二切线的性质1．切线的性质(1)定理：圆的切线__________于过__________的半径．(2)经过__________于切线的直线必经过切点．(3)经过__________于切线的直线必经过圆心．总结：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过__________；②直线过__________；③直线与圆的切线__________．考点三切线的判定切线的判定定理(1)判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)推论：①与圆只有一个__________的直线是圆的切线(定义法)．②到圆心的距离__________的直线是圆的切线．考点四三角形的内切圆与切线长定理1．三角形的内切圆(1)内切圆的有关概念：与三角形三边都__________的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的__________，这个三角形叫做圆的外切三角形．(2)三角形的内心就是三角形三条__________的交点．三角形的内心到三角形三边的距离__________，三角形的内心与三角形顶点的连线__________这个内角．2．切线长定理(1)圆的切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的__________，叫做这点到圆的切线长．(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长__________，这一点和圆心的连线__________两条切线的夹角．切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对．这些结论在证明求解问题中会经常用到．1．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为()A．16cm或6cm B．3cm或8cmC．3cm D．8cm2．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线，连接AD经过点O，若∠ADC＝42°，则∠ABC的度数为()A．42°B．66°C．84°D．48°3．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接AC，BC．若∠BAC＝2∠BCO，AC＝3，则PA的长为()A．33 B．4C．5 D．64．[易错题]如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为________．5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．(1)求证：EG是⊙O的切线；(2)若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．命题点1点、直线与圆的位置关系【典例1】(2024·宁阳期末)圆的直径是16cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线与圆的位置关系是()A．相离 B．相切C．相交 D．相交或相切[听课记录]判断点(直线)与圆之间的位置关系，将该点(直线)到圆心的距离与半径作比较即可．[对点演练]1．(2024·泰山期末)如果⊙O的半径为6cm，OP＝7cm，则点P与⊙O的位置关系是()A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外 D．不能确定2．[跨学科]如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是________．命题点2切线的性质【典例2】(2024·泰安)如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，tanB＝12，则AE的长为________[听课记录]由切线的性质定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记为：见切点，连半径，得垂直．[对点演练]1．(2021·泰安)如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是()A．50°B．48°C．45°D．36°2．(2024·泰山二模)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝15°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若OE＝2，则⊙O的半径为()A．3 B．2C．32 D．3．(2023·泰安)为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是________cm．(精确到0.1cm．参考数据：3≈1.73)4．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是BD的中点，弦CE，BD相交于点F．(1)求∠OCB的度数；(2)若EF＝3，求⊙O直径的长．命题点3切线的判定【典例3】(2024·山东)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作DE交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作EF交BC于点F，连接FD交EF于另一点G，连接CG．(1)求证：CG为EF所在圆的切线；(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)[听课记录]证明切线常见的作辅助线方法(1)判定切线时，“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．(2)有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．[对点演练]1．(2024·泰安二模)如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连接OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线．正确的序号是________．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．命题点4三角形内切圆及切线长定理【典例4】[数学文化](2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是()A．d＝a＋b－c B．d＝2C．d＝2c-ac-b D．d＝|(a－[听课记录]