2025年高考数学重难题型二轮复习：数列中含绝对值与奇偶项的问题（3大题型）（学生版+解析）

i重难题型•解题技巧攻略

J_______________________

专题08数列中含绝对值与奇偶项的问题

检-----------题型归纳•定方向-----------*>

目

题型01含绝对值求和问题.......................................................................1

题型02等差、等比数列奇偶项和的性质..........................................................2

题型03含奇偶项的数列求和问题................................................................3

♦>-----------题型探析・明规律-----------♦>

题型01含绝对值求和问题

【解题规律•提分快招】

I、对于首项小于0而公差大于0的等差数列｛4｝加绝对值后得到的数列｛I。」｝求和，设｛4｝的前几项和为

Sn,｛|a„|）的前〃项和为7；，数列｛an｝的第k项小于0而从第k+1项开始大于或等于0,于是有

几,k.

"飞一21,n>k,

2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列｛4｝加绝对值后得到的数列｛,」｝求和，设｛。“｝的前几项和为

S",｛|%|｝的前几项和为7；,数列｛4｝的第k项大于0而从第k+1项开始小于或等于0,于是有

T=K，风,k

"一n>k°

【典例训练】

一、解答题

1.（2024・四川成都・二模）已知数列｛叫的前w项和'=《"+阿%eN*）,且S”的最大值为g.

⑴确定常数左，并求。“；

⑵求数列｛|%|｝的前15项和几.

2.（24-25高三上•内蒙古鄂尔多斯•期末）已知等差数列｛%｝的前“项和为S”，且2%+%=20,510=110.

（1）求｛凡｝的通项公式；

⑵设bn=|9—⑷，求数列｛〃｝的前〃项和&

3.(24-25高三上•湖北•开学考试)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且q=2,a^=S“+2.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)设2=log2^-ll,求数列｛|%｝的前〃项和T„.

题型02等差、等比数列奇偶项和的性质

【解题规律•提分快招】

1、等差数列中

s

①若项数为偶数2〃，则§2〃=+%?)="(。〃+。九+1)；S偶—5奇=〃6/；—=——.

a

S偶n+\

②若项数为奇数2〃—1,则昆〃.]=(2〃—1)q；S奇一S偶二%；=-----

一S偶n-1

2、等比数列｛〃.｝中，若项数为2〃，贝1]3丑；若项数为2〃+1,则写"=q.

s奇s偶

【典例训练】

一、单选题

1.(24-25高三上•河北沧州•阶段练习)设S,为等差数列｛%｝的前〃项和.若公差d=g,且品＞(,=145,贝|

+。3+。5++”97+”99的值为()

A.60B.70C.75D.85

2.(24-25高三上•重庆•阶段练习)已知一个项数为偶数的等比数列｛。“｝所有项之和为所有奇数项之和的3

倍，前2项之积为8,则％=()

A.2B.-2C.-1D.2或-2

3.(23-24高三上•重庆•期中)已知等比数列｛%｝有2〃+1项，4=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的

和为42,则〃=()

A.2B.3C.4D.5

4.(2024・重庆・二模)已知等差数列｛0｝的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为B,且A=45,

2A=3+615,贝l]%=()

A.3H—2B.3H-1C.3〃+lD.3〃+2

5.(23-24高三上•陕西榆林•阶段练习)已知等差数列｛4｝的项数为2m+l(〃zeN*),其中奇数项之和为140,偶

数项之和为120,则〃2=()

A.6B.7C.12D.13

6.(24-25高三上•河北保定•期末)己知正项等差数列｛%｝满足占N*)，则于1=()

A.2B.1012C.2024D.4048

题型03含奇偶项的数列求和问题

【解题规律•提分快招】

1、项数问题

①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项；

②数列项数是2n+l项，那么奇数为n+1项，偶数为n项；

③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数；

2、常见类型

①%,求心的值；则氏=(%+为++%4T)+(4+2++&)

为奇数

O”一[%〃为偶数’求"的值

(l)n为奇数时，有等个奇数项，有?个偶数项，则[=(4+/++%)+(%+,++%)

⑵n为偶数时，有弓个奇数项，有/偶数项，则(=(4+/++—)+但+%++2)

3、其他类型

①数列中连续两项和或积的问题：4+4+1=/(〃)或=/(")

②含有(-1)”类型

【典例训练】

一、解答题

1.(24-25高三上•山东•阶段练习)已知数列｛q｝为正项数列，且4=1,43-=2n+1(〃eN)

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵令6“=(-1)"见+3。”,求数歹U｛2｝的前2〃项和S2n.

2.(24-25高三上•江苏常州•期末)已知数列｛q｝满足％的+。2a3+…+。0%+1=4"("+D("十2)(〃©N*).

⑴设或=。1AM，求数列｛么｝的通项公式；

⑵若数列｛《,｝的前〃项和为S,，且品）=145,求生的值.

3.（2024高三・全国.专题练习）已知数列电｝中，4=l，4+%i=2"-i,〃eN*,求数列也"｝的前”和.

\a-8,“为奇数

4.（2024高三上•山东济南.专题练习）已知数列｛q｝的前“项和为S",fl，=13,%13%n,“为偶数

⑴证明：数列为等比数歹心

⑵求数列｛%｝的前2〃+1项和S2n+l-

+2,”为奇数

5.（23-24高三上•江苏无锡•阶段练习）已知数列｛%｝满足q=La用

2a“+1,fi为偶数.

⑴设以=%，写出伪也,打;

⑵证明数列也+3｝为等比数列;

（3）求数列｛%｝的前2九项和S2„.

6.（24-25高三上•陕西咸阳•阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且q=LS“+i=44+l（〃eN*）.

⑴证明：｛4+「2%｝是等比数列，并求出｛4｝的通项公式；

—,«=2k-l,keN*

⑵设％=n,求数列｛2｝的前〃项和却

log—,??=2k,AeN*

.2n

7.（24-25高三上•安徽阜阳•阶段练习）已知在数列｛。“｝中，a,=|,且满足%+1=

>;｝是等比数列.

（1）求证：数歹M

为奇数

a"2，求最小实数加，使得4+久+…+砥〈相对一切正整数左均

⑵设数列色｝满足4=<

"1+"1一2,“为偶数

n-1n+1

成立.

8.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知等差数列｛g｝满足：%=3公差//。且《，&，%恰为等比数列也｝

的前三项.

⑴求数列｛。“｝与｛b,,｝的通项公式：

（2）若数列｛q｝满足:%出"+如求数列匕｝前"项和1；

⑶求｛（T）"。”｝的前〃项和

9.（24-25高三上•天津南开•期末）己知等差数列｛七｝的前〃项和为S“，数列｛2｝是等比数列，满足弓=仿，

a2=5,4+〃4=19,S]]=11（4+1）.

⑴求数列｛%｝和的通项公式;

丁一”2，〃为奇数崩

⑵对任意的正整数"，设g=产+帅+2+1）,求皇；

（-1）2（〃_1）么,〃为偶数

⑶若对于数列｛4｝,在%和W+1之间插入4个1伏£N*）,组成一个新的数列｛4｝,记数列伍〃｝的前〃项和为

T〃，求岂025•

o-----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、填空题

1.（23-24高三下•江西•阶段练习）已知等差数列｛%｝共有2〃-1项，奇数项之和为60,偶数项之和为54,

则.

2.（2024高三.全国・专题练习）等比数列｛。“｝共有2〃项，其和为240,且奇数项的和比偶数项的和大80,

贝U公比4=.

3.（24-25高三上•全国•课堂例题）若等比数列｛%｝共有奇数项，其首项为1,其偶数项和为170,奇数项和

为341,则这个数列的公比为,项数为.

4.（24-25高三上•全国•课后作业）已知等比数列｛叫共有2〃项，其和为-240,且

（q+q++%“_]）一（的+%++出”）=80,贝!|公比0=.

5.（2024高三上•全国・专题练习）已知等差数列｛%｝的项数为奇数，且奇数项和为44,偶数项和为33,则

数列的中间项为;项数为.

6.（2024高三.全国•专题练习）已知数列｛%｝满足4=1,a，"：：；%"，则｛见｝的前40项和

为.

二、解答题

7.(2024・全国•模拟预测)已知等差数列｛4｝,«=-10,记S“为｛%｝的前〃项和，从下面①②③中再选取一

个作为条件，解决下面问题.①2%+4=0；②晶=-55；陪y=2.

⑴求S“的最小值；

(2)设｛同｝的前〃项和为求心.

8.(24-25高三上•河北衡水•开学考试)已知3为数列｛〃“｝的前〃项和，4=9,S„-n2=«(«„-1)(»eN*).

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛I*｝的前〃项和4.

9.(24-25高三上•全国•自主招生)若凡表示正整数”的最大奇数因数(〃eN+),记

S〃=%+〃2+〃3+〃4+-----*"，求S〃.

10.(24-25高三上•江苏盐城•阶段练习)已知数列｛外｝为等比数列，公比4>0,前几项和为S",数列色,｝为

等差数列，且％=々

=2,a3=b3,63=65.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式：

若n且数列｛g｝的前〃项和为北，求几.

(2)q=2,cn+2+(-l)cn=bn,

11.(24-25高三上•黑龙江大庆•阶段练习)已知数列｛。,｝的前〃项和为且满足S“=2%+2〃-1.

⑴求证:数列｛%-2｝为等比数列；

凡，”是奇数

⑵已知a=，"(2-％)曰伸将，求数列｛2｝的前2"项和.

I3

高三上•云南昆明•阶段练习)已知是正项递增的等比数列，且%必=数列

12.(24-25｛4｝64,a3+as=20.

也｝是等差数列，且(〃+1)2=2"+〃+C.

⑴分别求数列｛%｝和数列也,｝的通项公式；

⑵设c.=(-1)"4+J，求数列｛,｝前见项和S,.

"n"计1

13.(24-25高三上•辽宁沈阳•阶段练习)已知正项数列｛%｝的前〃项和为S,,且2s“=%(为+1).

(1)求｛4｝的通项公式；

为奇数?

(2)设bn=<J,〃为偶数，求数列｛bn｝的前〃项和人

"+2'

14.(24-25高三上•广东佛山•阶段练习)设各项非零的数列｛4｝的前n项和记为，记7；=SjS?…-S„,

且满足2s工-S"-27；=0,

⑴求小心的值，并求数列｛瑁的通项公式；

(2)设求数列匕｝的前〃项和储•

nan

:重难题型•解题技巧攻略

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专题08数列中含绝对值与奇偶项的问题

*>-----------题型归纳•定方向-----------*>

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题型01含绝对值求和问题.......................................................................1

题型02等差、等比数列奇偶项和的性质..........................................................2

题型03含奇偶项的数列求和问题................................................................3

*>----------题型探析・明规律-----------令

题型01含绝对值求和问题

【解题规律•提分快招】

I、对于首项小于0而公差大于0的等差数列｛4｝加绝对值后得到的数列｛,」｝求和，设｛%｝的前〃项和为

的前几项和为7；，数列｛4｝的第％项小于0而从第k+1项开始大于或等于0,于是有

7=［一S,，n,,k

n-k-2^,n>k，

2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列｛4｝加绝对值后得到的数列｛,」｝求和，设｛4｝的前几项和为

Sn,｛⑷｝的前n项和为Tn，数列｛«„｝的第k项大于0而从第k+1项开始小于或等于0,于是有

丁=卜，n,,k

"一12S/—S",n>k°

【典例训练】

一、解答题

1.（2024・四川成都二模）已知数列｛%｝的前力项和S“=-，2+b@eN*）,且S“的最大值为g.

⑴确定常数3并求％;

⑵求数列｛|4|｝的前15项和几.

7

【答案】⑴左=3；an=--n

8/33

【分析】（1）根据题意，求得5.=-）/+3〃，结合。“=5”-5”一即可求得数列｛q｝的通项公式;

（2）由（1）求得S“=-；/+3",结合几=-几+2S3,即可求解.

【详解】⑴解：由数列｛端的前〃项和S“=-g〃2+如H©N*）,

根据二次函数的性质，可得当〃=%时，S“=-；/+初取得最大值，

11O1

即1=一//+公=]公=_|,解得左=3,所以s“=-/〃2+3a,

117

当〃22时，4=5“_§〃_[=—/I+3〃-（n-1）2+3（n-l）=--n,

当〃=1时，（符合上式），

所以数列｛%｝的通项公式为an=^-n.

57

（2）解：由（1）知为=：一”，可得s+1岛3/

"22

且当〃工3且〃eN*时，可得%>。；当〃24且时，可得%<。，

所以数列｛㈤｝的前15项和：几=一2+2s3=-1?152+3x15）+21;x3?+3x3）=

2.（24-25高三上•内蒙古鄂尔多斯•期末）已知等差数列｛%｝的前〃项和为5,，且2%+%=20,品）110.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵设包=|9—⑷，求数列也｝的前〃项和却

【答案】（1）4=2"；

[-n2+8/?,1<7?<4

（2）"~[n2-8n+32,n>5'

【分析】（1）应用等差数列的通项公式及前n项和公式求基本量，进而写出通项公式；

（2）根据勿=|9-4的符号，讨论1W〃W4、n>5,结合等差数列前n项和公式求加

【详解】⑴设等差数列｛q｝的公差为d,又2%+%=20,%=110,

2a3+%=2（q+2d）+q+3d=20

所以196/解得％=2,d—2,

Slo=lOa1+°^=HO

所以=al=2+2（“一l）=2〃.

（2）由（1）知a=|9—⑷=|9一2",

9/33

当时，bn=\^-2ri\=9-2n9贝!|a=7；

当心5时，bn=|9-2n|=2n-9,则与=1,

当14H4时，T,/（7+9二2〃）」（169）=_“2+8〃,

22

当心5时，7；=/+々+…+2=]6+（"4）（£2"9）=/_8〃+32.

.,e=2+8n,l<n<4

"z上'"[n-8n+32,n>5,

3.（24-25高三上•湖北•开学考试）已知数列｛g｝的前"项和为％且4=2,0用=S“+2.

（1）求数列｛q｝的通项公式;

⑵设勿=1吗片-11，求数列｛间｝的前〃项和T".

【答案】⑴4=2",weN*

10n-n2,n<5.

⑵（=<cf〃，〃£N・

H92-10H+50,H>6

【分析】（1）利用见=篦-$,1（〃22）得出数列伍“｝是等比数列，从而可得通项公式;

（2）由已知求得切，得出｛"｝是等差数列，求出其前〃项和，然后根据绝对值的性质得出数列｛|2|｝与他"

的前〃项和的关系，从而求得结论.

【详解】（1）由。e=5“+2,则当“22时a“=Si+2

两式相减得4+1-%%,所以%=2%（〃22）.

将q=2代入an+l=S”+2得，a2=4=2al,

所以对于〃eN*,%=2a“，故｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以4=2”.

（2）

Z7„=log2^-ll=2/7-ll.

Bn=l\+b2++bn=〃（“-10）="-10/1,

因为当〃<5时a<。，当〃*时或>。，

2

所以当“V5时，Tn=-b1-b2---bn=-Bn=lQn-n,

当"2时，T=—b—=B—n~

6n—Z?j2—Z>5+Z?6+Z>7++n2B5=-10/z+50.

”n2—10n+50,n>6

10/33

题型02等差、等比数列奇偶项和的性质

【解题规律•提分快招】

1、等差数列中

①若项数为偶数2〃，则S2”=)=〃(。”+)；S偶一S奇=nd；—=——.

S偶。〃+1

②若项数为奇数2〃-1,则J1=(2〃-1)?；S奇一S偶二％；———.

-S偶n-1

2、等比数列｛%｝中，若项数为2〃，则2=”若项数为2〃+1,则反二气,.

S奇S偶

【典例训练】

一、单选题

1.(24-25高三上•河北沧州•阶段练习)设S”为等差数列｛%｝的前〃项和.若公差1=；,且几o=145,则

“1+“3+。5++”97+”99的值为（）

A.60B.70C.75D.85

【答案】A

【分析】设等差数列的奇数项的和为P,偶数项之和为Q,由等差数列的性质列方程组，可求出P、Q的

值，从而可得出结果.

【详解】设2=4+%+%++。97+“99，

Q=〃2+〃4+〃6++“98+”100

因为数列仇｝是等差数列，且公差d=g,5100=145,

fe+P=S=145

所以；pX1004解得。=6。，2=85

[Q-P=50d=25

所以4+。3+%++。97+%9=60・

故选：A.

2.(24-25高三上•重庆•阶段练习)已知一个项数为偶数的等比数列｛0｝所有项之和为所有奇数项之和的3

倍，前2项之积为8,则％=()

A.2B.-2C.-1D.2或-2

【答案】D

【分析】设数列共有2〃项，设所有奇数项之和为7“，由题意表求出和T,,利用*=3求出公比4,再结

合q♦%=8求出q即可.

【详解】设首项为q,公比为4,数列共有2“项，贝!)｛%“_｝满足首项为4，公比为d，项数为〃项，设所

11/33

有奇数项之和为4，

因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以gwl,

所以丁“1-⑺)$

所以1=%+%+*=\_q2—，$2"一-m-，

%(I-42")

S21—qo

故满n足(/，v\=3,解得q=2,

(“1-⑺)

1-“2

又6•出=〃；♦q=8,

所以4=±2.

故选：D

3.(23-24高三上•重庆・期中)已知等比数列｛4｝有2”+1项，％=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的

和为42,贝1]"=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为1+d+/+…+=1+4(q+/+/+…+^-')=85,偶数项为

q+q3+q5+...+q2n-'=^,得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可.

【详解】因为等比数列有2”+1项，则奇数项有〃+1项，偶数项有〃项，设公比为4,

得到奇数项为1+才+/+…+广=1+g(q+/+++/“T)=85,

偶数项为4+q3+4+...+/"T=42,整体代入得4=2,

所以前2九+1项的和为:——=85+42=127,解得“=3.

1-2

故选：B

4.(2024.重庆.二模)已知等差数列｛%｝的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为8,且3-&=45，

2A=3+615,贝1]%=()

A.3n—2B.3n—1C.3n+1D.3〃+2

【答案】B

【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.

【详解】设等差数列的公差为d,首项为％,

则B-A=15d=45,所以d=3,

因为2A=3+615,即24=4+45+615,则7=660,

等差数列的奇数项是以6为首项，2d为公差的等差数列，等差数列｛4｝的前30项中奇数项有15项，所以

12/33

15x14

A=15%H--------x6=660,得〃i=2,

所以4=4^+(n-l)6?=2+3(n-l)=3n-l.

故选：B

5.(23-24高三上•陕西榆林•阶段练习)已知等差数列｛%｝的项数为2m+eN*),其中奇数项之和为140,偶

数项之和为120,则加=()

A.6B.7C.12D.13

【答案】A

【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直

接代入等差数列的前”项和公式，结合等差中项的性质化简即可.

【详解】项数为2加+1的何｝中奇数项共有(加+1)项,

其和为⑺）角

（"+D（1+%，"+J=+向=+16=140,

项数为2机+1的｛%｝中偶数项共有机项，其和为〃」%；%")=*24=〃叼m=120,

所以3皿1407〜口

西有,解得利=6.

叫+]

故选:A.

6.(24-25高三上.河北保定.期末)已知正项等差数列间满足：：：：；：：：：=占(4*)，则,=()

A.2B.1012C.2024D.4048

【答案】B

【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到％J=V\（〃eN*）,从而得到冬=4g,即可得解.

nan+2n+2n〃+2

【详解】因为｛%｝为等差数列，

所以…++*=y”，

〃（〃3+。2“+1）

%+%+…+a2n+\=---------------=nan+29

所以」__3---------2=__=__（„eN）,

+anafl+2

%+%+2n+ln+2

所以%=%+2,所以“2024=%）22==e_

以nn+2以202420222

~a2024

所以3?0=?4一1=1012

13/33

故选：B

题型03含奇偶项的数列求和问题

【解题规律•提分快招】

1、项数问题

①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项；

②数列项数是2n+l项，那么奇数为n+1项，偶数为n项；

③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数；

2、常见类型

①1，求心的值；则《“=(《+%++。2.-1)+(匕2+"++处)

为奇数

求，的值

②1年,"为偶数

(l)n为奇数时，有一个奇数项，有一个偶数项，则［=(%+%++见)+仅2+%++〃-)

(2)n为偶数时，有"I个奇数项，有3个偶数项，则(=(%+/++an-\)+(^2+^4++b.)

3、其他类型

①数列中连续两项和或积的问题：4+4+1=/(〃)或4,a,+i=/(«)

②含有(-1)"类型

【典例训练】

一、解答题

1.(24-25高三上•山东•阶段练习)已知数列｛g｝为正项数列，月％=1,a3-q；=2"+l(〃eN)

(1)求数列｛4｝的通项公式;

⑵令求数列也｝的前〃项和

bn=(-1)"an+3%,2S2a.

【答案】⑴4="

o2n+l_Q

⑵$2"=”+^^

【分析】(D解法一：构造数列｛片-1｝是恒为。的常数列，结合。“>0可得出数列｛%｝的通项公式;

解法二：利用累加法结合%>。可求得数列｛4｝的通项公式；

(2)利用并项求和法结合分组求和法可求得邑

【详解】⑴解法一(构造常数列)：由d「d=2"+l=("+l)2-〃2("eN*),且％=1,

14/33

可得a；+i—(〃+1)2=a1-n2==a^-I2=0,

故数列｛W-n2｝是恒为0的常数列,所以d="2,

又因为数列｛4｝为正项数列，所以凡=〃(〃eN*).

解法二(累加法)：由题意得：V〃22且〃EN*,

有"a；-a：=3,a；-a；=5,L,4—a；7=2(〃—1)+1=2〃—1,

将以上各式相加，得4-。；=3+5++(2“_])=("1)(；2〃T)=/_],

将q=l代入上式即得寸="2,且当”=1时也成立，所以d=/,

又因为数列｛%｝为正项数列，所以a“=〃(”eN*).

(2)由⑴可得勿=(-1)"•〃+3”,令%=(-1)"•〃，其前2"项和为耳，

对任意的女EN*,。2左一1+。2攵=一(2左一1)+2左=1,则&=lx〃="，

又因为3^2++3*f=f==，

1-322

中+1-O

所以S2n=n-\------------

2.(24-25高三上•江苏常州•期末)已知数列｛。“｝满足4%+〃汹++。“。用=则"詈土eN*).

⑴设a=a„an+l,求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列｛4｝的前〃项和为S“，且&=145,求q的值.

【答案】⑴4=4"("+1)；

24

(2)%=1或歹.

【分析】(1)根据已知可得"=见。用=4〃(〃+1),验证4是否满足要求，即可得结果；

(2)根据已知可得的=旦，且餐="，讨论〃的奇偶性得凡,《关系，应用分组求和及已知列方程求4.

4〃+2n

■、*.4n(n+l)(n+2)

+Cla

【详解】(1)由4%+%%+nn+1=-------------------①，

当〃N2时，％%+,••+%—1%=-------十----@f

①一②则a=anan+l=4n(n+l),又4=%%=8满足上式，

所以a=4"(〃+1).

⑵由⑴，知的向=4小+1),则热力=牝故^^K=4,

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所以。2=2，且4+2=为

n+2n

黑吟一条则％若•"常

若〃为偶数,

若〃为奇数，/=%=...=?贝！1a=叼；

n+2n1n

41?0

故％=(1+3+5+7+9)%+(2+4+6+8+10)•—=25%+—=145,

解得4=1或.

3.（2024高三•全国・专题练习）已知数列电｝中，伉=1也+%=27weN*,求数列｛&｝的前"和.

【答案】|-4n-y-|

【分析】根据题意，由递推关系可得打“+2-仇”=22"'再由累加法以及等比数列的求和公式可得

12

酊再由分组求和法，代入计算，即可得到结果•

63

【详解】因为2+T=2"T,则bM+bn+2=2",

两式相减作差可得%2-2=2"-2"-1=2"T,

所以处+2-&=22"T,

23

即b4-b2=2,b6-b4=23也一々=25,,b2n-k=2-,

累加可得％也=2+2"++”=妇工-1」，4,-2,

2"21-4363

又仇=1,勿+b“M=2"T,weN*,当”=1时，4+4=0,所以4=0,

12

即包“=94"-3设数列也“｝的前n和为。，

63

则"4+"+4++b2n

34mx卉讣肘一丁+卜力

=1(4+42+43++4")一

一"(1一4")

2.4〃—

61-4939

册-8,"为奇数

4.（2024高三上•山东济南•专题练习）已知数列｛%｝的前几项和为S〃,4=13,a

n+13%,及为偶数

⑴证明：数列｛%.「12｝为等比数列;

（2）求数列｛4｝的前2n+l项和S2n+l•

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【答案】⑴证明见解析

(2)邑”+1=2X3"+16〃+11

【分析】(1)根据条件，得到当心2,〃eN*时,^-1112=3^.^-36,且有q-12=1,由等比数列的

定义即可证明结果；

(2)由(1)及条件可得%E=3I+12,%"_2=3"-2+4,〃22,〃eN*,再利用等比等差数列前〃项和公式分

组求和，即可求解邑用.

a-8,"为奇数

【详解】(1)证明：因为巴包n

3%,“为偶数'

a_

所以当“22,〃eN*时，2n-i12=—12=3a2”_2—12=3<7(2n_3)+1—12=3(tz2n_3—8)—12=3(a2n_3—12),

%1—12

即/=3

又〃=1时，％—12=13—12=1,

所以数列｛%“7-12｝为首项为1,公比为3的等比数列.

(2)由(1)知的IT2=3"\所以%1T=3^+12,

■数，可得-3"-2+4,心2,”eN*,

又由%+i

所以邑用=4+°2+“3++%.+。2用=(6+%++为“+1)+(。2+。4++02„)

=[(3°+12)+(3'+12)+...+(3n+12)]+[(3°+4)+(3+4)+...+(37+4)]

1_7"+11-3"

=[3°+3+—+3"+12(〃+1)]+(3°+3+.+3"—+4〃)=++16a+12=2x3"+16〃+11

a+2,”为奇数

5.(23-24高三上.江苏无锡•阶段练习)已知数列｛%｝满足q=La“+i=n

2a“+1,〃为偶数-

(1)设内=。2"，写出伪也也；

⑵证明数列也+3｝为等比数列;

(3)求数列｛%｝的前2〃项和邑“.

【答案】(1)4=3,仇=9,4=21

(2)证明见解析

(3)邑“=12X2"-8”-12

【分析】(1)根据已知的数列递推关系，分别代入计算2=4”的前三项.

(2)通过分析久的递推关系，利用等比数列的定义来证明他,+3｝为等比数列.

(3)先求出a的通项公式，再根据。”与或的关系求出S?”.

【详解】(1)已知%=1,因为4=%“，所以4=%.

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当〃=1时,％=6+2=1+2=3,即4=3.

当〃=2时，b2=a4.

先求生，因为〃=2为偶数，%=2%+1=2X3+1=7.

再求〃4，因为孔=3为奇数，〃4=〃3+2=7+2=9,即仇=9.

当〃=3时，&=&-

先求〃因为〃为偶数，

5，=4tz5=2«4+1=2x9+1=19.

再求〃6,因为〃=5为奇数，4=%+2=19+2=21,即4=21.

(2)由2=%〃可得勿+i二%(“+1)=。2n+2・

所以b=a

n+l2n+l+2=2a2rt+1+2=26.+3.

则%+3=2(2+3).又4+3=3+3=6.

所以数列｛2+3｝是以6为首项，2为公比的等比数列.

(3)由(2)可知仇+3=6X2"T=3X2",贝他=3X2"-3.

$2"=(41+%)+(43+。4)++(%"-1+。2”)•

因为2=%.，a2n-l=a2n-2+・

所以邑〃=(%+%)+(%+%)++(%"-+%场)=(%—2+%)+(。4-2+%)++(%〃—2+%〃).

即S?n=2(*+旬++bn)-2n.

由等比数列求和公式可得4+%++4=3X2"2")一3〃=6X(2"-1)-3”.

1—2

所以S?”=2x[6x（2”—1）—3川—2〃=12x2〃一12—6〃-2〃=12x2”—8〃一12.

6.（24-25高三上•陕西咸阳•阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S",

⑴证明：｛。向-2a.｝是等比数列，并求出｛凡｝的通项公式；

—=2k-l,keN"

⑵设％=",求数列色｝的前"项和&

log,—,n=2k,keN*

.n

nl

【答案】⑴证明见解析，an=n-2~

2角-1(1)1,〃=2左一1,AeN'

-—4^

⑵(

^-^+—,n=2k,k^'N"

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【分析】（1）根据。“与S”之间的关系可知｛。鹏-24“｝是以2为首项，2为公比的等比数列，结合等比数列

通项公式可得需-枭=g,利用等差数列通项公式分析求解;

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（2）根据题意可知：但｝的奇数项为以4=1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以％=1为首项，2

为公差的等差数列，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.

【详解】（1）当〃=1时，S]=〃1+%=4〃i+1,且〃1=1,所以4=4；

当"W2时,由3+i=4%+l,得S==4%+1,则

S0+i-S”=4an+l-（4a）i_1+1）,可得«„+1=-4fln_,,

即q,+「2%=2（%-2%_）,且出一2°户2,可得

可知数列｛。用-2%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

则.一2%=2.2向=2",可得猾一袋=g,

且多=：,可知俗!是以g为首项，为公差的等差数列，

所以3=g+|（〃T）g即…”

工〃=2I,%eN*

2,,-1,n=2k-l,ke-Nt

(2)由(1)可知"="

n-\,n=2k,kGN’

log,—,n=2k,keN*

,n

可知抄“｝的奇数项为以仿=1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以4=1为首项，2为公差的等差数列.