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PAGE1PAGE6厦门大学《高等数学》课程期中厦门大学《高等数学》课程期中试卷试卷类型：（理工类A卷）考试日期2012.11.24高等数学A类教学组1．求下列函数的极限：（每小题4分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）设连续，且，求。解：（1）（2）.（3）因为，且，，由夹逼定理，所以.（4）令，（5）由题设条件和得，，其中.2．（10分）设数列满足，，证明此数列极限存在，并求出。证1：显然数列满足，所以有界，只需证明单调即可。，假设，则，即，由归纳法假设知单调增加，故数列收敛。由得，解得。（由于负根舍去）证2：假设此数列收敛，并设，由极限的运算法则，在的两端取极限得，解得，（由于负根舍去）由夹逼定理得。证3：令，，所以递归数列单调，且显然有界，所以数列收敛，则在等式两端取极限，得，解得。（由于负根舍去）3．（10分）讨论函数的连续性，并对间断点判断其类型。解：在内是初等函数，在点处无定义，不存在且无穷振荡；在内，在点处无定义，且，但。在点处，综上所述，是函数的振荡间断点；是函数的可去间断点；是函数的跳跃间断点；是函数的无穷间断点；除这些点外都连续。（10分）设在上有定义且周期为2的奇函数。已知时，，求当时，的表达式。解：由于是奇函数，且在处有定义，所以，当时，,又有函数的周期性，当时，有，则当时，有，则再由周期性，，，所以，从而，，故5．（12分）求下列函数的导数.（1）（2）解：（1），；（2），其中所以.6．（5分）已知且，求.解：.7．（10分）已知，试求。解：由莱布尼兹高阶求导数公式.8．（10分）已知在处有二阶导数，试确定参数的值。解：首先在处连续，则由得；，，因为在处可导，则，因而；又有在处二阶可导，，，由得。9．（10分）设函数的极坐标式为，求.解：将化为参数方程，得，（为参数），，故，.10．（10分）设函数由方程所确定，其中具有二阶可导，且，求当时的.解：两边取对数有，两边对求导，得，解得，11．（10分）选做题以下两题任选其一（仅做一题）（1）设在上连续，在上可导，且，若，证明对任意实数k，存在点，使得.（2）设函数在区间上连续可导，，且，证明：存在，使得.(1)证明：构造辅助函数，则在上满足罗尔定理的条件，故存在使得，即。(2)证明：不妨设，若，则取，显然成立.若，再设，则有即,又因为在区间上连续，因而也在上连续，由连续函数的介值定理，存在，使得.附加题（10分）设在上连续，在内可导，且试证在内存在不同的，满足。证

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