2025年中考数学二轮复习讲练测第16讲 一次函数压轴题（2个考点8个题型）-浙江二轮讲练测（原卷版）

试卷第=page184184页，共=sectionpages190190页专题九解答压轴题第16讲一次函数压轴题（思维导图+2考点+8种题型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u考点一、一次函数与几何图形的压轴问题题型01、一次函数与三角形题型02、一次函数与四边形题型03、一次函数与圆考点二、一次函数常考压轴问题题型01、一次函数中的分段函数问题题型02、一次函数自定义问题题型03、一次函数与图形面积题型04、一次函数与角度问题题型05、一次函数实际应用问题考点一、一次函数与几何图形的压轴问题题型01、一次函数与三角形的综合问题1．（2023·浙江温州·三模）如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在一次函数的图象上，且点在第二象限，点在第四象限，一次函数图象交轴于点，交轴于点，．

(1)求证：．(2)求出点的坐标及的长．(3)点从匀速运动到时，点恰好从匀速运动到，记，①求出关于的函数表达式．②连结，点关于直线对称点为，连结．若直线与中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有的值．2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，且、满足．(1)求、两点的坐标；(2)如图2，点在线段上（不与端点、重合），点在线段上（不与端点、重合），连，过作的垂线交于，若，设点横坐标为，求点横坐标（用含的代数式表示）．(3)如图3，在（2）的条件下，连，点是中点，，交于点，连，若，求的长．3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．(1)如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线．(2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”．(3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2025·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交点分别为点和点，与直线交于点，点是线段的中点，点分别是直线轴、轴上的动点．(1)求直线的解析式以及线段的长度．(2)求当周长最小时，使得的值最大的点的坐标．(3)如图，将沿直线翻折，得到点的对应点，再将绕点旋转，旋转过程中直线分别与直线，和直线，交于点和点，直线分别与直线和直线，交于点和点，是否存在点与四点中不同时在直线或直线上的两点组成的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点，构造，使得．

(1)当时，求直线的函数表达式．(2)当点C落在坐标轴上时，求的面积．(3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．6．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，，过点E作直线轴，设直线l上的动点A的坐标为，连接，将线段绕点B顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点C，构造，使得．

(1)如图1，当时，求直线的函数表达式．(2)当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．(3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使与相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．7．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点经1次斜平移后的点的坐标为，已知点A的坐标为．

(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C．①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断是否是直角三角形？请说明理由．②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为，求出点B的坐标及n的值．8．（24-25八年级下·上海·阶段练习）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边在第二象限内作等边．(1)求直线的函数解析式；(2)在直线上有一点，求的面积．(3)在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2025·广东清远·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点．(1)求点的坐标和直线的表达式；(2)在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标；(3)如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度．10．（2025九年级下·全国·学业考试）已知直线与x轴和y轴分别交于B，A两点，另一直线经过点B和点．(1)求，的长度，并证明是直角三角形．(2)在x轴上找一点C，使是以为底边的等腰三角形，求出C点坐标．(3)一动点P速度为1个单位/秒，沿运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿运动到A点停止，两点同时出发，的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．题型02、一次函数与四边形11．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴的负半轴上，将正方形沿着轴向右平移个单位，得到正方形，且点与原点重合，直线′交轴于点．(1)求正方形的边长；(2)求直线的函数表达式；(3)在线段上是否存在点，使的面积等于，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．12．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，是轴负半轴上一点，连结，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结交轴于点，若点横坐标为3．(1)求直线的解析式；(2)求点坐标；(3)在轴和直线上分别找点，，使得、、、构成的四边形是平行四边形，直接写出点坐标．13．（黑龙江省牡丹江市2024~2025学年下学期九年级综合练习数学试题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，顶点在轴正半轴上，且点的横，纵坐标是方程的两个实数根（横坐标大于纵坐标），将菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，点，，的对应点分别为，，．(1)求点的坐标；(2)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒，的面积为，求与的关系式；(3)为直线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．(1)求证：；(2)求点D的坐标；(3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在轴正半轴上，以，为邻边作平行四边形，点的坐标为．(1)求点D的坐标；(2)为线段上一点，其横坐标为，过点作的垂线，交轴于点，交直线于点①如图2，若，求的面积；②若以C，F，G为顶点的三角形与相似，求a的值．16．（2023·浙江金华·三模）在平面直角坐标系中，若图形与图形中，分别存在点关于直线对称，则称这两个图形“轴对称”．如图，正方形各顶点的坐标分别是，，，．

(1)在点，，中，哪些点与正方形“轴对称”？若是，求k的值．(2)若点与点为“轴对称”，求点的坐标．(3)直线与两坐标轴的交点为，若线段与正方形“轴对称”，求的范围．17．（2025·黑龙江七台河·一模）如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合．(1)求折痕所在直线解析式．(2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式．(3)点P是直线上一点，试在平面内确定一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是菱形，直接写出点M的坐标．18．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，、，点E从点C出发，以每秒2个单位长度沿y轴负方向运动，点F从原点O出发，以每秒个单位长度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒．以、为一组邻边作平行四边形，点N在点F右侧2个单位，以为对角线作正方形，（F、P、N、M为顺时针顺序）．(1)时，求的值；(2)当时，求最小值；(3)当时，点P关于所在直线的对称点为Q，当点Q在上时，求t的值；(4)如图2，当时，连接、、、，在点E运动的过程中，若点M、P中恰好有且只有一个点在四边形内部时，求t的取值范围．19．（24-25九年级上·四川达州·期末）在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系．(1)如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标；(2)如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积；(3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点．将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．(1)直接写出直线的表达式；(2)E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G．当时，求点E的坐标；(3)如图②，若M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．21．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与，轴分别交于、两点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上．动点从点出发，沿运动，当点运动到点时，停止运动．已知点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒．

(1)求直线的解析式；(2)设点的运动时间为，求当最小时的坐标及的值；(3)在（2）的条件下，点在轴上，点在轴的右侧，是否存在点使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线与y轴交于点P，与交于点点D为x轴上正半轴一动点，过点D作x轴的垂线与直线，分别相交于E，F两点，过点E作轴的直线交于点．(1)求a的值及的函数表达式；(2)当，求D点的坐标；(3)平面内存在一直线，对于的任意一个数值均可以满足，请直接写出k的取值范围；(4)以，为边作长方形，当点D在运动过程中，试探究M的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，求出该直线解析式；若不是，请说明理由．题型03、一次函数与圆的综合23．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题：(1)已知点．①若点，则；②若点，且，则；③已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围；(2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足，①若点在图象上，求点的坐标；②若点在直线上，求的取值范围．(3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围．24．（23-24九年级上·北京西城·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”．(1)图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为，①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是；②如图2，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围；(2)图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围．25．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直线经过点，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结．(1)求出b的值及直线的函数表达式．(2)在线段上取点，连结并延长交于点，连结交于点，①若，求证：．②当等于中的某一个角时，求的长．(3)点P关于直线的对称点P′恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为______．26．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点．(1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长；(2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以点为圆心，为半径画圆．①当点与点重合时，求证：直线与相切；②设与直线相交于两点，连结．问：是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．27．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”，在平面直角坐标系中，的半径为1．(1)如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是，该“割圆点”的坐标是；(2)直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围；(3)直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为d．请直接写出d的取值范围．28．（2024·江苏南京·模拟预测）定义：当点在射线上时，把的值叫做点在射线上的射影值；当点不在射线上时，把射线上与点最近点的射影值，叫做点在射线上的射影值．例如：如图（1），三个顶点均在格点上，是边上的高，则点和点在射线上的射影值均为．(1)在中，下列说法：①点在射线上的射影值小于1时，则是锐角三角形；②点在射线上的射影值等于1时，则是直角三角形；③点在射线上的射影值大于1时，则是钝角三角形．其中，正确说法的序号是___________．(2)是射线上一点，，以为圆心，为半径画圆，是上任意点．①如图（2），点在射线上的射影值为，求证：直线是的切线．②如图（3），已知为线段的中点，设点在射线上的射影值为，点在射线上的射影值为，直接写出与之间的函数关系式．

29．（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”．(1)如图1，已知点；①点，，中是关于的“弦中点”的是______；②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值；(2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围．30．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，N；对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”．①当N坐标为，在图中画出点Q，连接，交线段于点T，求的值；②当N为线段延长线上任意一点，连接，交线段于点T，是否为定值？(2)的半径为t，M是上一点，点N在线段上，若点N与点O重合，P为外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）．考点二、一次函数常考压轴问题题型01、一次函数中的分段函数问题31．（2023·浙江金华·模拟预测）在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为和（其中t为常数且），将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为；将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为，将和及原函数图象剩余的部分组成新的图象G．例如：如图，当时，原函数，图象G所对应的函数关系式为．(1)当时，原函数为，图象G与坐标轴的交点坐标是．(2)对应函数（n为常数）．①时，若图象G与直线恰好有两个交点，求t的取值范围．②当时，若图象G在上的函数值y随x的增大而减小，直接写出n的取值范围．32．（2022·浙江金华·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．(1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象．(2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值．(3)已知，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，求n的取值范围．33．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象．(1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围；(2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积；(3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围．34．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”．例如：一次函数，它的“友好函数”为；【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线．已知一次函数，请回答下列问题：(1)该一次函数的“友好函数”为；(2)已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值；(3)当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值；(4)已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围．35．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为；若，则点与点的“非常距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．(1)已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为4，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)已知C是直线上的一个动点，①如图2，若，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点C与点E的“非常距离”的最小值为1，直接写出点E的坐标和b的值．36．（24-25九年级上·四川成都·期末）函数某数学兴趣小组一起研究函数的性质，组员甲说：“可以用列表描点连线的方法画一画函数图象，然后通过观察函数图象分析函数性质”；组员乙说：“这个函数含有绝对值，可以分类讨论化简，因此这个函数也可以写成”；组员丙说：“因为，所以当时，函数有最小值”；组员丁说：“我已经画出了函数的草图，是个“”字形，随着的增大，函数值先减小后增大”；组员戊说：“函数图象是轴对称图形”．他们说的都有道理，请根据几位同学的观点，解决下列问题．(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是，若，请在此坐标系中作出函数图象，并标记图象与坐标轴交点的坐标；(2)在（1）的条件下，当，设函数最大值为，最小值为，求的取值范围；(3)将函数图象向上平移后与轴有唯一交点A，与轴交于点，点为函数图象上的点，若以、、为顶点的三角形与相似，求所有满足条件的点坐标．

题型02、一次函数自定义问题37．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【概念学习】对于平面直角坐标系中的图形K和图形W，给出如下定义：R，S分别为图形K和图形W上任意一点，将R，S两点间距离的最小值称为图形K和图形W之间的“关联距离”，记作．例如，如图1，点与y轴之间的“关联距离”．【理解概念】（1）如图1，点在边长为5的正方形内，则d（T，正方形）=________；【深入探索】（2）如图2，一次函数图象与y轴交于点E，与x轴交于点F，若点和一次函数的图象之间的“关联距离”，求m的值；（3）如图3，在等边中，点A的坐标是，点B，C在y轴上，点H是x轴上一点，若，请直接写出点H的坐标．【拓展延伸】（4）在中，，，，当时，对于每一个n，若和一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，请直接写出k的取值范围．38．（2025·湖南长沙·一模）为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”．(1)判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由．(2)若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值．(3)已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值．39．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，对于点P，点Q，若，，其中t为常数，则称点Q是点P的“t级变换点”．例如：点是点的“级变换点”．若图形A与图形B上存在“t级变换点”，则称这两个图形是“t级变换图形”．(1)下列属于“1级变换点”的是．（填写序号）与，与，与(2)已知矩形的顶点A，B，C，D．若在图像上存在点M与矩形中顶点C是“0级变换点”，求k的值．若直线与矩形是“t级变换图形”，求t的取值范围．若抛物线与矩形是“t级变换图形”，且恰存在4对“t级变换点”，求t的取值范围．题型03、一次函数与图形面积40．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P．(1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线；(2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式；(3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围．41．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．

(1)求的值和直线的函数表达式；(2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点．①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；②连接，，当的面积为时，请直接写出的值．42．（2023·浙江温州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．

(1)求和的值；(2)当与中的一个角相等时，求线段的长；(3)如图2，连接交于点，将点绕点逆时针旋转至点，若点到轴的距离恰好等于的长，求的面积．43．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图直线l的解析式为，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（）．(1)填空：点A的坐标为，点B的坐标为，；(2)以为对角线作矩形，记的面积为，记和的重合部分的面积为；①尝试用含t的代数式分别表示、；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，．题型04、一次函数与角度问题44．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C的坐标为，(1)求直线的函数表达式．(2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标．(3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标．45．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作轴交直线AD于点E．(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到，连结，如果，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）．46．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，点，分别是一次函数与轴，轴的交点，为线段的中点，点是直线：上一点，连接，，且轴．(1)求，两点的坐标；(2)若，求的值；(3)连接，是否存在值，使得，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．47．（24-25九年级上·重庆万州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交坐标轴于A、B两点，其中，，直线分别交坐标轴于C、D两点，直线l1与l2的交点为E．已知，且．(1)求直线的解析式和点E坐标；(2)如图2，若点P为线段上的一个动点（不与C、E两点重合），点R为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，当四边形的面积最小时，求出周长的最小值；(3)如图3，在（2）的条件下，将直线绕点P顺时针旋转，与直线交于点F，连接，若在直线上存在点M，使得，请直接写出满足条件的点M的坐标．48．（24-25九年级上·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为的中点，点D在线段上（），连接，将绕点C逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，．(1)求的值；(2)如图，当点恰好落在y轴上时，交y轴于点E，求证：；(3)当点D的坐标为，且时，求点的坐标．题型05、一次函数实际应用问题49．（2024·江苏南京·模拟预测）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车速度是慢车速度的倍．在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示．(1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像；(2)若慢车出发时与快车第次相遇．①求快车从出发到返回甲地所用的时间；②当两车第次相遇的地点距离乙地时，的值为___________．50．（2024·浙江杭州·一模）如图是某兴趣小组自制的画圆工具的侧面示意图．【工具组成】一个装满细沙并直立于水平面的圆柱铁桶，截面示意图为矩形，桶高．两根直木棍分别长和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶内．用一条长的细绳连接P，E并拉直．【工具使用】移动木棍，使点F绕点C旋转一周画圆．经多次操作发现，为使木棍能稳定直立于细沙中，需满足．问题1：当长为多少时，画出的圆的半径为？问题2：设为x，画出的圆的半径为r，求r关于x的函数表达式与r的最大值．问题3：以下是两位组员的对话，请根据对话解决问题．51．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务．如何确定酒精喷雾机的有效杀菌距离?素材1图1是一款电动酒精喷雾机、其上下喷孔相距、L是一竖直放置的平面．喷雾机正对平面喷雾时（如图2）、平面上会形成两个半径为的圆形痕迹（如图3），喷洒后酒精均匀分布、当点与平面的水平距离时，（取3）

素材2不考虑喷洒过程中酒精在空气中的损耗，喷雾机两孔一次共可喷出酒精．查询资料可知，杀菌百分比和喷洒密度的关系如图4所示．

素材3经过一次喷洒，当被喷洒平面的杀菌百分比达到70%及以上时，杀菌有效问题解决任务1当被喷洒平面经过点时，确定此时的值．任务2①当被喷洒平面上痕迹未有重叠部分时，为保证杀菌有效，请确定的范围②当被喷洒平面上痕迹有重叠部分时，重叠部分密度是未重叠部分的2倍、为了使有效杀菌面积最大，______．

52．（2025·河南信阳·一模）某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．所获的利润w（元）与销售单价x（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元）…2030405060…周销量y（套）…403020100…所获利润w（元）…03004003000…(1)求y与x之间的函数关系式；(2)①请在下面的平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象；②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？53．（2025·内蒙古·模拟预测）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格P（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：第x天销售价格（元/只）销量（只）物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于元只，该药店从第天起将该型号口罩的价格调整为元只．据统计，该药店从第天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为元/只．(1)请你先描述与的变化规律，并直接写出该药店该月前天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；(2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）