江苏省徐州市铜山启星中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（解析）

第页，共页启星中学2024-2025学年度第二学期第一次检测高二年级数学试题一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.函数在上的平均变化率为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由平均变化率定义可得.【详解】平均变化率为.故选：C.2.已知，则的值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由的求导公式，求出的导数，代入函数值计算即可．【详解】由，得，则.故选：C．3.下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由初等函数的导数和复合函数的导数公式逐项分析即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D.4.函数的单调减区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案.【详解】函数的定义域为，，由得，所以的单调减区间为.故选：D.5.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每人只报一项，每项最多有1人，则这3名学生的参赛的不同方法有（

）A.24种 B.48种 C.64种 D.81种【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理求解.【详解】由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有种不同的参赛方法；故选：A6.已知函数在处取得极小值1，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据极值定义进行求解即可.【详解】由，因为在处取得极小值1，所以有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以是函数的极小值点，故满足题意，于是有.故选：C7.若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图象可得的正负可判断的单调性从而得到答案.【详解】由图象可得，当时，由得，在上单调递增，当时，由得，在上单调递减，当时，由得，在上单调递减，综上，函数的增区间为.故选：B.8.函数在上不单调，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案.【详解】，因为函数在上不单调，所以函数有零点，所以方程

有根，所以函数与

有交点（且交点非最值点），因为函数的值域为，所以

.故选：D二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）9.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：BC10.如图是函数的导函数的图象，则（）A.函数的图象在处切线的斜率小于零B.函数在区间上单调递增C.在时，函数取得极值D.在时，函数取得极值【答案】BC【解析】【分析】根据导函数图象分析原函数的性质判断各项的正误即可.【详解】对于A，的图象在处的切线斜率为，故A错误；对于B，当时，且，此时单调递增，故B正确；对于C，是导函数的一个变号零点，故当时取得极值，故C正确；对于D，不是导函数的一个变号零点，故当时不能取得极值，故D错误.故选：BC11.函数定义域为，下列命题正确的是（）A.对于任意正实数，函数在上是单调递增函数B.对于任意负实数，函数存在最小值C.存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立D.存在负实数，使得函数在上有两个零点【答案】ABD【解析】【分析】求得函数的导函数，判断导函数在时的正负，确定函数的单调性，可判定A错误；在时，确定方程的解，并判断函数在解的两侧的单调性，由此确定函数的最值，可判定B正确；结合函数的单调性及零点存在性定理，可判定D正确；在时，结合图象确定的零点，可判定C错误.【详解】由函数的定义域为，且，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，即对于任意正实数，函数在上是单调递增函数，所以A正确；对于任意，设，可得，所以在上单调递增，所以在上单调递增，当时，，且，所以存在，使得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，所以对于任意时，函数存在最小值，所以B正确；因当时，函数存在最小值，且，所以，当且时，此时，所以存在，使得，当时，，当时，，此时函数在定义域上有两个零点，所以D正确；如图所示，函数，的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，所以C错误.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则的极小值为______．【答案】##-0.5【解析】【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解.【详解】函数的定义域为，，令，即，得，令，即，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故当时，函数取得极小值，极小值为．故答案为:.13.5个人站成一排照相，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同的站法有_____种.【答案】10【解析】【详解】解析过程略14.若过点有三条直线与函数的图象相切，则实数m的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】设切点坐标，利用导数，求出切线方程，再结合过点存在三条直线与曲线相切，转化为方程有三个根，构造新函数利用导数求单调区间和极值得实数m的取值范围．【详解】函数，定义域为R，，设切点坐标为，则切线方程为，切线过点，则有，即，依题意关于方程有三个解，设，，解得或；，解得，所以在和上单调递减，在上单调递增，时，取极小值；时，取极大值，实数m的取值范围为.故答案为：.四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.现有3名男生､4名女生排成一行，在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：（1）男生必须排在一起；（2）男生和女生相间排列.【答案】（1）720（2）144【解析】【分析】（1）利用捆绑法求解即可；（2）利用插空法求解即可.【小问1详解】将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，再与其他元素进行全排列，有种排法，故共有种；【小问2详解】先排好男生，然后将女生插入男生所形成的四个空位，共有种.16.已知函数，曲线在点处的切线与平行．（1）求值；（2）求的极值．【答案】（1）2（2）极小值为，无极大值.【解析】【分析】（1）根据导数几何意义，可得，可求的值.（2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值.【小问1详解】因为，.所以，.由题意.【小问2详解】因为，.所以，.由；由.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以当时，函数取得极小值，且.17.已知函数在处取得极值．（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得，代入求值即可得答案；（2）根据导数研究函数的单调性与极值，求端点函数值，从而求出函数的最小值．【小问1详解】函数，又函数在处取得极值，所以有；所以实数的值为，经检验符合题意；【小问2详解】由（1）可知：，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以在上的最小值为和中较小的一个，又，，故函数的最小值为.18.已知函数，其中是常数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解；（2）易知当时，无极值；当）时，利用导数讨论函数的单调性求出极值即可.【小问1详解】当时，，所以．所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．【小问2详解】依题意，．当时，由（1）可知，，所以上单调递减，无极值．当）时，．（i）当时．，所以在上单调递减，无极值．（ii））时．时．在上单调递增，时，上单调递减．所以时，取极大值，无极小值．综上，当时，无极值；当时有极大值，无极小值.19.对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本y（单位：万元）和生产收入z（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，分别为，.（1）试写出该企业获得的生产利润w（单位：万元）与产量x之间的函数关系式；（2）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？【答案】（1）（2）该企业的产量为15t时，可获得最大利润，最大利润为1340万元【解析】【分析】（1）由题意，利用销售收入减去生