中考数学复习讲座

2013年中考数学专题讲座一：选择题解题方法

一、中考专题诠释

选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8~14

题，这说明选择题有它不可替代的重要性.

选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特

征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.

二、解题策略与解法精讲

选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.

解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数

学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程.因而，在解答时应

该突出一个“选,，字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依

据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策

略.具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出

发探求是否满足题干条件.事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.

三、中考典例剖析

考点一：直接法

从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而

作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础.

例1（2012•白银）方程x二l=o的解是（）

A.x=±lB.x=1C.x=-1D.x=0

思路分析：观察可得最简公分母是（X+1）,方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化

为整式方程求解.

解：方程的两边同乘（X+1）,得

x2-1=0,

即（x+1）（x-1）=0,

解得:X|=-1,X2=l.

检验：把x=-1代入（x+1）=0,即x=-1不是原分式方程的解；

把x=l代入（x+1）=2w0,即x=1是原分式方程的解.

则原方程的解为：x=l.

故选B.

点评：此题考查了分式方程的求解方法.此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意

解分式方程一定要验根.

对应训练

1.（2012•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计

划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）

A.7队B.6队C.5队D.4队

考点二：特例法

运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊

函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也

不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈

好.

例2（2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式:①」一〈上-

bda+bc+d

②,<一匕；③一4一<一也；④一、<一色一。其中不等式正确的是（）

c+da+bc+da+ba+hc+d

A.①③B.①④C.②④D.②③

思路分析：由已知a、b、c、d都是正实数，且取a=l,b=3,c=l,d=2,代入所求四

bd

个式子即可求解。

解：由已知a、b、c、d都是正实数，且取a=l,b=3,c=l,d=2,则

bd

47_1_1C11所以，一<一£一，故①正确；

a+b1+34'c+d1+23'a+bc+d

d22b33db

所以——<——，故③正确。

c+d1+23a+b1+34c+da+b

故选Ao

点评：本题考查了不等式的性质，用特殊值法来解，更为简单.

对应训练

2.（2012•南充）如图，平面直角坐标系中，。。的半径长为1,点P（a,0）,0P的半径长

为2,把。P向左平移，当。P与。O相切时，a的值为（）

A.3B.1C.1,3D.±1,+3

考点三：筛选法（也叫排除法、淘汰法）

分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，

根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其

中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯

一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.

例3（2。⑵东营）方程有两个实数根’则k的取值范围是（）

A.k>lB.k<lC.k>lD.k<l

思路分析：原方程有两个实数根，故为二次方程，二次项系数不能为0,可排除A、B；又因

为被开方数非负，可排除C。故选D.

解：方程（》1伙2-，^*+,=0有两个实数根，故为二次方程，二次项系数左一1二0,左H1,

可排除A、B；又因为1一攵厘0,攵1,可排除C。

故选D.

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式与解的情况，用排除法较为简单.

对应训练

3.（2012•临沂）如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ〃y轴，分别交函数

kk

y=」（x>0）和y=」（x>0）的图象于点P和Q,连接OP和OQ.则下列结论正确的是（）

XX

A./POQ不可能等于90。

C.这两个函数的图象一定关于x轴对称

D.Z^POQ的面积是!（|ki|+|k2|）

2

考点四：逆推代入法

将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择

符合题设条件的选择支的一种方法.在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较

大提高解题速度.

例4（2012•贵港）下列各点中在反比例函数y=9的图象上的是（）

X

A.（-2,-3）B.（-3,2）C.（3,-2）D.（6,-1）

思路分析：根据反比例函数y=9中xy=6对各选项进行逐一判断即可.

x

解：A、：（-2）x（-3）=6,.•.此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；

B,V（-3）、2=-6优，，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C、；3x（-2）=-6粕，此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误;

D.V6x（-1）=-6,6,...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误.故选A.

点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答

此题的关键.

对应训练

4.（2012•贵港）从2,-1,-2三个数中任意选取一个作为直线y=kx+l中的k值，则所得

的直线不经过第三象限的概率是（）

考点五：直观选择法

利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题（如解方程、解不等式、求最值，求取

值范围等）与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这

种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多选择题（也有填空题、解答题）都可以用数形结合

思想解决，既简捷又迅速.

例5（2012•贵阳）已知二次函数y=ax1bx+c（a<0）的图象如图所示，当-5WxW0时，下列

说法正确的是（）

A.有最小值-5、最大值0B.有最小值-3、最大值6

C.有最小值0、最大值6D,有最小值2、最大值6

解：由二次函数的图象可知，

♦5WxW0,

，当x=-2时函数有最大值，y袅大=6；

当x=-5时函数值最小，y戢小=-3.

故选B.

点评：本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关

键.

对应训练

5.（2012•南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同,

则下列关系不正确的是（）

A.k=nB.h=mC,k<nD,h<0,k<0

考点六：特征分析法

对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息、，如数值特征、结构特

征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法

例6（2012•威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（）

分析：根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可.

2

解：A、,・，M、N两点均在反比例函数y=—的图象上，；・S阴影=2；

x

2

B、・・・M、N两点均在反比例函数y二—的图象上，.♦.S阴影二2；

x

C、如图所示，分别过点MN作MAlx轴，NB±x轴，则S阴影=S.AM+S阴影梯形

11,、13

ABNM-SAOBN=—x2-i—(2+1)x1--x2=-；

213

D、・・・M、N两点均在反比例函数y二一的图象上，.••一xlx4=2.・・・，V2,・・・C中阴影部分的

x22

面积最小.故选C.

点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐

IkI

标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是且保持不变.

2

对应训练

6.(2012・丹东)如图，点A是双曲线y=K在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D

X

分别是点A关于X轴、坐标原点、y轴的对称点.若四边形ABCD的面积是8,则k的值为

C.2D.-2

考点七：动手操作法

与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定,

处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解

的目的.

例7（2012•西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种

培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段.在折纸中，蕴含许多数学知

识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①〜④的过程折叠后

展开，请选择所得到的数学结论（

A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等

B.在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的宜角边等于斜边的一半

C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

D.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

思路分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察

图形特点，利用对称性与排除法求解.

解：如图②，•.•△CDE由4ADE翻折而成，；.AD=CD,如图③，：4DCF由△DBF翻折而

成，；.BD=CD,；.AD=BD=CD,点D是AB的中点，.■.CD=-AB,即直角三角形斜边上的

2

中线等于斜边的一半.

点评：本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.

对应训练

7.（2012•宁德）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚

线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（）

四、中考真题演练

1.（2012•衡阳）一个圆锥的三视图如图所示,则此圆锥的底面积为（

D.lOOncm23

2.（2012•福州）。0］和。。2的半径分别是3cm和4cm,如果OQ2=7cm,则这两圆的位置

关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.外离

3.（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植卓

前，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影

部分的面积为（）

A.2a2B.3a2C.4a2D.5a2

4.（2012•安徽）如图，A点在半径为2的。O上，过线段OA上的一点P作直线C,与OO

过A点的切线交于点B,且NAPB=60。，设OP=x,则4PAB的面积y关于x的函数图象大致

是（）

c.

5.（2012•黄石）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm氏的小段和y根9mm长的

小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x,y应分别为（）

A.x=l,y=3B.x=3,y=2C.x=4,y=lD.x=2,y=3

6.（2012•长春）有一道题目：己知一次函数y=2x+b,其中b<0，…，与这段描述相符的函数

图象可能是（）

7.（2012•荆门）如图，点A是反比例函数y=2（x>0）的图象上任意一点，人8〃乂轴交反比

X

例函数y=-卫的图象于点B,以AB为边作。ABCD,其中C、D在x轴上，则S口ABCD为（）

D.5

8.（2012•河池）若a>b>0,则下列不等式不一定成立的是（

A.ac>bcB.a+c>b+cC.—D.ab>b2

ab

9.(2012•南通)己知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于（)

A.64B.48C.32D.16

10.(2012•六盘水)下列计算正确的是()

A.B.(a+b)2=a2+b2C.(-2a)3=-6a3D.-(x-2)=2-x

11.(2012•郴州)抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是()

A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(1,2)

12.（2012•莆田）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平

均数均为166cm,且方差分别为S甲2=1.5,S乙2=2.5,S丙2=2.9,S丁2=3.3,则这四队女演

员的身高最整齐的是（）

A.甲队B.乙队C.丙队D.丁队

13.（2012•怀化）为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出

每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8,则下列说法正确的

是（）

A.甲秧苗出苗更整齐B.乙秧苗出苗更整齐

C.甲、乙出苗一样整齐D.无法确定

14.（2012•长春）如图是2012年伦敦奥运会吉祥物，某校在五个班级中对认识它的人数进行

了调查，结果为（单位：人）：30,31,27,26,31.这组数据的中位数是（）

A.27B.29C.30D.31

15.（2012•钦州）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB,在把以AB的中点O为顶点

的平角NAOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出••个以O为顶点的等腰

三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（）

16.（2012•江西）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三

户所用电线（）

abc

•♦-♦-♦-

A.a户最长B.b户最长C.c户最长D.三户一样长

17.（2012•大庆）平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为点,1）,将OA绕原

点按逆时针方向旋转30。得OB,则点B的坐标为（）

A.（1,73）B.（-1,炳）C.（O,2）D.（2,0）

18.（2012•长春）在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正

方形组成中心对称图形的是（）

19.（2012•凉山州）已知则的值是（）

a13a+b

239

A.-B.-C.-

324

20.（2012•南充）下列几何体中，俯视图相同的是（）

aE

□①A②③④

A.①②B,①③C.②③D.②④

21.（2012•朝阳）两个大小不同的球在水平面上靠在•一起，组成如图所示的几何体，则该儿

何体的俯视图是（）

水平面

A.两个外离的圆B.两个相交的圆C.两个外切的圆D.两个内切的圆

22.（2012•河池）如图，把一块含有45。角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边

上.如果N1=25。，那么N2的度数是（）

23.（2012•长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,

使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于±AB长为半径作弧，两弧交于点C.若点C

24.（2012•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD空&ACD的条

件是（）

A.AB=ACB.ZBAC=90°C.BD=ACD.ZB=45°

25.（2012•河池）用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四

边形ABCD是菱形的依据是（）

A.一组邻边相等的四边形是菱形

B.四边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

AB是OO的直径，若NBAC=35。,则/ADC=()

B.55°C.70°D.110°

27.（2012•攀枝花）下列四个命题:

①等边三角形是中心对称图形；

②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等;

③三角形有且只有一个外接圆；

④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.

其中真命题的个数有（）

C.3个D.4个

28.（2012•莱芜）以下说法正确的有（)

①正八边形的每个内角都是135。

②&？与停同类二次根式

③长度等于半径的弦所对的圆周角为30。

④反比例函数y=-2当xVO时，y随x的增大而增大.

x

A.1个B.2个C.3个D.4个

29.（2012•东营）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A,B两点，与反比例函数

尸用的图象相交于C,D两点，分别过C,D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E,F,连接

X

CF,DE.有下列四个结论：

①4CEF与ADEF的面积相等；©AAOB^AFOE；③△DCE^Z\CDF；④

其中正确的结论是（）

A.①②B.①②③C.①②③④D.②③④

专题一选择题解题方法参考答案

三、中考典例剖析

对应训练

1.C

解：设邀请x个球队参加比赛，依题意得l+2+3+...+x-l=10,即丛^——=10,.\x2-x-20=0,

2

，x=5或x=-4（不合题意，舍去5故选C.

2.D

解：当两个圆外切时，圆心距d=l+2=3,即P到O的距离是3,则2=±3.当两圆相内切时，

圆心距d=2-l=l,即P到O的距离是1,则@=±1.故a=±l或±3.故选D.

3.D

解：A.，・・P点坐标不知道，当PM=MO=MQ时，ZPOQ=90°,故此选项错误；

PMk

B.根据图形可得：ki>0,k2<0,而PM,QM为线段一定为正值，故工7=台，故此选项

QMk2

错误；

C.根据k1,k2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于X轴对称，故此选项错误;

故选：D.

4.C

5.A

6.D

解：，・,点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点，

・・・四边形ABCD是矩形，

・・♦四边形ABCD的面积是8,

・・・4x|-k|=8,

解得|k|=2,

又・・•双曲线位于第二、四象限，

.*.k<0,

：.k=-2.

故选D.

7.B.

四、中考真题演练

1.B

2.C

3.A

解：•••某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小

正方形的边长都为a,

；.AB=a,且NCAB=/CBA=45。,

..BCBCV2

..sin45=——=——=--,

ABa2

.\AC=BC=^X,

2_

.』

ABC=乙,X冬乙，浮乙Wq，

2

，正八边形周围是四个全等三角形,面积和为：-?Lx4=a2.

4

正八边形中间是边长为a的正方形,

阴影部分的面积为：a2+a2=2a2,

故选：A.

解：当P与0重合，

VA点在半径为2的。O上，过线段0A上的一点P作直线1,与。。过A点的切线交于点B,

且NAPB=60°,

；.A0=2,OP=x,则AP=2-x,

解得：AB=M(2-x)=-

X2

SAABP="|PAXAB=-1(2-x)=-|x-6x+6,

故此函数为二次函数，

3

Va=->0,

2

o2

...当x=-昌-―全2时，S取到最小值为：4ac-b=（）,

2a2X-4a

根据图象得出只有D符合要求.

故选：D.

5.B

解:根据题意得:7x+9y<40,

贝niljx<-4-0----9y

7

：40-9汹且y是非负整数，

，y的值可以是：1或2或3或4.

当x的值最大时，废料最少，

当y=l时，xs节，则x=4,此时，所剩的废料是：40-Ix9-4x7=3mm；

当y=2时，XV爷,则x=3,此时，所剩的废料是：40-2x9-3x7=lmm；

1R

当y=3时，x<—,则x=l,此时，所剩的废料是：40-3x9-7=6mm；

当y=4时，xs?则x=0（舍去）.

则最小的是：x=3,y=2.

故选B.

6.A

7.D

解：设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b.

把y=b代入y=2得，b=-,则x—,,即A的横坐标是号,；

xxbb

同理可得：B的横坐标是：-三

b

贝IJAB=2-（-a）=①.

bbb

则SoABCDn^xbV.

b

故选D.

8.A

9.A

10.D

11.D

12.A

13.A

14.C

15.D

16.D

17.A

解：如图，作ACJLx轴于C点，BD，y轴于D点,

.・•点A的坐标为（盯，1）,

AC=1,OC=^3，

••OA=Jg2+1”

ZAOC=30°,

OA绕原点按逆时针方向旋转30。得OB,

/.ZAOB=30°,OA=OB,

/.ZBOD=30°,

RtAOAC合RtAOBD,

DB=AC=1,OD=OC=A/3，

B点坐标为（1,勺%）.

故选A.

19.D

20.C

21.B

22.C

解：・・•△GEF是含45。角的直角三角板,

・•.ZGFE=45°,

Z1=25°,

ZAFE=ZGEF-Z1=45°-25°=20°,

•/ABIICD,

：Z2=ZAFE=20°.

故选C.

解：•.•OA=OB；分别以点A、B为圆心，以大于aAB长为半径作弧，两弧交于点C,

C点在NBOA的角平分线上，

・•.C点到横纵坐标轴距离相等，进而得出，m-l=2n,

即m-2n=l.

故选：B.

24.A

25.B

26.B

27.B

解：♦.・等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，，①是假命题；

如图，/（2和/口都对弦人8,但ZC和ND不相等，即②是假命题；

三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题;

垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题.

故选B.

28.C

2

解：①正八边形的每个内角都是：3义「-）-135。,故①正确；

②丫5/27=3V3>4一呼,

,病与点是同类二次根式；故②正确；

③如图：,.OA=OB=AB,

ZAOB=60°,

ZC=-ZAOB=30",

2

ZD=1800-ZC=150°,

.•.长度等于半径的弦所对的圆周角为：30。或150。；故③错误；

④反比例函数y=-Z,当x<0时，y随x的增大而增大.故④正确.

X

故正确的有①②④，共3个.

故选C.

o

D

29.C

解：①设D(x,-|),则F(x,0),

由图象可知x>0,

.•.△DEF的面积是：鼻条冈=2,

2x

设C(a,-),则E(0,-),

aa

由图象可知：-<0,a>0,

a

△CEF的面积是:昌=2,

2a

/.△CEF的面积=Z\DEF的面积，

故①正确；

@ACEF和4DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，

故EF〃CD,

；.FE〃AB,

/.△AOB^AFOE,

故②正确；

③•••C：、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数打❷的图象的交点,

X

/.x+3=~,

x

解得:x=-4或1,

经检验：x=-4或1都是原分式方程的解，

AD(1,4),C(-4,-1),

・・・DF=4,CE=4,

•・•一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A,B两点，

AA(-3,0),B(0,3),

，ZABO=ZBAO=45°,

VDF//BO,AO〃CE,

AZBCE=ZBAO=45°,ZFDA=ZOBA=45°,

・・・NDCE=NFDA=45°,

DF=CE

在ADCE和ACDF中.ZFDC=ZECD，

DC=CD

/.△DCE^ACDF(SAS),

故③正确；

④：BD〃EF,DF//BE,

四边形BDFE是平行四边形，

；.BD=EF,

同理EF=AC,

；.AC=BD,

故④正确；

正确的有4个.

2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题

一、中考专题诠释

所谓“新概念”型问题,主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、

新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、

迁移的一种题型.“新概念''型问题成为近年来中考数学压釉题的新亮点.在复习中应重视学生应

用新的知识解决问题的能力

二、解题策略和解法精讲

“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二

是根据问题情景的变化，通过认真思考•，合理进行思想方法的迁移.

三、中考典例剖析

考点一：规律题型中的新概念

例1（2012•永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1,3,9,19,33,…就

是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那

么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.如2,4,6,8,10就是一

个等差数列，它的公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数

列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1,3,9,19,33,它的后一个数与前一个

数的差组成的新数列是2,6,10,14,…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1,3,

9,19,33,…是一个二阶等差数列.那么，请问二阶等差数列1,3,7,13,…的第五个数

应是.

思路分析：由于3-1=2,7-3=4,13-7=6,…，由此得出相邻两数之差依次大2,故13的后一

个数比13大8.

解答：解：由数字规律可知，第四个数13,设第五个数为x,则x-13=8,解得x=21,即第五

个数为21,故答案为：21.

点评：本题考查了数字变化规律类问题.关键是确定二阶等差数列的公差为2.

对应训练

1.(2012•自贡)若x是不等于1的实数，我们把」一称为x的差倒数，如2的差倒数是—=-1,

1-x1-2

-1的差倒数为一--=现已知X尸-X2是XI的差倒数，X3是X2的差倒数，X4是X3

1-(-1)23

的差倒数，…，依次类推，则X2O12=.

考点二：运算题型中的新概念

ab

例2(2012•荷泽)将4个数a,b,c,d排成2行、2歹ij,两边各加一条竖直线记成

d

概念“b=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若'+11一1=8,则*=.

cd\-xx+1

思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为X

的值.

X+11—X

解：根据题意化简=8,得：(x+1)2一(1-X)2=8,整理得：X2+2X+1-(1-2X+X2)

1-xx+1

-8=0,即4x=8,解得:x=2.故答案为：2

点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去

括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键.

对应训练

2.(2012•株洲)若(xi,yi)•(x2)y2)=xix2+yiy2,则(4,5)•(6,8)=.

考点三：探索题型中的新概念

例3(2012•南京)如图，A、B是00上的两个定点，P是上的动点(P不与A、B重合)、

我们称/APB是。O上关于点A、B的滑动角.

(1)已知NAPB是(DO上关于点A、B的滑动角，

①若AB是。O的直径，则NAPB=。；

②若。。的半径是1,AB=、历，求NAPB的度数；

(2)已知02是。Oi外一点，以02为圆心作一个圆与。O1相交于A、B两点，NAPB是。

01上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交。02于M、N(点M与点A、点N与点B

均不重合)，连接AN,试探索/APB与/MAN、/ANB之间的数量关系.

'B

思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90。即可求解；

②根据勾股定理的逆定理可得NAOB=90。，再分点P在优弧前上；点P在劣弧京上两种情

况讨论求解；

（2）根据点P在。Oi上的位置分为四种情况得到/APB与/MAN、ZANB之间的数量关系.

解：（1）①若AB是。O的直径，则/APB=90.

②如图，连接AB、OA、OB.

在ZiAOB中，

VOA=OB=1.AB=&,

.,.OA2+OB2=AB2.

/AOB=90°.

当点P在优弧窟上时，ZAP1B=AZAOB=45°；

2

当点P在劣弧窟上时，ZAP2B=1（360。-ZAOB）=135。...6分

2

（2）根据点P在。O1上的位置分为以下四种情况.

第一种情况：点P在。02外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①

ZMAN=ZAPB+ZANB,

NAPB=NMAN-ZANB；

第二种情况：点P在。02外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②.

；NMAN=NAPB+NANP=/APB+（180°-ZANB）,

AZAPB=ZMAN+ZANB-180°；

第三种情况：点P在002外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③.

ZAPB+ZANB+ZMAN=180%

，NAPB=180°-ZMAN-ZANB,

第四种情况：点P在。02内，如图④，

ZAPB=ZMAN+ZANB.

点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，

注意分类思想的运用.

对应训练

3.(2012•陕西)如果一条抛物线y=ax?+bx+c(a^0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的

顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形(1)”抛物线三角形”

一定是三角形；(2)若抛物线y=-x?+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b

的值；(3)如图，AOAB是抛物线y=-x2+b，x(b(>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O

为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说

明理由.

考点四：开放题型中的新概念

例4(2012•北京)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点Pi(x”力)与P2(x2,y2)的

“非常距离”，给出如下概念：若|x「X2回yi-yd，则点Pi与点P2的“非常距离”为1x1*1；若因氏|

<|yi-y2|.则点Pi与点P2的'啡常距离”为lyi-yj例如：点Pi(1,2),点P2C,5),因为|1-3|

<|2-5|,所以点P,与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图1中线段PiQ与线段P?Q长度的

较大值(点Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于x轴的直线P2Q交点).(1)已知点A(-；,

0),B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B

3

的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=-x+3上的一

4

个动点，①如图2,点D的坐标是（0,1）,求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点

C的坐标；②如图3,E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非

思路分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0,y）.由“非常距离”的概念

可以确定|0-y|=2,据此可以求得y的值；②设点B的坐标为（0,y）.因为卜;-0闫0-外所以

113

点A与点B的“非常距离”最小值为卜一@=一；⑵①设点C的坐标为Cxo,-xo+3），根据

224

材料"若慢』|沙|至1，则点Pi与点P2的“非常距离”为同利”知，C、D两点的“非常距离”的最

小值为_xo=—3xo+2,据此可以求得点C的坐标；②当点E在过原点且3与直线卢1x+3垂直的

44

34

直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即EJ-,-）,解答思路同上.

55

解：（1）①，.出为y轴上的一个动点，，设点B的坐标为（0,y）.，|0-y|=2,

3_33

①,.，C是直线y=—x+3上的一个动点，，设点C的坐标为（xo，—X（）+3）J—x（）+2.此

444

QQ8153

时，xo=2,,•.点c与点D的“非常距离”的最小值为：此时C（-2,—）；②E（一,

77775

4、

一）*

5

334889

-----xo=-x（）+3—，解得，xo=—,则点C的坐标为（—，—）,最小值为1.

545555

点评：本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件.本

题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键.

对应训练

4.（2012•台州）请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a㊉b”，使得下列算式成立：

74

1©2=2®1=3,（-3）©（-4）=（-4）®（-3）（-3）©5=5©（-3）=，...

615

你规定的新运算a3b=（用a,b的一个代数式表示）.

考点五：阅读材料题型中的新概念

例5（2012•常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O,且/BOD=150。（如图），现按

如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：（1）点O的“距离坐标''为（0,0）；（2）在直线CD

上，且到直线AB的距离为p（p>0）的点的“距离坐标”为（p,0）；在直线AB上，且到直线

CD的距离为q（q>0）的点的“距离坐标”为（0,q）；（3）至直线AB、CD的距离分别为p,

q（p>0,q>0）的点的“距离坐标”为（p,q）.设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m,

n）,根据上述对点的''距离坐标''的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：①

满足m=l,且n=0的点M的集合；②满足m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直

线CD垂直的直线1上，求m与n所满足的关系式.（说明：图中01长为一个单位长）

思路分析：（1）①以O为圆心，以2为半径作圆，交CD于两点，则此两点为所求；②分别

作NBOC和/BOD的角平分线并且反向延长，即可求出答案；（2）过M作MN_LAB于N,

MNm

根据已知得出OM=n,MN=m,求出NNOM=60。，根据锐角三角函数得出sin6（T=——=—,

OMn

求出即可.

解:（I）①如图所示:

(0除外)为所求；(2)如图:

VM的“距离坐标”为(m,n),

；.OM=n,MN=m,VZBOD=150°,直线I_LCD,/.ZMON=150°-90°=60°,在Rt^MON中,

sin6(T=M^=丝，即m与n所满足的关系式是：m=——