湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷(含详解)

湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期期中联考高一数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为()A.αB.αC.αD.α2.函数f(x)=sin2x−π4在区间0,A.-1 B.-22C.22 3.函数y=sin2x−π3在区间−4.正六边形ABCDEF中,用AC和AE表示CD,则CD=()A.-23AC+C.-23AC+5.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为π3,那么|4a-b|=A.2 B.6 C.23 D.126.在△ABC中,|AB|=3,|AC|=2,AD=12AB+34AC,则直线A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心7.若复数a+3i2+i是纯虚数,则实数a=(A.-32 B.3C.-23 D.8.若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=()A.-1 B.0 C.1 D.2二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.(多选题)已知函数f(x)=3sinx-4cosx,若f(α),f(β)分别为f(x)的极大值与极小值,则()A.tanα=-tanβ B.tanα=tanβC.sinα=-sinβ D.cosα=-cosβ10.(多选题)已知点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有()A.若OA+OB+OC=0,则点OB.若OA·ACAC−ABAB=OBC.若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0,则点OD.若OA·OB=OB·OC=11.(多选题)已知两个复数z1,z2满足z1z2=i,且z1=1-i,则下面说法正确的是()A.z2=−1+i2 B.|z1|=C.|z1+z2|≥2 D.z1三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x−6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为13.已知点P,Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点,BC=a,DA=b,且a,b是不共线的向量,则向量PQ=14.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量OB对应的复数为。

四、解答题：本题共5小题，共77分15.（本小题满分15分）已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx。(1)求fπ3的值(2)若fα2=115,α∈0,π16.（本小题满分15分）已知函数f(x)=4sinωxsinωx+π3-1(ω>0)(1)求ω及f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)图象的对称中心。17.（本小题满分15分）经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP=mOA,OQ=nOB(m(1)证明:1m+(2)求m+n的最小值。18.（本小题满分16分）已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C。(1)求角C的大小;(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA·(AB−AC)=18,求19.（本小题满分16分）在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosCsin(A-B)=cosBsin(C-A)。(1)求tanA的最小值;(2)若tanA=2,a=45,求c。

高一数学试题答案一、选择题：1.D解析如图可知,角α的取值集合为αα=2n2.B解析由已知x∈0,π2,得2x-π4∈−π4,3π4,所以sin2x−π43.A解析令x=0,得y=sin−π3=−32,排除B,D项,当x∈−π2,0时,-4π4.B解析设边长为2,如图,设AD,EC交于点O,则OD=1,AO=3,得OD=13AO。所以CD=CO+OD=125.C解析|4a-b|2=16a2+b2-8a·b=16×1+4-8×1×2×cosπ3=12。所以|4a-b|=23。故选C6.D解析因为|AB|=3,|AC|=2,所以12|AB|=34|AC|=32。设AE=12AB,AF=34AC,则|AE|=|AF|7.A解析a+3i2+i=(a+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=2a+3+(6−a)i5=8.C解析因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以2a=2,1−a2=0,二、选择题：9.BCD解析对于A,B,由题意,得f'(x)=3cosx+4sinx,因为f(α),f(β)分别为f(x)的极大值与极小值,所以f'(α)=f'(β)=0,即3cosα+4sinα=0,3cosβ+4sinβ=0,所以tanα=tanβ=-34,故A不正确,B正确;对于C,f(x)=3sinx-4cosx=5sin(x-φ),其中sinφ=45,cosφ=35,因为tanα=tanβ,且α,β分别为f(x)的极大值点与极小值点,所以由正弦函数的图象知β=α+π+2kπ(k∈Z),所以sinβ=sin(α+π+2kπ)(k∈Z),cosβ=cos(α+π+2kπ)(k∈Z),即sinβ=-sinα,cosβ=-cosα,故C,D正确。综上所述,10.AC解析选项A,设D为BC的中点,由于OA=-(OB+OC)=-2OD,所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D),同理可证O为AB,AC边上中线的三等分点,所以O为△ABC的重心,选项A正确;选项B,向量ACAC,ABAB分别表示在边AC和AB上的单位向量,设为AC',和AB',则它们的差是向量B'C',则当OA·ACAC−ABAB=0,即OA⊥B'C'时,点O在∠BAC的平分线上,同理由OB·BCBC−BABA=0,知点O在∠ABC的平分线上,故O为△ABC的内心,选项B错误;选项C,由(OA+OB)·AB=0,得(OA+OB)·(OB−OA)=0,即OB2=OA2,故|OA|=|OB|,同理有|OB|=|OC|,于是O为△ABC的外心,选项C正确;选项D,由OA·OB=OB·OC,得OA·OB−OB·OC=0,所以OB·(OA−OC)=0,即OB·CA=011.ABD解析因为z1z2=i,z1=1-i,所以z2=i1−i=−1+i2,故A正确;|z1|=12+(−1)2=2,|z2|=−122+122=22,所以|z1|=1|z2|,故B正确;因为|z1+三、填空题：12.20.5

解析因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cosπ6(x−6),所以当x=10时,f(10)=23+5cosπ13.−12a-12解析如图,取AB的中点E,连接PE,QE,由题意,得PE=12CB=−12a,EQ=114.-2+i

解析因为点A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量OB对应的复数为-2+i。四、解答题：15.解(1)因为f(x)=2cos2x+23sinxcosx=1+cos2x(2)由fα2=115,α∈0,π3,得α+π6∈π6,π216.解(1)f(x)=4sinωx12sinωx+32cosωx-1=2sin2ωx+23sinωxcosωx-1=1-cos2ωx+3sin2ωx-1=3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx−π6。因为最小正周期为π,所以2π2ω=π,所以ω=1,所以f(x)=2sin2x−π6,令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π6+kπ≤(2)令2x-π6=kπ,k∈Z,解得x=π12+kπ2,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为17.解(1)证明:设OA=a,OB=b。由题意知OG=23×12(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ−OP=nb-ma,PG=OG−OP=13−ma+13b,由P,G,Q三点共线,得存在实数λ,使得PQ=λPG,即(2)由(1),知1m+1n=3,于是m+n=131m+1n(m+n)=132+nm+mn≥13(18.解(1)m·n=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π,所以sin(A+B)=sinC,所以m·n=sinC。又m·n=sin2C,所以sin2C=sinC,得cosC=12。又因为C∈(0,π),故C=π(2)由sinA,sinC,sinB成等差数列,可得2sinC=sinA+sinB,由正弦定理,得2c=a+b。因为CA·(AB−AC)=18,所以CA·CB=18,即abcosC=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c19.解(1)由已知得cosC(sinAcosB-cosAsinB)=cosB(sinCcosA-cosCsinA),又sin(B+C)=sinA,所以整理得2cosCsinAcosB=cosAsinA,因为sinA>0,所以2cosCcosB=cosA。又cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC,所以