《实际问题与二元一次方程组》专项练习

10.3…实际问题与二元一次方程组

一.选择题(共6小题)

1.我国古代算题：''马四匹，牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马

三匹，牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y

两，可列方程组为()

A(4%+6y=48R(4X+3y=48

A，(3%+5y=38(6%+5y=38

「(6x+4y=48D+6y=48

(5%+3y=38(5%+3y=38

2.“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十

六头笼中露，看来脚有一百只，几多鸡来几多兔”.解决此问题，设鸡为x只，

兔为y只，则所列方程组正确的是()

Ar+y=36(x+y=18

{2x+2y=100{2x+2y=100

「pc+y=36(x+y=36

(4x+2y=100\2x+4y=100

3.《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各

几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2

人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘.问共有多少人？多少辆车？如果设有x

人，丁辆车，则可列方程组为()

(x+3y=6(x-6=3y

'12y+x=9{x—2y=9

4.《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗

里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，

两人闲坐恼心肠，画地算了半晌.这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着

山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍乙对甲说：“我

若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊，乙有y只羊，根

据题意列出二元一次方程组为()

A俨一9=2(y+9)

•ly+9=%—9

R俨+9=2(y-9)

•ly+9=%—9

r俨+9=2y

[y+9=x

n俨—9=2y

[y+9=x-9

5.我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人

共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人

乘一辆车，则空2辆车：若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人数和

车数各是多少.设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为()

A[3(y_2)=久p(y+2)=%

,(2y—9=x，(2y—9=x

r(3(y-2)=xCi(x_2)=y

•12y+9=%，12y+9=x

6.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》

和《牵风记》两种书.已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购

买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同.如果设《北上》的单价

是x元，《牵风记》的单价是y元.根据题意列方程组正确的是()

A+2y=80P(2x+y=80

A，(5%=6y15x=6y

「pv+2y=80(2x+y=80

・(6%=5y，(6%=5y

二.填空题(共6小题)

7.某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每

天35元.一个79人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房

正好住满，一天共花去住宿费2315元.设该旅游团租住三人间客房x间，两

人间客房y间，请列出满足题意的方程组.

8.甲、乙两人共有图书80本，若甲赠给乙6本书，两人的图书就一样多，如果

甲、乙两人原来分别有x本、y本，依题意列方程组，

得.

9.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%,乙

商品提价40%,调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若

设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则可列方程组

为.

10.如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示

未知数X,y的系数与相应的常数项.如图1所示的算筹图用方程组形式表述

出来，就是｛为类似地，图2所示的算筹图，可以表述

为.

IllII-MlIHI-HI

I1111=IIIIIHII=T

图一图二

n.小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏.游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞

镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分.结果两人一共投中了20

次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分.设小华投中的次数为x,

爸爸投中的次数为》根据题意列出的方程组是.

12.某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格下调了10%.将某种果汁饮料每瓶的价格

上调了5%,已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸

饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费19.8元，若设上述碳酸饮料、果汁饮料在调

价前每瓶分别为x元和y元，则可列方程组为.

三.解答题（共4小题）

13.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了

若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励.若购买2副乒乓球

拍和1副羽毛球拍共需280元;若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480

元.你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？试找出问题的解.

14.有一道不完整的题目：2022年底随着防疫政策的调整，某地有大量医药物

资需要紧急调配，某运输车队现有载重量为8吨、10吨的卡车共▲辆，全部

车辆一次能运输■吨医药物资，分别求载重量为8吨和10吨的卡车的数量（其

中▲和■均是由于印刷错误导致看不清楚的常数）.

老师提示说：“我看了参考答案，若设载重量为8吨的卡车有x辆，载重量为

10吨的卡车有y辆时，则根据题意可列方程组为no」'

（1）根据老师的提示，补全不完整的数据：▲=,■=

（2）解方程组-俨+y=i2

S用牛刀住上・佰％+10y=

15.在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：

在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一

条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18

天完成.

(1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组=口，请

写出李东所列方程组中未知数x,y表示的意义：x表示,y

表示；并写出该方程组中△处的数应是,口处

的数应是；

(2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修

建了y米公路.下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少

天？

16.阅读下列材料，完成相应任务.

下表是2019-2020赛季CB4职业联赛积分榜(部分球队)

球队比赛场数胜场负场积分

广东东莞银行3028258

新疆伊力特2922751

辽宁本钢30201050

山东西王30191149

山西汾酒30181248

福建豹发力30131743

小明和小亮不仅热爱篮球，而且对CB4联赛积分问题产生了浓厚的兴趣.他

们提出的问题是：“胜一场、负一场分别积几分？”

小明的思路是：设胜一场积x分，则根据“广东东莞银行”胜负场数与积分的

关系可以用含x的式子表示负一场的积分为，再根

据“新疆伊力特”胜负场与积分的关系可列一元一次方

程.

小亮的解法是：设胜一场积x分，负一场积y分，…第一步

可得二元一次方程组『0%+=50曾…第二步

(19%+Uy=49(2)

由①，得y=5-2尤③…第三步

将③代入②，得19x+U(5-2x)=49…第四步

解这个方程，得x=2…第五步

将x=2代入③中，得、=1…第六步

解得言：:……第七步

答：胜一场积2分，负一积1分.…第八步

任务1：将小明的思路中的空格处填起来；

任务2：(1)小亮的解法中，列方程①②根据的等量关系分别是：方程

①;方程②：;

(2)小亮解二元一次方程组的方法叫；

(3)小亮的解法中，第四步主要体现的数学思想是.(选正确选项

的代码)

A.转化思想

B.一般到特殊思想

C.分类思想

D.数形结合思想

任务3：设胜一场积x分，负一场积y分，请你选择与小明和小亮不同的等量

关系，列二元一次方程组.(只列不解)

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案ADABCA

一.选择题（共6小题）

1.我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马

三匹，牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y

两，可列方程组为（）

A（4x+6y=48（4x+3y=48

A，（3%+5y=38R{6x+5y=38

「（6x+4y=48D『％+6y=48

（5%+3y=38D，（5x+3y=38

【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；

马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组即可.

【解答】解:设马每匹X两,牛每头y两,根据题意可列方程组为:蹩:黑二普

故选：A.

2.“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十

六头笼中露，看来脚有一百只，几多鸡来几多兔”.解决此问题，设鸡为x只，

兔为y只，则所列方程组正确的是（）

Ar+y=36（x+y=18

[2x+2y=100（2x+2y=100

„（x+y=36（x+y=36

（4x+2y=100（2x+4y=100

【分析】设鸡为x只，兔为y只，根据“三十六头笼中露”，得方程x+y=36；

根据“看来脚有100只”，得方程2x+4y=100即可解题.

【解答】解：根据题意列方程组为：

（%+y=36

（2x+4y=100'

故选：D.

3.《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各

几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2

人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘.问共有多少人？多少辆车？如果设有x

人，y辆车，则可列方程组为()

「俨+3y=6n(x—6=3y

(2y+久=90,卜-2y=9

【分析】根据“若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆

车，最终剩余9人无车可乘”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得

解.

【解答】解：•••若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车，

.*.x+6=3y；

•••若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘，

.,.2y+9=x.

故选：A.

4.《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗

里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，

两人闲坐恼心肠，画地算了半晌.这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着

山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍乙对甲说：“我

若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊，乙有y只羊，根

据题意列出二元一次方程组为()

A俨—9=2(y+9)

ly+9=x-9

口户+9=2(y—9)

ly+9=x-9

r俨+9=2y

J[y+9=%

n(x-9=2y

(y+9=x-9

【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍."和“我若得你9只羊,

我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可.

【解答】解：由题意得：

+9=2(y—9)

(y+9=%—9'

故选：B.

5.我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人

共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人

乘一辆车，则空2辆车：若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人数和

车数各是多少.设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为（）

C（3（y_2）=xD户（x-2）=y

•（2y+9=%•[2y+9=x

【分析】根据题目中的等量关系列出方程组即可.

【解答】解：设人数为X人,车数为y辆，列方程组为：

故选：C.

6.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》

和《牵风记》两种书.已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购

买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同.如果设《北上》的单价

是x元，《牵风记》的单价是y元.根据题意列方程组正确的是（）

.（x+2y=80P（2x+y=80

A，（5%=6y（5%=6y

「pr+2y=80D[2%+y=80

O{6x=5y（6%=5y

【分析】根据“购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北

上》与购买6本《牵风记》的价格相同”建立方程组即可.

【解答】解：设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元，列方程组

为俨+2y=80

yjl5x=6y，

故选：A.

二.填空题（共6小题）

7.某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每

天35元.一个79人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房

正好住满，一天共花去住宿费2315元.设该旅游团租住三人间客房x间，两

人间客房y间，请列出满足题意的方程组—•

【分析】设租住三人间X间，租住两人间y间，就可以得出3x+2y=79,3X

25x+2X35y=2315,由这两个方程构成方程组.

【解答】解：设租住三人间x间，租住两人间y间，由题意，得

C3x+2y=79

(.3x25x+2x35y=2315'

故答案为.产+2>=79

联口本I3x25x+2x35y=2315,

8.甲、乙两人共有图书80本，若甲赠给乙6本书，两人的图书就一样多，如果

甲、乙两人原来分别有x本、y本，依题意列方程组，得匕土丁咒A.

【分析】设甲原来有X本书，乙原来有y本书，根据甲、乙两人共有图书80

本，甲赠给乙6本书，两人的图书就一样多，列方•程组即可.

【解答】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书，

由题意得，［+厂咒6・

故答案为：『厂咒

9.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%,乙

商品提价40%,调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若

设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则可列方程组为

+y=100

1(1-10%)%+(1+40%)y=100x(1+20%)—,

【分析】设甲、乙两种商品原来的单价分别为X元、y元，根据“甲、乙两种

商品原来的单价和为100元”，列出关于x和y的一个二元一次方程，根据“甲

商品降价10%,乙商品提价40%,调价后，两种商品的单价和比原来的单价

和提高了20%”，列出关于x和y的一个二元一次方程，即可得到答案.

【解答】解：设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，

甲、乙两种商品原来的单价和为100元，

•*.x+y=100,

甲商品降价10%后的单价为：(1-10%)X,

乙商品提价40%后的单价为：(1+40%)y,

•••调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%,

调价后，两种商品的单价为：100X(1+20%),

贝U(1-10%)x+(1+40%)y=100X(1+20%),

/%+y=100

即方程组为::1(1-10%)%+(1+40%)y=100x(l+20%)?

%+y=100

故答案为:

.(1-10%)%+(1+40%)y=100x(l+20%).

10.如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示

未知数x,y的系数与相应的常数项.如图1所示的算筹图用方程组形式表述

出来，就是尸匕2y类似地，图2所示的算筹图，可以表述为

(2x+y=11

(4%+3y=27—,

IIIII-wIIII-ITT

IIlli=IIIIIIlli=T

图一图二

【分析】理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组.

【解答】解：根据题意得：

故答案为：(4：：3；=27-

n.小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏.游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞

镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分.结果两人一共投中了20

次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分.设小华投中的次数为x,

爸爸投中的次数为y,根据题意列出的方程组是.

【分析】设小华投中的次数为x,爸爸投中的次数为》根据“两人一共投中

了20次，爸爸的得分比小华的得分多4分”列方程组即可.

【解答】解:根据题意，得宜

故答案为：gX=3y-

12.某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格下调了10%.将某种果汁饮料每瓶的价格

上调了5%,已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸

饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费19.8元，若设上述碳酸饮料、果汁饮料在调

价前每瓶分别为x元和y元，则可列方程组为—：力晟：2x105v-198-

A\j.yJi十乙入_L.UDy-Xy.O

【分析】设碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为X元和y元，根据调价前

买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2

瓶共花费19.8元，列方程组即可.

【解答】解：设碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，由题意

得，

+y=8

（3x（1-10%）%+2x（1+5%）y=19.8'

整理得俨+y=8

正田寸，（3x0.9x+2xl.05y=19.8,

故答案为:｛其超：2X105V-198・

三.解答题（共4小题）

13.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了

若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励.若购买2副乒乓球

拍和1副羽毛球拍共需280元;若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480

元.你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？试找出问题的解.

【分析】设乒乓球拍的单价为x元，羽毛球拍的单价为y元，根据“购买2

副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍

共需480元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【解答】解：设乒乓球拍的单价为x元，羽毛球拍的单价为y元，

依题意得：卷2；=怨0，

解得：

答：乒乓球拍的单价为80元，羽毛球拍的单价为120元.

14.有一道不完整的题目：2022年底随着防疫政策的调整，某地有大量医药物

资需要紧急调配，某运输车队现有载重量为8吨、10吨的卡车共▲辆，全部

车辆一次能运输■吨医药物资，分别求载重量为8吨和10吨的卡车的数量（其

中▲和■均是由于印刷错误导致看不清楚的常数）.

老师提示说：“我看了参考答案，若设载重量为8吨的卡车有x辆，载重量为

10吨的卡车有y辆时，则根据题意可列方程组为国：：%；：ng.”

（1）根据老师的提示，补全不完整的数据：▲=12,■=110；

⑵解方程组：[8x/10y=no-

【分析】(1)根据x+y=12,可得出▲=",根据8x+10y=110,可得出■=

110；

(2)解二元一次方程组，即可得出结论.

【解答】解：(1).••载重量为8吨的卡车有x辆，载重量为10吨的卡车有y

辆，且x+y=12,

.,.▲=12；

V8x+10y=110,

.,.■=110.

故答案为：12,110；

(2)[x+y=12①

+10y=110②，

②-①X8得：2y=14,

:.y=1.

将y=7代入①得：x+7=12,

解得：尤=5,

15.在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：

在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一

条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18

天完成.

(1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组=口，请

写出李东所列方程组中未知数表示的意义:X表示甲队修建的时间，

y表示乙队修建的时间；并写出该方程组中△处的数应是18,□

处的数应是4000；

(2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修

建了y米公路.下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少

天？

【分析】(1)由两队共用18天完成修建任务，可得出△处的数，利用工作总

量=工作效率X工作时间，结合甲、乙两队的工作效率及公路的总长，可得

出x,y的含义及口处的数；

（2）利用公路的总长及工作时间=工作总量+工作效率，可列出关于x,y

的二元一次方程组，解之可得出x,y的值，再利用乙队的工作时间=乙队的

工作总量+乙队的工作效率，即可求出乙队的工作时间.

【解答】解：（1）•••甲、乙两个工程队先后接力18天完成公路的修建任务，

•*.x+y=18,

△处的数应是18；

•.•甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，公路全长4000米,

.•.200x+250y=4000,

••.X表示甲队修建的时间，y表示乙队修建的时间，口处的数应是4000.

故答案为：甲队修建的时间，乙队修建的时间，18,4000；

%+y=4000

（2）根据题意得:x,y_1只

200十250一

解得:x=2000

j=2000'

V2000/丁、

=——=8（天）.

250250

答：乙队修建了8天.

16.阅读下列材料，完成相应任务.

下表是2019-2020赛季CA4职业联赛积分榜（部分球队）

球队比赛场数胜场负场积分

广东东莞银行3028258

新疆伊力特2922751

辽宁本钢30201050

山东西王30191149

山西汾酒30181248

福建豹发力30131743

小明和小亮不仅热爱篮球，而且对CB4联赛积分问题产生了浓厚的兴趣.他

们提出的问题