2024-2025学年海南省海口市龙华区某中学九年级（下）第一次月考数学试卷+答案解析

2024-2025学年海南省海口市龙华区华侨中学九年级（下）第一次月考

数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2024的相反数是（）

2.2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，航天员江新林、汤洪波、唐胜杰将与神舟

十六号航天员会师太空.空间站距离地球约为423000%,423000用科学记数法可表示为（）

A.423x103B.42.3x104C.4.23x105D.0.423x106

3.当c=—1时，代数式3力+1的值是（）

A.-4B.-2C.2D.4

4.如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（）

该题正在审核中，敬请期待~

6.下列计算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.a2.a3=a5c.Q6.Q2=Q3D.(a3)2=a'

犷—4

7.分式方程=0的解是（）

x—2

A.-2B.2C.±2D.无解

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)

A.28°B.38°C.48°D.88°

10.如图，为半00的直径，延长N8到尸，使=PC切半

00于点C,点。是弧NC上和点C不重合的一点，则ZB。。的度数是

()

A.20°B.25°C.30°D.40°

11.如图，如图所示木制衣帽架由三个全等的菱形组成，根据需要/、£之间的距离可以调节，若HE=90cm

时，BD=40cm,则N3长为（）

A.50emB.40cmC.30cmD.25cm

12.如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形48CD昉的中心与原点

O重合，48〃2轴，将六边形绕点。顺时针旋转，每次旋转45°，则第900次

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旋转结束时，点工的对应点坐标为()

A.(-3,373)

B.(3,-3^)

C.(373,-3)

D.(3,3\/3)

二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。

13.因式分解2/—4/+2=.

14.一次函数9=(2a+3)2+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是.

15.如图，正方形/BCD的对角线/C与8。相交于点O,/ACB的角平分线分别交DC

AB,BD于M,N两点.若则/CA/B=_—_____.线段ON的长为_—_____.工\/\

AMB

三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

(1)计算：V25x\/=64+(-1)2025+(-2)3；

⑵解不等式组｛三二°>5—3・

17.(本小题10分)

某商场在蛇年春节期间开展促销活动，对/、2两种商品进行打折销售.已知打折前，购买5件/商品和1

件8商品需用84元：打7.5折后，购买6件N商品和3件8商品需用81元.求促销期间购买30件/商品和

30件2产品共花费多少元？

18.(本小题9分)

如图，在△ABC和△CEO中，AB//CE,AB=DC，BC=CE，

(1)求证：4ABCm4DCE；

(2)若延长成)恰好经过点/,且4。=3。，求NE的大小.

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19.(本小题10分)

校园安全问题始终是社会各界关注的焦点，2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高

学生安全防范意识和自我防护能力，我市某初中进行了校园安全知识测试.现从七、八两个年级各随机抽取

20名学生的测试成绩(百分制，数据分成5组：50W±<60,60rr<70,70(立<80,80〈c<90,

901工<100,其中85分及以上为优秀)进行整理、描述、分析、统计如下：

员七年级学生在80<2<90这一组的成绩数据：83,85,85,85,85,86,87,89.

C.八年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下：

平均数众数中位数优秀率

八年级87868870%

根据以上信息，回答下列问题：

(1)这次调查中，七年级学生的测试成绩的中位数是；

(2)七年级学生甲与八年级学生乙的测试成绩均为87分，这两人在各自年级学生中成绩排名更靠前的是

；(填“甲”或“乙”)

(3)该校七年级共有600名学生，若学校决定将测试成绩靠前的270名学生选入安全志愿服务团队，预估七

年级分数至少达到分的学生才可以入选.

(4)你认为哪个年级的学生对校园安全知识掌握的总体水平较好？并说明理由.

A.七年级抽取学生成绩的频数分布直方图

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20.（本小题10分）

根据以下材料，探索完成任务.

探究车牌识别系统的识别角度

某小区为解决“停车难”这个问

题，一楼地面改造一个地下停车

平一楼地面

库.图1是该地下停车库坡道出入车库地面一一

材料1AC

口的侧面示意图.地下停车库高

图1

6。=4.2m,BC1AC，NC长

14.4m.

图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头。点位于

3点正上方IZB=l.lwz，D,B,C三点共线.摄像头在斜坡上的有效

识别区域为匹，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打

4

材料2开，车辆通过后，闸门才会自动关闭.（参考数据：sin53°«-,

5

cos53°7-,tan53°7-）|==&=="—

1512附

汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速

材料3

5km/h.（lm/s=3.6fcm//z）

（1）确定斜坡坡度：如图1，求分的值；

（2）如图3,当NE0B=53°时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达3点时，闸门3是否已经

打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明.

21.（本小题12分）

在平面直角坐标系中，如图1，抛物线。i：?/=—/+比+c（b>0）与x轴交于AQi,0）,3（死,0）两点，且

Xi<X2.

（1）若抛物线。2：沙=-/+诙+C—1（6〉0）与X轴交于两点，坐标分别为（磔,0）,（24,0），且立3<必4.直

接写出的,X2,磔，的大小关系.

⑵当①1=一1,工2=3时，抛物线与y轴交于点C,作直线BC.

①求抛物线的解析式.

②如图2,点尸是线段3c上方的抛物线上一动点，过点P作PQLBC,垂足为。，请问线段PQ是否存在

最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标若不存在，请说明理由.

③如图3,点M是直线2C上一动点，过点M作线段及fN〃。。（点N在直线2C下方），已知MN=2，

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若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围.

22.（本小题12分）

问题情境：小明对矩形纸片进行两次折叠，先沿对角线8。折叠，展开后再折叠使点3落在对角线

BD上,对应点为6',折痕与边40、3c分别交于点£、F（如图1）.

活动猜想：（1）如图2,当点B'与点。重合，四边形2助尸是哪种特殊四边形？并证明.

问题解决：（2）如图3,若4B=4，AD=8,NEB'。=90°，求百方.

E/D

深入探究：（3）如图4,当与满足什么关系时，始终有与对角线NC平行.

图2

图3

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：2024的相反数是—2024,

故选：B.

根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.

本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax1(T的形式，其中14同＜10,〃为整数，

表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃

的绝对值大于1与小数点移动的位数相同.

【解答】

解:423000=4.23x105;

故选C

3.【答案】B

【解析】解：当，=一1时，

3c+l=3x(-1)+1=-2,

故选：B.

把x=—1代入到3/+1中求值即可.

本题考查了代数式求值，是一道基础题，需注意数的符号问题.

4.【答案】D

【解析】解：左面看去得到一列两个相邻的正方形.

故选：D.

根据左视图是从左面看到的图判定则可.

本题主要考查了简单组合体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面

看到的图叫做俯视图，难度适中.

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5.【答案】

该题正在审核中，敬谪期待〜

【解析】

该题正在审核中，敬请期待〜

6.【答案】B

【解析】【分析】

此题主要考查了募的乘方运算以及同底数幕的乘除运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键.

直接利用积的乘方运算法则以及同底数幕的乘除运算、合并同类项法则分别判断得出答案.

【解答】

解：4a2和然不是同类项，不能计算，故此选项错误；

235

B.a.o=a,故此选项正确；

C.a6-a2=«4,故此选项错误；

D.(a3)2=a6,故此选项错误.

故选A

7.【答案】A

【解析】解：去分母得：/—4=0，

解得：2=2或立=一2,

经检验立=2是增根，分式方程的解为2=-2.

故选/

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分

式方程一定注意要验根.

8.【答案】C

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【解析】解：A,由函数g=a2—a的图象可知a<0,由函数。=2（a丰0）的图象可知a>0,相矛盾，故

X

错误；

B、由函数V=加一。的图象可知a〉0,—a〉0,由函数沙=2（a#0）的图象可知a<0,错误；

x

C、由函数沙=ax—a的图象可知a<0,由函数“=々a/O）的图象可知a<0,正确；

x

D、由函数?/=ac-a的图象可知山,〉0,-a<0,一次函数与〉轴交与负半轴，相矛盾，故错误；

故选：C.

先根据一次函数的性质判断出。取值，再根据反比例函数的性质判断出。的取值，二者一致的即为正确答

案.

本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.

9.【答案】C

【解析】【试题解析】

【分析】

本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

根据平行线的性质得到Z1=ZB=68。，由三角形的外角的性质即可得到结论.

【解答】

解：如图，-：AB//CD,

.-.Z1=ZB=68%

•.•/E=20°，

.­.ZD=Z1-Z£?=48°，

故选C.

10.【答案】c

【解析】解：连接。C,则NOCP=90°

BP=~AB,

：,OB=BP=OC，即。P=2。。，

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，NOPC=30°，ZPOC=60%

Z5£>C=|zFOC=30°,

故选：c.

连接OC；由BP=,可得3P与00的半径相等,即OP=2OC,由此可求得ZP=30°，/COP=60°，

进而由圆周角定理求得ABDC的度数.

此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理的综合应用，难度不大.

11.【答案】D

【解析】解：如图，连接/C、AD交于点。,

•.•四边形N8CD是菱形,

：,OA=15,OB=20,ACLBD,

在RtZ"10B中，由勾股定理得:

AB=052+202=25.

故选：D.

根据菱形的性质解答即可.

本题考查了菱形的性质，熟练掌握该知识点是关键.

12.【答案】B

【解析】解：如图，连接CM、OB,

■：六边形ABCDEF是正六边形,

QKf)0

：.AAOB=—^=6Q°,

6

-：OA=OB，

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ZVIOB为等边三角形，AG=GB==3,

：,OB=AB=6,

OG=\!R-®-3A/3>

将六边形绕点。顺时针旋转，每次旋转45。，

3600°

F=8，

旋转8次，点N回到原位置，

'.-9004-8=112……4,

.•.第900次旋转结束时，点N与点。重合，

由题意可知：点。的坐标为(3,—3，9)，

.•.第900次旋转结束时，点A的对应点坐标为(3,-3g)，

故选：B.

连接OB,根据正六边形的性质得到乙4OB=60°，根据勾股定理求出OG,根据题意总结规律，根据

规律解答即可.

本题考查的是正多边形和圆、图形的变化规律，掌握正多边形的性质、正确总结规律是解题的关键.

13.【答案】2(c—l)2

【解析】【分析】

此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解本题的关键是提取公因式2.

先提取2,然后用完全平方公式分解即可.

【解答】

解：2«一如+2=2(/-2/+1)=2(7—I)2,

故答案为：2(rr—l)2.

3

14.【答案】a<一］

【解析】解：•.•一次函数4=(2a+3)2+2的值随x值的增大而减少，

3

/.2。+3<0,解得Q<——.

故答案为：a<-1.

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先根据一次函数的性质得出关于a的不等式2a+3<0,再解不等式即可求出a的取值范围.

本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键.

15.【答案】67.5°—

2

【解析】解：作MHLAC于"如图,

•.•四边形48CD为正方形，

「"AL4H=/4。8=45°，

•.,。川是乙4。8的角平分线，

:"BCM==22.5°,

CMB=90°-/LBCM=67.5°,

为等腰直角三角形，

AH=MH=^^-AM=xy/2=1>

22

■：CM^AACB,

：,BM=MH=1，

：.AB=V2+1

AC=y/2AB=2+y/2，

.•.0。=/。=1+?，

CH=AC-AH=2+V2-l=V2+l^

■.■BD1AC>

：,ON//MH,

：./\CON^

ON_OC

'MH^'CH'

0+1

即ON_^+，

--V2+1

:.ON=g

故答案为：67.5°，—.

2

作A/HL4C于H,如图，根据正方形的性质得NMAH=45°,则为等腰直角三角形，再求出

MH,MB,CH/CO,然后证明△CONSACH”,再利用相似比可计算出。N.

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本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共

边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角

形.也考查了角平分线的性质和正方形的性质

16.【答案】-29；

—2</<3.

【解析】解：(1)原式=5x(—4)—1—8

=—20—1—8

=—29；

[2+2>0①

12(2+3)>5c-3②‘

由①得，x>-2,

由②得，，<3,

故此不等式组的解集为：—2</<3.

(1)先化简，再按照运算顺序进行计算即可；

(2)分别解两个一元一次不等式，再求不等式组的解集即可.

本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此

题的关键.

17.【答案】促销期间购买30件/商品和30件3产品共花费600元.

【解析】解：设/商品的单价为x元，8商品的单价为y元，

依题意，得[二二2.历

I6力+3g=81・75%

解得｛:1;6,

30x16+30x4=600(元)

答：促销期间购买30件A商品和30件8产品共花费600元.

设/商品的单价为x元，8商品的单价为y元，根据“购买5件/商品和1件2商品需用84元：打7.5折后,

购买6件/商品和3件8商品需用81元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

18.【答案】见解析;

36°.

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【解析】(1)证明：•.•4g〃EC,

,•"B=NECD,

在△46。和△。。石中，

'BA=CD

<ZB=AECD,

BC=CE

:AABC%3DCE(SAS)；

⑵解：■：/XABC^/XDCE,

:.BC=EC,NACB=NE

-：BC=AC，

:.AC=CE,

:"DAC=NE=NACB，

设NE=x,则NB=/CAB=/E。。=2/,ZACB=ZE=x,

x+2x+2x=180°,

;.，=36°，

：.AE=36°.

(1)根据&4s证明三角形全等即可；

⑵设NE=a;,证明/口=/。48=2仍利用三角形内角和定理构建方程求解.

本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键

是正确寻找全等三角形解决问题.

19.【答案】85；甲；86；八年级学生对校园安全知识掌握的总体水平较好，理由见解答.

【解析】解：(1)这次调查中，七年级学生的测试成绩的中位数是9广=85(分)，

故答案为：85；

(2)七年级学生甲与八年级学生乙的测试成绩均为87分，而甲成绩比其中位数大，位于排名位于半数人以

上，乙成绩小于其中位数，排名位于半数人以后，

所以这两人在各自年级学生中成绩排名更靠前的是甲，

故答案为：甲；

27A

(3)丽x20=9(人)，

七年级成绩前9名的成绩最低为86分，

所以预估七年级分数至少达到86分的学生才可以入选，

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故答案为：86；

(4)八年级学生对校园安全知识掌握的总体水平较好.

理由：•.•七年级学生成绩的中位数为85,八年级学生成绩的中位数为88,

.•.八年级前10名的成绩高于七年级前10名的成绩.

•.,七年级学生成绩的优秀率为134-20x100%=65%，八年级学生成绩的优秀率70%，

.•.八年级成绩优秀的人数更多，

.•.八年级学生对校园安全知识掌握的总体水平较好.

(1)根据中位数的定义求解即可;

⑵根据中位数的意义求解即可;

(3)样本容量乘以入选人数比例得出具体样本中的人数，结合数据可得估计成绩即可;

(4)根据七年级和八年级学生成绩的中位数以及优秀率两个角度说明理由即可.

本题考查频数(率)分布直方图、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体、加权平均数、中位数、

众数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

20.【答案】笔=5

闸门3没有打开，理由见解答部分.

【解析】解：(1)•.•3。=4.2加，NC长14.4m,

BC_4.2_7

--AC=144=24；

(2)作于点

，NEMB=90°，

•「BCVAC，

.•.ZC=90°，

：,ABAC+AEBM=^°,

:.NBAC=NBEM,

：,tanABAC=tan/BEM，

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BM_BC_7

,•西V可

设=则EM=24/，

/.BE=25%，

:DB=l.lm，/EDB=53。，

/.EM=DM*tanAEDB,

4

24①*(1.1+72)x

o

解得：N=0.1,

=2.5,

二车辆以最高限速行驶到达8点所用时间为：2.5x¥=1.8(秒)，

5—3.65

1.8<3，

二.闸门8没有打开.

(1)把相关数值代入所求的代数式并化简即可；

⑵作于点跖易得NBAC=NBEM,那么tanNB4。=tanZBEM,设3刊=7/，贝I

EM=24x,则BE=25c,根据53°的正切值得到相等关系求得x的值，进而可得出?的长，除以最高限

速，可得相应的时间，与3比较即可得到车辆能否顺利通过.

本题考查解直角三角形的应用.合理应用所给条件和得到的结论，整合到直角三角形中是解决本题的关键.

21.【答案】Xi<X3<x4<x2;

①y=—x1+2x+3；

②线段PQ存在最大值，P的坐标为(|,1)时，尸0取最大值增；

自八43+\/17

③————(①”《0或3(打1(————•

【解析】解：(1)在g=—x2+法+。中，令沙=1得1=—X2+bx+c9

：.—x2+bi+c—1=0，

由题可知，磔，/4是—/+法+c—1=0的两个实数根，

/.①3，/4是抛物线g=—x2+bx+c与直线9=1交点的横坐标，

如图：

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y

：,力1＜力3＜力4〈62；

(2)①把(-1,0),(3,0)代入y=-^+bx+C得:

f—1—b+c=0

[-9+3b+c=0'

解得=

[c=3

y=-x2+2c+3；

②线段尸。存在最大值，理由如下:

•.•8(3,0),

:.OB=OC,直线BC解析式为？/=—c+3,

NOOB=NOBO=45°，

.•.NPKC=NOCB=45°,

■：PQLBC,

.•.△PQK是等腰直角三角形，

:.PQ=£PK，

设—m2+2m+3),则K(m,-6+3),

/.PK=—m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m,

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:当馆=|时，PQ取最大值竺?；

此时-m2+2m+3=-(^)2+2x^+3=y,

二.P的坐标为(|，¥)时，PQ取最大值?；

③设加&T+3),则线段MN与抛物线y=-x2+2x+3交点坐标为(i,-t2+2t+3),

•.•点N在直线BC下方，MN=2,

N(力，-力+1),

•.•线段MN与抛物线有交点，

—t+1(—力2+2力+3，

12—3tW2,

A…3/717

-----4x—4----，

222

3-^173+717

141「

由图可知，当0(力<3时，与抛物线?/=—«+22+3不可能有交点，

3-\/17f3+V17

—£—《力W0或3<±W-------

即上丁WXMW0或3wXMW

(1)由23,工4是—/+知+c—1=0的两个实数根，知3,是抛物线沙=—«+红+c与直线9=1交

点的横坐标，画出图象可得答案；

(2)①用待定系数法可得沙=—/+2/+3；

②过尸作PK〃9轴交于K,求出。(0,3),知。3=0。，直线3c解析式为沙=—2+3,故△PQK是

第18页，共21页

等腰直角三角形，PQ=与PK，设巾2+26+3）,可得

③设M（力，一力+3）,则线段与抛物线g=一2；2+22；+3交点坐标为（力,一/+2力+3）,而点N在直线BC

下方，MN=2,知N&T+1）,即得—力+14—12+21+3,可解得匕巫结合图

22

象可得答案.

本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数的最值，一元二次不等式应用等，解题的关键是

用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度.

22.【答案】四边形瓦茏甲是菱形，理由见解析过程；点