2023-2024学年上海市宝山区高一下学期期末教学质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1上海市宝山区2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1.已知集合，，则______．【答案】【解析】由，可得、，则.故答案为：.2.函数的最小正周期为______．【答案】【解析】由正切型函数性质可知.故答案为：.3.若指数函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意，函数是上的单调增函数，根据指数函数的图象与性质，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.4.已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为______．【答案】【解析】设该扇形半径为，弧长为，圆心角为，面积为，则，即，即，又，则.故答案为：.5.若，则的值为______．【答案】125【解析】由题意知，，则，所以，解得.故答案为：125.6.向量，能组成平面向量的一个基，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可得，不共线，故有，即，故实数的取值范围是.故答案：.7.已知中，，，，则在方向上的数量投影为______．【答案】【解析】.

故答案为：.8.若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为______．【答案】1【解析】由题意得，，所以，即，当且仅当时，等号成立，令，则，方程，，所以是方程的根，所以.故答案为：1.9.已知，，，则______．【答案】【解析】由，，，则，则，，.故答案为：.10.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】观察在上的图象，当时，或，当时，，所以的最小值为：，的最大值为：，所以的取值范围为.故答案为：.11.若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“阶依赖函数”．已知函数是上的“阶依赖函数”，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可得，对于任意，存在使得，即，则，即.故答案为：.12.中，，当时，的最小值为，则______．【答案】【解析】令，则，又，则点在线段上，取上靠近点的三等分点，连接，则，则，令点关于的对称点为，则，即有，设，则在中，有，即，即，又，则，则有，即，即.

故答案为：.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13.已知角终边上一点，若，则实数的值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】由三角函数定义可得，解得.

故选：C.14.设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】若在上为严格增函数，由奇函数性质可得在上为严格增函数，则在上最小值为，若在上的最小值为，不能得到在上为严格增函数，即不能得到在上为严格增函数，故“在上为严格增函数”是“在上最小值为”的充分非必要条件.故选：A.15.如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知与互为“共胚复数”，其中，，为虚数单位，则的值为（）A. B.0 C.3 D.【答案】D【解析】，则有，则.故选：D.16.已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由在上单调递减，y＝log2x在上单调递增，所以，在定义域上是单调减函数，当时，，又因为，，所以，当都为负值，则都大于，当，则都小于，大于，综合可得，不可能成立．故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.已知幂函数的图像经过点．（1）求此幂函数的表达式和定义域；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）设，则有，解得，故，即，则其定义域为.（2）由，则在上单调递减，故有，即，即.18.已知坐标平面内，向量，，．（1）求满足的实数、；（2）若向量满足，且，求的坐标．解：（1）由，则有，解得，即，.（2）设，则有，解得或，故或.19.锐角中角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．解：（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，则.（2）由，则、，则，由为锐角三角形，可得，解得，则，则，故.20.已知函数的部分图像如图所示：（1）求函数的表达式；（2）当时，求方程的所有根的和．解：（1）由函数的图象，可得，可得，所以，因为，即，可得，即，又因为，可得，所以.（2）由，可得或，因为，可得，当时，，设方程的解为，则，可得；当时，，则，可得，综上所述，方程的所有根的和为.21.已知集合（其中是虚数单位），定义：，.（1）计算的值；（2）记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、；（3）若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，．解：（1）.（2）设，由，得，所以，当，时等号成立，所以的最大值为4，符合题意的一组解：.（3）由条件可知，所以，设，当时，和是单调递增函数，则在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点，当时，是单调递增函数，得，先增后减，且，因此，即在上没有零点，当时，是单调递增函数，则，而，因此，即在上没有零点，综上，当时，必存在唯一的零点，当时，，且得，所以，其中，此时是单调递增函数，所以，从而，所以当时，.上海市宝山区2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1.已知集合，，则______．【答案】【解析】由，可得、，则.故答案为：.2.函数的最小正周期为______．【答案】【解析】由正切型函数性质可知.故答案为：.3.若指数函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意，函数是上的单调增函数，根据指数函数的图象与性质，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.4.已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为______．【答案】【解析】设该扇形半径为，弧长为，圆心角为，面积为，则，即，即，又，则.故答案为：.5.若，则的值为______．【答案】125【解析】由题意知，，则，所以，解得.故答案为：125.6.向量，能组成平面向量的一个基，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可得，不共线，故有，即，故实数的取值范围是.故答案：.7.已知中，，，，则在方向上的数量投影为______．【答案】【解析】.

故答案为：.8.若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为______．【答案】1【解析】由题意得，，所以，即，当且仅当时，等号成立，令，则，方程，，所以是方程的根，所以.故答案为：1.9.已知，，，则______．【答案】【解析】由，，，则，则，，.故答案为：.10.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】观察在上的图象，当时，或，当时，，所以的最小值为：，的最大值为：，所以的取值范围为.故答案为：.11.若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“阶依赖函数”．已知函数是上的“阶依赖函数”，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可得，对于任意，存在使得，即，则，即.故答案为：.12.中，，当时，的最小值为，则______．【答案】【解析】令，则，又，则点在线段上，取上靠近点的三等分点，连接，则，则，令点关于的对称点为，则，即有，设，则在中，有，即，即，又，则，则有，即，即.

故答案为：.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13.已知角终边上一点，若，则实数的值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】由三角函数定义可得，解得.

故选：C.14.设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】若在上为严格增函数，由奇函数性质可得在上为严格增函数，则在上最小值为，若在上的最小值为，不能得到在上为严格增函数，即不能得到在上为严格增函数，故“在上为严格增函数”是“在上最小值为”的充分非必要条件.故选：A.15.如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知与互为“共胚复数”，其中，，为虚数单位，则的值为（）A. B.0 C.3 D.【答案】D【解析】，则有，则.故选：D.16.已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由在上单调递减，y＝log2x在上单调递增，所以，在定义域上是单调减函数，当时，，又因为，，所以，当都为负值，则都大于，当，则都小于，大于，综合可得，不可能成立．故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.已知幂函数的图像经过点．（1）求此幂函数的表达式和定义域；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）设，则有，解得，故，即，则其定义域为.（2）由，则在上单调递减，故有，即，即.18.已知坐标平面内，向量，，．（1）求满足的实数、；（2）若向量满足，且，求的坐标．解：（1）由，则有，解得，即，.（2）设，则有，解得或，故或.19.锐角中角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．解：（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，则.（2）由，则、，则，由为锐角三角形，可得，解得，则，则，故.20.已知函数的部分图像如图所示：（1）求函数的表达式；（2）当时，求方程的所有根的和．解：（1）由函数的图象，可得，可得，所以，因为，即，可得，即，又因为，可得，所以.（2）由，可得或，因为，可得，当时，，设方程的解为，则，可得；当时，，则，可得，综上所述，方程的所有根的和为.21.已知集合（其中是虚数单位），定义：，.（1）计算的值；（2）记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、；（3）若，且满足，，记，