《曲线与方程》教学设计

13/132.1曲线与方程2.1.1曲线与方程（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3.学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.（二）学习重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.（三）学习难点怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第34页至第35页.（2）想一想：什么是曲线的方程与方程的曲线？（3）写一写：以前学习过的直线的方程与圆的方程.2.预习自测1.如果曲线上的点的坐标满足方程，则下面说法正确的是（）A.曲线的方程是B.方程的曲线是C.坐标不满足方程的点不在曲线上D.坐标满足的点在曲线上【知识点】曲线的方程与方程的曲线.【解题过程】利用曲线与方程的关系判断，条件中曲线上的点的坐标都是方程的解，满足了曲线和方程的概念条件，而且阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，故C正确.【思路点拨】有关曲线方程与方程曲线应正确理解概念的两方面内容.【答案】C（二）课堂设计1.新知讲解探究一结合实例，认识曲线与方程●活动①归纳提炼概念在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线.引例1：作出方程x-y=0表示的直线.借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足：（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形）方程（数量）变式：作出函数的图象.类比方程与如图所示的抛物线.这条抛物线是否与这个二元方程也能建立这种对应关系呢？（按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？现在请同学们思考这样的问题：【设计意图】培养学生由特殊到一般的解决问题的方法，以及归纳概括的能力.方程F(x,y)=0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程F(x,y)=0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x,y)=0,为什么要具备这些条件？引例2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？（1）（2）（3）方程（1），（2），（3）都不是表示曲线C的方程.第（1）题中曲线C上的点不全是方程的解.例如点A(-2,-2)，等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程的解为坐标的点却不全在曲线C上.例如D(2,-2)、等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程的解坐标的点，如G(-3,3)、等不在曲线C上，又有曲线C上的点，如M(-3,-3)、N(-1,-1)等的坐标不是方程的解.事实上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况.上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系.假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了.在下定义时，针对例2（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定“曲线上的点的坐标都是方程的解”；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（纯粹性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.请大家思考：如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义.关系（1）指点集C是点集F的子集；关系（2）指点集F是点集C的子集.这样，根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即探究二判断曲线的方程例1证明与两条坐标轴的距离之积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是.【知识点】曲线的方程.【解题过程】（1）设是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴的距离为，与y轴的距离为，所以即是方程的解.（2）设的坐标是方程的解，那么即.而正是点到x轴，y轴的距离，因此点到两条直线的距离的积是常数k，点是曲线上的点.由（1）（2）可知，是与两条坐标轴的距离之积是常数k(k>0)的点的轨迹方程.【思维点拨】先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.例2分析下列曲线上的点与相应方程的关系：（1）过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程之间的关系；（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系.【知识点】曲线的方程与方程的曲线的概念.【解题过程】（1）过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程的解，但以方程的解的坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上，因此，不是过点A(2,0)平行于y轴的直线方程.（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5，如(x,y)=(-1,5)，但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5，因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5.【思维点拨】定义中的两个条件缺一不可，是不可分割的.同类练习已知方程的曲线经过点和，求的值.【知识点】曲线的方程与方程的曲线的概念.【解题过程】曲线过点A、B，则A、B点的坐标为方程的解，故有，解得：.【思维点拨】根据曲线的方程定义可知：曲线上的点都是方程的解，从而可以建立方程求解a,b.例3.指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）；（2）；（3）；【知识点】本题考查如何理解方程表示的曲线.【解题过程】（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y轴的直线；（2）因为故方程表示的曲线为一条射线和一条直线.（3）因为故方程表示的曲线为一条射线（除去端点）和一条直线.【思路点拨】根据曲线方程的定义进行分析时，要保证所求得曲线的纯粹性和完备性.我们所说的曲线是指广义的曲线，它可以是一般的曲线，也可以是直线、线段，甚至是一个点.对于表达式要通过合理的变形化简得到.3.课堂总结知识梳理在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.重难点归纳（1）定义中的两个条件缺一不可，曲线的方程与方程的曲线这两个概念是同时成立的.（2）从充要条件的角度理解，即“某点在曲线上”与“点的坐标满足曲线的方程”之间是互为充要条件的.（三）课后作业基础型自主突破1．方程(2x－y＋2)eq\r(x2＋y2－1)＝0表示的曲线是（）A．一个点与一条直线 B．两条射线和一个圆C．两个点 D．两个点或一条直线或一个圆【知识点】曲线的方程.【解题过程】原方程等价于x2＋y2－1＝0，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0,x2＋y2－1≥0))，故选B.【思路点拨】观察等式左边等于零的条件即可.【答案】B2．如图，曲线的方程与图中曲线对应正确的是（）【知识点】方程的曲线.【解题过程】A中方程x2＋y2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A错；B中方程x2－y2＝0可化为(x－y)(x＋y)＝0，表示两条直线x－y＝0，x＋y＝0，故B错；C中方程lgx＋lgy＝1可化得y＝eq\f(1,x)(x>0)，此方程只表示第一象限的部分，故C错．【思路点拨】注意限制条件即可.【答案】D3．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于（）A．±3 B．0C．±2 D．一切实数【知识点】曲线的方程.【解题过程】两直线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.【思路点拨】直接求解即可.【答案】A4．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是（）【知识点】方程的曲线.【解题过程】方程等价于，故方程的曲线为B.【思路点拨】将方程等价变形再判断.【答案】B5．方程y＝eq\r(x2－2x＋1)所表示的图形是________．【知识点】曲线的方程.【解题过程】原方程等价于y＝|x－1|⇔x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)．【思路点拨】整理求解即可.【答案】两条射线x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)6．给出下列结论：①方程eq\f(y,x－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为-2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝-2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是________．【知识点】曲线的方程.【解题过程】方程eq\f(y,x－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且抠除点(2,0)，故①错；到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，故②错；方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．【思路点拨】逐个考虑即可.【答案】③能力型师生共研1．动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为（）A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．若x≥3，则y2＝4x；若x<3，则y2＝－12(x－4)D．若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)【知识点】曲线的方程.【解题过程】设P(x，y)，由题意得.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【思路点拨】设P点代入求解即可.【答案】D2．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么（）A．点P在直线l上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线l上C．点P既在圆M上，也在直线l上D．点P既不在圆M上，也不在直线l上【知识点】曲线的方程.【解题过程】将P(2,1)代入圆M和直线l的方程得，(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.【思路点拨】将P点代入求解即可.【答案】C探究型多维突破1．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝eq\r(1－x2)有两个公共点，求b的取值范围．【知识点】方程的曲线.【解题过程】解法一：由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,y＝\r(1－x2)(y≥0).))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＋y2＝1(y≥0).))消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得解得1≤b<eq\r(2).解法二：在同一直线坐标系内作出y＝x＋b与y＝eq\r(1－x2)的图形，如图所示，易得b的范围为1≤b<eq\r(2).【思路点拨】由几何关系求解即可.【答案】见解析2．画出方程(x＋y－1)eq\r(x－y－2)＝0所表示的曲线．【知识点】方程的曲线.【解题过程】方程(x＋y－1)eq\r(x－y－2)＝0可等价变形为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))或x－y－2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x≥\f(3,2).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))表示射线x＋y－1＝0(x≥eq\f(3,2))．∴原方程表示射线x＋y－1＝0(x≥eq\f(3,2))和直线x－y－2＝0，如下图所示．【思路点拨】化简后作图即可.【答案】见解析自助餐1．方程x2＋xy＝x所表示的图形是（）A．一个点 B．一条直线C．两条直线 D．一个点和一条直线【知识点】方程的曲线.【解题过程】原方程等价于x(x＋y－1)＝0⇔x＝0或x＋y－1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线．【思路点拨】整理求解即可.【答案】C2．若曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个交点，则（）A．m∈R B．m∈(－∞，1)C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)【知识点】方程的曲线.【解题过程】两方程联立得x的二次方程，由Δ>0可得m>1.【思路点拨】联立求解即可.【答案】D3．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是（）A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋eq\f(3,2))2＋y2＝1【知识点】方程的曲线.【解题过程】设