2025年中考数学总复习《平行四边形证明》专项检测卷及答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《平行四边形证明》专项检测卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、．(1)求证：；(2)如果，求证：．2．如图，中，延长至点，使，连接，且．(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由．3．如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，．(1)求证：；(2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论．4．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，交于点G．(1)判断与的关系，并证明：(2)可由旋转得到，请作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）．5．如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作边垂线，垂足为，延长到点，使，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．6．【模型建立】如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），是延长线上一点，，连接，，（1）①求证：；②判断的形状，并说明理由．【模型应用】（2）如图，连接与交于点，连接，试判断与的关系，并说明理由．【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若，求的长．7．如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于点，交和的延长线于点，．(1)求证：；(2)若，求证：四边形是正方形．8．如图，在四边形中，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，求证：四边形是菱形；(3)在（2）的条件下，若菱形的面积为，求的长．9．在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．(1)证明：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的面积．10．如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．11．如图，在中，点分别是各边的中点，若四边形是矩形．(1)求证：四边形是菱形；(2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长．12．如图，在菱形中，，点，分别是边，上一点，若．(1)求证：；(2)若菱边长为4，，求的周长．13．图，点E在的对角线的延长线上，于点F，交的延长线于点G，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求菱形的面积．14．如图1，在矩形中，垂直对角线于点E，交于点F，M是的中点，连接并延长，交于点N，于点H，连接．(1)求证：．(2)若，求的值．(3)如图2，若F是的中点，，求的长．15．菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点．(1)如图1，为中点，．①求证：；②若，求线段的长；(2)如图2，点在边上，若，，求线段的长．参考答案1．(1)证明详见解析(2)证明详见解析【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上基本性质是解答本题的关键．（1）由菱形的性质可知，垂直平分，继而可知，，求得，进而判定，得出结论；（2）由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得，进而可判定，再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论．【详解】（1）证明：（1）四边形是菱形，，垂直平分，，点在上，，，在和中，，，．（2）设交于点，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，．2．(1)见解析(2)四边形是正方形，理由见解析【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，菱形的判定定理和平行四边形的性质，三线合一定理，熟知正方形和菱形的判定定理是解题的关键．（1）证明，可得四边形是平行四边形，再由，可证明四边形是菱形；（2）根据三线合一定理可证明，则可证明菱形是正方形．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）解：四边形是正方形，理由如下：∵，∴，∴菱形是正方形．3．(1)见解析(2)当时，四边形是矩形，证明见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，当时，求得，推出，于是得到四边形是矩形．【详解】（1）证明：∵∴，∴，∵E，F分别是边和的中点，∴，，∴，在和中，，∴．（2）解：当时，四边形是矩形．证明：连接交于O，如图，由（1）知，，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵∴∴，∴，∵，∴，当时，即，∴，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判断，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的判断、平行四边形的性质、三角形中位线性质是解题的关键．4．(1)，证明见详解(2)见详解【分析】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，本题的关键是知道两线段之间的关系从数量和位置上来看．（1）证明与全等，所以，等量代换角后可证明角为．（2）作的中垂线交于点，或连接交于点均可．【详解】（1）解：．理由：在正方形中，，在与中，，，在中，，，，即，．（2）解：旋转中心点，如图所示：5．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由菱形性质得到，再由平行四边形的判定，结合即可得证；（2）由菱形性质，在中，由勾股定理得到，再由菱形面积公式列方程求解即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，．又，，．∴四边形是平行四边形．，，∴四边形是矩形；（2）解：∵四边形是菱形，，，，．在中，，．．，，．【点睛】本题考查四边形综合，涉及菱形性质、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、菱形面积公式及等面积法求线段长等知识．熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．6．（1）①见解析；②为等腰直角三角形，理由见解析；（2）垂直平分，理由见解析；（3）．【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，即可证明，根据全等三角形的对应边相等得证；②由，得到，推出，从而得到为等腰直角三角形；（2）过点作的垂线交于点，由，得到，进而有，即可证明，得到，又，根据垂直平分线的判定即可得到垂直平分；（3）连接，根据，是等腰直角三角形，得到，从而，又，得到，即可证得．【详解】（1）①证明：四边形是正方形，，，又，，；②解：为等腰直角三角形．理由如下：∵，，即，又，为等腰直角三角形；（2）解：垂直平分理由如下：如图，过点作的垂线交于点，∵是正方形的对角线，，∵，∴，∴，，∵，，．∵，∴，，，，，，垂直平分；（3）解：如图，连接，为等腰直角三角形，垂直平分，，是等腰直角三角形．是等腰直角三角形，∴，，，，，∴，．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键．7．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（）利用矩形的性质证明四边形和四边形是平行四边形，得，，进而即可求证；（）证明，得，进而即可求证．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴四边形是正方形．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．8．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得证；（2）由题中条件证得的对角线，再由菱形的判定定理即可得证；（3）由菱形的面积列方程求出，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到．【详解】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）可知，四边形是平行四边形，∴平行四边形是菱形；（3）解：由（2）可知，四边形是菱形，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、菱形的判定、菱形面积公式及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质、直角三角形性质是解决问题的关键．9．(1)见解析(2)32【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．（1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论；（2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果．【详解】（1）证明：∵，，∵E是的中点，∴，又∵，在和中，，，，∵D是的中点，，，又，∴四边形是平行四边形，∵，D是的中点，∴在中，，∴平行四边形是菱形；（2）解：连接，∵，，∴四边形是平行四边形，，又∵四边形是菱形，，．10．(1)见解析(2)6【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，能够综合应用上述知识点是解题的关键．（1）由菱形的性质可得，进而可得是的中位线，推出，依次证明四边形是平行四边形、矩形即可；（2）菱形的性质及勾股定理求出菱形的边长，设，利用勾股定理解和求出，进而可得，最后根据矩形面积公式即可求解．【详解】（1）证明：菱形的对角线，相交于点，，，是边的中点，，是的中位线，，，，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形；（2）解：菱形中，，，，，，，设，则，在中，，在中，，由（1）知是矩形，解得，即，矩形的面积为：．11．(1)见解析(2)【分析】本题考查了菱形的判定和矩形的性质，解题关键是根据矩形的性质和菱形的判定进行推理证明，利用勾股定理进行计算；（1）连接，相交于点O，利用中位线的性质和菱形的判定证明即可；（2）根据矩形的面积和周长求出，，再利用完全平方公式求解即可．【详解】（1）证明：连接，相交于点O，点分别是四边形各边的中点，，，四边形是矩形，，，四边形是菱形；（2）点分别是四边形各边的中点，，，矩形的周长为12，面积为7，，，四边形是菱形，，，，，，，．12．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）连接，证明，得出；（2）证明是等边三角形，过点A作于点M，由勾股定理求出可得出答案．【详解】（1）证明：连接，在菱形中，，∴，，∴与是等边三角形，∴，，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，过点A作于点M，∵，∴，，∵，∴，∴，∴的周长为．13．(1)见解析(2)32【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键：（1）三线合一，证明，证明，推出，证明四边形是平行四边形，根据，即可得证；（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形的性质进行求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴是等腰三角形∵，∴．∵四边形是平行四边形∴．∵∴，∴．在和中，，∴∴．又∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形．（2）解：∵，∴是等腰直角三角形，在中，由勾股定理得：，∵，∴；∵，∴，∵四边形为菱形，∴，∴菱形的面积为．14．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）利用矩形的性质先证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出，进而可得出．（2）设，，则，，由全等三角形的性质得出，再得出，再根据正切的定义得出，进而可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．（3）延长，相交于点G，设．由矩形的性质得出，由全等三角形的性质得出，．再证明，由全等三角形的性质得出，求出b的值，再根据勾股定理得出，再根据等面积法求出．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，∴，．∵M是的中点，∴，∴，∴，∴M是的中点，∴．又∵，∴，∴．（2）解：设，，则，．由（1）知，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴，解得：，（舍去）∴（3）解：如图，延长，相交于点G，设．∵四边形为矩形，∴，，，∴．∵，，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴在中，∵，∴∴．【点睛】本题主要考查了求角的正切值，全等三角形综合问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．15．(1)①证明见解析；②(2)或【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解；（2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解．【详解】（1）①证明：四边形是菱形，，，,，，，，；②解：如图，延长与交于点，四边形是菱形，，，，为中点，，由①得，，，