2024-2025学年江苏省南京某中学八年级上学期期中数学试题及答案

八年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

B.

2.一个数的算术平方根是0.01,则这个数是（)

A.0.1B.0.01C.0.001D.0.0001

3.下列计算正确的是（）

A.落=±2B.J(一2尸=-2C.7^8=-2D.7^8=2

4.如图，已知乙DAB=4CAB,添加下列条件不能判定^DAB^A的是（）

鼠乙DBE=乙CBE

B.Z-D—Z-C

C.DA=CA

D.DB=CB

5.等腰三角形的周长为13c%,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的底边长为（)

A.7cmB.3cmC.5cmD.9cm

6.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A.Z-A：(B：Z.C=3：4：5B.a=1,b=2,c=V-5

C.乙。=乙4一乙BD.(b+c)(b—c)=a2

7.如图，在中，AB=AC,ZB=30°,2。148交5。于点

D,AD=2,则5C的长是（）

A.4B.5C.6D.7

8.如图，点E在等边AABC的边BC上，BE=8,射线CD1BC,垂足为C,点

P是射线CD上一动点，点尸是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时,

BF=10,则A尸的长为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空题：本题共9小题，共19分。

9.9的立方根是.；，区的平方根是.

10.如图，点8、F、C、E在一条直线上，乙4=4。=90。，AB=DE,

若用“乩”判定△力BC四ADEF,则添加的一个条件是

11.若等腰三角形的一个内角为40。，则该等腰三角形的顶角为

12.若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则此三角形的第三边长为

13.如图，在△力BE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C,连接4C,若4B=4C,CE=5,BC=6,则

△ABC的周长等于、

14.如图，已知AZBC是等边三角形，BC=BD,Z_CBD=80。，则

N1的度数是.

B

15.如图，在Rt△力BC中，ZC=90",NB4C的平分线AD交8c于

点D,若CD=3,AB=8,则△ABD的面积是.

16.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米.宽为16厘米的长方形纸板上.剪下一个腰长为10

厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的

边上，则剪下的等腰三角形的面积为

17.如图，在△ABC中，^BAD=30°,将△4BD沿AD折叠至△AB'D,^ACB=a,连接B'C,B'C平分

乙ACB,则乙的度数是.（用含a的代数式表示）

三、解答题：本题共9小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题2分）

如图：长方形ABC。中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点2与点D重合，折痕为ER

求4BEF的面积.

19.（本小题7分）

求出下列元的值：

⑴一27%3+8=0；

(2)4(2*-l)2=36.

20.(本小题8分)

己知△48C,利用尺规作图法求作△£>£1/,使得△DEF乌△48C.(不写作法，保留作图痕迹)

21.(本小题8分)

如图，A4CB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE。

(1)求证：AD=BE；

(2)求乙4EB的度数。

22.(本小题7分)

如图，A、8是公路/同侧的两个村庄，A村到公路/的距离力C=1/CM,8村到公路/的距离BD=

2km,且CD=4匕作为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点尸，要求该站到村庄A、8的距

离相等.请求出点尸与点C之间的距离.

23.(本小题8分)

如图，在△ABC中，力B=4C,点。、E分别在AC、ABh,AD=AE,BD、CE相交于点。.

(1)求证：OB=OC；

(2)连接AO,求证：AOIBC.

A

24.(本小题8分)

求证：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。.

25.(本小题9分)

如图，在RtAABC中，AACB=90°,AB=13cm,AC=5cm,动点P从8出发沿射线BC以2on/s的

速度运动，设运动时间为/秒.

(1)当1=时，AP平分△ABC的面积；

(2)当AABP为等腰三角形时，求f的值；

(3)若点E,尸分别为BC,A8上的动点，贝ME+EF的最小值是.

26.(本小题8分)

(1)已知：AABC中，乙4cB=90。，AC=BC,点。为直线BC上一动点，连接AD,在直线AC右侧作

AELAD,5.AE=AD.

①如图1,当点。在线段BC上时，过点E作EH14C于反，直接写出BD,AH,HE的关系：；

②如图2,连接。E,当点。在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M.求证：BM=

EM-,

(2)如图3,已知乙4BC,直线11BC,垂足为。，点E在直线/上，利用无刻度直尺和圆规分别在射线

BA,8c上作出点孔G,使得NFEG=90。且EF=EG.(画出一种图形即可，保留作图痕迹，写出必要

的文字说明）

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】

解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

8、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

。、不是轴对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数尤的平方等于。，即/=a,那么这个正数x叫

做。的算术平方根.记为，石.求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负

数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找.

根据算术平方根的定义即可求解.

【解答】

解：••・一个数的算术平方根是0.01,

.•.这个数是0.012=0,0001.

故选：D.

3.【答案】C

【解析】解：斗=2,故此选项不合题意；

&/日心=2,故此选项不合题意；

C.V^B=-2,故此选项符合题意；

Z).V=8=-2,故此选项不合题意.

故选：C.

直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案.

此题主要考查了立方根、二次根式的性质与化简，正确化简各数是解题关键.

4.【答案】D

【解析】解：4添力叱DBE=NCBE,根据三角形外角的性质，得乙D=4DBE-4DAB,zC=AEBC-

/-CAB,那么=从而根据A4s判定ADaB义ACTIB,故A不符合题意.

A添力口根据A4s判定ADaB四△C4B,故8不符合题意.

C.添加D4=CA,根据SAS判定△DAB0ACAB,故C不符合题意.

O.添加DB=CB,无法判定△ZMBgACAB,故。符合题意.

故选：D.

根据全等三角形的判定方法(SSS、SAS.AAS,4S4)解决此题.

本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：当长是3a”的边是底边时，三边为3cm,5cm,5cm,等腰三角形成立；

当长是3c机的边是腰时，底边长是：13-3-3=7(crn),而3+3<7,不满足三角形的三边关系.

故该等腰三角形的底边长为3cm.

故选：B.

分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解.

本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理

是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：A,vz/1：乙B：ZC=3：4：5,

二设乙4=3x,Z.B=4%,Z.C=5%,

•••3x+4x+5x=180°,

x=15°,

•••乙4=3x=45°,乙B=4x=60°,zC=5%=75°,

・•.△ABC不是直角三角形，符合题意.

B、a=1,b=2,c=

I2+22=(卮)2,

・•.△ABC为直角三角形.不符合题意；

C、Z-C—Z-A—Z-B,

••・=zB+zC,

•••NA+48+/C=180°,

••・2乙4=180°,

・•・NA=90°,

・•.△ZBC为直角三角形.不符合题意；

D、v(b+c)(b—c)=a2,

b2—c2=a2,

・・.b2=a2+c2,

・•.△ABC为直角三角形.不符合题意.

故选：A.

利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案.

此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为

形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出

判断.

7.【答案】C

【解析】W：-AB=AC,

•••Z-B=Z-C=30°,

•・•ABLAD,

BD=2AD=2x2=4,

ZB+^ADB=90°,

•••Z-ADB=60°,

•・•(ADB=^DAC+ZC=60°,

・•.LDAC=30°,

•••Z-DAC=Z.C,

DC=AD=2,

BC=BD+DC=4+2=6.

故选：C.

由等腰三角形的性质得出NB=NC=30。，由垂直的定义得出NBA。=90。；易证得N£MC=NC=

30°,即CD=4D=2.RtA4BD中，根据30。角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=24D=4；由

此可求得BC的长.

本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30。角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角

形的性质，求出8。和C。的长度是解决问题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：作E点关于的对称点E',过E'作E'F1于点R交于点尸，连接PE,

•••PE=PE',

EP+FP=PE'+PF>E'F,

此时EP+FP的值最小，

•・•△ABC是等边三角形，

乙B=60°,

•••E'F1AB,

•••乙FE'B=30。，

•••BE'=2BF=2x10=20,

•••BE=8,CE=CE',

20=2CE+BE=2CE+8,

•••CE=6,

■.BC=BE+CE=8+6=14,

•••AB=BC=14,

•••AF=AB-BF=14-104,

故选：B.

作E点关于C。的对称点£'，过E'作E'F1AB于点E交CD于点P,连接PE,此时EP+FP的值最

小，由题意可得NFE'B=30°,则再由BF=10,BE=8,可得20=2CE+8,解得CE=6,可求BC=

14=AB,故可求4尸=4.

本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，利用两点之间

线段最短以及垂线段最短找到点尸、尸的位置是解题的关键.

9.【答案】V9±/5

【解析】解：9的立方根是那，，石的平方根是±怖.

故答案为：V9,±A/-5.

根据平方根、立方根的定义进行计算即可.

本题考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.

10.【答案】BC=EF（答案不唯一）

【解析】【分析】

本题主要考查了全等三角形的判定，熟知"HL''的判定条件是解题的关键.

用“HL”判定△DEF,只需要满足一条直角边对应线段，斜边对应相等即可

【解答】

解：添加条件：BC=EF,

S/?t△ABCRtADEF中，

（AB=DE

iBC=EF'

•­•RtAABC^RtADEF（HL）,

故答案为：BC=EF（答案不唯一）.

11.【答案】140

【解析】解：•••等腰三角形的一个内角是40。，

・•・当这个角为底角时，顶角为：180。一40。-40。=100。，

该等腰三角形的顶角是100。或40。.

故答案为：100。或40。,

根据等腰三角形的性质解答即可.

本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，是基础题，关键是等腰三角形性质的熟练应用.

12.【答案】13或，币

【解析】解：当12,5时两条直角边时，

第三边=7122+52=13；

当12,5分别是一斜边和一直角边时，

第三边=V122-52=7119.

故答案为：13或，139

根据告诉的两边长，利用勾股定理求出第三边即可.注意12,5可能是两条直角边也可能是一斜边和一

直角边，所以得分两种情况讨论.

本题考查了勾股定理的知识，题目中渗透着分类讨论的数学思想.

13.【答案】16

【解析】解：•••”却垂直平分AE,

AC=CE=5,

•••AB=AC=5,

又BC=6,

・•.△ABC的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16,

故答案为：16.

根据线段垂直平分线得到AC=CE=5,直接根据周长公式计算即可.

此题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的

关键.

14.【答案】80°

【解析】解：••・△ABC是等边三角形，

・•・乙ACB=乙ABC=ABAC=60°,AB=BC,

•••乙CBD=80°,

•••Z-ABD=乙ABC+乙CBD=60°+80°=140°,

・•.Z.BAD+乙ADB=180°-4ABD=40°,

•••BC=BD,

•••AB=BD,

・•・乙BAD=乙ADB=20°,

•••Z.1=/.BAD+乙ABC,

・•・41=20°+60°=80°,

故答案为：80°.

先根据等边三角形的性质，求出乙48c和N4BD的度数，再根据已知条件证明48=8。，求出NB4O的度

数，最后利用三角形外角的性质求出答案即可.

本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质和三角

形外角的性质.C

15.【答案】12\_

【解析】解：作DE1AB于E,

•••4。为角NB4C平分线，"=90°,DE1AB,

DE=DC=3,

••.A4BD的面积=1jx/lBxOf=11x8X3=12,

故答案为：12.

作DE14B于E,根据角平分线的性质求出。E,根据三角形的面积公式计算，得到答案.

本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

16.【答案】50cm2sK40cm2BE30cm2

【解析】解：分三种情况讨论:

①如图1所示:

图1

BE=BF=10,

.•.等腰三角形的面积=10X102=50(cm2)；

②如图2所示:

图2

BE=16-10=6(cm)

・•・BF=7102-62=8(cm),

・•・等腰三角形的面积=10X84-2=40(cm2)；

③如图3所示:

图3

DE=18-10=8(cm),

DF=V102—82=6(cm)，

.•.等腰三角形的面积=10x6+2=30(cm2)；

故答案为：50cm2或40cm2或30czn2.

因为等腰三角形的腰的位置不确定，所以分三种情况：①两腰在矩形相邻的两边上，②一腰在矩形的宽

上，③一腰在矩形的长上，画出图形，分别求出等腰三角形的面积即可.

本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨

论.

1

a

17.【答案】90°2-

【解析】解：如图，连接BB',过点B'作B'E1BC于E,B'F12C于凡

贝UNCEB'=乙CFB'=乙BEB'=AAFB'=90°,

由折叠可知，^BAD=4B'AD=30°,AB=AB',

：.乙BAB'=4BAD+/-B'AD=60°,

・•.△ABB'是等边三角形，

AB'=BB',乙B'BA=乙B'AB=60°,

•••B'C平分N4CB,乙ACB=a,

11

•••^ACB'=/.BCB'=*CB=^a,

XvB'E1BC,B'FIAC,

B'E=B'F,

在Rt△BB'E^Rt△4B'F中,

(B'E=B'F

IBB'=AB〃

ARtABB'E=RtAAB'F(HL),

乙B'BE=Z-B'AF,

：.乙B'BA+乙B'BE=LB'AB+AB'AF,

即乙4BC=ABAC,

Z.ACB=2a,/.ABC+Z.BAC+Z.ACB=180",

1Qf）°_zy1

••・乙ABC=ABAC=-=90°一於

•••乙AB'D=90°-匆，

故答案为：90。—：a,

连接8B',过点B'作B'E1BC于E,B'F1AC于尸，连接BB',过点8'作B'E1BC于E,B'F1AC于尸，

可得△ABB'是等边三角形，得出=^B'BA=AB'AB=60°,运用乩可证得Rt△BBN三Rt△

AB'F（HL）,得出NB'BE=NB'AF,再运用三角形内角和定理即可求得答案.

本题考查的是翻折变换，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角

形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键.

18.【答案】解：•••将此长方形折叠，使点8与点。重合，折痕为EF

•••GF=CF,BG=CD=AB,NG=ND=90",

设GF=CF=x,贝ijBF=（9一久），

在RtABFG中，由勾股定理得，

BF2=BG2+GF2,

即（9—X）2=9+久2,

解得x=4,

•••BF=5,

又AB1BF,

长即为ABEF底边8尸上的高，

•­.ABEF的面积=^BF-AB=|x5x3=y.

【解析】根据折叠的性质结合长方形的性质得GF=CF,BG=CD=AB,NG=4。=90°,设GF=

CF=x,则BF=（9-久），在RtABFG中，由勾股定理得出方程求解，再根据三角形的面积公式即可推

出结果.

本题考查了折叠的性质，矩形的性质，熟记折叠的性质是解题的关键.

19.【答案】解：(1)v-27x3+8=0,

・••—27%3=-8,

解得X=|;

(2)4(2x-I)2=36.

(2x-I)2=9,

2x—1=±3,

•1.x=2或-1.

【解析】(1)根据立方根的定义进行解题即可；

(2)根据平方根的定义进行解题即可.

本题主要考查立方根与平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义.

20.【答案】解：如图所示：ADEF即为所求.

【解析】利用全等三角形的判定，结合三边相等的三角形全等得出即可.

此题主要考查了复杂作图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

21.【答案】⑴证明：•・・△4CB和AECD都是等边三角形

•••AC=BC,CD=CE,Z,ACB=Z.DCE=60°

又•••AACD=乙4cB-乙DCB,乙BCE=LDCE-乙DCB

/.ACD—/-BCE

在△ACD和ABCE中,

AC=BC

/.ACD=乙BCE

.CD=CE

:BCE(SAS}

：.AD=BE

(2)解：在等边AEC。中,

/-CDE=/.CED=60°

AAADC=120°

■■■AACDABCE

：.乙BEC=AADC=120"

•••乙AEB=乙BEC-乙CED=120°-60°=60°

【解析】在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要

时添加适当辅助线构造三角形。

(1)由条件AZCB和ADCE均为等边三角形，易证△4CD2AECE,从而得到对应边相等，即力。=BE；

(2)根据BCE,可得N4DC=NBEC,由点A,D,E在同一直线上，可求出乙4DC=120°,从

而可以求出乙4E8的度数。

22.【答案】解：设PC=xkm,贝=(4—x)kzn,

在RMACP中，AP2=AC2+PC2,

在RMBDP中，BP2=BD2+PD2,

AP=BP,

AC2+PC2=BD2+PD2,

2

...12+x2=22+(4-X),

解得久=¥，

O

1Q

••・PC=—km.

o

【解析】设尸C=%Mn,根据勾股定理可得12+/=22+(4-第)2,即可解得尸。的长.

本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，解题的关键是根据勾股定理建立方程.

23.【答案】(1)证明：在△Z80与△ACE中，

AB=AC

Z.A=Z-A,

AE=AD

之△ACE(SZS),

•••乙ABD=Z-ACE,

•・•AB=AC,

・•・/.ABC=乙ACB,

・•.Z.ABC-乙ABD=Z.ACB-Z.ACE,

•••Z.OBC=Z-OCB,

OB=OC.

(2)证明:连接AO,

-LABD^LACE,

•••Z-AEO=Z.ADO,BD=CE,

•・•OB=OC,

EO=OD,

在△AE。与△49。中，

AE=AD

Z.AEO=Z.ADO,

EO=DO

••.△ZEOaADO(SZS),

•••Z-EAO=Z-DAO,

vAB=AC,

・••AO1BC.

【解析】(1)由“SAS”可证△AB。之AaCE,由全等三角形的性质可得N2BD=N4CE,由等腰三角形

的性质可得乙48C=乙4CB,可证=NOCB,可得。8=OC.

(2)根据SAS证明△力E。与△4。。全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解

答即可.

本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE妥ACD是本题的关键.

24.【答案】

已知：在AACB中，N4cB=90。，AC=^AB,

求证：乙B=30°,

证明：取48中点。，连接CD

•・•△4CB是直角三角形，乙4cB=90。,

1

CD=^AB=AD=BD,

1

•・•AC=^AB,

•••AC=AD=CD,

・•・△/CD是等边三角形，

•••Z-A=60°,

・•・乙B=180°-90°-60°=30°.

【解析】画出图形，写出已知，求证，取中点。，连接8,根据直角三角形斜边上中线性质得出

AC=AD=CD,得出等边三角形AC。，求出N4根据三角形内角和定理求出即可.

本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等边三角形性质和判定，三角形内角和定理的应用，主要考查

学生的推理能力.

25.【答案】3黑

【解析】解：(1)•••^ACB=90°,AB=13cm,AC=5cm,

BC=AB2-AC2=V132-52=12(cm).

当BP=CP时，AP平分ANBC的面积，

即B尸=2t=6,

••・t=3,

则当t=3时，A尸平分△ABC的面积；

故答案为：3；

(2)分三种情况：

①如图1,AP=PB,

由题意得：AP=BP=2tcmf

图I

CP=(12—2t)cm,

由勾股定理得：AP2=AC2+PC2,

(2t)2=52+(12-2t7，

169

・"=荷

②如图2,AB=BP=13cm,

图2

•••2t=13,

图3

•・•乙ACB=90°,

・•・AC1BP,

・..BP=2BC=24cm,

•••2t—24,

••・t=12；

综上所述，当A/IBP为等腰三角形时，，的值是警或学或12；

4oZ

(3)如图4,延长AC至4,连接BA,过点A作4F'142于F',在A2上取=

A

・•.EF=EFf,

AE+EF=AE+EF'=AF',即此时AE+EF的值最小，且最小值是AF'的长，

vAC=A'C=5cm,AB=A'B=13cm,

••.A4B4的面积=1x10X12=jx13AF',

“招，

.•.4E+EF的最小值是招，

故答案为：罟.

(1)先由勾股定理可得8c的长，当A尸是中线时，AP平分AABC的面积，即2t=6,可得结论；

(2)当A4BP为等腰三角形时，存在三种情况：4P=BP或AB=AP或4B=BP,根据BP=2t和等量关

系列方程可解答；

(3)如图4中