浙江省丽水市发展共同体联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析

2024学年第二学期丽水发展共同体期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法、除法运算以及复数的概念求解.【详解】因为，所以，所以的虚部为4，故选:C.2.已知向量，满足，，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】首先计算出，然后根据坐标求模公式计算即可.【详解】因为，，两式相加得，即，，所以，故选：A3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.4.在中，已知分别为三个内角的对边，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理计算即可求解.【详解】因为，所以,所以，所以.故选：B.5.设复数z满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】设，代入，得，由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【详解】解：设，由，得，即，，解得，．复数z在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限．故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合线与线，线与面，以及面与面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若，，则直线与，可能相交、平行或异面，所以A错误；对于B中，若，，则平面与平面可能相交，所以B错误；对于C中，若，，，则或，所以C错误；对于D中，若异面直线，且，，，假设直线与直线都不相交，则，所以，这与为异面直线矛盾，所以与中至少一条相交，所以D正确.故选：D.7.在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（）A.m不是定值，M是定值 B.m是定值，M不是定值C.m是定值，M是定值 D.m不是定值，M不是定值【答案】C【解析】【分析】等腰三角形，可以以底边的中点建立直角坐标系，然后写出各个点的坐标表示进行坐标运算.【详解】以BC中点O建立直角坐标系，则A、B、C点坐标分别为，，，点P在底边（包括端点）上运动，所以，，因为，所以的最小值为，最大值为，都为定值.故选：C8.如图所示，等边内有3个全等的小三角形，且，，则的面积为（）A.7 B. C.14 D.【答案】B【解析】【分析】设，在中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长，再利用三角形面积公式求解.【详解】在中，，又，则为锐角，，设，在中，由正弦定理得，由余弦定理得，或（舍），所以，所以，故选：B二、多项选择题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知复数z，，其中i为虚数单位，则以下命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】【分析】结合共轭复数和复数的运算法则可判断AB.利用模的计算求解可判断CD.【详解】设若则所以A正确.若，则所以所以B错误.若，则，所以.所以C正确.若，取则所以D错误.故选：AC.10.已知平面向量，，都是单位向量，且，则以下命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则在上的投影向量是【答案】ABD【解析】【分析】选项A：利用数量积的定义求解即可，选项B：当时，结合向量平行时向量数量积的特点求解即可，选项C：当时，利用向量数量积的定义求解即可，选项D：当时，利用投影向量的求法求解即可.【详解】选项A：和都是单位向量，当时，说明和同向，即.此时，故，由于是单位向量，故.选项A正确.选项B：若,，两边取模长平方得：,展开左边：解得:，说明和反向平行，即平行.选项B正确.选项C：若，则.，两边取模长平方得：展开左边：解得:，选项C错误.选项D：若，则在上的投影向量是.，代入并取模长平方：展开得：解得:，投影向量为.选项D正确.故选：ABD.11.在正四棱锥中，，过的平面（不与底面重合）与侧棱，分别交于点E，F，且平面将四棱锥分成上下两个部分的体积分别为，，则以下命题正确的是（）A.B.C.若E是的中点，则D.若平面经过正四棱锥外接球的球心，则【答案】BCD【解析】【分析】由正四棱锥的性质，求得正四棱锥的高为，根据，证得平面，再由线面平行的性质，证得，进而证得，可判定B正确；由，得到四边形为梯形，可判定A不正确；由为的中点，取分别为的中点，结合锥体的体积公式，分别求得分成的两部分的体积，可判定C正确；先得到外接球的球心在上，设正四棱锥的外接球的半径为，利用球的性质，求得，得到；连接，并延长交于点，由，得到，在等腰中，结合向量的共线定理，得到，进而可判定D正确.【详解】如图（1）所示，连接交于点，连接，则平面，因为，可得，则，即正四棱锥的高为，对于B中，因为为正方形，可得，又因为平面，平面，所以平面，因为平面，且面平面，所以，又因为，所以，所以B正确；对于A中，因为，所以四边形为梯形，所以与不平行，所以A不正确；对于C中，若为的中点，因为，所以为的中点，则，取分别为的中点，连接，因为为的中点且为的中点，可得点，到平面的距离为，则，，则三棱柱的体积为，所以多面体的体积为，又由正四棱锥的体积为，所以四棱锥的体积为，所以分成两部分的体积比为，所以C正确；对于C中，根据正四棱锥的对称性，可得外接球的球心在上，连接，设正四棱锥的外接球的半径为，在直角中，可得，即，解得，则，连接，并延长交于点，由，可得，如图（2）所示，在等腰中，因为为中点，且，设，可得，因为三点共线，所以，解得，所以，所以，即，所以，所以D正确.故选：BCD.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为______.【答案】##【解析】【分析】根据题意，化简复数为，结合复数是纯虚数，得到，即可求解.【详解】由复数，因为复数是纯虚数，所以，解得，经检验符合题意，故答案为：.13.在正四棱台中，，则该棱台的体积为______.【答案】【解析】【分析】连接，过点作，垂足分别为，根据正四棱台的性质，求得棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，连接，过点作，垂足分别为，因为，可得，所以，在，在直角中，由，可得，即正四棱台的高为，又由正四棱台上、下底面面积分别为，所以正四棱台的体积为：.故答案为：.14.在中，已知，，的面积是，则边上的中线长是______.【答案】##【解析】【分析】先利用正弦定理求出，再利用面积得出，再结合得出，再结合正弦定理得出，最后利用即可求得.【详解】设，则，在中利用正弦定理，，因，则，即，因的面积为，则，则，则，则，解得或，因，则，得，则，则，故，则，则，，取线段的中点，设，则在和中分别利用余弦定理可得，，得，即边上的中线长是.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，.（1）若，求x的值；（2）设函数，求函数的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由向量平行的坐标表示计算得到即可求解x；（2）由数量积的坐标运算结合倍角公式求出并化简即可求解.【小问1详解】由已知，得，即，，，；【小问2详解】∵，∴∴当，即，取得最大值为2.16.如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点.（1）求证：平面；（2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）利用柱体和锥体的体积公式，分别求得和，根据题意，结合，即可求解.【小问1详解】证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，在中，因为分别为的中点，所以，又因为面，且面，所以平面；【小问2详解】解：在正三棱柱中，因为，且，可得正三棱柱的体积为,又由三棱锥体积为，所以剩余部分的体积为.17.在中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求A；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简，再结合二倍角公式纠结即可；（2）由正弦定理得到，，再用三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理得，，.，，，，，即.【小问2详解】由（1）知，所以，，，所以的面积为.18.如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.（1）若E与点C重合，求x，y的值；（2）若，求的值；（3）若存在点E，使得，求的取值范围.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）利用向量的加法运算即可求解；（2）利用三点共线的向量性质来求解含参系数即可；（3）利用向量的数量积运算，结合函数求值域即可.【小问1详解】由，根据平面向量基本定理，可知，.【小问2详解】由，三点共线，，解得，所以设三点共线，，解得，即的值为.【小问3详解】记，设，则，由，因为，所以，即，则，所以，构造，求导得：，所以在上单调递增，即，.19.祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，.（1）写出，，三者之间的关系；（2）过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题：（i）求截得的“球缺”的体积；（ii）求截得的“球缺”的表面积.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由圆柱、圆锥和球的体积公式，分别求得圆柱、圆锥和半球的体积，即可得出结论；可得，，，所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和.（2）（i）根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积，所以小球缺的体积为，令，代入计算，即可求解；（ii）将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体，连接球心O和每个小网格的顶点，整个几何体就被分割成n个“小锥体”，求得球缺曲面部分的面积为，进而得到球缺的表面积.【小问1详解】解：根据题意，利用圆柱、圆锥和球的体积公式，可得，，，所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和.【