2025年中考数学总复习《将军饮马》专项检测卷及答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《将军饮马》专项检测卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标．(3)若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标2．如图，以矩形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．

(1)直接写出点、的坐标；(2)连接交于点，求的面积．(3)在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线的函数解析式；如果不存在，请说明理由．3．如图，在平而直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，．(1)在图中作，使与关于轴对称；(2)若点P是x轴上的一动点，则的最小值是：______．4．综合与探究如图，已知抛物线经过，两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式，连接，并求出直线的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，此时点的坐标是；(3)点在第一象限的抛物线上，连接，，求出面积的最大值．5．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．(1)请直接写出直线的关系式：_________(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．6．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若，(1)求的长；(2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________．7．如图，抛物线与x轴交于两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．(1)求直线AB的解析式；(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．在中，，在中，，，连接．

(1)如图1，若点在延长线上，连接，且，求的长；(2)如图2，若点在上，为的中点，连接、，当，时，求证：；(3)如图3，若点在线段上运动，取的中点，作交于，连接并延长到，使得，连接、；在线段上取一点，使得，并连接；若点在线段上运动的过程中，当的周长取得最小值时，的面积为，请直接写出的值．11．以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，①求证：△ABG≌△ADC；②求证：GH＝CH；（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．12．问题提出（1）在图1中作出点关于直线的对称点问题探究（2）如图2，在中，，，为的中点，为线段上一点，求的最小值.问题解决（3）如图3，四边形为小区绿化区，，，，，，是以为圆心，为半径的圆弧.现在规划在，边和边上分别取一点，，，使得为这一区域小路，求小路长度的最小值.13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A(3，﹣3)，F(1，)是该抛物线对称轴上的一个定点，过y轴上的点B(0，)作y轴的垂线l．（1）求抛物线的解析式；（2）点P(m，n)是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．14．如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．（1）求点、的坐标；（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；（3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x－与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上．(1)求直线AE的解析式；(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值．参考答案1．(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点坐标；（2）先求出直线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为，可得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值，此时点的坐标为；（3）连接，可得四边形是平行四边形，，从而得到，作点关于轴的对称点，取得最小值时，即为点，，三点共线时，有最小值，再求出的解析式，将代入即可得点的坐标．【详解】（1）解：由题意，抛物线过，，，解得，．抛物线的顶点坐标为；（2）解：把代入得，∴点C坐标为．如图，设经过，两点的直线的解析式为，将，代入得，解得，∴直线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为．，因为，当时，有最大值．此时，点的坐标为；（3）解：连接，和，中点，由平移得与平行且相等，与平行且相等，四边形是平行四边形，．．作点关于轴的对称点，则，取得最小值时，即为点，，三点共线时，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，将代入得，，此时点的坐标为．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质，二次函数的性质，解题关键是准确理解题意，正确画出图形，掌握待定系数法求函数的解析式和二次函数的性质．2．(1)；(2)的面积为(3)在轴、轴上存在点、，使得四边形的周长最小；四边形的周长最小为；直线的函数解析式：【分析】（1）根据，，点是的中点，即可得到点的坐标；利用折叠性质可得，，即可得到点的坐标；（2）利用折叠性质可以得到，，从而得到，，利用比例性质可以得到，利用同高可以得到，根据即可求出的面积；（3）如图，作点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，连接，与轴、轴上交于点、点，此时的点、使得四边形的周长最小，利用勾股定理求出，，即可得到四边形的周长最小值；将点，点，代入，利用待定系数法即可求出直线的函数解析式；【详解】（1）解：∵，，∴点，点，点，∵点是的中点，∴点；∵将沿翻折，使点落在边上的点处．∴，，点；（2）∵沿翻折，使点落在边上的点处．∴，∴，，即：，∴，∴，即：∵，∴，∴的面积为；

（3）在轴、轴上存在点、，使得四边形的周长最小；如图，作点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，连接，与轴、轴上交于点、点，此时的点、使得四边形的周长最小；

由对称性可知：点，点，，，在中，∵，，∴，∴，又∵，；四边形的周长最小为：；设直线的函数解析式，∵直线经过点，点，代入得：，解得：直线的函数解析式：．【点睛】本题考查线段长度与点的坐标的转化，折叠的性质，相似三角形判定与性质及同高转化面积比，待定系数法求函数解析式，线段和最小问题的基本解题思路是利用对称转化为两点之间的距离问题，综合性较强，熟练掌握折叠性质及线段和最小的方法是解决本题的关键．3．(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据轴对称的性质确定点，顺次连线即可得到；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则此时最小，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如下图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点连接，则此时最小，由勾股定理得，故答案为．【点睛】此题考查了轴对称作图，最短距离，坐标与图形以及勾股定理，正确理解轴对称的关系作出图形是解题的关键．4．(1)；(2)(3)【分析】（1）将，两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到，再设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入，即可求解；（2）连接，，根据题意可得A、B关于抛物线的对称轴直线对称，从而得到当在直线上三点共线时，的值最小，把代入直线的解析式，即可求解；（3）过作轴，交于，设Q，其中，则D，可得，从而得到，即可求解；【详解】（1）解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；∵抛物线与y轴的交点为C，∴，设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（2）如图，连接，，∵，∴抛物线的对称轴为直线，根据题意得：A、B关于抛物线的对称轴直线对称，∴，∴，即当P在直线上时，的值最小，∴当时，，∴，故答案是：；（3）过Q作轴，交于，设Q，其中，则D，∴，∵，∴，∴，当时，取最大值，最大值为8，∴的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．5．(1)(2)当或时，(3)【分析】（1）根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解；（2）设，分别用含的式子表示出出，由此即可求解；（3）是等腰直角三角形，设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，∴，且，设直线的解析式为，∴，解得，，∴直线的解析式为，故答案为：．（2）解：由（1）可知直线的解析式为，直线的解析式为，∴，∴，如图所示，点在直线上，过点作轴于，∴设，，∴，，，①当，即时，，若，则，解得，则；②当，即时，，若，则，解得，（舍去）；③当，即时，，若，则，解得，则；综上所述，当或时，；（3）解：已知，设，∴在中，，∵是等腰直角三角形，，∴；如图所示，过点作轴于，在中，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，且轴，∴是等腰直角三角形，，则点的轨迹在射线上，如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，，，∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质，∴，∴轴，且，∴，则，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值；∴由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．6．(1)9(2)9【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证为等腰三角形，由角度可证为直角三角形，再由线段之间的关系即可求出的长；（2）根据将军饮马原理即可得出的最小值为的长度．【详解】（1）解：∵，∴∵边的垂直平分线交于点D，∴，∴∴在中，∴∴（2）解：如图，取点关于直线的对称点，即点；连接两点，与直线交于点，根据两点之间线段最短则即为的最小值，最小值为9【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．7．(1)抛物线的解析式为；(2)当或时，；(3)Q点坐标为．【分析】（1）已知了抛物线过A、B两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式；（2）观察图象即可解决问题；（3）本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接，直线与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，∴，解得，∴所求抛物线的解析式为；（2）解：观察函数图象，当或时，，故答案为或；（3）解：在抛物线对称轴上存在点Q，使的周长最小．∵长为定值，∴要使的周长最小，只需最小，∵点A关于对称轴直线的对称点是，∴Q是直线与对称轴直线的交点，设过点B，C的直线的解析式，把代入，∴，∴，∴直线的解析式为，把代入上式，∴，∴Q点坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．8．(1)(2)，【分析】（1）作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，先求出直线的关系式，得出点E的坐标，求出AE=2，根据勾股定理求出，，，即可得出答案；（2）将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，用待定系数法求出的关系式，然后求出与x轴的交点坐标，即可得出答案．【详解】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小，∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴D（0，2），C（3，4），，设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入，得，，解得k=2，，∴直线为，令y=0，得x=1，∴点E的坐标为（1，0）.∴OE=1，AE=2，利用勾股定理得，，，∴△CDE周长的最小值为：．（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，理由如下：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，∵，且，∴四边形为平行四边形，∴，根据轴对称可知，，∴，设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入，得，解得，∴直线的解析式为，令y=0，得，∴点F坐标为，∴点E坐标为．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．9．(1)y＝2x+4(2)(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求解；（2）将直线AB向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x−2，可得E（0，−2），垂线l2的解析式为y＝−2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝−x＋4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y＝−2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y＝−2于Q，此时PD＋PQ＋DQ的最小，根据D（−2，2），D（2，−6），得直线DD解析式为y＝−2x−2，从而P（0，−2），Q（0，−2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值为4．（3）设P（p，2p＋4），N（0，q），而A（−2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，根据中点公式得N（0，−2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0，−2）．【详解】（1）解：（1）设OB＝OC＝m，∵OA＝2，∴AC＝m+2，A（﹣2，0），∵S△ABC＝12，∴AC•OB＝12，即m•（m+2）＝12，解得m＝4或m＝﹣6（舍去），∴OB＝OC＝4，∴B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB解析式为y＝2x+4；（2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，∵B（0，4），C（4，0），设直线BC解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，由得：，∴D（2，2），作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），设直线D'D''解析式为y＝sx+t，则，解得，∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，∴PD+PQ+DQ的最小值为4．（3）存在，理由如下：设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，如图：此时AD中点即为MN中点，∴，解得，∴N（0，﹣2）；②以AM、DN为对角线，如图：同理可得：，解得，∴N（0，10）；③以AN、DM为对角线，如图：同理可得，解得，∴N（0，﹣2），综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图象上点坐标特征、线段和的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解决问题．10．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）在中，由得，从而得，再找，进而证明，即可得；（2）连接，设与交于点，可证得，从而得出，，进而得出，进一步得出结果；（3）作于点，延长到点，使得，过点作，连接和，作点关于直线的对称点，连接，当点在上运动到点处时，则点在处，的周长最小，进而求得为等腰直角三角形，进而求得，和，进一步得出结果．【详解】（1）解：在中，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）证明：如图，

连接，设与交于点，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴；（3）解：如图，

作于点，延长到点，使得，过点作，连接和，作点关于直线的对称点，连接，当点在上运动到点处时，则点在处，，的周长，长度不变，的周长取决于长度，根据轴对称图形性质，当点在上运动到点处时，的周长最小，此时为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，作于，在中，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质以及勾股定理等知识，熟练掌握“将军饮马”等模型是解决问题的关键．11．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）PK+CK的最小值为4．【分析】（1）过点P作PT⊥BC于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得AP=PT=TC，证明Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），可得AB=TB，由BC=TB+TC，等量代换即可得出结论；（2）①根据同角的余角相等得∠BAG=∠CAD，根据等角的余角相等得∠PBA=∠PCD，利用“ASA”即可得△ABG≌△ACD（ASA）；②过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，首先证明△ABE≌△CAR（AAS），由全等三角形的性质得AE=CR，再由△ABG≌△ACD（ASA），得AG=AD，根据等腰直角三角形的性质得AE=GE=DE，等量代换得CR=GE，然后证明△EHG≌△RHC（AAS），即可得出结论；（3）过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，先证△MBQ≌△MOK（SAS），得∠MBQ=∠MOK=45°，可得点K在OA所在的直线上移动，则PK+CK=PK+BK≥BP，可得出当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，然后根据含30°直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：过点P作PT⊥BC于点T，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵PT⊥BC，∴∠PTC＝90°，∠TPC＝∠TCP＝45°，∴TP＝TC，∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PT⊥BC，∴PA＝PT，∴TC＝PA，在Rt△ABP和Rt△TBP中，，∴Rt△ABP≌Rt△TBP（HL），∴AB＝TB，∵BC＝TB+TC，∴BC＝AB+AP；（2）①证明：∵AG⊥AD，∴∠GAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC，∴∠BAG＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠PBA+∠APB＝∠PCD+∠DPC＝90°，∵∠APB＝∠DPC，∴∠ABG＝∠ACD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD（ASA）；②证明：过点C作CR⊥AF交AF延长线于点R，∵AF⊥BP，CR⊥AF，∴∠AEB＝∠CRA＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∵∠BAE+∠CAR＝90°，∴∠ABE＝∠CAR，在△ABE和△CAR中，，∴△ABE≌△CAR（AAS），∴AE＝CR，∵△ABG≌△ACD（ASA），∴AG＝AD，∵AE⊥DG，∴AE＝GE＝DE，∴CR＝GE，在△EHG和△RHC中，，∴△EHG≌△RHC（AAS），∴GH＝CH；（3）解：过点A作AO⊥BC于点O，连接OM，BK，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AO⊥BC，∴AO＝BO＝CO，∵点M是AB的中点，∴OM＝BM＝AM，OM⊥AB，∴∠OAM＝∠OBM＝45°，∴∠OMB＝90°，∵线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，∴MQ＝MK，∠QMK＝90°，∴∠OMB＝∠QMK，∴∠OMB﹣∠OMQ＝∠QMK﹣∠OMQ，∴∠BMQ＝∠OMK，在△MBQ和△MOK中，，∴△MBQ≌△MOK（SAS），∴∠MBQ＝∠MOK＝45°，∴点K在OA所在的直线上移动，∵OA垂直平分BC，∴CK＝BK，∴PK+CK＝PK+BK≥BP，∴当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，∵∠ABC＝45°，∠DBC＝15°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，在Rt△BAP中，∠BAP＝90°，∠ABP＝30°，AP＝2，∴BP＝2AP＝4，∴PK+CK的最小值为4．【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据对称性即可作图；（2）作点关于的对称点，连接交于点，此时值最小，连接，根据图形的特点及等边三角形的性质即可求解；（3）因为为定值，所以即求的最小值，连接，，分别以，所在的直线为对称轴作点的对称点，，连接，此时的值最小，即为长，根据图形的特点、等边三角形的性质与勾股定理即可求解．【详解】解：（1）如图1所示，点即为所求.（2）如图2，作点关于的对称点，连接交于点，此时值最小，连接.∵，∴.∵垂直平分，∴为等边三角形.∵点为中点，∴，∴.（3）要求的最小值，因为为定值，所以即求的最小值.如图，连接，，分别以，所在的直线为对称轴作点的对称点，，连接，此时的值最小，即为长.∵，∴，∴为等边三角形，即.∵，∴，∴的最小值为.当，，三点共线时值最小，由题知，，，∴，∴．【点睛】此题主要考查轴对称的应用，解题的关键是熟知对称性、等边三角形的性质及勾股定理的运用．13．（1）y＝﹣x2+2x；（2）见解析；（3）存在，QEF周长的最小值为，Q．【分析】（1）将原点O与点A（3，﹣3）、对称轴为直线x＝1，直接代入y＝ax2+bx+c中即可解题；（2）设P（m，﹣m2+2m），表示出PM2＝（m2﹣2m+）2，PF2＝（m﹣1）2+（m2﹣2m+）2，将m﹣1看成整体，进行变形即可解题；（3）借助（2）中结论，将周长最小转化为只要使EQ+QN最小，最终通过垂线段最短来解决问题．【详解】解：（1）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A（3，﹣3），∴c＝0，9a+3b＝﹣3，∵对称轴为：直线x＝1，∴，∴b＝﹣2a，∴a＝﹣1，b＝2，∴抛物线y＝﹣x2+2x，（2）设P（m，﹣m2+2m），∴PM2＝（m2﹣2m+）2＝（m﹣1）4+（m﹣1）2+，PF2＝（m﹣1）2+（m2﹣2m+）2，＝（m﹣1）2+（m﹣1）4﹣（m﹣1）2+＝（m﹣1）4+（m﹣1）2+，∴PM2＝PF2，∴PM＝PF，∴点P在MF的垂直平分线上，（3）如图，为的中点，E（），EF＝，作QN⊥l于N，由（2）知：QN＝QF，∴要想△QEF的周长最小，只要使EQ+QN最小，作EN'⊥l于N'，交抛物线于Q'，∵EQ+QN≥EN'，∴E、Q、N三点共线时，EQ+QN最小，此时EN'＝，Q（）∴QEF周长的最小值为，此时Q．【点睛】本题考查二次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式、线段垂直平分线的判定、线段和最小问题，涉及整体思想，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．14．（1）点的坐标是，点坐标为；（2）；（3）存在，在轴、轴上分别存在点、，使得四边形的周长最小，最小值为．【分析】（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；（2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；（3）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可．【详解】解：（1）∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），∴OA=3，OC=2，根据矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，由折叠知DA=DF=OC=2，∴OD=OA-DA=1，∴点F坐标为（1，2），∵点E是AB的中点，∴EA=1，∴点E的坐标是（3，1）；（2）如图2∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，∴BF=AB=2，∴OD=CF=3-2=1，若设OP的长为x，则，PD=x-1，在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，在Rt△PDH中，P