2025年上海市虹口区中考数学一模试卷（附参考答案）

中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确

的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】

1.（4分）下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个菱形B.两个正方形

C.两个三角形D.两个等腰三角形

2.（4分）在中，己知/C=90°,4B=5,BC=3,那么的正切值为（）

3344

A.~B.-C.~D.一

5453

TTTTT

3.（4分）已知非零向量a、和c,下列条件中，不能判定a11b的是（）

—>~>—>—>~>—>—>—‘—>—>~—>

A.a=2bB.a=2c,2b=cC.|3a|=\2b\D.a||c,b\\c

4.（4分）已知（-3,»1）、（0,J2）和（L>3）都在抛物线〉=（x+2）之上，那么yi、”和歹3的大小关

系为（）

A.yi<y2<y3B.yi<yi<yiC.yi>y2>yiD.y\>73>y2

5.（4分）已知抛物线>=如2+乐+0（a/0）如图所示，下列结论中，正确的是（）

A.a>0B.b<0C.c<0D.a+b+c>0

6.（4分）如图，已知A8〃CD,联结BC交于点O,联结4C,NACB=/BAD,如果45=2,CD

=6,那么C。长为（）

-------------------------------aD

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）已知线段a是线段b、c的比例中项，b=2cm,7=8c冽，那么a=cm.

TTT

8.（4分）计算：2a+3（b-a）—.

9.（4分）已知y=2久.+2是二次函数，那么m的值是.

10.（4分）抛物线y=（x-1）2+3与y轴的交点坐标是.

11.（4分）如果抛物线＞=（机-2）x2-2有最高点，那么根的取值范围是.

12.（4分）已知抛物线在y轴右侧的部分是下降的，且经过（0,1）,请写出一个符合上述条件的抛物线

表达式是.

13.（4分）如图，直线40〃匹〃尸C,如果DE=2ER4c=9,那么48长是.

14.（4分）已知B'。，且△/BC和B'C的最长边分别是5和10,如果

的面积是6,那么△/'B'C的面积是.

15.（4分）如图，在△NBC中，点D、E分别在边/8、AC±,联结3£、DE,如果DE//BC,

TT—TT—_1T

AB=a,AC=b,用a、b表本BE=.

16.（4分）如图，正方形/BCD的顶点8、C在x轴上，点/、。恰好在抛物线3上，那么正方形

ABCD的面积是.

17.（4分）如图，在中，N4BC=90°,/C=5,tanC=2,。是/C上的动点，将△BCD沿

翻折，如果点C落到内（不包括边），那么CD的取值范围是

A

18.（4分）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么

我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重

似线段”.如图，在△45C中，/B=10,taaB=tanC=2,点。、£分别在边N8、NC上，如果线段

OE是△NBC的“重似线段”，那么。£=.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

tan45°

19.（10分）计算:---------------cos60°.

tan60°—2sin30°

20.（10分）在平面直角坐标系工。歹中，抛物线y=f+2冽%+冽+1经过点5（-1,0）.

（1）求加的值以及抛物线的对称轴;

（2）将该抛物线向右平移〃个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求几的值.

21.（10分）如图，在△43C中，48=10,BC=5,sin5=$点。、E在3c的延长线上，联结AE,

S.AD=AC.

(1)求tan//DC的值;

(2)如果NE=NA4C,求DE的长.

22.（10分）如图，在中，ZABC=90°，点。在边NC上，过点。作DE垂直/C交Z8于点£,

联结EC、BD交于点、F.

（1）求证：△ABDS^ACE；

1,

(2)如果3C=BE,求证：-CE2=BF-BD.

23.（12分）根据以下素材，完成任务.

探究淋浴喷头的位置

素材1图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在

升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记

为点点4与墙之间的距离忽略不计）.图

2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段

为手柄，射线8C为水流，8c与N3的

夹角N/5C为90°,手柄43与墙£8的夹

角/"48为淋浴喷头的“调整角”，记为El-------------'D

a.已知AB长为20cm.图1图2

素材2图3中的矩形EFG8是淋浴房的截面图，

EF=9Qcm,EH=\95cm.为了方便在淋浴

房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在。处,

DE=52cm,

素材3我们把人竖直站立时，头顶以下30c%处记

为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋

点”到地面的距离等于人的身高减30c%

已知小明的身高是130c加，他爸爸和妈妈的

身高分别是176cm和160c%某次爸爸洗澡

时，将淋浴喷头固定器调整至如图3的点/

处，“调整角”a为37°,此时水流正好喷

在爸爸的“舒适喷淋点"C处（即CD=爸

爸身高-30）.

素材4参考数据：sin37°20.60,cos37°«0.80,tan37°20.75,V3=1.73.

问题解决任务一求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处

点/到地面的距离

任务二爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即

/£不变），把淋浴喷头的“调整角”a调整

至60°,然后小明进淋浴房洗澡.

①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋

点”处，请通过计算说明理由；

②下降固定器（将固定器下降后的位置记为

点H）后，小明发现水流可以喷在他的“舒

适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离

AA'（精确到lew）.

24.（12分）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线>=--+8+3与x轴交于点/、B（点/在点

2的左侧），与y轴交于点C,联结/C,tan/C4O=3,抛物线的顶点为点D

（1）求6的值和点。的坐标；

（2）点尸是抛物线上一点（不与点8重合），点P关于x轴的对称点恰好在直线8C上.

①求点P的坐标；

②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结的幺如果求点M的坐标.

25.（14分）如图，在梯形48c£>中，AD//BC,ZBCD=90°,CD=2,£是C£>的中点，AC,BE交于

点、F,且=

（1）求证：CE=CF；

(2)如果3c=2/D,求tan//2C的值;

AD

(3)如果/48£=/4C8,求少的值.

BC

一.选择题(共6小题)

题号123456

答案BDCABC

一、选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确

的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】

1.【答案】B

【解答】解：/、两个菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；

8、两个正方形一定相似，符合题意；

。、两个三角形不一定相似，不符合题意；

。、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意，

故选：B.

2.【答案】D

【解答】解：•.,在Rt/UBC中，已知/C=90°,AB=5,BC=3,

：.AC=V52-32=4,

24c4

则NB的正切值为77=

DC3

故选：D.

3.【答案】C

->T

【解答】解：不能判定a〃。的是选项C

故选：C.

4.【答案】A

【解答】解：抛物线y=(x+2)2图象开口向上，对称轴为直线x=-2,

(-3,ji)距离对称轴1个单位长度，

(0,二)距离对称轴2个单位长度；

(1,”)距离对称轴3个单位长度，

根据开口向上，距离对称轴越远，函数值越大可得：

故选：A.

5.【答案】B

【解答】解：:,抛物线y=a/+6x+c(aWO)的图象开口向下，

.*.6Z<0,

故N选项错误，不符合题意;

：.b<0,

故2选项正确，符合题意；

:抛物线的图象与y轴的正半轴相交，

：.c>0,

故C选项错误，不符合题意；

根据函数图象，当x=l时，y<0,

a+b+cVO,

故。选项错误，不符合题意，

故选：B.

6.【答案】C

【解答】解：-：AB//CD,AB=2,CD=6,

：.AAOB^ADOC,

9BOAB21

••CO-CD-6一3’

:.CO=3BO,

:.CB=BO+3BO=4BO,

VZACB=ZBAD,/B=NB,

：.△ACBs^OAB,

•_C_B_AB

••—,

ABBO

：.CB-BO=AB2^22=4,

：.4BO2=4,

解得8。=1或80=-1（不符合题意，舍去）,

故选：C.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.【答案】4.

【解答】解：•・•线段〃是线段b、c的比例中项，b=2cm,c=Scm,

Q2=6C=2X8=16,

.*.6Z=4（负值舍去），

•\a=4cm.

故答案为：4.

T->

8.【答案】3b—a.

->TT

【解答】解：2。+3（b—a）

->T—

=2a+3b—3a

TT

=3b—a.

T->

故答案为：3b_a.

9.【答案】0.

【解答】解：根据已知，得/+2=2,

解得："7=0.

故答案为：0.

10.【答案】见试题解答内容

【解答】解：令x=0,得y=4,

故与y轴的交点坐标是：（0,4）.

故答案为：（0,4）.

11.【答案】m<2.

【解答】解：•••抛物线>=（加-2）x2-2有最高点，

抛物线图象的开口向下，

；・m-2<0,

故答案为：m<2.

12.【答案】>=-$+1（答案不唯一）.

【解答】解：由抛物线在〉轴右侧的部分是下降的可知对称轴可确定为y轴，即6=0,

，图象开口向下，取。=-1,

抛物线解析式为夕=-x2+c,

把（0,1）代入，得c=l,

抛物线解析式为y=-f+l.本题答案不唯一.

故答案为：y=-，+i（答案不唯一）.

13.【答案】见试题解答内容

【解答】W：'JAD//EB//FC,

•DE_A_B

••—,

DFAC

•：DE=2EF,AC=9f

.ABABDE2EF2

"AC~9~DE+EF~2EF+EF~3'

..AB=6,

故答案为：6.

14.【答案】24.

【解答】解：由题意得：=点）2另,S“BC=6,

S"，104

所以B'C'的面积是=24,

故答案为：24.

15.【答案】—a+b.

7T

【解答】解：・.・5O=2/Z）,AB=a,

T2T

・・BD=—可ci.

■:DE〃BC,

：.△ADEsdABC,

.DEAD1

••BC~AB~

—>—>—>_»_）

又•：BC=AC-AB=b-a,

T[T]T]7

**•DE=BC=b—9。，

TT-2->117]一

:•BE=BD+DE=一9a+9b—d=-。+可力,

T1T

故答案为：—。+可2）.

16.【答案】36.

【解答】解：由题意设。（切，2m）,

・・•点4、。恰好在抛物线>=7-3上,

2m=m2-3,

解得冽=3,m—-19（舍去），

：.D（3,6）,

・・・正方形ABCD的边长为6,

・•・正方形ABCD的面积为36.

故答案为：36.

17.【答案】l<CZ）v|.

【解答】解：•.•N4BC=90°,tanC=2,

:.AB=2BC,

"：AC=5,

：.AB2+BC2=5,

:.AB=2瓜BC=V5,

设C的对应点为。，

:将△BCD沿AD翻折，

AZBDC=ZBDC'=90°,

；.tanC=^=2,BD^2CD,

，：BD1+CD1=BC1,

(2CD)2+CD2=5,

：.CD=1；

当。在43上时，过。作。/九L/B于〃，如图:

:将△BCD沿8。翻折，

：.BC=BC'=V5,ZCBD=ZC'BD^ABC=45°,CD=CD，NC=/BCD,

，△瓦力/是等腰直角三角形，tan/8CO=2,

：.BH=DH,DH=2CH,

设CH=x,则Da=3H=2x,

,?CH+BH=BC'=V5,

；.x+2x=V5,

解得k冬

CH=。氏竽，

CD^Jc^+DH2=|,

CD=I；

：。落到4/2。内（不包括边），

：.\<CD<-

故答案为：1<CDV|.

20「

18.【答案】w或追.

【解答】解：如图，作/G_L5c于G,45=10,tanB=^,tanC=2,

AG4AG

•,・—，—-乙7，

BG3CG

：.AG=8fBG=6,CG=4,

・・・5G=6+4=10,AC=V82+42=4V5,

作△45。的中线4F,。为△45C的重心,

当时，过5作5//_L/C交NC于H,

A

AE7AD'DE'

；・NAE'D'=NABC,NAD'E'=NC,—=—=——,

ABACBC

,

：BA=BC=10f

：.ZC=ABAC,AH=CH=2逐，

；.NBAC=/ADE、,BH=J102-(2V5)2=4V5,。在5a上,

：.AE=D^E\

・・丝，

•BH-3’

•••QH=竽，

4

*.*tanZ.AED'=tan乙ABC=可，

4V5

-z-4

则El/=^,

EH3

：.D'E'=AEr=AH+HE^2V5+V5=3V5；

综上：=

故答案为：—sKVs.

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

19.【答案】y.

11

【解答】解:原式=

73-2X12

V3+11

-2

旦

T-

20.【答案】(1)m=2,抛物线的对称轴为直线x=-2；(2)〃=3或1.

【解答】解：(1):抛物线y=x2+2加x+%+1经过点3(-1,0),

1-2m+m+l=0,解得加=2,

，抛物线解析式为：y=x2+4x+3=(x+2)2-1,

...抛物线的对称轴为直线x=-2；

(2)将抛物线＞=(x+2)2-1向右平移〃个单位后得到新抛物线为y=(x+2-n)2-1,

•.•新抛物线经过原点，

(2-7?)2-1=0,解得〃=3或1.

21.【答案】⑴2；

(2)9.

【解答】解：(1)如图，过点/作于点

：.AM=6,

：.BM=7AB2-4M2=8,

,:BC=5,

:.CM=BM-BC=3,

U：AD=AC,AMLCD,

.\CM=DM=3,

tanZ^4DC==?=2；

(2)•:/E=/BAC,/ABE=/CBA,

：.LABEsMBA,

ABBE

••_•____—__,

BCAB

•_1_0____B_E

••—，

510

；.BE=23

：.DE=BE-BC-CM-DM=20-5-3-3=9.

22.【答案】(1)证明见解答；

(2)证明见解答.

【解答】证明：(1)u：ZABC=90°,DELAC,

：.ZADE=ZABC=90°,

•・•ZA=ZAf

：.^ADE^/\ABC,

•_A_D_A_E

••—，

ABAC

ADAB

•••__—__,

AEAC

：./\ADB^/\AEC.

(2)VAADB^^\AECf

：./ABD=/ACE,

：.ZBFC-ZACE=ZBFC-NABD,

：.ZBDC=ZBFC-AACE,/BEC=ZBFC-AABD,

：.ZBDC=NBEC,

■:BC=BE,ZCBE=90°,

・•・ZBCF=/BEC,CE2=BC2+BE2=2BC2,

:.NBCF=/BDC,BC2=j-CE2,

,：ZFBC=ZCBD,

：./\FBC^/\CBD,

.BCBF

••—，

BDBC

：.BC2=BF'BD,

1、

:LCE2=BF,BD.

2

23.【答案】（1）点/到地面的距离/E约为160cm；

（2）①理由见解答部分；

②固定器下降的距离区4,约为10cm.

【解答】解：作BNLAH于点、N,延长。C交8N于点则/MVS=/M=90°,

:爸爸身高是176c加，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处，

/.CD=176-30=146(cm),

'：AB=20cm,a=37°,

.*.3N=20Xsin37°^20X0.60=12(cm),AN=ABXcos37°«20X0.80=16(cm),NABN=53

,:DE=52cm,/ABC=90°,

：.BM=40(cm),NCBM=37°,

.\CM=40Xtan37o心40X0.75=30(cm),

146+30=176(cm),

:.EN=176(cm),

：.AE=]76-16=160(cm).

答：点A到地面的距离AE约为160cm；

(2)①当a=60°时，ZABN=30a,

VZABC^90°,

/.ZCW=60°,

•：AB=20cm,

：.AN^10(cm),BN=106(cm),

：.BM=(52-10V3)(cm),

，CM=(52-10V3)xV3=52V3-30^59.96(cm),

：.CD=AE+AN-CA/=160+10-59.96^110.04(cm),

:小明的身高是130cm,

.,.小明的舒适距离CO=130-30=100(cm),

V110.04>100,

水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处；

②设点/移动到了点H,此时在小明的“舒适喷淋点”,

图3

:CZ)=l00cm,

由题意得：CM'59.96cm,A'N'=AN=l0cm,

：.A'E=CD+CM'-A'N'=100+59.96-10F50(cm),

：.AA'=AE-A'E^IO(cm).

答：固定器下降的距离44'约为10cm.

24.【答案】⑴产-X2+2X+3,点。(1,4)；

211

(2)①点尸(-2,-5)；②点M(—宗工).

39

【解答】解：(1)由抛物线的表达式知，点C(0,3),则。C=3,

：tan/C4O=3,则。/=1,即点/(-1.0),

将点力的坐标代入抛物线表达式得：0=-1-6+3,

则6=2,

则抛物线的表达式为：＞=-«+2了+3,

则点。(1-4)；

(2)①由抛物线的表达式知，点3(3,0),

由点2、。的坐标知，直线3C的表达式为：y=-x+3,

设点P(m,-;w2+2m+3),则点P关于x轴的对称点：力2-2加-3),

将点(加，ni2-2m-3)的坐标代入y=-x+3得：nr-2m-3=-m+3,

解得：m=3(舍去)或-2,

即点尸(-2,-5)；

②设8M