2024-2025学年北师大版高二数学选择性必修第二册综合模拟测评卷

综合模拟测评卷

（时间:120分钟满分:150分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的）

1.某物体做直线运动，其运动规律是5=好+和的单位是秒,S的单位是米），则它在4秒末的

瞬时速度为（）.

A.竺^米星^米阮^C.8米兆^D.竺米

16164

2.已知数列｛m｝,ai=1,42=2,或+1=2丽+z-i（〃N2,〃@N+）,用数学归纳法证明a4a能被4整除

时，假设wG©N+）能被4整除，应证（）.

A.a秋+1能被4整除B.m+2能被4整除

CQ斤+3能被4整除D.a女+4能被4整除

3.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统

文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量

总和.该数列是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第20项为（）.

A.180B.200C.128D.162

4.已知非常数列｛丽｝满足（即2-。”）2-4（即2-酸+1）（。"+1-前=0（〃£^）舟为数列｛词的前n项

和.若52=2016,52016=2,贝|52018=（）.

A.2018B.-2018C.-2017D.2017

5.已知函数於）=/+3sinx/（x）为函数於）的导函数，则人2020）+/（-2020）"（2019）/（-2

019）=（）.

A.2019B.2018C.4D.2

6.在下列四个图象中，其中一个图象是函数於）=孑3一加+（4-4）x+8（存0）的导函数y=f（x）

的图象，则汽-2）=（）.

（第6题）

AA-8B-lTD寻

3

7.已知数列｛词的前n项和为S”,前n项积为若□”=（四产”+D,则S5=（）.

A.120B.366C.126D.363

8.设Sa为正项数列｛aQ的前n项和,或=3,乎1——：则（225=（）.

Sn2Sn+1+n-4Sn

A.3x223B.3x224C.223D.224

二、选择题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目栗求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.设数列｛外｝是等差数列$是其前〃项和,0>0,且$6=$9,则（）.

A.d<0B.<28=0

C.S5>56D.S1或S8为Sn的最大值

10.已知等比数列｛期｝的公比q=-|,等差数列｛瓦｝的首项历=12,若。9>为且00>40,则以下

说法正确的有（）.

A.〃9Q10<0B.Q9>Q10C.Z?10>0D.Z?9>Z?10

11.若S〃为数列｛斯｝的前n项和，且S〃=2z+1（〃£N+）,则下列说法正确的是（）

A.Q5=-16

B.S5=-63

C.数列｛所｝是等比数列

D.数列｛S”+l｝是等比数列

12.设函数人》)=今，则下列说法正确的是().

A.於)的定义域是(0,1)U(l,+a))

B.xe(0,l)时的图象位于x轴下方

C./U)存在单调递增区间

D<x)有且仅有两个极值点

三'填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案写在题中的横线上)

13.若曲线y=2x4在横坐标为一1的点处的切线为/,则圆03)2+0-2)2=1上任意一点到直

线I的距离的最小值为.

14.若数列｛服｝是正项数列，且+日?+…+J^i=722+3"(〃GN+)Wan=；y+

江+…+区=

3?1+1

15.对于数列｛丽｝,定义数列｛或+卜2斯｝为数列｛丽｝的“2倍差数列”.若m=2,数列｛丽｝的“2

倍差数列”的通项为2/1,则数列｛斯｝的前n项和Sn=.

16.已知定义在R上的奇函数/(x)满足:当xNO时;/(x)=x-sinx.若不等式/(-4f)>/(2"z+/nP)

对任意实数,恒成立,则实数m的取值范围是.

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)求曲线产工在点”(2,-1)处的切线方程.(应用导数定义求解)

a-x

18.(12分)已知八〃)=1+：+[+…+*〃£N+,求证:〃+式1)+…+式〃-1)=研〃)(〃22,且〃£N+).

19.（12分）在①。5=》4+266，②。3+a5=4（Z?l+Z?4）,㉚2s4=5。2加这三个条件中任选一个,补充在

下面的问题中，并解答.

设｛劣｝是公比大于0的等比数歹U,其前附项和为S,｛瓦｝是等差数歹U.已知0=15-

52=。2+2。1,。4=》3+b5,.

（1）求他”｝和｛况｝的通项公式；

（2）设Tn=aibi+aibi+<23teH--卜。疝"，求Tn.

20.（12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳转化为

某种化工产品，经测算，处理成本y（单位:万元）与处理量式单位:吨）之间的函数关系近似

'―x3+640F1030）

地满足y=25'L’〃当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本J。）

x2-40x+1600,[30,50].

最少?

21.(12分)设左为正整数，若数列｛飙｝满足刃=1,且(或+is)2=(〃+l汽则称数列｛劣｝为喋次

方数列”.

(1)设数列｛诙｝为“2次方数列”，且数歹U｛多｝为等差数歹U,求数列｛劣｝的通项公式；

(2)设数列｛所｝为“4次方数列”，且存在正整数机满足加=15,求m的最小值.

22.(12分)已知函数f(x)=xeax-ex.

⑴当a=l时，讨论兀r)的单调性；

⑵当x>0时<求实数a的取值范围；

⑶设“GN+,求证—F+•••+r=J_^>ln(77+1).

\7Vl2+1V22+2Vn2+n、7

参考答案

一'选择题

1.答案B

-3At

(4+AtV+岛-16卷—皿/+8At+岛-|_卬)2+8比+：

解析..As正还=A/+8--一

・At△t△tAt16+4At

妈合8亮=箸，故选B.

2.答案D

鲤L在数列｛颂｝中，相邻两项下标差为4,所以a4k后一项为a4k+4.故选D.

3.答案B

解析由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…，可得偶数项的通项公式为。2〃=2层,贝|此数列的第

20项为2x102=200,故选B.

4.|答案B

I角星左斤-I•(<7n+2-tZn)--4(<2n+2-tZn+l)(tZn+l_<7n)=0,

♦♦[(<7"+2-4/〃+1)+(。〃+1-<7")]~-4(<2〃+2-<7=+1)(。"+1-4/")=01匕闻彳于[(<7"+2-<2"+1)-(。“+1-。")]~=0,••

an+2+an=2an+i,.**数女]{a”}为等差数歹(

又又=2016,52016=2,

/.Si016-S2=a3+a4+,,,+a2oi6=1007(^3+6/2oi6)=-2014,/.^3+a2oi6=ai+^2ois=-2,

•••S2018=2018。+。2。18)=2018.

2

故选B.

5.答案D

---------"7D

解析因为/x)=--+3sinx,所以/(x)=x,2+3COSX

-------------ex+l(ex+l)

7p-XnpX

所以八-x)=GW+3cos(-x)=/g+3cosx=f(x),

所以八x)为偶函数，

所以八2019)=f(-2019).

22ex

又於x)=w+3sin(-x)=K-3sinx,

o2「工

所以#x)tA-x)=3+3sinx+M-3sinx=2,所以人2020)+/(-2020)47(2019)/(-2019)=2.

故选D.

6.|答案B

|解析］=x2-2ax+(a2-4),

，导函数/(x)的图象开口向上.

又分0,.\f(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故其图象必为图象③

由图象特征知八0)=0,且对称轴x=a>09

.•.a=2,贝U汽-2)=-*8+8=T.故选B.

7」答案D

解析|因为善=薛U=3%〃>2),

-------------Hn-1(V3)v

n

所以an=3(n^2).

又tzi=IIi=(V3)2=3符合上式，所以〃〃二3〃,即数列｛〃〃｝是以3为首项,3为公比的等比数列,

则55=出"=虫=363.

1-32

8」答案A

解析|由学=——--，得S〃+i(2S"+i+“-4SQ=2〃S〃^(S"+i-2S")(2S"+i+〃)=0.

Sn2Sn+1+n-4Sn

因为数列｛斯｝为正项数列，所以2s/1+〃>0,可得S”+i=2S〃,则数列｛S"｝是公比为2的等比

数列，又G2=S2-S1=S1=3,所以的=3x2〃」,所以O25=S25-S24=3x223,故选A.

二'选择题

9」答案ABD

I解析卜艮据题意可得。7+。8+。9=0,即3a8=0,即48=0,故B正确；

因为数列｛所｝是等差数列⑷>0,所以公差d<0,所以数次)｛服｝是单调递减数列，故A正确；

对于C,由。6>0,得S5<S6,故C不正确；

对于D,由08=0,得S7=S8,又数列为递减数列恻S7或S8为的的最大值，故D正确.故选

ABD.

10.[答案]AD

解析等比数列｛为｝的公比q=-|,故。9和mo异号，故。900<0,故A正确;但不能确定ag

和410的大小关系，故B不正确；

•「Q9和410异号，且〃9>》9且〃10>510,「・69和610中至少有一，个数是负数「»1=12>0,:.等

差数列｛瓦｝的公差d<O,・・・b9>bio,故D正确;・・・60一定是负数，即加<0,故C不正确.故选

AD.

nJ答案Ac

解析因为为数列｛〃〃｝的前〃项和，且S〃=2斯+1(〃£N+),所以SI=2QI+1,因此

当时,0〃=5〃-5〃-1=2〃〃-2斯-1,即斯=2斯-1,所以数列｛〃“｝是以-1为首项,2为公比的等比

数列，故C正确；

因此G5=-lx24=-16,故A正确;

又S〃=2z+l=-2"+l,所以S5=3+1=-31,故B错误；

因为S1+1=O,所以数列｛8+1｝不是等比数列，故D错误.故选AC.

12」答案ABC

解析卜寸A选项，要使加)喂有意义，需满足{需I"解得%>0且”段)=总的定义域

为(0,1)U(l,+00),故A正确.

对B选项，由人为=高，当》@(0,1)时,lnx<05Ax)<0{x)在(0,1)上的图象都在x轴的下方，故

B正确.

对C选项『(x)=；p"，令g(x)=lnX—,g'(x)=-+—>0,...gQ)在(0,+oo)上单调递增.

Vg(2)=ln2-|>0,.*.x>2时,g(x)>0/(x)>0..\Ax)存在单调递增区间，故C正确.

对D选项,g(x)在(0,+8)上单调递增，且g(l)=lnl-1=-l<0,g(2)=ln2怖>0,存在唯一的xo®

(1,2),使g(xo)=O,即/(xo)=O,当x£(O,xo)时,g(x)<0/(x)<0<x)单调递减，当xe(xo,+oo)

时,gCOXVVOXVCx)单调递增，故人乃只有一个极小值点，故D错误.

三'填空题

13」答案蜉-1

14」答案—|4(〃+1)22n2+6n

解析令得V^7=4,「.QI=16.

当儿22时,…+，^7=(〃-1)2+3(〃-1),则/^=(〃2+3〃)-[(〃-1)2+3(〃-1)]=2〃+2,

.•.〃九=4(〃+1)2,当n-\时也满足，

an=4(〃+1)2(〃£N+),「・=4〃+4,

+—+•••+-^-=4(1+2+,,,+n)+4n=2n2+6n.

23n+i'7

15.|答案|(〃-l)・2〃+i+2

解析|由题意，可得加+i-2a〃=2"+i,且m=2,则辞-上1,所以数列图是首项为1,公差

为1的等差数列.

所以|^=1+(〃-1)义1=〃,所以。〃二〃,2",则5n=1X21+2x22+3x23+,•,+(n-l)x2n-

[+"><2〃,25〃=1*22+2*23+3乂24+・・・+(/1)乂2〃+〃乂2/1,两式相减可得4〃=2+22+23+-・・+2〃-

n-2n+1=^-^-n-2n+l,

解得S〃=S-l)2，+i+2.

16.答案(-cc,-&)

解析|由题意得，当x>0时/(x)=l-cosxNO,则危)在区间(0,+oo)上单调递增，可求得当

x<0时<x)=x-sinx,故火幻在R上单调递增，那么由人-旬^^加+加丹可得-今四加+机於在

R上恒成立.

(方法一^即m/2+4z+2m<0在R上恒成立.

当加20时，不等式在R上不恒成立，所以加<0,此时只需/=16-8加2<0,所以m<-V2.

(方法二)分离参数得加〈-士：：2.

令g⑺求导可得，且")=震冷令g'⑺>°，则(/或/>VX令g⑺<0,则-/</<四,

廿+2&+2)

所以g⑺在区间(-00,-四)上单调递增，在区间(-VX迎)上单调递减，在区间(VI+00)上单调

递增，

又当f趋于-00时,g⑺趋于。£(&)=-夜，

所以g(r)min=g(V2)=-V2,

所以m<-y/2.

四、解答题

17懈I将点航(2,-1)的坐标代入>=」■,得47=1,

所以产七•

所以产lim—=lim""fi"

J△A”x一.or»A4xvdA-Xr一.r0»bAx-v

△x->0[l-(x+Ax)](l-x)Ax

=lim---------------=-^—2,

△工―0[l-(x+Ax)](l-x)(1-x)

所以曲线在点M处的切线斜率为义=1.

(1-2)

故曲线在点M处的切线方程为y-(-l)=x-2,即x-y-3=0.

18」证明|⑴当n=2时，左边=2M1)=3,右边=42)=3,等式成立.

(2)假设当〃=网上>2,左©N+)时，左/1)+…夕伏).

当n=k+l时，左+1疗1)+…次上1)七/因=1+八左)+相左)=(左+1才因+1=(左+1>

=(/:+1)>+1).

即n=k+l时，命题成立.

根据(1)和(2),可知结论正确.

19.廨[1)选条件①:设等比数列｛m｝的公比为q,

,；ai=l,S3-S2=a2+2ai,.，.q2-q-2=0,解得q=2或q=-l.

ni

q>0,q=2,1.an=2.

设等差数列｛瓦｝的公差为d,

*.*tZ4=b3+b5,<25=t>4+2Z?6,

.12瓦+6d—8,

••(3瓦+13d=16,

解喏二

nA

/.bn=n.：・an=2,bn=n.

选条件②:设等比数列｛斯｝的公比为q,

Vai=l,S3-S2=ai+2〃i,

.,.q2-q-2=0,解得q=2或q=-l.

*/q>0,・\q=2,JQ〃=2"-I.

设等差数列｛瓦｝的公差为d.

*/〃4=加+^5,03+〃5=4(61+64),

.(2b1+6d=8,

•,血1+3d=5,

解喏二

nA

/.bn=n.：・an=2,bn=n.

选条件③设等比数列｛z｝的公比为q,

•••〃i=l,S3-S2=a2+2〃i,・・・/-q-2=0,解得q-2或q--1.

设等差数列｛瓦｝的公差为d,•:04=b3+85力2s4=5aib3,

bi=1,

解得

d=1,

n1

bn=n.an=2',bn=n.

(2)由(1)知"〃二2"」力〃=4

Tk=〃ibi+〃2~2+,・,x20+2x21+••,+(〃-1)X2"-2+〃X2"-\①

A27^=lx21+2x22+・・・+(〃-1)x2〃」+〃x21②

①-②，得-A=l+2i+22+-・・+2〃/-〃x2〃=j-〃x2〃=2〃-l-〃x2「・・・4=(〃-l)x2〃+L

(—x2+—%E[1030)

20.见由题意，可知二氧化碳每吨的平均处理成本P(%)q=『51600、‘''

①当代口。四时/⑴或占叫所以2。)=如罢=2(啜曹。),当xe(10,20)

时,P'(x)<0,P(x)单调递减;当xG(20,30)时,P'(x)>0,P(x)单调递增,所以当x=20时,P(x)取得

最小值P(20)=(+詈=48.

②当xG[30,50]时,P(x)=x+詈-4022•詈-40=40,当且仅当产詈，即%=40时,P(x)

取得最小值P(40)=40.

因为48>40,所以当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少.

21.廨口(1)因为数列｛m｝为“2次方数列”，

所以S+is)2=(〃+l)2,于是a2-a\=±2.

又ai=l,故ai--\或4/2=3.

当〃2=3时,由数列｛詈｝为等差数列，得数列图的首项为1,公差为y斤以攀=1+(〃4咛=

去〃+1),所以为=3层+〃),经检验,满足题意；

当公二-1时,由数列｛智为等差数列,得数列｛智的首项为1,公差为-点所以孽

|〃+|,所以斯二-|层+)经检验，不满足题意，舍去.

综上所述，数列｛〃〃｝的通项公式为a«=j(n2+n).

(2)因为数列｛词为“4次方数列“，所以外+15=壬(〃+1)2,即an=\士婴土？土…土足・

因为。加=15,当mW3