甘肃省平凉市静宁县2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（解析）

第页，共页2024--2025学年第二学期高一年级第一次月考数学试卷试卷满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题往上填写清楚.2.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效.第Ⅰ卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得集合，求函数的定义域求得集合，由此求得.【详解】因为，所以.故选：B2.是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据，由可得或，即可得到答案.【详解】当时，，所以是的充分条件，当时，或，所以不是必要条件，所以是的充分不必要条件.故选：A.3.设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指对数函数的单调性，将其与比较即得的大小关系.【详解】，故.故选：C.4.已知正数满足，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题设可得，再根据基本不等式“1”妙用求解即可.【详解】因为正数满足，所以，即，则，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为.故选：B.5.幂函数都有成立，则下列说法正确的是（）A. B.或C.是偶函数 D.是奇函数【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果.【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或，因为，都有成立，所以该函数在是减函数，所以，故A，B错误；，定义域为，定义域关于原点对称，又，所以是奇函数，故D正确，C错误.故选：D.6.如今科技企业掀起一场研发大模型的热潮，大规模应用成为可能，尤其在图文创意，虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的两种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量增加一倍时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，得出与的关系，再将代入解析式中，利用前面关系从而求值.【详解】因为，解得：，；；；所以将代入得：.故选：.7.函数的图象在区间上恰有2个最高点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得到，结合正弦函数性质构造不等式即可求解.【详解】解：由于，所以，由于图象在区间上恰有2个最高点，则，解得：.所以的取值范围为；故选：A8.设函数与函数的图象在内交点的横坐标依次是，且，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，从而求得正确答案.【详解】由题意可知，所以，又，所以，则，所以，因为，解得.故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项行合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.命题“”的否定形式是“”B.函数且的图象过定点C.方程的根所在区间为D.若命题“恒成立”为真命题，则“或”【答案】BC【解析】【分析】A.按照规则写出全称命题的否定；B.令真数取，则可求出定点；C通过零点存在性定理判断函数的零点个数；D利用即可判断.【详解】对于A，命题“”的否定形式是“”，故A项错误；对于B，当时，，此函数值与无关，则函数图象过定点，故B项正确；对于C，令，则函数在上单调递减，又，，则由零点存在性定理可知，则函数在区间内存在唯一一个零点，即方程的根所在区间为，故C项正确；对于D项，命题“恒成立”为真命题，得，解得，故D项错误.故选：BC10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.的图像关于直线对称B.的图像关于点对称C.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】首先根据题意得到，对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确.【详解】由图可知：的最小正周期，当时，，所以；对于A，，正确；对于B，，错误；对于C，将向右平移，得到，正确；对于D，的大致图像如下：欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确；故选：ACD.11.已知函数，若存在四个实数，使得，则（）A.的范围为B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】作出图形，由题意可得、，结合图形，利用对数的运算性质、基本不等式、函数与方程，依次计算判断选项即可.【详解】函数的图象如图所示：对于A，由图知，函数与交于四个交点，则，故A正确；对于B，因为，则，由于，则，所以，则，且，由于，由可得或，所以，又，则，所以，且，所以，则，故B错误；对于C，由上分析可得，由，得，则，因函数在上为增函数，则，则，所以，故C正确；对于D，，设，则，则在上为增函数，所以，即，故D错误.故选：AC【点睛】思路点睛：先数形结合，分别确定四个实数各自的取值范围，再由已知找到；在判断范围时分别用到了两个函数和的单调性求值域.第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知扇形的面积为8，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________.【答案】12【解析】【分析】根据弧长公式及扇形面积公式列式计算求出，即可得出扇形周长.【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，由于扇形圆心角的弧度数是4，则，又因为，即，所以.故其周长.故答案为：12.13.在中，，点是上的一点，若，则实数的值是__________.【答案】【解析】【分析】设，利用平面向量的线性运算可得出，，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.【详解】如下图所示：因为为上的一点，设，即，所以，，因，则为线段的中点，则，，因、不共线，故，解得.故答案为：.14.对于函数，若在其定义域内存在两个实数，使当时，值域也是，则称函数为“保值”函数，区间称为函数的“等域区间”.（1）请写出一个满足条件的“保值”函数：______（2）若函数是“保值”函数，则实数k的取值范围是______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）单调函数，定义域与值域一样，固然想到（2）根据判断的单调性，转化为关于的方程的两个实数根.【详解】（1）由题意得方程至少有两个根，设函数（2）因为是增函数，若是“保值”函数，则存在实数，使即所以是关于的方程的两个实数根，从而方程有两个不相等的实数根.令，则函数在上单调递减，在上单调递增，，根据二次函数的图象可知，当且仅当时，直线与曲线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故实数的取值范围是.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设是不共线的两个向量.（1）若，求证：三点共线；（2）若与共线，求实数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证；（2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出方程组求解即可.【小问1详解】证明：，，又因为与共线，且有公共端点,所以三点共线.【小问2详解】因为与共线，所以存在实数，使得即.由与不共线，可知，解得所以即实数的值为或.16.已知函数为奇函数，其中.（1）求和实数的值；（2）若满足，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）代值计算即可求得，根据奇函数的定义求解即可；（2）易得函数的定义域为，再结合复合函数的单调性可得函数在上为减函数，进而求解不等式即可.【小问1详解】由，则；因为函数是奇函数，所以，即，即，则，所以，又因为，所以.【小问2详解】由（1）知，由，解得，则的定义域为，因为，所以在上为减函数，又因为，即，则，解得，所以实数的取值范围为.17.已知函数的最大值为.（1）求的值和的对称轴；（2）求在上的单调递减区间；（3）若，成立，求的取值范围.【答案】（1），的对称轴方程为（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用函数的最大值可求得的值，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程；（2）由可求出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求出函数在上的减区间；（3）由题意可知，，利用正弦型函数的基本性质求出函数在区间的最大值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】由题知，因为的最大值为，所以，可得，所以，由得.所以函数的对称轴方程为.【小问2详解】因为，令，则，因为的单调递减区间是，由，得，所以在的单调递减区间是.【小问3详解】由题意知，由，可得，故当时，函数取最大值，所以，，因此，实数的取值范围是.18.如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点和，已知点的坐标为.（1）若，求点的坐标；（2）若将角的终边按逆时针方向旋转至第一象限，且为锐角，，求的大小.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出，再结合任意角的三角函数的定义与诱导公式求解即可；（2）利用二倍角的正切公式求得，利用同角的三角函数求得，利用两角和的正切公式求得，进而求得的大小.【小问1详解】因为点在单位圆上，利用三角函数的定义，解由三角函数的定义知，因为，且，所以所以故【小问2详解】因为，所以，因为，且，所以因为，，所以，所以，因为，且，所以；因为，且，所以.19.设n次多项式（），若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比留夫多项式.（1）由的表达式求；（2）由第一问结论求的值；（3）方程在上有三个不同的根，记为，，，求证.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（