广西钦州市第四中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷（原卷版+解析版）

广西钦州市第四中学2024-2025学年度下学期高二数学期中数学试卷一、单选题（共8小题，共40分.每小题5分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求）1.某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（）A. B. C. D.2.某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（）A.①②均为真命题 B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题 D.①②均为假命题3.已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（）A. B. C. D.4已知随机变量服从二项分布，则（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（）A.关于直线对称 B.关于直线对称C.关于点成中心对称 D.关于点成中心对称6.若随机变量分布列为，则（）A.12 B.10 C.9 D.87.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.1010.30.3若随机变量，则等于（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.78.若随机变量的分布列为，则（）A.12 B.10 C.9 D.8二、多选题（共3小题，共18分.每小题6分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求，部分选对得部分分，有选错得0分）9.某地区组织了一次高三全体学生模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，则下列正确的是（）A. B.C D.10.已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（）A.B.若服从两点分布，，则C.若，则D.若实数为常数，则11.下列命题中，真命题的是（）A.中位数就是第50百分位数B.已知随机变量，若，则C.已知随机变量，满足，若，，则，D.已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120第II卷（非选择题）三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12.设随机变量，若，则______．13.箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中，__________.14.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________．四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．（1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；（2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．16.设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个.（1）在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；（2）在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；（3）在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率.17.某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；（3）设第次投篮命中的概率为，求证：．18.为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条.（1）试估计m的值；（2）对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望.19.某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下:零件直径(单位:厘米)[1.8，2.0]零件个数1025302510（1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间内的概率;（2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;（3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.参考数据:若随机变量，则，，.

广西钦州市第四中学2024-2025学年度下学期高二数学期中数学试卷一、单选题（共8小题，共40分.每小题5分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求）1.某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有20个大小和形状均相等的小球，其中有8个粉色球，8个紫色球和4个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】记取出蓝色球记为,取出的不是粉色球记为,利用条件概率求解.【详解】记取出蓝色球为事件,事件取出的不是粉色球为,,,,则．故选：D2.某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（）A.①②均为真命题 B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题 D.①②均为假命题【答案】C【解析】【分析】分别写出对应的样本空间，结合互斥事件与独立事件的概念即可判断命题的真假.【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，则M与N不互斥，故命题①错误；若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，则，于是，所以M与N相互独立，故命题②正确．故选：C．3.已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案.【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，根据题意可得，，所以.故选：D.4.已知随机变量服从二项分布，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由，则即可求解.【详解】，故选：B．5.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（）A.关于直线对称 B.关于直线对称C.关于点成中心对称 D.关于点成中心对称【答案】C【解析】【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误.【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得，可得，所以正态密度曲线关于对称，即，由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢，所以无对称轴，故AB错误；，所以关于点成中心对称，故C正确，D错误.故选：C6.若随机变量的分布列为，则（）A.12 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】【分析】根据分布列中概率之和为1，列方程求得的值.【详解】根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，解得.故选：B7.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.30.3若随机变量，则等于（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】A【解析】【分析】根据求解即可.【详解】.故选：A.8.若随机变量的分布列为，则（）A.12 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】【分析】根据分布列中概率之和为1，列方程求得的值.【详解】根据分布列中概率之和为1，列方程得：，即，解得.故选：B二、多选题（共3小题，共18分.每小题6分，在每小题给出的四个选项里，只有一个符合题目要求，部分选对得部分分，有选错得0分）9.某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，则下列正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由题意可得．由对称性可得,，AB正确，CD错误．故选：AB10.已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（）A.B.若服从两点分布，，则C.若，则D.若实数为常数，则【答案】AD【解析】【分析】根据随机变量的生成函数定义，结合随机变量数学期望的求法，逐项判断即可.【详解】对于A，随机变量的生成函数，则，当时，，所以A正确；对于B，服从两点分布，，则生成函数为，所以B错误；对于C，，则生成函数为，所以C错误；对于D，对于线性变换生成函数，所以D正确.故选：AD【点睛】1、随机变量两点分布，则；2、随机变量，则；3、.11.下列命题中，真命题的是（）A.中位数就是第50百分位数B.已知随机变量，若，则C.已知随机变量，满足，若，，则，D.已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用中位数的概念即可判断；对于BC，利用二项分布的方差公式，结合数学期望与方差的性质求解即可判断；对选项D，利用分层抽样样本方差的计算公式计算即可判断.【详解】对于A选项，中位数就是第50百分位数，A选项正确.对于B选项，已知随机变量，根据二项分布的方差公式（其中是试验次数，是每次试验成功的概率），可得.又因为（、为常数），那么.已知，即，解得，B选项正确.对于C选项，已知随机变量，满足，根据期望的性质（、为常数），可得.因为，所以.再根据方差的性质（、为常数），可得.因为，所以，C选项错误.对于D选项，设男生样本为，平均数为，方差为；女生样本为，平均数为，方差为.总体样本平均数.根据分层抽样样本方差公式（其中、分别是男生、女生的样本数量），可得：，所以D选项错误.故选：AB.第II卷（非选择题）三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12.设随机变量，若，则______．【答案】0.3##【解析】【分析】根据已知，利用正态分布曲线的性质求解.【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，又因为，所以，所以又因为，所以0.3.故答案为：0.3.13.箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中，__________.【答案】【解析】【分析】利用条件概率和乘法公式分类讨论，最后利用全概率公式即可求解.【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则，当时，的概率为，若，则需取出的1个球是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则需取出的2个球都是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则需取出的3个球都是红球的概率为，所以，当时，的概率为，若，则有两种可能的情况：第一种情况为取出的4个球都是红球有种，第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有种，所以概率为，所以当时，的概率为，若，则需取出全部4个红球，1个黄球，所以，所以，当时，不满足题意，所以综上故答案为：.14.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________．【答案】【解析】【分析】计算出，根据条件得到，，，故，其中，，则或2，当时，，，，分，和，，两种情况，求出相应的，时，不合要求，从而得到答案.【详解】事件，事件，故，又，故，即，因为，，所以，故，即，又，，故，所以，即，所以，故，其中，，则或2，若，则，又，故，，故，若，，可令或或或；若，，可令或或或，事件，事件若，则，此时，此时，故，不合要求，舍去，综上，满足条件的事件的个数为8.故答案为：8四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．（1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；（2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为42【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率公式结合古典概率的概率公式求解；（2）求出的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列求得期望.【小问1详解】所求概率为.【小问2详解】的所有可能取值为，，，，．所以的分布列为X30405060P的数学期望.16.设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个.（1）在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；（2）在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；（3）在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）在有放回的情况下，每一次取到白球的概率，再利用二项分布的概率公式求解.（2）利用古典概型的概率公式求解.（3）将第3个球为白球的事件分拆成四个互斥事件的和，再求出各个事件的概率，结合加法公式求得答案.【小问1详解】在有放回的情况下，每一次取到白球的概率为，所以这5个球中恰有3个白球的概率.【小问2详解】在不放回的情况下，这5个球中恰有3个白球的概率.【小问3详解】在不放回的情况下，若第3个球为白球，则有四种情况：白,白,白；白,红,白；红,白,白；红,红,白，所以所求概率.17.某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；（3）设第次投篮命中的概率为，求证：．【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可；（2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可；（3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可.【小问1详解】设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，，易知与是互斥事件，所以由全概率公式得该运动员第二次投篮命中的概率为．【小问2详解】由题意得，，的所有取值为0,1,2，,所以的分布列为012……所以．【小问3详解】由题意得，；当时，即，变形为，所以数列是以为公比的等比数列，又，于是，即，所以．18.为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条.（1）试估计m的值；（2）对于（1）中估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）50；（2）分布列见解析，期望为.【解析】【分析】（1）应用样本估计总体的思想求小池塘中鱼的条数；（2）根据已知确定随机变量的可能