广东省东莞市第十一中学2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试卷（解析）

第页，共页2024-2025学年东莞市第十一中学高一下学期第一次段考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列量中是向量的为（）A.长度 B.宽度 C.频数 D.摩擦力【答案】D【解析】【分析】利用向量的定义判断即可．【详解】向量是既有大小，又有方向的量，因为长度，宽度，频数只有大小，没有方向，摩擦力既有大小，又有方向，所以摩擦力是向量.故选：D2.已知是虚数单位，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法化简复数即可.【详解】因为，则.故选：A.3.若正方形的边长为，则斜二测画法所得直观图的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法基本原理可得所需长度和角度，由此计算即可.【详解】斜二测画法所得直观图为平行四边形，如下图所示，其中，，，直观图面积.故选：B.4.下列几何体为旋转体的是（）A三棱锥 B.四棱台 C.五棱柱 D.圆柱【答案】D【解析】【分析】根据旋转体定义得解.【详解】根据旋转体的定义知，圆柱为旋转体.故选：D.5.已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出母线长和底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式即可得解.【详解】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为，所以圆锥的侧面积为.故选：A.6.在中，（，，分别为角，，的对边），则是（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解.【详解】由，得，整理得，在中，由射影定义得，则，而，因此，又，则，所以是直角三角形.故选：B7.已知梯形ABCD中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，表示出的坐标，然后求解其数量积，由二次函数的性质可求得其最小值【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，因为梯形ADBC中，，，，所以，不妨设，，则，所以当时，取得最小值，故选：D．8.在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，恒成立，将该不等式两边平方可得到恒成立，结合二次函数的最值，即可得，从而可得答案.【详解】由题意可得，，，若，恒成立，则，恒成立，即恒成立，即恒成立，而，时等号成立，故，即，故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的模等于13 B.z在复平面内对应的点位于第四象限C.z的共轭复数为 D.若是纯虚数，则【答案】BD【解析】【分析】根据复数的模值运算、坐标表示、共轭复数的定义进行逐项判断，即可求解.【详解】解：由题意得：对于选项A：，故A错误；对于选项B：z在复平面内对应的点的坐标表示为，位于第四象限，故B正确；对于选项C：根据共轭复数的定义z的共轭复数为，故C错误；对于选项D：，若是纯虚数，则，解得：，故D正确.故选：BD10.已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（）A. B.C.与可以作为一组基底 D.向量在向量上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】求出向量的模判断A；求出的坐标判断B；利用基底的定义判断C；求出投影向量判断D.【详解】对于A，由，得，A错误；对于B，，B错误；对于C，，与不共线，则与可以作为一组基底，C正确；对于D，，向量在向量上的投影向量，D错误.故选：ABD11.设、均为单位向量且夹角为，则（）A. B.的最小值为C.的最小值为 D.对任意实数有恒成立【答案】BCD【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质逐项判断即可.【详解】因为、均为单位向量且夹角为，所以.对A：，故A错误；对B：，当且仅当时，的最小值为，故B正确；对C：，当且仅当时，取得最小值，故C正确；对D：因为，，当且仅当时，等号成立，故对任意的实数，恒成立，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数是关于的方程的一个根，则______.【答案】0【解析】【分析】根据给定条件，求出方程的另一根，再利用韦达定理定理求得答案.【详解】由复数是关于的方程的一个根，则该方程的另一根为，于是，解得，所以.故答案为：013.已知，是不共线向量，，，，若，，三点共线，则______.【答案】13【解析】【分析】运用三点共线，再运用向量相等列方程消去m可得结果.【详解】因为A，B，C三点共线，所以设，即：，所以，消去m得：.故答案为：1314.在中，的平分线交AC于点D，，则周长的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】根据等面积法得，进而结合基本不等式得，，当且仅当时等号成立，再结合余弦定理得，当且仅当时等号成立，进而得周长最小值.【详解】根据题意，设，，因为，，，，所以，即，所以，因为根据基本不等式有，所以，，当且仅当时等号成立，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.所以周长的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数.（1）求；（2）若复数、在复平面内对应的向量分别为、，求向量对应的复数.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用复数的除法可化简得出复数；（2）求出向量的坐标，即可得出向量对应的复数.【小问1详解】【小问2详解】由复数的几何意义得，，则，所以向量对应的复数为.16已知向量．（1）求；（2）求与夹角的大小；（3）求．【答案】（1）5，（2），（3）5【解析】【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为，所以，（2）设与夹角为，则，因为，所以，所以与夹角的大小为，（3）因，所以，所以17.在中，内角的对边分别为，满足，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得，再利用三角形的内角和性质以及诱导公式即可求解.（2）根据余弦定理求出，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）由正弦定理知，，因为，所以，由，故.因为，所以.（2）由余弦定理及知.，，，..18.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.（1）求与两点间的距离；（2）求塔高.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可得到答案；（2）在中，根据三角函数定义即可得到答案.【小问1详解】在中，，由正弦定理得，.【小问2详解】由（1）知，中，19.在直角梯