2025年中考数学二轮复习讲练测第18讲 三角形压轴题（5个题型）-浙江二轮讲练测（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages155155页专题九解答压轴题第18讲三角形压轴题（思维导图+5种题型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u题型01、三角形性质综合问题题型02、三角形旋转变换的综合问题题型03、三角形背景下的最值问题题型04、三角形对称变换下的综合问题题型05、等腰三角形背景的综合问题题型01、三角形性质综合问题1．（2025·浙江宁波·一模）在中，点分别在边上，线段相交于点．(1)若是正三角形，，求的值．(2)设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）证明得到，那么，即可求解；（2）连接，设，利用共高三角形面积比化为底之比得到，即，则，而，即可证明．【详解】（1）解：如图，∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）证明：连接，设，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了求一个角的正弦值，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积问题，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．2．（2023·浙江·模拟预测）如图，和是两个全等的直角三角形，与交于F，，若，请回答以下问题：(1)求证；(2)求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出和的关系是本题解题的关键．（1）过作，根据直角三角形内各边关系，以及勾股定理求出和的关系，然后根据相似三角形的判定定理求解即可；（2）根据（1）的结论，得到是直角三角形，为，从而可以求出．【详解】（1）证明：过作于，在中，，，，，，，，，在中，，即，解得：或（舍去），，，，，又，，和是两个全等的直角三角形，；（2）解：由（1）知，，，，．3．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践【模型探究】（1）如图1，在中，点O为边的中点，作射线于点M，于点N．求证：．【尝试建构】（2）如图2，在中，点O为边的中点，点P在边上（不与点B，C，O重合），作射线于点M，于点N．连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想．【迁移应用】（3）如图3，在中，点D，E在边上，，作射线于点M，于点N．连接．若，，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．【分析】（1）证明即可得到结论；（2）延长交于H，证明，得到，根据直角三角形的性质求出；（3）如图3，过点E作于F，证得，推出，由得到，证得，设，则，由勾股定理列得，求出，，则，求得．【详解】（1）证明：∵点O为边的中点，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：如图2，延长交于H，∵点O为边的中点，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（3）如图3，过点E作于F，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，设，则，∵，，，∴，∴，，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例，解直角三角形，熟练掌握各定理是解题的关键．4．（22-23九年级上·浙江金华·期中）（1）如图，已知和均为直角三角形，【发现问题】①如图1，连接，若，则的长为______．【探索问题】②如图2，若，求的长．【解决问题】（2）如图3，在凸四边形中，，过作，交延长线于点．那么的面积是否定值若为定值，请求出这个值，请求出这个值；若不是，请说明理由．【答案】[发现问题]；[探索问题]；[解决问题]不变，【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形；（1）[发现问题]①连接，证明，得到，在中，，，勾股定理求出，得到答案；[探索问题]②连接，证明，得到，求出的长，得到的长．（2）[解决问题]证明，进而得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：（1）如图，连接，，，即，又，，在和中，，，，，，，，在中，，，，；②在中，，，，，，，，，，又，，，．[解决问题]（2）解：如图所示，过作，交延长线于点，连接，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，又∵，，∴，，∴，∴，，∴，∴．5．（23-24九年级上·四川成都·期末）在中，，，D为边上一动点，且（n为正整数），在直线上方作，使得．(1)如图1，在点D运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；(2)如图2，若，M为中点，当点E在射线上时，求的长；(3)如图3，设的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）．【答案】(1)见解析；(2)；(3)．【分析】（1）根据，得到，，可推出，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可解题．（2）作于点，根据勾股定理算出，根据线段中点的定义和直角三角形斜边上的中线性质，得到，利用，求出，利用，求出，推出，根据，证明，利用相似的性质，先求得，再求出，即可解题．（3）取的中点，连接，根据三角形中位线性质得到，，得出点在经过中点，且垂直于的直线上运动，因为在点D从点C运动到点B的过程中，当D与C重合时，P与N重合，当D与B重合时，最大，所以线段的长，即为点P运动的路径长，根据勾股定理算出，利用相似三角形性质求得，推出，即可解题．【详解】（1）解：，，，，，，；（2）解：作于点，，，，且，，，M为中点，，，，解得，，，解得，，由（1）可知，，，，，，，，即，解得，，，解得．（3）解：取的中点，连接，的中点为P，，，，点在经过中点，且垂直于的直线上运动，，，，，在点D从点C运动到点B的过程中，当D与C重合时，P与N重合，当D与B重合时，最大，线段的长，即为点P运动的路径长，当D与B重合时，，，，，点P运动的路径长．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理、线段中点的定义、直角三角形斜边上的中线性质、解直角三角形、三角形中位线性质，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题关键．6．（2023·浙江宁波·一模）（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：．（2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接．①[思考探究]如图2，当时，求的长．②[拓展延伸]如图3，当时，求的长．【答案】（1）证明见解析，（2）①．②【分析】（1）证明，即可得证；（2）①取中点F，连接，则为的中位线，证明，得到，列式计算即可；②取中点，连接，过点E作，垂足为G，证明，得到，进行计算即可．【详解】（1）证明∵，∴，∴，∴．（2）①取中点F，连接，∵，∴，，∵E为中点，∴为的中位线，∴，，∴，∵，∴，∴，∴设，则，∴解得，（舍去），∴．②取中点，连接，过点E作，垂足为G，设，∵为的中位线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵，．∴，解得，（舍去）．∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解一元二次方程．解题的关键是添加辅助线，构造三角形的中位线，证明三角形相似．7．（2023·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，和是直角三角形，，，求证：；【尝试应用】（2）如图2，在与中，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，求的长；【拓展提高】（3）如图3，若，，，，过A作交延长线于Q，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形．（1）通过证明，可得，，可得结论；（2）通过证明，可得，即可求解；（3）由锐角三角函数可求，由直角三角形的性质可求，，通过证明，可求的长，即可求解．【详解】（1）证明：，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图3，在上截取，连接，，，，，设，则，，，，，，是等边三角形，，，，，，，∴，，，，，8．（2023·浙江·三模）在中，平分交于点D，点E是射线上的动点（不与点D重合），过点E作交直线于点F，的角平分线所在的直线与射线交于点G．

(1)如图1，点E在线段上运动．①若，，则__________°；②若，求的度数；(2)若点E在射线上运动时，探究与之间的数量关系．【答案】(1)①；②(2)若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出，代入进行计算即可；②由①的方法得出，进而满出，代入计算即可；（2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段AD上时，有成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有或成立．【详解】（1）如图1，

①，，，是的平分线，是的平分线，，，又，，故答案为：；②由①得，；（2）当点在线段上时，如图（2），

，，，平分，，；当点在射线上时，如图（3）由（1）得，，

；综上所述，与之间的数量关系为：或．答：若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或．【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三角形内角和定理是解题关键．9．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P是内部一点，在射线上取点D、E，使得．求证：；【尝试应用】如图2，在中，，，D是上一点，连接，在上取点E、F，连接，使得．若，求的长；【拓展提高】如图3，在中，，，D是上一点，连接，在上取点E，连接．若，，求的正切值．

【答案】【基础巩固】见解析【尝试应用】【拓展提高】【分析】【基础巩固】利用两角相等的三角形相似证明即可；【尝试应用】根据等腰直角三角形的性质可得，,再推导，然后利用等腰三角形的性质得到，计算解题；【拓展提高】如图所示，在上取点F，使，作于点，则可得到，即，，进而证明，得到，设，可以求出解题即可．【详解】【基础巩固】证明：∵,，∴,又∵,,，∴,∴.【尝试应用】解：∵,∴，,即：，又∵，，即：，又.∴,又∵，，∴,∴,∴，∴，故CE的长为：.【拓展提高】解：如图所示，在上取点F，使，作于点，

∵，∴，.即：，又∵，∴，又，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴令，则∴，又∵∴在中，，∴，由勾股定理可得：，又∵，∴∠，∴，∴，∴，设，则，.∴，解得：,∴,∴故的正切值为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形上午外角，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2025·重庆·模拟预测）已知在中，，，为直线上一动点，连接．(1)如图1，若为线段上的一点且满足，若，求线段的长；(2)如图2，若为线段上的一点，过点作∥交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接，试探究线段之间的数量关系，并证明其结论；(3)如图3，，将绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．（1）过点作于点．求出，得，，证明是等腰直角三角形，得，根据求出，从而得出结论；（2）如图2中，延长交的延长线于点T．证明，推出，，证明，推出，可得结论；（3）将绕点逆时针旋转得到．证明，当'时，有最小值．过点作于点，延长交直线于点，连接，证明，求出，，得，求出，，从而可得结论．【详解】（1）解：如图1，过点作于点．∵在中，，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．（2）解：结论：．证明如下：如图2，延长交的延长线于点．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（3）解：的最小值为．如图3，将绕点逆时针旋转得到．由旋转的性质可得，，∴，∴，∴．∵是定点，∴点在直线上运动，∴当'时，有最小值．过点作于点，延长交直线于点，连接，∵在中，，∴．∵，即，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．在中，，∴，∴，∴的最小值为．题型02、三角形旋转变换的综合问题11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，中，，，，分别取，的中点，，连结．如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，连结，．(1)在旋转过程中，与之间存在怎样的数量关系？(2)当点落在边上时（如图3），求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由勾股定理可得，由图1中的、分别为、的中点可得，，进而可得，由旋转的性质可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，由此即可得出结论；（2）由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由旋转的性质及邻补角互补可得，由（1）可得，，则，由勾股定理可得，然后根据即可求出的长．【详解】（1）解：如图2，当点不在直线上时，，，，，图1中的、分别为、的中点，，，，，，，，，答：在旋转过程中，与之间始终保持；（2）解：图1中的、分别为、的中点，，，，，，如图3，点在上，，由（1）可得：，，，，，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段中点的有关计算，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，两直线平行同位角相等，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握旋转的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)如图2，若，求的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）由，，求得，而，由旋转得，则，所以，则；（2）由旋转得，，，，则，所以，即可根据证明；（3）由旋转得，，，则，，，所以，而，所以，则，因为，所以，所以，则．【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，由旋转得，∴，∴，∴，∴的度数是；（2）证明：由旋转得，，，，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴；（3）解：由旋转得，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，由（2）得，∴，∴，∴，∴，∴的值是．【点睛】此题重点考查旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．13．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，，，．(1)问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点．请猜想：①______．②锐角的度数______．(2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点F，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由；(3)迁移应用：如图3是将绕点旋转到一定角度得到，当时，则线段的长______．【答案】(1)①；②(2)（1）中的两个结论还成立，理由见解析(3)或【分析】（1）由旋转的性质可推出、都是等腰直角三角形，分别求出、的长即可解答①；利用等腰直角三角形的性质得到平分，再利用三线合一性质得到，进而得到，最后利用平行线的性质即可解答②；（2）由旋转的性质和相似三角形的判定，推出，利用相似三角形的性质得到的值，以及，再利用三角形内角和定理求出的度数，即可得出结论；（3）由题意得，分类点在直线上方或下方进行讨论，作交于点，交延长线于点，利用勾股定理求出的三边长，再通过证明得到和的长，再利用勾股定理得到的长，结合（2）中的结论得：，即可求出的长．【详解】（1）解：绕点按顺时针方向旋转得到，，，，，、都是等腰直角三角形，，，，，，，平分，，，，，，综上所述，，．故答案为：①；②．（2）解：（1）中的两个结论还成立，理由如下：由旋转的性质得，，，，，，，；设与相交于点，，，，，，，综上所述，，．（1）中的两个结论还成立．（3）解：①若点在直线上方，如图，作交于点，交延长线于点，，，，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，，，，，，，，，在中，，由（2）中的结论得：，；②若点在直线下方，如图，作交于点，交于点，同理①可得，，，，，在中，，由（2）中的结论得：，；综上所述，线段的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理求线段的长度，利用相似三角形的性质求比例和角度是解题的关键，本题属于几何综合题，需要较强的推理论证能力，适合有能力解决几何难题的学生．14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在直角三角形中，，，将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，，，分别为，的中点，连接，．猜想证明：（1）如图1，当恰好经过点B时，与的位置关系是________，数量关系是________．问题解决：（2）如图2，当恰好经过点B时．①试猜想与AE的位置关系和数量关系，并说明理由．②连接，若，请直接写出线段的长．【答案】（1）；；（2）①；；②【分析】（1）证明是等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，求出，根据等边三角形性质得出，，根据平行线的判定得出结论即可；（2）①根据旋转得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质得出，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，证明四边形为矩形，得出；②根据勾股定理得出，求出，再根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理得出．【详解】解：（1）在直角三角形中，，，∴，∵将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点B，∴，，，，，∴是等边三角形，∴，∵，∴为等边三角形，∴，，∴，∵点，分别为，的中点，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．（2）①与的位置关系是，数量关系是．理由：在直角三角形中，，，∴，∵将直角三角形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点B，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵点F为的中点，，∴，，∴，∵，，∴，∵点E为的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴四边形为矩形，∴；（3）∵在中，，∴，根据勾股定理得：，∴，解得：，负值舍去，∴，，∴在中，根据勾股定理得：，∵点E为的中点，∴，∴在中根据勾股定理得：．∴线段的长为．【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．15．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，在和中，，，与相交于点，点在边上，连接．(1)求证：；(2)若，求的值；(3)将绕点逆时针旋转一定的角度到如图，若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形；（1）根据题意得出，，根据相似三角形的性质得出，进而即可得证；（2）根据题意设，则，根据得出，，进而根据正弦的定义，即可求解；（3）连接，证明，得出，进而在中，勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴，（2）解：∵∴，∵，∴∴∴，∵设，则，在中，，∵∴∴∴；（3）如图所示，连接，在中，，∴，∵∴，∴∴，∴，∵，∴，在中，．16．（22-23九年级上·浙江台州·期末）问题背景：如图1，在四边形中，若，则平分．小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，得到．(1)请帮助小明完成他的证明过程；证明：将绕点C顺时针旋转得到，__________，__________，．，，，即三点共线．，__________，__________，即平分．(2)应用：在图1中，若，则__________；(3)迁移：如图2，，若，求的长；(4)拓展：如图3，以等腰的一边作等腰，且，连接，已知，则的值为__________．（请直接写出答案）【答案】(1)；（或）；；(2)(3)(4)或【分析】（1）根据旋转的性质，补角的性质，等腰三角形的性质进行解答即可；（2）先求出，根据为等腰直角三角形，求出即可；（3）将绕C点顺时针至．先证明B，A，三点共线，根据，求出，根据等腰直角三角形性质得出；（4）过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G．证明，得出，证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，求出；当在左侧时，连接．求出，得出．【详解】（1）证明：将绕点C顺时针旋转得到，，，，，，，即三点共线，，，∴，即平分故答案为：；（或）；；．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵三点共线，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：．（3）解：如图，将绕C点顺时针至，，，，，∴B，A，三点共线，，，，∴为等腰直角三角形，．（4）解：如图，过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G．，∴设，则，，，，，，在和中，，，，，四边形为正方形，，，；当在左侧时，连接，，∴，，∵，，，．综上，或．故答案为：或．【点睛】本题属于探究型题目，主要考查三角形的旋转和全等三角形的应用．各小问之间的关系较为密切．往往前一问的结论可作为下一问的条件或是作为下一问的思考方向．本题（1）问中引入了全等三角形的旋转模型，这便为后面几问的解答给予启发，第（2）问可直接以（1）中的结论为条件得出答案，（3）（4）则顺着（1）中的思考方向作为解答，通过对所求线段进行藏转，构造垂直关系和全等三角形，从而使问题得以解决．注意第（4）问中对进行旋转时，方向具有不确定性，需进行分类讨论．17．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；(3)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，邻补角的定义得到，于是得到，证明，根据全等三角形的性质即可的结论；（2）证得，根据相似三角形的性质得到，即；（3）过点D，E分别作，垂足分别为H，G，利用含30度的直角三角形及勾股定理求出，进而得到，证明，得到，即可求出，进而得出结果．【详解】（1）证明：，，是中线，是的角平分线，，，，，在与中，，，；（2）证明：，，，，，，，即；（3）解：如图，过点D，E分别作，垂足分别为H，G，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，，，，【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践（一）动手操作如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到．延长分别交于点F，交于点G，连接．

（二）思考探究(1)°，°；(2)若，则①求的度数；②求的值．(3)开放拓展：如图2，若改变旋转角，已知，当时，的面积为．【答案】(1)45，90(2)①；②(3)【分析】（1）由旋转的性质可证四边形是正方形，即得出，；（2）①由正方形的性质可求，，由平行线的性质可求；②由对顶角可知，可证，再由相似三角形的性质求解即可；（3）由勾股定理可求，结合旋转的性质可证明，可求的长，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）解：将绕点A逆时针旋转得到，∴，∴，∴，∴，∴四边形是矩形．∵，∴四边形是正方形．∵为对角线，∴，故答案为：45，90；（2）解：①∵四边形是正方形，∴，．∵，∴∴，∴．又∵，∴．∵，∴．②∵，，∴，∴；（3）解：∵，∴．∵将绕点A逆时针旋转得到，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查旋转性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积的计算等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．19．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）定义：如图1，在．中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”，的边上的中线叫做的“倍旋中线”．①

②

③(1)如图①，当，时，“倍旋中线”的长为______；(2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为______．(3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析．【分析】（1）如图1，首先证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；（2）如图2，过点作，证，根据易得结论．（3）延长到，使得，连接，证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论．【详解】（1）如图1，∵，∴∵，∴∴∵，∴，∵是的中点，∴；故答案为：．（2）如图2，∵，，∴根据“倍旋中线”知等腰三角形，过作，垂足为∴，，∵是等边三角形的边的中点，且∴∴∴故答案为：．（3）结论：理由：如图，延长到，使得，连接，∵，∴四边形是平行四边形∴，∵∴∵∴∴∴【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．20．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，已知，，C为y轴上的一个动点，连接，把线段分别绕着点O逆时针方向旋转得到，连接．

(1)求证：．(2)当时，求的面积．(3)在点C的运动过程中，是否存在为直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)8(3)在点C的运动过程中，存在为直角三角形，此时点D的坐标为或或或【分析】（1）根据旋转的性质得到，进而利用证明即可；（2）先求出，如图所示，过点F作轴于H，证明，得到，进而求出；如图所示，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N，同理可得，求出，则，即可得到；（3）如图3-1所示，当点C在x轴上方时，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N，设点C的坐标为，同理可证，可得到；如图3-2所示，当点C在x轴下方时，过点D作轴，同理可得，可得到，综上所述，当点C的坐标为时，点D的坐标为，同理可得，当点C的坐标为时，点F的坐标为，利用勾股定理得到，，，再分当时，当时，当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，∴，即，∴；

（2）解：∵，，，∴，如图所示，过点F作轴于H，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；如图所示，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N，同理可得，∴，∴，∴，∴；

（3）解：如图3-1所示，当点C在x轴上方时，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N，设点C的坐标为，同理可证，∴，∴；

如图3-2所示，当点C在x轴下方时，过点D作轴，同理可得，∴，∴，∴，综上所述，当点C的坐标为时，点D的坐标为，同理可得，当点C的坐标为时，点F的坐标为，∴，∵，∴，，，当时，则由勾股定理得，∴，解得，∴；当时，则由勾股定理得，∴，解得，∴；当时，则由勾股定理得，∴，∴，解得或，∴或；综上所述，在点C的运动过程中，存在为直角三角形，此时点D的坐标为或或或．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质等等，通过证明三角形全等从而确定点D和点F两点坐标与点C坐标之间的关系是解题的关键．21．（2023·浙江宁波·一模）已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和．(1)求证：；(2)当时，求的长；(3)将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）证明即可得出结论；（2）延长交于点，利用勾股定理求出和，然后代入即可；（3）取的中点，连接、，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形三边关系定理即可得出答案．【详解】（1）证明：如下图：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴．（2）延长交于点，∵，∴，∵是等边三角形且边长为，等边的边长为，∴，∴，∴，∴，∴的长为．（3）取的中点，连接、，∵是等边三角形且边长为，是等边三角形且边长为，∴，，∴，∵为的中点，∴，∴在中，，当、、共线时取等号，∴，∴旋转过程中的取值范围是．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形三边关系定理．灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．22．（2023·浙江温州·模拟预测）阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，．①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；②若，，请直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)①，见解析；②2或4【分析】（1）延长至，使，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论；（2）①延长至点，使，连接、，先证（），得，，则，再证（），得，，然后证是等边三角形，即可得出结论；②分两种情况，当为的中位线时，，可求出答案；当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，证明（），得出，则可得出答案．【详解】（1）证明：延长至，使，连接，

在和中，，∴（），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①解：线段与的数量关系为：，证明如下：延长至点，使，连接、，如图所示：

∵点为的中点，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴是等边三角形，∴；②解：的长为或．当为的中位线时，，∴为的中点，∴，∴，如图，当不是的中位线时，连接，取的中点，连接，过点作，过点作于点，过点作于点，

∵为等腰三角形，，∴，∴，，∵，∴，∵为的中点，为的中点，∴是的中位线，∴，，∴，∴，，∴，，∵，∴（），∴，∴，即，∴，即，综上所述，的长为或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理的证明、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．（2024·辽宁·模拟预测）在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究．(1)【问题初探】如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现．请你帮助他们证明这一发现．(2)【问题应用】如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G．①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：；②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长．(3)【问题拓展】如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②或(3)【分析】（1）证明，根据旋转得出，，即可证明；（2）①根据M，N分别为边与的中点．得出，证明，即可得．由旋转可知，，证明，即可证明．②分为当点G在线段上时，和当点G在线段延长线上时，分别画出图形，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求解；（3）取中点P，连接，根据三角形中位线定理得出．．再结合，即可求解；【详解】（1）证明：∵，∴，∴．

由旋转可知，，∴，，∴．又∵，∴．（2）解：①证明：如图3，∵M，N分别为边与的中点．∴，∴，∴．由旋转可知，，∴，，∴．又∵，∴，∴．在与中，∵，∴．②解：如图4，当点G在线段上时，∵在中，，，，∴，，∵，，∴，∴．设，则，在中，，∴，∴，∴，∴．如图5，当点G在线段延长线上时，同理可得，．（3）解：取中点P，∵K为中点，连接，∴．∵H为中点，∴．∵，∴，∴的最大值为．【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形相似．24．（2025·河北·模拟预测）在中，，，，如图1，将沿着进行翻折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；将沿折痕剪开，然后将绕点逆时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，射线与边交于点（点不与点重合），与边交于点，线段与交于点．(1)在图1中，求证：；(2)在图2中，绕点旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论；(3)在绕点旋转的过程中．①如图3，当时，求的长；②当经过点时，直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)①；②【分析】（1）由折叠的性质得，，，再根据推得，根据平行线的性质得出，，从而得，根据等角对等边即可证明；（2）连接，由旋转的性质得，，据此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系；（3）①过点作于点，交于点，先利用勾股定理求出，再由（1）得，根据三角形中位线的性质得出，根据勾股定理求出，根据矩形的判定和性质得出，根据三角形的面积求出，，根据相似三角形的判定和性质即可求解；②设，则．由旋转的性质得，，再根据得，根据等边对等角得出，从而得，根据等角对等边得出，然后根据勾股定理求出的值，从而可得的长．【详解】（1）证明：由折叠的性质，得，，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴；（2）解：．证明如下：连接，如图所示．由旋转的性质，得，，在与中，∴，∴；（3）解：①过点作于点，交于点，如图所示．在中，，，，由勾股定理，得．由（1）可知，，，，∴，∴是的中位线，∴．在中，由勾股定理，得．由旋转的性质，得，，∴，四边形HDFQ是矩形，∴．∵，∴．∴．∵，∴，∴，即，解得：．②．如图，设，则．由旋转的性质，得，．∴．∵，∴，∴，∴．在中，由勾股定理，得，即，解得，∴．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，轴对称的性质、直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线．题型03、三角形背景下的最值问题25．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，在中，，．点是边上的一点，连接．将绕点顺时针旋转得到线段，连接．(1)如图1，当时，求的长；(2)如图2，过点作，交直线于点．设的长为，当点在边上移动时，求的长；（用含的式子表示）(3)当为何值时，的值最小，并求出最小值．【答案】(1)(2)(3)时，有最小值，为【分析】（1）设，则，根据勾股定理得计算即可．（2）分和不垂直，两种情况求解即可．（3）根据勾股定理，配方，利用非负性质计算即可．【详解】（1）解：设，则．，，故，解得，故．（2）解：时，点与点重合，由（1）知，此时．当与不垂直，且点在点右侧时，如图2，过点作于点，由（1）可得，，．，．为绕点顺时针旋转得到，且，，，，．在和中，，，，．点在点右侧，此时，即，，．当点在点的左侧时，同理可得．；（3）解：由（2）得，，当，即时，有最小值，为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，配方法求最小值问题，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．26．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D，E为上的动点，且，P为的中点．(1)若，求的长．(2)在线段的运动过程中，的长由2到，求这一变化过程中，点P运动的路程．(3)连结，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用勾股定理求出，根据，证明，利用相似三角形的性质即可求解；（2）连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，再根据当时，为等边三角形，；当时，，得到弧的圆心角为，利用弧长公式即可求解；（3）在上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题．【详解】（1）解：在中，，∴，∵，∴，∴，即，∴；（2）解：连接，∵，P为的中点，，∴，∴点P运动的路线是以C为圆心，2为半径的一段圆弧，当时，为等边三角形，；当时，，得到弧的圆心角为，则P运动的路程即为圆心角为的弧的长度，即为；（3）解：如图，在上取一点F，使得，连接，，∵，，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的最小值为．【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．27．（2020·浙江衢州·三模）如图1，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E，PQ交AC边于D，线段BC的中点为M，连接PM．（1）当t为何值时，△CDQ与△MPQ相似；（2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段DE的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求DE的长；（3）如图2，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【答案】（1）t＝3时，△PMQ∽△DCQ；（2）不变化．DE＝3cm；（3）t为9﹣3时，AB'的值最小，最小值为3﹣3．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，然后判断出相似三角形的对应关系可得PM∥DC，即可得出P是AB的中点，从而求出结论；（2）P是AB的中点，根据等边三角形的性质和判定证出△APK是等边三角形，利用AAS证出△PKD≌△QCD，从而证出DK＝DC，即可求出结论；（3）连接AM，易知当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小，利用三线合一和勾股定理求出∠BAM和AM，即可求出AB'的最小值，由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，最后根据AB'＝B'P即可求出结论．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠DBQ＝120°，∵∠BQP＝∠CQD，∠PMQ＞90°，∴只有当∠PMQ＝∠DCQ＝120°时，△PMQ∽△DCQ，则PM∥DC，∵M是BC的中点，∴P是AB的中点，即AP＝3＝t，∴t＝3时，△PMQ∽△DCQ；（2）不变化．理由如下：如图1中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3cm；（3）如图2中，连接AM，则AB'≥AM﹣MB'，而MB'＝MB，∴当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小，即：点B'在AM上，（如图3）∵BM＝CM＝3，AB＝AC＝6，∴AM⊥BC，∴∠BAM＝∠BAC＝30°，，∵B'M＝BM＝3，∴AB'的最小值为AM﹣B'M＝，由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，∴∠APB'＝∠PB'M﹣∠BAC＝30°＝∠BAM，∴AB'＝B'P＝6﹣t＝3﹣3，∴t＝9﹣3，即：t为9﹣3时，AB'的值最小，最小值为3﹣3．【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠的性质，掌握等边三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠的性质是解决此题的关键．28．（2021·浙江宁波·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC=4，BA＝8，点D、E分别为BC、BA的中点，作直线AE、CD，设它们的交点为点P．(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：

、

．(2)利用图2，证明你在（1）中的猜想．(3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长．(4)在旋转过程中，直接写出△PBC面积的最大值．【答案】(1)AECD，AE＝2CD(2)见解析(3)或(4)4+2【分析】（1）可以猜想：AE⊥CD，AE＝2CD；（2）证明△DBC∽△EAB，即可求解；（3）如图1，当点P在线段AE时，在Rt△PAC中，PA2＝PC2+AC2，即（2a﹣2）2+a2＝（4）2，即可求解；如图2，当点P在AE的延长线上时，同理可解；（4）如图3，当CD（P）与圆B相切时，△PBC面积最大，进而求解．【详解】（1）解：可以猜想：AE⊥CD，AE＝2CD，故答案为：AE⊥CD，AE＝2CD；（2）证明：如图2，∵BD＝BE，BC=AB，∠DBC=∠ABE，∴△DBC∽△EAB，∴∠DCB＝∠BAE，AE＝2CD，∵∠AOP＝∠BOC，∴∠APC＝∠ABC＝90°，∴CD⊥AE；（3）解：如图3，当点P在线段AE时，由（2）知，CP＝AE，设PC＝a，则AE=2a∵EP＝DE＝2，∴PA＝2a﹣2，∵AC=在Rt△PAC中，PA2+PC2＝AC2，即（2a﹣2）2+a2＝（4）2，解得a＝（不合题意的值已舍去）；故PC＝，如图4，当点P在AE的延长线上时，由（2）知，CP＝AE，设PC＝a，则AE=2a∵EP＝DE＝2，∴PA＝2a+2，在Rt△PAC中，PA2+PC8＝AC2，即（2a+2）2+a2＝（4）2，解得a＝（不合题意的值已舍去）；故PC＝，综上，PC＝或；（4）解：如图5，当CD（P）与圆B相切时，△PBC面积最大，∵CD⊥AP，DB⊥CP，∴四边形BDPE为矩形．∴PD＝BE＝4，在Rt△CDB中，BD＝2，∴∠BCD＝30°，∴CD=2∴PC＝PD+CD=4+2，∴△PBC面积＝•BD•PC＝4+2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了切线的性质、矩形的性质、相似三角形和判定与性质、直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．29．（2024·河北唐山·模拟预测）如图1，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接．(1)当时，求的长；(2)如图2，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想；(3)如图3，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）作，解和，进而求得结果；（2）连接，，，并延长交于，证明，从而得出，进而得，根据三角形中位线定理，进一步命题得证；（3）作，先得出当、、共线时，最大，先求得的面积，进而求得结果．【详解】（1）解：如图1，作于，，，，①，，②，由①②得，，，，；（2）解：，证明如下：如图2，连接，，，并延长交于，，，即：，在和中，，，，，由三角形的内角和为180度，结合对顶角相等得，是的中点，是的中点，，，同理可得：，，，，，∴，；（3）解：如图3，，，，，，，，，，的最大值是4，此时点、、共线，如图4，作于，交于，，，，，，，，，由折叠性质得，①，又②，由①②得，，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形的内角和定理及外角性质，三角形的中位线性质，平行线的判定与性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．30．（2024·河南驻马店·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动．(1)问题发现如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M．请直接写出的度数为______；(2)类比探究如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究：点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数；(3)拓展应用如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值．【答案】(1)(2)不变，理由见详解(3)长的最小值为，最大值为【分析】（1）根据是等边三角形，是的中点，根据等边三角形的性质得出，，再根据即可求解；（2）在等边中，，证明，得出，即可得出；（3）根据第（1）和（2）问的探究可知，当点继续在射线上运动时，的大小始终不变，即的大小始终不变，因此点的运动轨迹是过点三点的圆，得出当圆心和点在一条直线上时，且当点在圆心和点之间时，即时，有最小值，当圆心点和点之间时，即时，有最大值，分别画图计算即可；【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，∵是的中点，∴，，∴，故答案为：；（2）解：不变，理由如下：∵在等边中，，又由条件得．，，；（3）解：根据第（1）和（2）问的探究可知，当点继续在射线上运动时，的大小始终不变，即的大小始终不变，因此点的运动轨迹是过点三点的圆，连接，连接并延长交于，交于，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，故当圆心和点在一条直线上时，且当点在圆心和点之间时，即时，有最小值，此时；当圆心点和点之间时，即时，有最大值，此时．【点睛】该题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质等知识点．解题的关键是掌握以上知识点．31．（2023·重庆铜梁·模拟预测）已知如图，在中，，点是上一点，；

(1)如图1，若，，求的值；(2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若，，点P是直线上一点，点A关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据勾股定理求得和，进而得出结果；（2）延长，交的延长线于，可证得，从而，，进而证得，从而得出；（3）作等腰三角形，使，，连接，可证得，从而得出，从而，当、、共线时，最大，作于，依次求得，，，进而求得，，四边形的面积，进一步得出结果．【详解】（1）解：，，，，，，，，，；（2）解：如图1，

，理由如下：延长，交的延长线于，，，，，是的中点，，，，，，不妨设，则，，，，．（3）解：如图2，

，，，，，，，，点关于的对称点是，，作等腰三角形，使，，连接，，，，，，当、、共线时，最大，如图3，

作于，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．32．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．(1)求的面积；(2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标；(3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．①若是的角平分线，求证：；②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．【答案】(1)(2)(3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解．（2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解．（3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解；②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解．【详解】（1）解：，，，解得：，．，，的面积．（2）解：当点C在上方时：作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：

∴，∵，，，，，，在和中，，，，，∵，，即：，解得：，，，．（3）解：①延长，，它们相交于点，如图：

等腰直角中，，，且，，又，，在和中，，，．是的角平分线，，，，在和中，，，即，．②的大小不变，总为，理由如下：作，，垂足分别是，，如图：

，由①可知：，，在和中，，，，是的角平分线，．【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键．33．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形中，C是边的中点．(1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是；(2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；(3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)18【分析】（1）在上取一点F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论；（2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；（3）作B关于的对称点F，D关于的对称点G，连接，，，，．同（2）可得是等边三角形，则．当A，F，G，E共线时，有最大值，即可求解．【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1），∵平分，∴．在和中，，∴，∴，．∵C是边的中点．∴，∴．∵，∴，，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴；故答案为：．（2）解：结论：．证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2），∵C是边的中点，∴．∵平分，∴．在和中，，∴，∴，．同理可证：，．∵，∴，∵，∴．∴．∴，∴是等边三角形．∴，∵，∴．（3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3，由翻折可得，，，，，，∵C是边的中点，∴，∴∵，由（2）可得是等边三角形，∴．∵当A，F，G，E共线时，有最大值．故答案为：18．【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．34．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形(3)【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，；（2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立；（3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．【详解】（1）解：点，是，的中点，，，点，是，的中点，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）解：是等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，，，，，，，利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接，∵，∴当点三点共线时，最大，如图：最大时，的面积最大，最大，在中，，，∴由勾股定理得：，∵点M为中点，，在中，，同上可求，，同上可得：，∴，．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．题型04、三角形对称变换下的综合问题35．（2023·浙江·一模）如图1，中，，，．为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连接．

(1)如图2，当时，求的长．(2)当翻折得到的中有一边与垂直时，求的长．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）当时，由勾股定理求出的长，在中，，在中，，求出AP的长，再由，，即可求出的长；（2）当于时，在中，，和的长，由折叠性质得的长，在中，利用勾股定理得出的长，当时，过点作于，由（2）可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长．【详解】（1）解：如图，当时，

在中，，，，，在中，，，，在中，，，，由折叠性质可知，又，；（2）当时，由（1）可知，当于时，如图，

在中，，，，，，又，，由折叠性质可知，，又，，在中，，，，；当时，如图

过点作于，由（2）可知，，由折叠性质可知，，又，又，，，，又，，又，，又，，在中，，，，，的长可能为或或．【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及勾股定理，折叠的性质，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键．36．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作验算如图1，是等腰直角三角形纸片，，为上一点，．甲同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点．①求的值；②若，求、的值；(2)迁移探究如图2，是等腰直角三角形纸片，，为线段上任意一点．乙同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点．探究与的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用如图3，是等腰直角三角形纸片，，丙同学在取点，使，沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕交线段于点，连接，求证：．【答案】(1)①

②，(2)；理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）①先得出，得到；②过点作交于点，，，；（2）过点作交于点，交于点，，，得出，根据，得出，再根据，，得出；（3）过点作的平行线交的延长线于点，根据，得出，得到，再证明，得到，，得到，得出．【详解】（1）解：①由题意得：，，，；②过点作交于点，，，，，，；（2）解：，理由如下：过点作交于点，交于点，四边形是矩形，，，，，，，，又，；（3）解：过点作的平行线交的延长线于点，，由（2）可得，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，折叠的性质等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．37．（2024·浙江·模拟预测）综合与实践【问题情境】在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质.圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论.类型．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与和的长有关．问题.若，，则________．【变式探究】类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点．问题．若，则．请猜测与有何关系，并证明．【拓展思考】方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到．问题．若，，求的长．【答案】问题．；问题．；，证明见解析；问题．．【分析】问题．由折叠可得，，设，则，在中由勾股定理得，解方程求出即可求解；问题．证明可得，进而可得，又由即可求解；．同理即可求证；问题．连接，与相交于点，由折叠可得，，进而可得为的中位线，得到，利用勾股定理可得，进而得，即可求解；本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形额判定和性质，三角形中位线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．【详解】解：问题：由折叠可得，，设，则，在中，，∴，解得，∴，故答案为：；问题：由折叠可得，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；猜测：．证明：由折叠可得，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即；问题：连接，与相交于点，由折叠可得，，，∴，∵，∴为的中位线，，∴，∴，∴，∴．38．（2023·浙江台州·模拟预测）已知直角，，，，为边上一动点，沿折叠，点与点重合，设的长度为．(1)如图①，若折痕的两个端点、在直角边上，则的范围为；(2)如图②，若等于2.5，求折痕的长度；(3)如图③，若m等于，求折痕的长度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先在中，求出的长度是多少；然后分两种情况：①当点和点重合时；②当点和点重合时；分别求出的最小值和最大值，即可判断出的取值范围．（2）首先根据，，判断出，再根据点与点关于对称，判断出，；然后根据三角形相似的判定方法，分别判断出，，即可求出、的值各是多少；最后在中，根据勾股定理，求出的长度是多少即可．（3）首先作，垂足为，作，垂足为，连接，根据三角形相似的判定方法，判断出，求出、、的长度各是多少；然后根据三角形相似的判定方法，判断出、，求出、的长度各是多少；最后在中，根据勾股定理，求出的长度是多少即可．【详解】（1）解：，，，，沿折叠，点与点重合，垂直平分，①当点和点重合时，的值最小，此时，；②当点和点重合时，的值最大，此时，，综上，可得若折痕的两个端点、在直角边上，则的范围为：；（2）解：，，，点与点关于对称，，，，，，即，，，，，，即，，；（3）解：如图③，作，垂足为，作，垂足为，连接，，，∴，，，，，，；在中，，，解得，，，，，又，，，，设，则，，，∴，，，，解得，．【点睛】此题主要是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质的应用，直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．39．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点在边上，且．点从点出发沿边向终点运动，点关于所在直线的对称点为，连接、．(1)求线段的长．(2)点与点的最短距离为________．(3)当点落在内部时，求线段长的取值范围．(4)当所在直线与的某一条边垂直时，直接写出线段的长．【答案】(1)(2)(3)(4)的长为或2或【分析】本题主要考查了解直角三角形，轴对称的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案；（2）连接，由轴对称的性质可得，由，可得当点在上时，有最小值，据此求解即可；（3）分别求出如图3-1所示，当点恰好在上时，如图3-2所示，当点恰好在上时，的值即可得到答案；（4）分当时，当时，则，当时，三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵在中，，，，∴，∵，∴；（2）解：如图所示，连接，由轴对称的性质可得，∵，∴当点在上时，有最小值，在中，由勾股定理得，∴的最小值为，故答案为：；（3）解：如图所示，当点恰好在上时，由轴对称的性质可得，在中，，∴在，；如图所示，当点恰好在上时，过点作于H，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，∴，在中，，∴中，，，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴；综上所述，当点落在内部时，；（4）解：如图所示，当时，延长交于G，则，由折叠的性质可得，在中，，在中，，∴，∴；如图所示，当时，则，∴，由轴对称的性质可得，∴，∴；如图所示，当时，过点D作于G，∴，∴，由轴对称的性质可得，∴，∴，在中，，，∴；综上所述，的长为或2或．40．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图①，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）根据勾股定理计算出，利用平行线分线段成比例定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；（2）利用相似三角形的判定与性质，证明，得出，求出，，计算的值即可；（3）①证明，推出，由此即可解决问题；②证明，推出，，推出即可解决问题．【详解】解：（1）∵，，，∴，∵折叠，使点与点重合，折痕为，∴垂直平分线段，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，由题意得垂直平分线段，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）①由折叠的性质可知，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②∵，，，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∵点为线段上的一个动点，，，∴，∴．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质、直角三角形斜边上中线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，正确寻找相似三角形是解题的关键．41．（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究：在中，已知，．(1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小；(2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由．(3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)或或或【分析】（），求出，根据折叠得出，求出，最后由平角的定义即可求解；（）根据折叠得出，，，求出，根据得出即可；（）分情况讨论：当点在线段上，当点在线段延长线上时，当点在线段延长线上，分别画出图形求出结果即可；本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．【详解】（1）∵将沿着进行翻折后得到，，，∴，∴，∴，∴；（2），理由如下：∵将沿翻折得到，∴，，，∴，∴，，∴，即；（3）将沿进行翻折后得到连接，根据折叠可知，，，∴，，

若中存在的内角时，分以下几种情况讨论：当点在线段上，时，如图所示：∴，∴，∵，∴；当点在线段上，时，如图所示，∴，∴，∴，∴，当点在线段延长线上时，如图所示：∵，∴，根据折叠可知，，∴，∴，∴此时中的角不存在的角；当点在线段延长线上，时，如图所示：根据折叠可知，，∴∴，当点在线段延长线上，时，如图所示，∴，∴，根据折叠可知，，∴，∴；综上分析可知，的值为或或或．故答案为：或或或．42．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图,在矩形中,,在的延长线上取点,射线与射线交于点,点关于直线的对称点记为点,连接并延长交的延长线于点．设,,已知．(1)求与的长．(2)记,,的面积分别为,,,且,求的值．(3)连结,若与以,,为顶点的三角形相似,求的值．【答案】(1),(2)(3)或【分析】（1）根据题意得出,再利用和即可求出答案;（2）利用三角形角的转化得出,再利用等腰三角形三线合一性质得出边长比例关系,继而找到面积比例关系求出结果;（3）分类讨论3种情况,利用相似三角形判定及性质,勾股定理正确算出边长,继而求出答案．【详解】（1）解:∵在矩形中,,,,,∴,,∴,∴,即,∵,∴,即．∵,∴,∴．（2）解:∵点与点关于直线对称,∴,,∴．∵,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,,∴,∴,即,解得,∴．（3）解:∵,∴,∴,∴,①当时,,∵,,,∴,∴,∴,∴,∴．②当时,,∵,,,∴,∴,∴.∴,∴,∴．综上所述:或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质．等腰三角形性质,矩形性质,全等三角形判定及性质,勾股定理知识．熟练应用相似三角形判定及性质是解决本题的关键．43．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）【模型搭建】（1）如图1，是等边三角形的边上一点，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点分别在和上．①若，则______．②若，与的周长分别为，则______，______．【灵活应用】（2）如图2，在中，，，点分别在边上将沿向下翻折至，连结平分．若，，求的长．【答案】（1）①，②，；或【分析】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质；（1）①根据得到，进而得到；②设，表示出其他线段及周长后，根据可得计算即可；（2）延长、交于点，可证是等边三角形，进而证明，设，表示出和的边长和周长，最后根据求解即可．【详解】（1）①∵等边三角形∴，由折叠的性质可知，，，∴，∴，∴，∵，∴；②设，则，，∴周长分别为，的周长分别为，∴，∵，∴∵，∴，故答案为：，；（2）延长、交于点，∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∴是等边三角形，∴，由折叠的性质可知，，，∴，∴，∴，，则∵，，∴，，，∴周长为，的周长为，∴代入可得，解得，∴或．44．（2025·湖北武汉·模拟预测）操作与思考在中，点在上，点在上，连接，，将沿直线翻折得，交于点，点是中点，；（1）如图，，点与点重合，求证：；（2）如图，，，求值．迁移与应用如图，四边形中，，，点是中点，连接，将沿直线翻折得，连接，若，，直接用含的代数式表示的值．【答案】（1）见解析；（2）；迁移与应用：【分析】由翻折可知：，根据全等三角形的性质可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立；过作于，交于，由（1）可知：，，根据全等三角形的性质可证，，根据平行线的性质可得，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据可证，根据相似三角形的性质可得；迁移与应用：连接，，延长交于，过作于，设，，根据，可知点、、、在以为直径的圆上，从而可得，可证，根据相似三角形的性质可得，可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，利用相似可得，从而可求．【详解】证明：由翻折可知：，，是中点，，，，点是中点，在和中，，，；

解：如图所示，过作于，交于，由（1）可知：，，，又，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，

迁移与应用：，理由如下：如图所示，连接，，延长交于，过作于，，，，又，，，四边形是矩形，设，，根据折叠的性质可得：，又点是中点，，点、、、在以为直径的圆上