专题12《立体图形的体积》解析

2022-2023学年六年级奥数举一反三典型题检测专题12立体图形的体积试卷满分：100分考试时间：100分钟一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）如图，两个长方体容器（A）、（B），其长、宽、高如图所示（单位：厘米）．容器A中没有水，B中水深30厘米．要将容器B中的水倒一部分给A，使两个容器中水的高度相同，这时水深为（）厘米．A．15 B．12 C．10 D．8【思路引导】在这个变化过程中水的体积没有变化，原来水的体积等于右边的底面积×高，现在水的体积就是两个底面积之和×高，抓住这个关系进行解题．【完整解答】解：设现在水的高度是a厘米30×40×a+30×20×a＝30×20×301800a＝18000a＝10故选：C。【考察注意点】解决此类题目要从变化中找出不变的量，抓住不变量解题．2．（2分）有一个箱子，它的底部是正方形，长、宽、高都是整数，它的体积为144，则这个箱子的尺寸可以有（）种．A．4 B．5 C．6 D．8【思路引导】根据长方体的体积公式：v＝abh或v＝sh，已知它的底部是正方形，长、宽、高都是整数，它的体积为144，144必须是底面积的倍数，由此得出底面边长是1、2、3、4、6、12．据此解答．【完整解答】解：根据分析可知：底面边长是1、2、3、4、6、12．它的高分别是：144÷12＝144，144÷22＝36，144÷33＝16，144÷42＝9，144÷62＝4，144÷122＝1，所以这个箱子的尺寸可以有6种情况．故选：C。【考察注意点】此题主要考查长方体的体积公式、正方形的面积公式的灵活运用．3．（2分）君君家为了节约用水，于是在马桶水箱内放了一个长0.22米、宽10厘米、高0.05米的铁块。马桶水箱长、宽分别是42厘米、15厘米，注满水的水位是0.26米，则冲水一次需要用掉_____立方厘米的水。（）A．17480 B．16380 C．13280 D．15280【思路引导】马桶放入铁块后，会少装和铁块体积相同的水；所以直接用马桶的容积减去铁块的体积，直接计算即可。【完整解答】解：0.22米＝22厘米，0.05米＝5厘米，0.26米＝26厘米；42×15×26＝16380（立方厘米）；22×10×5＝1110（立方厘米）；16380﹣1110＝15280（立方厘米）。故选：D。【考察注意点】本题切入点为马桶放入铁块后，会少装和铁块体积相同的水，直接用马桶原来的蓄水量减去铁块的体积计算即可。4．（2分）如图，从长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角分别剪去一个边长为2厘米的小正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器，这个容器的体积是_____立方厘米。（）A．80 B．85 C．90 D．95【思路引导】首先根据题意，用长方形硬纸板的长减去正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的长是多少；然后用长方形硬纸板的宽减去正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的宽是多少；最后根据长方体的容积＝长×宽×高，求出这个纸盒的容积是多少立方厘米即可。【完整解答】解：（13﹣2×2）×（9﹣2×2）×2＝9×5×2＝90（立方厘米）答：这个容器的体积是90立方厘米。故选：C。【考察注意点】此题主要考查了长方体的底面积和体积的求法，要熟练掌握，解答此题的分别求出长方体纸盒的长、宽、高各是多少。5．（2分）有一个长方体容器（如图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米．如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是（）厘米．A．18 B．12 C．22 D．6【思路引导】先根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体玻璃箱内水的体积，由于玻璃箱内水的体积不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度，然后即可解答．【完整解答】解：30×20×6÷（20×10）＝3600÷200＝18（厘米），故选：A。【考察注意点】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃箱的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度．6．（2分）在内壁长30厘米，宽20厘米，深15厘米的长方体容器内，倒入6升水，水位线离这个容器上边的距离是（）A．5厘米 B．10厘米 C．15厘米 D．20厘米【思路引导】根据长方体的体积公式：V＝sh，用水的体积除以长方体的底面积求出水的深（高），然后用长方体容器的高减去水的高即可．【完整解答】解：6升＝6000立方厘米，15﹣6000÷（30×20）＝15﹣6000÷600＝15﹣10＝5（厘米）故选：A。【考察注意点】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，注意：容积单位与体积之间的换算．7．（2分）有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30升．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见图）．瓶现有饮料（）升．A．26 B．25 C．24 D．30【思路引导】无论是正放还是倒置，饮料的体积没有变化，如果将左图的空白部分置换成右图的空白部分，则变成一个高为25厘米的圆柱，则水的高度就变成圆柱高的．【完整解答】解：30×＝24（立方分米）答：瓶内现有饮料24立方分米．故选：C。【考察注意点】此题主要采用置换的方法，化不规则为规则．8．（2分）用一个长41厘米、宽16厘米、高37厘米的长方体木箱，用来装棱长为6厘米的正方体的铁盒，最多可装（）个．A．76 B．72 C．73 D．74【思路引导】以长41厘米为边，可以放41÷6＝6个…5厘米，以宽16厘米为边，可以放16÷6＝2个…4厘米，以高37厘米为边，可以放37÷6＝6个…1厘米，由此再利用长方体的体积公式即可计算最多可以放的总个数．【完整解答】解：41÷6＝6（个）…5（厘米），16÷6＝2（个）…4（厘米），37÷6＝6（个）…1（厘米），6×2×6＝72（个），答：最多装72个．故选：B。【考察注意点】解答此题关键是先分别求出长方体箱子的长宽高处最多能放几个小正方体，再利用长方体的体积公式求出小正方体的总个数．二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）9．（2分）模具厂用铁块铸成一个如下图所示的长14分米、宽10分米、高4分米的长方体无盖水箱，且底面和四壁均厚1分米。则注满水箱需用水288立方分米。【思路引导】由题可知，内部长方体的长为14﹣1×2＝12（分米），宽为10﹣2×1＝8（分米），高为4﹣1＝3（分米）；再根据长方体的体积公式计算即可。【完整解答】解：长为14﹣1×2＝12（分米），宽为10﹣2×1＝8（分米），高为4﹣1＝3（分米）；容积为：12×8×3＝288（立方分米）。故答案为：288立方分米。【考察注意点】本题的关键在于内部长方体的长、宽分别在原来的基础上减去2分米，高则只减去1分米。10．（2分）把正方体用一个与它的一面平行的平面切开，分成A、B两个长方体．当A、B的表面积之比为3：5时，如果A长方体的体积为312cm3，那么B长方体的体积为936cm3．【思路引导】设原正方体的每个面的面积为S，则原正方体的表面积为6S，将其分成A、B两个长方体时，此时两个长方体的表面积之和是8S，根据表面积之比是3：5，求到A的表面积是3S，B的表面积是5S．这样可知A的上下前后四个面的面积和为3S﹣2S＝S，B的上下前后四个面的面积和是5S﹣2S＝3S，因此这两个长方体的宽之比是S：3S＝1：3，它们的长和高分别相等，所以体积比也就是1：3．【完整解答】解：设原正方体的每个面的面积为S．6S+2S＝8S8S÷（3+5）×3＝3S8S﹣3S＝5S（3S﹣2S）：（5S﹣2S）＝1：3312÷1×3＝936（平方厘米）故答案为：936．【考察注意点】此题的关键是求出两个长方体的体积之比，这个比等于这两个长方体的宽之比，而宽之比又等于上下前后四个面的面积和之比．11．（2分）如图是由若干个2cm×2cm×2cm的小立方体组成的立体图形，其中阴影部分是中空的通道．那么，这个立体图形的体积是304cm3．【思路引导】最上面一层有4×4﹣3＝13个小立方体，第二层有13﹣5﹣2＝6（个）小立方体，第三层有13﹣2﹣5＝6（个），最下面一层有13个，这样一共有13+6+6+13＝38（个）小立方体，然后求出体积．【完整解答】解：最上面一层有4×4﹣3＝13（个）小立方体第二层有13﹣5﹣2＝6（个）小立方体第三层有13﹣2﹣5＝6（个）小立方体最下面一层有13个小立方体这样一共有13+6+6+13＝38（个）小立方体2×2×2×38＝304（立方厘米）故答案为：304．【考察注意点】此题的关键是分析每一层有多少个小立方体，在分析的时候要做到不重复无遗漏．12．（2分）已知长方体M的长、宽、高的比是5：4：3，M的所有棱长之和为240厘米，则M的体积是7500立方厘米．【思路引导】长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，相对的面的面积相等，长方体的棱长总和＝（a+b+h）×4，据此即可求出这个长方体的长、宽、高的和，进而利用按比例分配的方法即可分别求出这个长方体的长、宽、高；再根据体积公式是V＝abh；把数据代入公式解答即可．【完整解答】解：240÷4＝60（厘米）3+4+5＝1260×＝15（厘米）60×＝20（厘米）60×＝25（厘米）15×20×25＝7500（立方厘米）故答案为：7500．【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体的棱长总和公式、体积公式及应用，关键是熟记公式，重点是利用按比例分配的方法求出长、宽、高．13．（2分）有一个长方体，如果把这个长方体的长变为原来的3倍，宽变为原来的5倍，高不变，那么这个新的长方体的体积是原来长方体的体积的15倍。【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高，根据体积公式和积的变化规律，一个长方体的长扩大为原来的3倍，宽扩大为原来的5倍，高不变，体积扩大（3×5）倍．据此解答。【完整解答】解：3×5＝15答：这个新的长方体的体积是原来长方体的体积的15倍。故答案为：15。【考察注意点】此题考查长方体体积的计算方法和积的变化规律的运用。14．（2分）如图，将一根长10米的长方体木块锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，这根长方体木块原来的体积是1000立方分米．【思路引导】首先分析长方体木块锯成6段需要5次横截面增加10个面，求出一个横截面的面积再乘以长度即可．【完整解答】解：依题意可知：将一根长10米的长方体木块锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，变面积增加了10个面，那么每一个面的面积为100÷10＝10平方分米．10米＝100分米．体积为：10×100＝1000（立方分米）．故答案为：1000【考察注意点】本题考查对立方体的体积的理解和运用，关键是找到100平方分米对应的是10个面．问题解决．15．（2分）有大、小两个正方体水池，它们的棱长分别是6米、3米．把一堆碎石完全沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了3厘米．如果将这堆碎石完全沉浸在小水池的水里，小水池的水面升高了12厘米．（注意：原来水池并没有装满，但有足够多的水，并且水从未溢出）【思路引导】水面升高的那部分水的体积就是这堆碎石的体积，根据长方体的体积公式即可求出；然后用这堆碎石的体积除以小正方形水池的底面积即可求出．【完整解答】解：6米＝600厘米、3米＝300厘米600×600×3＝1080000（立方厘米）1080000÷（300×300）＝12（厘米）故答案为：12．【考察注意点】此题关键是理解水面升高部分的体积就是不规则物体的体积，再利用体积公式解答即可．16．（2分）有一个空着的长方体容器A和装有8厘米深水的长方体容器B（如图）．将容器B中的水倒一部分到A容器，使A、B两个容器水一样深，这时B容器水深6厘米．【思路引导】根据长方体的体积公式分别求出容器B中水的体积，因为使A、B两个容器水一样深，所以分配的水的体积比，等于它们的底面积的比，即（20×10）：（30×20）＝1：3；然后根据按比例分配的方法求出B容器中水的体积，再根据体积公式求出水深即可．【完整解答】解：30×20×8＝4800（立方厘米）（20×10）：（30×20）＝1：34800×＝3600（立方厘米）3600÷（30×20）＝3600÷600＝6（厘米）答：这时B容器水深6厘米．故答案为：6．【考察注意点】此题考查了长方体的容积公式的计算应用，抓住水的体积不变是解决问题的关键．17．（2分）如图，水深7米，那么此容器还能装立方米的水（π取3）．【思路引导】此题圆锥与已装水（也是一个圆锥）的高度比是7：5，所以体积比是（7×7×7）：（5×5×5），由此再根据圆锥的体积，可以求出圆锥部分还可以装多少水．圆柱的容积直接运用公式求出．【完整解答】解：圆柱部分的容积4×4×3×3＝144（立方米）圆锥的容积4×4×3×7÷3＝112（立方米）圆锥的容积与水体积之比（7×7×7）：（5×5×5）＝343：125圆锥上面空的部分大小：343﹣125＝218112÷343×218＝（立方米）还能装的水144+＝（立方米）故填【考察注意点】此题的关键求出圆锥的容积和水的体积之比，然后将圆锥按比例分配求解．18．（2分）如图，有一个棱长是10厘米的正方体木块，从它的上面、前面和左面的中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔，穿孔后，木块剩余部分的体积是648立方厘米．【思路引导】根据题干可得，这个图形剩下的体积等于原正方体的体积减去3个长宽高分别是4厘米、4厘米、10厘米的小长方体的体积，因为最中间的边长为4厘米的小正方体被多减了2次，所以再加上2个边长4厘米的小正方体的体积，就是这个图形剩下的体积．【完整解答】解：由分析可知：木块剩余部分的体积是10×10×10﹣4×4×10×3+4×4×4×2＝1000﹣480+128＝648（立方厘米）故答案为648．【考察注意点】解答此题的关键是明确剩下的体积比原来正方体的体积减少了哪几个部分．19．（2分）如图1所示，一个正方体的密闭容器，每条边的长度均为20厘米，容器内盛有一些水，在容器的底部接着一个长方体实心铁块，铁块的上表面刚好与水面持平，当把容器倒置如图2所示（此时铁块仍有一部分在水面以下），量得水面高度为12厘米，已知容器底面积是长方体底面积的16倍，则开始时水面高度为12.5厘米．【思路引导】利用等体积转化，建立方程，即可得出结论．【完整解答】解：由题意，容器底面积是20×20＝400平方厘米，长方体底面积是400÷16＝25平方厘米，设开始时水面高度为x厘米，则水的体积为（400﹣25）x＝375x立方厘米．把容器倒置水的体积为20×20×12﹣25（x﹣8）＝5000﹣25x，所以5000﹣25x＝375x，所以x＝12.5厘米．故答案为12.5．【考察注意点】本题考查立体图形的体积，考查等体积转化方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（2分）将一个长宽高都是整数厘米（均大于3）且具有足够大的密度的长方体表面进行染色，然后切成1x1x1的小正方体，发现有2013个小正方体的6个面都没有染色．将其中两个面染色的小正方体排成一个新长方体，放入一个开口的大水缸中．大水缸的长为15厘米，宽为5厘米，高为8厘米，里面本来就放有一些水，水面高度为5厘米．由于新长方体的放入，水面高度上升了一些．则水面上升的最大高度减去水面上升的最小高度为厘米．【思路引导】首先判断出两个面染色的小正方体有（3+11+61）4＝300个．接下来分两种特殊情形分别求解即可．【完整解答】解：将2013拆成3个大于1的正整数的乘积只能是2013＝3×11×61；即6个面都没有染色的长方体为3×11×61；两个面染色的小正方体有（3+11+61）4＝300个．当拼成新的长方体长为15厘米、宽为5厘米、高为4厘米时（只要新的长方体完全淹没在水中即可），水面上升的高度为300÷（15×5）＝4厘米；但4+4＝9＞8；故水面上升的高度最大为8﹣5＝3厘米．当拼成新的长方体长为1厘米、宽为1厘米、高为300厘米时，水面的高度为（15×5×5）÷（15×5﹣1×1）＝厘米；水面上升的高度最小为﹣5＝厘米．水面上升的最大高度减去水面上升的最小高度为3﹣＝厘米．【考察注意点】本题考查最大与最小、染色问题等知识，解题的关键是判断出两个面染色的小正方体有（3+11+61）4＝300个，学会用分类讨论的思想思考问题．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（7分）一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米，宽为3分米，高该是多少分米？孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少？【思路引导】根据长方体的体积计算公式v＝abh，注意单位的换算，3分米＝0.3米，即可求出高；孙健同学把高错算为3分米（0.3米），它的长和宽没变，再利用体积公式计算解答．【完整解答】解：①0.078÷（1.3×0.3）＝0.2（米）；②1.3×0.3×（0.3﹣0.2），＝0.39×0.1，＝0.039（立方米）；答：高是2分米，这根木料的体积要比0.078立方米多0.039立方米．【考察注意点】此题主要考查长方体的体积计算，能够根据长方体的体积计算方法解决有关的实际问题．注意：在计算长方体的体积时，长、宽、高必须使用相同的单位．22．（7分）一个几何体从上面看、前面看、侧面看如图所示，那么，这个图形的体积是立方厘米．（π取3.14，图中单位为：厘米）【思路引导】从这个几何体的三视图可知，这个几何体是下面是圆柱（底面半径为4，高为4），上面是半个圆锥（底面半径为4，高为6）组成，由此根据圆柱的体积公式，圆锥的体积公式计算即可．【完整解答】解：从这个几何体的三视图可知，这个几何体是下面是圆柱（底面半径为4，高为4），上面是半个圆锥（底面半径为4，高为6）组成．所以这个几何体的体积＝π•42•4+•π•42•6×＝80π≈251.2立方厘米．【考察注意点】本题考查立体图形的三视图、圆锥、圆柱的体积公式等知识，解题的关键是读懂三视图，确定几何体的形状．23．（7分）在一个长为16分米，宽为10分米的长方形玻璃鱼缸中，放进一块体积为800立方分米的假山石，鱼缸中的水正好上升到缸口，如果把这块假山石取出，水面高度为16分米，这个玻璃鱼缸的容积是多少升？【思路引导】根据长方体的体积（容积）公式：V＝Sh，那么，h＝V÷S，用假石山的体积除以鱼缸的底面积求出现在水面距离缸口多少分米，进而求出鱼缸的高，然后把数据代入公式解答．【完整解答】解：800÷（16×10）＝5（分米）16×10×（16+5）＝3360（立方分米）3360立方分米＝3360升答：这个玻璃鱼缸的容积是3360升．【考察注意点】此题主要考查长方体的容积公式的灵活运用，关键是熟记公式．24．（7分）如图所示，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半．这个容器还能装多少水？【思路引导】如图，画出圆锥内部的高线与底面半径r与液面的半径r1，这里组成了一个三角形，很显然r1与r的比是1：2，由此设容器中水的底面半径为1，则容器的底面半径为2，求出水的体积与这个容器的容积之比即可解答问题．【完整解答】解：画出圆锥内部的高线与底面半径r与液面的半径r1，这里组成了一个三角形，很显然r1与r的比是1：2，设水的底面半径是1，则圆锥容器的底面半径是2；所以水的体积为：×π×12×h＝πh；容器的容积为：×π×22×h＝πh，所以水的体积与容积之比是：πh：πh＝1：8，水的体积是3升，所以容器的容积是3×8＝24（升），24﹣3＝21（升）．答：还能装下21升水．【考察注意点】此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据题干得出水的底面半径与容器的底面半径之比是解决本题的关键．25．（8分）一根长1米，横截面是直径为20厘米的圆的木头浮在水面上，机灵狗发现它正好是一半露出水面，请求出这根木头与水接触的面的面积是多少？【思路引导】根据题意，这根木头与水接触的面的面积就是这根圆柱体木头表面积的一半，可根据圆柱的表面积公式进行计算即可得到答案．【完整解答】解：木头横截面的半径为：20÷2＝10（厘米），两个底面积：3.14×102×2＝628（平方厘米），侧面积：3.14×20×100＝62.8×100，＝6280（平方厘米），表面积：628+6280＝6908（平方厘米），与水接触的面积：6908÷2＝3454（平方厘米）答：这根木头与水接触的面的面积是3454平方厘米．【考察注意点】解答此题的关键是确定这根木头与水接触的面的面积就是这根圆柱体木头表面积的一半，然后根据圆柱的表面积进行计算即可．26．（8分）有一种饮料的瓶身如图，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料多少升？【思路引导】正放时的饮料的高度加上倒放时空于部分的高度，则是装满时都是圆柱的高度，又已知装满时的容积，所以可求瓶子底面积，进而求出饮料的体积．【完整解答】解：3升＝3000毫升＝3000立方厘米，饮料瓶的底面积：3000÷（20+5）＝120（平方厘米）；瓶内现有饮料