中学八年级上册数学集体备课教案

2018-2019学年上学期

锦屏镇中学

九年公上册《撤考》款案

任课教师：

任课班级：

二0一V、年九月一日

锦屏镇中学九年级上册数学教案

2018-2019学年度上学期九年级数学教学进度表

周

序日期教学工作内容及课时安排

21.1一元二次方程2

19.3—9.7

21.2降次一一解一元二次方程2

29.10—9.1421.2降次——解一元二次方程5

21.3实际问题与一元二次方程及数学活动2

39.17—9.21

《一元二次方程》单元小结与练习3

49.24—9.2821.1二次函数的图像与性质5

21.2二次函数与一元二次方程2

510.8—10.1221.3实际问题与二次函数2

《二次函数》单元小结与练习1

23.1图形的旋转2

610.15—10.19

23.2中心对称3

23.3课题学习图案设计2

710.22—10.26

《旋转》单元考及讲评3

810.29—11.224.1圆5

911.5—11.924.2点、直线、圆和圆的位置关系5

1011.12—11.16期中考复习

1111.19—11.23期中考试与试卷分析

24.3正多边形和圆2

1211.26—11.30

24.4弧长和扇形面积2

24.4弧长和扇形面积2

1312.3—12.7

《圆》单元考及讲评3

1412.10—12.1425.1随机事件与概率4

25.2用列举法求概率3

1512.17—12.2125.3用频率估计概率1

25.4课题学习及数学活动2

1612.24—12.28

《概率初步》单元考及讲评2

九年级数学下册内容

171.2—1.4

九年级数学下册内容

181.7—1.11

期末考复习及考试

191.14—1.18

-1-

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第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

教与目标：«<

1•通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c

O(aWO)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.

2•了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解.

重Q难后＜：«<

重占

通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c

O(aWO)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题.

难点

一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.

教宇设计：«<

活动1复习旧知

1•什么是方程？你能举一个方程的例子吗？

2•下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式.

2

(l)2x-l(2)mx+n=0(3)X.-+1=0(4)x=l

-2-

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3­下列哪个实数是方程2x—1=3的解？并给出方程的解的概念.

A-0B.1C.2D.3

活动2探究新知

根据题意列方程.

1•教材第2页问题1.

提出问题：

(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？

(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？

(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程.

2•教材第2页问题2.

提出问题：

(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？

(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比

赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？

(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？

3•一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数.

提出问题：

本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？

4•一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？

-3-

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活动3归纳概念

提出问题：

(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？

(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？

(3)归纳一元二次方程的概念.

1•一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是

，这样的方程，叫做一元二次方程.

2•一元二次方程的一般形式是ax*2+3bx+c=0(a#0);其中ax?是二次项＞a

是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

提出问题：

(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？

(2)为什么要限制aWO，b，c可以为0吗？

(3)2x2—x+1=0的一次项系数是1吗？为什么？

3•一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做

一元二次方程的解(根).

活动4例题与练习

例1在下列方程中，属于一元二次方程的是.

(1)4x2=81；(2)2x2-l=3y；(3)=+[=2；

A.A.

(4)2X2-2X(X+7)=0.

-4-

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总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一

个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，

但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程.

例2教材第3页例题.

例3以一2为根的一元二次方程是()

A-x2+2x—1=0B.x2—x—2=0

C-X2+X+2=0D.X2+X-2=0

总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、

右两边的值是否相等.

练习：

1•若(a—l)x?+3ax—1=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是

2­将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次

项系数和常数项.

(1)4x2=81；(2)(3x-2)(x+l)=8x-3.

3•教材第4页练习第2题.

4•若一4是关于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一个根，则k的值为

答案：l.aWl；2.略；3.略;4.k=4.

活动5课堂小结与作业布置

课堂小结

-5-

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我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一

般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？

作业布置教材第4页

教学反思

习题21.1第1〜7题.21.2解一元二次方程

21.2.1配方法(3课时)

第1课时直接开平方法

教与目标＜：«<

理解一元二次方程“降次”一转化的数学思想，并能应用它解决一些具体

问题.

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出

这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

重点难点＜：«<

重占

运用开平方法解形如(x+m)2=n(n》0)的方程，领会降次——转化的数学思

想.

难点

通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意

义解形如(x+m)2=n(nN0)的方程.

教学设计＜：«<

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一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题.

问题1:填空

(l)x-8x+=(x-)2；(2)9X2+12X+=(3x+

)2；(3)x2+px+=(x+)2.

解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(多22

问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一

元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的

方法？

二、探索新知

上面我们已经讲了X2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x

换元为2t+l，即(2t+l)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？

(学生分组讨论)

老师点评：回答是肯定的，把2t+l变为上面的x，那么2t+l=±3

即2t+l=3>2t+l=-3

方程的两根为ti=l，t2=—2

例1解方程：(l)x?+4x+4=l(2)X2+6X+9=2

分析：(1)X2+4X+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(X+2)2=1.

(2)由已知，得：(X+3)2=2

直接开平方,得：X+3=±V2

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即x+3=p，x+3=—^/2

所以,方程的两根xi=13+6，X2=—3—^/2

解：略.

例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10/提高到14.4m2，求

每年人均住房面积增长率.

分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10+

10x=10(l+x)；二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解：设每年人均住房面积增长率为X，

则：10(1+x)2=14.4

(1+X)2=1.44

直接开平方，得l+x=±1.2

即l+x=1.21l+x=—1.2

所以，方程的两根是xi=0.2=20%，X2=—2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，X2=—2.2应舍去.

所以，每年人均住房面积增长率应为20%.

(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们

把这种思想称为“降次转化思想”.

三、巩固练习

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教材第6页练习.

四、课堂小结

本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(pN0)的方程，那么X=R5

转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p>0)的方程，那么mx+n=±Vp，达

到降次转化之目的.若p<0则方程无解.

五、作业布置

教材第16页复习巩固1.

六、教学反思

第2课时配方法的基本形式

教与目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具

体问题.

通过复习可直接化成x2=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0)的一元二次方程的解

法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.

重Q难后<

重占

讲清直接降次有困难，如x2+6x—16=0的一元二次方程的解题步骤.

难点

将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

教学设计<：«<

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一、复习引入

(学生活动)请同学们解下列方程：

(1)3x2—1=5(2)4(X-1)2-9=0(3)4X2+16X+16=9(4)4X2+16X=-7

老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p>0)的形式>那么可

得

x=±^或mx+n=±^/p(p^O).

如：4x2+16x+16=(2x+4)2，你能把4x?+16x=—7化成(2x+4>=9吗？

二、探索新知

列出下面问题的方程并回答：

(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？

问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，求场地的长和

宽各是多少？

(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左

边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解

方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

x2+6x—16=0移项-X2+6X=16

22

两边加(6/2>使左边配成x+2bx+b的形式-x?+6x+32=16+9

左边写成平方形式一(X+3)2=25降次一X+3=±5即x+3=5或x+3=—5

解一次方程一xi=2,X2=—8

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可以验证：xi=2，X2=-8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场

地的宽为2m,长为8m.

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配

方法.

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方

程来解.

例1用配方法解下列关于x的方程：

(1)X2-8X+1=0(2)X2-2X-|=0

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为

完全平方式；(2)同上.

解：略.

三、巩固练习

教材第9页练习1，2.(1)(2).

四、课堂小结

本节课应掌握：

左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方

形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.

五、作业布置

教材第17页复习巩固2，3.(1)(2).

六、教学反思

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第3课时配方法的灵活运用

教学目标＜

了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一

些具体题目.

(III八fill

重点

讲清配方法的解题步骤.

难点

对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右

边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元

二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解.

教学设计＜

一'复习引入

(学生活动)解下列方程：

(1)X2-4X+7=0(2)2X-8X+1=0

老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式

的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可

以用上面的方法进行解题.

解：略.(2)与⑴有何关联?

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二、探索新知

讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)先将已知方程化为一般形式；

(2)化二次项系数为1；

(3)常数项移到右边；

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果qNO，方程的根是x=~p±Vq；如果q<0，

方程无实根.

例1解下列方程：

(1)2X2+1=3X(2)3X2-6X+4=0(3)(1+X)2+2(1+X)-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完

成，即配一个含有x的完全平方式.

解：略.

三、巩固练习

教材第9页练习2.(3)(4)⑸(6).

四、课堂小结

本节课应掌握：

1•配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.

2•配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方

程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学

习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到.

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五'作业布置

教材第17页复习巩固3.(3)(4).

补充：⑴已知x2+y2+z2-2x+4y—6z+14=0，求x+y+z的值.

⑵求证：无论x>y取任何实数)多项式x2+y2—2x—4y+16的值总是正数.

六'教学反思

21.2.2公式法

教学目标《

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公

式法解一元二次方程.

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(aW0)

的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.

(III八fill

重点

求根公式的推导和公式法的应用.

难点

一元二次方程求根公式的推导.

教学设计

一'复习引入

1•前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程

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(1)X2=4(2)(x—2尸7

提问1这种解法的(理论)依据是什么？

提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊

二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程.)

2•面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成

能够“直接开平方”的形式.)

(学生活动)用配方法解方程2x?+3=7x

(老师点评)略

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).

(1)先将已知方程化为一般形式；

(2)化二次项系数为1；

(3)常数项移到右边；

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果qNO，方程的根是x=—如果q<0，

方程无实根.

二、探索新知

用配方法解方程：

(l)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(aW0))你能否用上面配方

法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.

-15-

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问题:已知ax2+bx+c=0(a^0)，试推导它的两个根xi='X2

(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)

2a

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个

具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

解：移项，得：ax2+bx=-c

bc

二次项系数化为1，得x2+=X=—

dd

配方，得：x2+^x+(^)2=-^+(^)2

口口,bb2—4ac

即(x+h9

b2—4ac

V4a2>0，当b2-4ac^0时，4a2三。

'2a7v2a7

直接开平方，得：x+为土喝也

一b±\/b2-4ac

即

X=2a

-16-

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由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根由方程的系数a，b，c而

定，因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2—

4acN0时，将a，b，c代入式子x=二^之上就得到方程的根.

Zd

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

例1用公式法解下列方程：

(l)2x2—X—1=0(2)x2+1.5=-3x

(3)x2—止x+g=0(4)4X2-3X+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式

即可.

补：(5)(x—2)(3x—5)=0

三、巩固练习

教材第12页练习1.⑴⑶(5)或⑵(4)(6).

四、课堂小结

本节课应掌握：

(1)求根公式的概念及其推导过程；

(2)公式法的概念；

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（3）应用公式法解一元二次方程的步骤：1）将所给的方程变成一般形式，注意

移项要变号，尽量让a＞0；2）找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号；3）计

算b?—4ac，若结果为负数，方程无解；4）若结果为非负数，代入求根公式，算出

结果.

（4）初步了解一元二次方程根的情况.

五、作业布置教材第17页习题4，5

六、教学反思

.21.2.3因式分解法

教学目标＜：«<

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法

因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.

重Q难后＜：«<

重占

用因式分解法解一元二次方程.

难点

让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简

便.

教学设计＜:«<

一'复习引入

（学生活动）解下列方程:

-18-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

(1)2X2+X=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为3；的一半

应为《,因此,应加上七)2,同时减去右)2.⑵直接用公式求解.

二、探索新知

(学生活动)请同学们口答下面各题.

(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？

(2)等式左边的各项有没有共同因式？

(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解.

因此，上面两个方程都可以写成：

(l)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(l)x=O或

2x+l=0，所以xi=O>X2=—

(2)3x=0或x+2=0，所以xi=O，X2=—2.(以上解法是如何实现降次的？)

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是

先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别

等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.

例1解方程：

13

(1)10X-4.9X2=0(2)x(x—2)+x—2=0(3)5x?—2x—w=x?—2x+^(4)(x

—1)2=(3—2x)2

思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？

-19-

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解：略(方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积.)

练习：下面一元二次方程解法中，正确的是()

A•(x—3)(x—5)=10X2><*.x—3=10，x—5=2'.*.xi=13，X2=7

23

B•(2—5x)+(5x—2)2=0,<*.(5x—2)(5x—3)=01.*.xi=^>X2=§

C-(X+2)2+4X=0).*.xi=21X2=-2

D-x2=x1两边同除以x>得x=l

三、巩固练习

教材第14页练习1>2.

四、课堂小结

本节课要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应

用.

(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各

一次因式等于0.

五、作业布置

教材第17页习题6>8>10-11.21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

教学目标<

1•掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.

-20-

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2•培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.

3•渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.

4•培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.

重占，、、、

根与系数的关系及其推导

难点

正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程

两根的和、两根的积与系数的关系.

教学设计＜

一、复习引入

1•已知方程x2—ax—3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值.

2•由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的

求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？

3•由求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的两根为xi=

-,X2=—b一歹右.观察两式右边,分母相同,分子是—b+

不)2—4ac与一b—十2—4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?

二、探索新知

解下列方程，并填写表格：

-21-

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方程XIX2X1+X2XI•X2

X2-2x=0

X2+3X-4=0

X2-5X+6=0

观察上面的表格，你能得到什么结论？

(1)关于X的方程x2+px+q=0(p>q为常数>p?-4q20)的两根xi>X2与系数

p，q之间有什么关系？

(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a关0)的两根xi，X2与系数a>b>c之间又有

何关系呢？你能证明你的猜想吗？

解下列方程，并填写表格：

方程XIX2X1+X2XI*X2

2x2—7x—4=0

3X2+2X-5=0

5X2-17X+6=

0

小结：根与系数关系:

(1)关于x的方程x2+px+q=0(p>q为常数，p2—4qN0)的两根xi>X2与系数

p，q的关系是：xi+x2=-p>xi•X2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的

判别式必须大于或等于零.)

(2)形如ax2+bx+c=0(aW0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上

面的结论.

-22-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

即：对于方程ax2+bx+c=0(a^0)

•.'aWO>/.x2+pc+^=0

•।_b_c

=，

.•XI+X2_―aXI*X2=_a

(可以利用求根公式给出证明)

例1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

(1)x2—3x—1=0(2)2x2+3x-5=o

(3)|x2-2x=0(4)/x?+册x=/

(5)x2—1=0(6)x2—2x+l=0

例2不解方程，检验下列方程的解是否正确？

(l)x2—2^/2x+1=0(xi=^/2+l1X2=\[2—l)

97+^735-773

(2)2x——3x-8=0(xi=j—，X2—~)

例3已知一元二次方程的两个根是一1和2，请你写出一个符合条件的方

程.(你有几种方法？)

例4已知方程2x2+kx-9=0的一个根是一3，求另一根及k的值.

变式一：已知方程x?—2kx—9=0的两根互为相反数，求k；

变式二：已知方程2x2—5x+k=0的两根互为倒数，求k.

三、课堂小结

-23-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

1•根与系数的关系.

2•根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零.

四'作业布置

1,不解方程，写出下列方程的两根和与两根积.

(1)x2—5x—3=0(2)9x+2=x2(3)6x2—3x+2=0

(4)3X2+X+1=0

2•已知方程x2-3x+m=0的一个根为1，求另一根及m的值.

3•已知方程x2+bx+6=0的一个根为一2)求另一根及b的值.

五、教学反思

21.3实际问题与一元二次方程(2课时)

第1课时解决代数问题

教学目标＜

1•经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际

问题的一般步骤.

2•通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二

次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.

-24-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

3•通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的

解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.

重用难Q<

重占，、、、

利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.

难点

如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问

题和百分率问题中的数量关系.

教学设计V

一、引入新课

1•列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？

2•科学家在细胞研究过程中发现：

(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？

(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？

(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，

试问经过3次分裂后共有多少个细胞？

二,教学活动

活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题.

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一

个人传染了几个人？

-25-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了X个人，第

一轮传染后共有人患流感.第二轮传染后共有人患流感.

(2)本题中有哪些数量关系？

(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(X

+1)人患了流感，第二轮有x(l+x)人被传染上了流感.于是可列方程：

l+x+x(l+x)=121

解方程得xi=10>X2=—12(不合题意舍去)

因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.

变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？

活动2：自学教材第19页〜第20页探究2，思考老师所提问题.

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元生产1吨乙种药品的成本是6000

元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙

种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？

(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了

元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此

时成本为元.

(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)

后产量为a(l±x)；

二月(或二年)后产量为a(l±x>；

-26-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

n月（或n年）后产量为a（l±x）n；

如果已知n月（n年）后总产量为M，则有下面等式：M=a（l±x）n.

（4）对甲种药品而言根据等量关系列方程为：.

三、课堂小结与作业布置

课堂小结

1•列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、歹U、解、答.最后要检验

根是否符合实际.

2•传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立.

3•若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基准数是a，增长（或降低）n

次后的量是b，则有：a（l±x）n=b（常见n=2）.

4•成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药

品，它的下降率不一定也较小.

作业布置

教材第21—22页习题21.3第2—7题.

教学反思

第2课时解决几何问题

教字目标

-27-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

1•通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决

几何问题.

2•通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程

更容易.

3•通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方

程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.

重Q难Q<

重占

通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力.

难点

在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程.

教学设计《:«<

活动1创设情境

1•长方形的周长，面积，长方体的体积公式

2•如图所示:

(1)一■块长方形铁皮的长是10cm，宽是8cm>四角各截去一个边长为2c机的

小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是，高是

，体积是.

-28-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

(2)一块长方形铁皮的长是10cm'宽是8cm＞四角各截去一个边长为xc机的

小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是，高是

，体积是.

活动2自学教材第20页〜第21页探究3，思考老师所提问题

要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长

宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，

上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm).

(1)要设计书本封面的长与宽的比是，则正中央矩形的长与宽的比是

(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7?试与同伴交流一下.

(3)若设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xc机，则中央矩形

的长为cm，宽为cm，面积为cm2.

(4)根据等量关系：，可列方程为：..

(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验.)

(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9xcm和7xcm，你又怎样去求上

下、左右边衬的宽？

活动3变式练习

-29-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要

求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路

的宽度.

答案：路的宽度为5米.

活动4课堂小结与作业布置

课堂小结

1•利用已学的特殊图形的面积（或体积）公式建立一元二次方程的数学模型，

并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系.

2•根据面积与面积（或体积）之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解

方程，最后对所得结果是否合理要进行检验.

作业布置

教材第22页习题21.3第8，10题.

教学反思

-30-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

第二十二章二次函数

22.1二次函数的图象和性质

22.1.1二次函数

教与目标

1•从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的

过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.

2•理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.

3•会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.

(III八fill

重占

二次函数的概念和解析式.

难点

本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能

力.

教学设计V

一'创设情境，导入新课

问题1现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形

的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有

道理吗？

-31-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么

曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次

函数”(板书课题).

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：

(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；

(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存

为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元;

(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120

m，室内通道的尺寸如图,设一条边长为x(/n)，种植面积为y(/"2).

(一)教师组织合作学习活动:

1•先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式.

2•上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同

探讨.

(l)y="x?(2)y=20000(1+x)2=20000x2+40000x+20000(3)y=(60—x—

4)(X-2)=-X2+58X-112

(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

-32-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

让学生充分发表意见，提出各自看法.

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y=ax2+bx+c(a>b>c

是常数，aWO)的形式.

板书:我们把形如y=ax?+bx+c(其中a,b,c是常数，aWO)的函数叫做二

次函数(qMadm力cfunction)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项.

三、做一做

1•下列函数中，哪些是二次函数？

(l)y=x2(2)y=-*(3)y=2x2-x-l

A.

(4)y=x(l—x)(5)y=(x—I)2—(x+l)(x—1)

2•分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

(l)y=x2+l(2)y=3x2+7x-12(3)y=2x(l—x)

3•若函数y=(m2—Dxn?—m为二次函数>则m的值为.

四、课堂小结

反思提高，本节课你有什么收获？

五、作业布置教材第41页第1，2题.

六、教学反思

-33-

锦屏镇中学九年级上册数学教案

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

教学目标＜：«<

通过画图，了解二次函数丫=2*2匕力0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何

是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、

开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题.

1111八fill

重占0、、、

从“数”(解析式)和“形"(图象)的角度理解二次函数y=ax2的性质，掌握二

次函数解析式y=ax2与函数图象的内在关系.

难点

画二次函数y=ax2的图象.

教学设计V

一、引入新课

1•下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？

(l)y=3x-1(2)y=2x2+7