2025年人教版八年级数学下册同步训练：二次根式的除法（3个知识点+5类热点题型+习题巩固）解析版

第04讲二次根式的除法

'e__________

01

课程标准学习目标

1.掌握二次根式的除法运算，并能够熟练的进行运算。

①二次根式的除法

2.掌握商的算术平方根的性质，并能够结合二次根式的性质熟练

②商的算术平方根

的对二次根式进行化简。

③二次根式的混合运算

3.掌握二次根式的混合运算法则，并能够熟练的进行混合运算。

E思维导图

6根式的除i而去则

商的11术平方根的性质

Xfl式的i8合运.

二次根式的除法二次粮式的跑去运.

料子的有理数因式

二次横式的化葡

U；L

分母有理化M式子的关系

』模式的混合运声

B!知识清单

知识点01二次根式的除法法则

1.二次根式的除法法则：

两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。即，/a^4b=_(a>0,Z)>0)

a

拓展：a4b4-c4d=^_-_J^-(b>0,d>0cw0)

cjdc\d9

【即学即练1】

1.计算：正上后=2

【分析】根据二次根式的除法法则计算.

【解答】解：V8-V2

=784-2

=2,

故答案为：2.

【即学即练2】

2.计算4，密+2、户的结果为（

A.2缶B.-2xC.6亚■9

3

【分析】根据二次根式的除法法则求解.

【解答】解：4V6x2+2y^=2*718x—6V2x-

故选：C.

知识点02商的算术平方根的性质

1.商的算术平方根的性质:

A假=（心0,z»o）

商的算术平方根等于算术平方根的商。即

2,分母有理化：

分母有理化是指把分母中的根号化去。

3.分母有理化因式：

两个含二次根式的代数式相乘时，若它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式。

若分母只有单独的一项，则分母有理化因式为本身；若分母是一个式子，则分母有理化因式与分母

组成平方差公式。

即人的分母有理化因式为—亚_；4a+4b的有理化因式为人不—。

【即学即练1】

3.能使等式、区成立的x的取值范围是（）

Vx-2G

A.xW2B.C.x>2D.%22

【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0,列不等式组求出x的取值范围.

x》0

【解答】解：由题意可得,解之得x>2.

x-2>0,

故选：C.

【即学即练2】

4.化简:

(1)(2)16X25(3)G>0,y>0)；

64⑷唇

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案.

【解答】解：（1）=返

8

⑵府二等十

(3)(x>0,y>0)

V3y3y

【即学即练31

5.写出J1+1（a>0）的一个有理化因式是\G-1（答案不唯一）.

【分析】根据平方差公式可求4+1的有理化.

【解答】解：4+1的有理化因式4-b

故答案为：4-1（答案不唯一）.

【即学即练4】

6.下列式子中，与2>百-&互为有理化因式的是（）

A.2V3-V2B.2V3+V2C.V3+2V2D.V3-2V2

【分析】直接利用有理化因式的定义分析得出答案.

【解答】解：:（2正-加）（2V3+V2）

=12-2

=10,

二与2\回―/^互为有理化因式的是：2<§+加，

故选：B.

【即学即练5】

7.分母有理化:WT=—

【分析】给分子分母同乘以（2-%），分母即可化为平方差形式去掉根式，再进行计算即可得出答案.

12-V3

【解答】解:

2电:（2跖）（23）

2-百

22-(V3)2

_2-V3

4-3

=2-A/3.

故答案为：2-

知识点03二次根式的乘除混合运算

1.二次根式的混合运算步骤：

①将算式中的除法转化成乘法。

②将根号前面的系数和被开方数分别相乘。

③化成最简二次根式。

【即学即练11

8.计算：

⑴J吟+3义（-5^吟）；⑵?/ab，X春标）'冉

【分析】（1）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可；

（2）利用二次根式乘除运算法则进而化简即可.

5V10

—人y----------

37

5V10.

21

⑵ab3x

=?X（_苫）=3、，匕3义ab义包,

b5Vb

—~6aVab-

04题型精讲

题型01二次根式的除法运算

【典例1】计算：

⑴署⑵骁⑶肾⑷G+匹

【分析】（1）先进行根式的除法，然后再化为最简.

（2）将丁造化为最简后进行根式的除法运算.

（3）先进行根式的除法，然后再将所得根式化为最简.

（4）先进行根式的除法，然后再将所得根式化为最简.

【解答】解：（1）华_=我=3；

V2

（3）原式='4a2=2同

VDD

（4）原式=点=年.、

【变式1】选择合适的方法计算：

⑷三=

V2xy

【分析】（1）直接进行二次根式的除法运算，然后将二次根式化为最简.

（2）将丁应化为最简后再进行根式的除法运算.

（3）将带分数化为分数，然后再进行根式的除法运算.

（4）直接进行根式的除法运算，然后再将二次根式化为最简.

【解答】解：（1）隼=居=叵;

V6V62

(2)^^~=3近;

V3

【变式2】计算:

【分析】（1）先将二次根式化为最简，再进行二次根式的除法运算即可;

（2）先将小数化为分数，然后将二次根式化为最简即可；

（3）进行分母有理化的运算即可；

（4）直接进行二次根式的除法运算，然后将二次根式化为最简即可.

（5）将带分数化为假分数，然后进行二次根式的除法运算，继而化简二次根式可得出答案;

（6）直接进行二次根式的除法运算，将所得二次根式化为最简.

【解答】解：（1）原式=笨_=4；

V2

（2）原式=橹=聆=即；

V742a

(3)原式=

V6a*V6a6a

题型02求式子的有理化因式

【典例1】填空：

（1）/逋的有理化因式为_旧_；

（2）丁羡的有理化因式为羡

（3）V7-迎的有理化因式为_小土«

（4）M+2的有理化因式为-2.

【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断.

【解答】解：（1）小五的有理化因式为小五；

（2）Nx-6的有理化因式为Ux-6；

（3）小-正的有理化因式为我+盗；

（4）V3+2的有理化因式为«-2.

故答案为：VM>Vx_6，VV+V3，V3-2.

【变式i】4+C的有理化因式是（）

A.Va+bB.Va-bC.Va+VbD.Va-Vb

【分析】根据有理化因式的概念进行计算辨别.

【解答】解：；（Va-Vb）=a-b,

的有理化因式是-Vb>

故选：D.

【变式2］像（）（V5-'回）=3、Va*\/^=（7（a20）、（V^+l）（Vb-1）=67（62

0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.请写

出F-&的一个有理化因式—退+V2_.

【分析】根据题意可以解答本题.

【解答】I?：V（V3-V2）（V3+V2）=1，

:.正啦是6的一个有理化因式.

故答案为：V3+V2（答案不唯一）.

题型03二次根式的化简

【典例1】把母化简后得（

)

412ab

A.4bB.2Vbc.

［分析】直接利用二次根式的除法运算法则化简求出即可.

V3a_1_Vb

【解答】解:

V3lxV4b2瓜石

故选：D.

【变式1】化简/_的结果是2+J5

V2-1

【分析】先将原式分子分母同时乘以（料+1）,然后进行二次根式的化简求解即可.

【解答】解：原式=近(如+1)

(V2-1)(V2+1)

_2+V2

2-1

=2+V2.

故答案为：2+J5.

【变式2】化简：

⑴氏;(2)(3)A-；⑷VTs.

V5

【分析】利用二次根式的性质一一化简即可;

【解答】解：（1）不欣=7q义2=3近;

(2)_V5_V5

1V5

(3)

_V3_V6

(4)Vi75=

7TT

【典例11化简:的结果是（)

A.VxC.--./xD.-'/-x

【分析】根据二次根式的性质由题意可知x<0,我们在变形时要注意原式的结果应该是个负数，然后根

据二次根式的性质化简而得出结果.

【解答】解：原式=

=x-

=x-

故选：D.

【变式1】化简-的结果是（)

A.VaC--V-aD.-Va

【分析】先根据题意判断出a的符号,再把二次根式进行化简即可.

【解答】解：J一有意义,

.*.6Z<0,

原式=(-a)\|f^a=V-a-

故选：B.

【变式2】把（1-a）J」_根号外的因式移入根号内,化简后的结果是-Gf.

V1-a

【分析】根据二次根式的意义可知1-a<0,只能根号外的正因式移入根号内，要注意符号的变化.

【解答】解：由根式可知，1-a<0;

故原式=-J（a-1）2•（一-）

V1-a

=~Va-l-

【变式3】化简二次根式工，7的正确结果是（）

x

A.V-xB.VxC.-VxD.-V-x

【分析】根据分母不等于0和被开方数大于等于0,得到x是负数，然后化简即可.

【解答】解：根据代数式有意义得：x#0,--20,

.*.x<0,

:・原式=+dx2.（-x）

=—

X

=—,（-X）V-X

X

=-V^x-

故选：D.

题型04分母有理化确定式子的关系

【典例】已知：。=—、，则。与的关系是（

16)

2-V32W3

A.a~b~~0B.a+b=OC.ab=\D.a2=b2

【分析】先分母有理化求出a、b,再分别代入求出。6、a+b,a-b、M、萨,求出每个式子的值，即可

得出选项.

【解答】解：分母有理化，可得。=2+正，6=2-百，

：.a-b=（2+V3）-（2-V3）=2«,故/选项错误；

a+b=（2+V3）+（2-V3）=4,故8选项错误；

ab=（2+V3）X（2-V3）=4-3=1,故C选项正确；

'：a2=（2+Vs）2=4+4愿+3=7+4«,b2=（2-百）2=4-4展+3=7-4%，

/.a2^b2,故。选项错误;

故选：C.

【变式1】若。=1+、历，则。与6的关系是(

1-V2

A.互为相反数B.互为倒数

C.相等D.互为负倒数

1

【分析】把6=的分子分母同乘(1+V2)进一步化简与。比较得出结论即可.

1-V2

6=^_=______112/2_____

【解答】解:(1+扬，。=1+祀,

1-V2(1-72)(1W2)

二。与6互为相反数.

故选：A.

【变式2】比较大小：L＜QL(用＞，＜或=填空).

V6-V5V7-V6

【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而比较得出答案.

【解答】解：••,「「=L但吗L=瓜代，

V6~v5(V6~V5)(V6+v5)

行后(V7W6)(V7W6)7

遥，

-i＜i

••娓MV7-V6'

故答案为：＜.

题型05二次根式的乘除混合运算

【典例1】计算：2,坛xR喜■?«.

【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可.

【解答】解：原式=2遥X92x里

23

=76X72x73

=6.

【变式1］计算：J彳+^X右停•

【分析】首先利用二次根式除法以及乘法法则转化成一个二次根式，然后对二次根式进行化简即可.

【解答】解：原式=工\/^701=工J*=2X2a=曳.

6Va36、4a63

【变式2】计算：j岐+（3728）X（-5,卓.

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案.

【变式3】计算:部。（注3+（3靠）.

【分析】根据单项式乘单项式和单项式除以单项式的法则化简，结合二次根式的性质与化简即可得出答

案.

【解答】解:再xC|4?）+（3岛

a0b

2a

,2

侬式"计臬麻«出"昼.

【分析】依据二次根式的乘除法法则进行计算即可.

=±-n.V6inn-

3m4

05强化训练

1.计算05+正的结果正确的是（)

A.4B.3C.2D.&

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案.

【解答】解：V12^V3=V4=2.

故选：C.

2.计算：-^Vab•居■等于（）

D.Z?Vab

【分析】按二次根式的乘除法法则运算,结果化为最简二次根式.

=-^-Vab-

ab

故选：A.

3.下列各式中，与丁而互为有理化因式的是（）

A.Va-bB.-/a-VbC-Va+bD.Va+Vb

【分析】根据有理化因式的定义进行判断即可.

【解答】解：根据互为有理化因式定义可知:

与丁京互为有理化因式的是J而，

故选：C.

4.化简厂1L（

V2W3

A.V3-V2B.5/3c.V2D.V2-V3

【分析】运用二次根式的性质进行化简、求解.

【解答】解：由题意得，

1—M一万

ET巫姬）（爽3）t”

故选：A.

5.若\叵0^成立,则x的值可以是（）

V2-x区

A.-2B.0C.2D.3

【分析】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围进而得出答案.

【解答】解：:若^^^^^成立，

V2-x反

./x+l>O

，，

,t2-X>0

解得：-lWx<2,

故x的值可以是0.

故选：B.

6.对于无理数加，添加关联的数或者运算符号后，运算结果为有理数的是（）

A.V3-V2B.V2+V2C.（加）3D.提+近

【分析】选项/、3根据二次根式的加减法法则判断即可；选项C根据乘方的定义以及二次根式的性质

判断即可；选项D根据二次根式的除法运算算出结果即可.

【解答】解：我与加不是同类二次根式，所以不能合并，结果不是有理数，故N选项不符合题意；

V2+V2=2>/2,2让不是有理数，故8选项不符合题意；

《历）3=2点，2加不是有理数，故C选项不符合题意；

瓜+近=6=2,2是有理数，故。选项符合题意.

故选：D.

7.如果06>0,a+b<0,那么下列各式中正确的是（）

C.椁=6D-（Vab）2=-ab

【分析】先判断出，«<0,b<0,然后根据二次根式的意义，二次根式的性质化简，即可得出结论.

【解答】解：

••a,b同号，

a+b〈0,

•'•a<09b<0,

:.气,《无意义，故/选项错误，不符合题意；

「X狎后？毋注

•••故8选项正确，符合题意；

伤+[=±6,故C选项错误，不符合题意；

（7而）2=&卜故。选项错误，不符合题意；

故选：B.

8.把11ng根号外的因式移入根号内得（）

A.ViriB.V-iriC.-Vm

【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答.

【解答】解：：1m产成立，

-工>0,即m<0,

m

2

.♦.原式=-J（_m）（_A）=-

Vm

故选：D.

9.设—,y=\[5-3>则x,y的大小关系是（）

V5+3

A.x>yB.x^yC.x<~yD.x=y

【分析】把x的值分母有理化，再比较.

【解答】解：/尸生（依-3）=3-近>o,y=V5-3<0.

-4

故选：A.

10.在解决如下问题“已知J7=a，V70=b.用含。，6的代数式表示'工卫”时，甲、乙两个同学分别给

出不同解法：

甲.不严手阿一辰而WX屈_ab.

4-9viaviooioioio'

乙：>4.9=V49X0.1=7V0.1因为Vo.1一喝。若，所以V4.9=7>70.1•

对于这两种解法，正确的是（）

A.甲对B.乙对

C.甲、乙均对D.甲、乙均不对

【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后判断.

_(49_1490-W7X70与X用ab

【解答】解：甲：VT9=

vlo-7而~10-=io-10

二甲正确；

乙：VT9=V49X0.1=7VO7I.

••,g品品哀弋

・3加而令

.•.乙正确;

综上所述，甲、乙均对.

故选：C.

11.化简-V6xVs4-

【分析】根据二次根式乘除法运算法则计算即可.

【解答】解：原式=-^6X8+/

=^6X8x1

=-6^/2,

故答案为：-小四.

12.已知后，且X是偶数，则（x+2）F|!的值为_2^雷_.

【分析】根据二次根式的意义求出6VxW9,得出x=8,然后进行根据二次根式性质进行化简求出结果

即可.

【解答】解：•.•庐二^,

Vx-6

.".9-xNO,x-6>0,

解得：6VxW9,

・・h为偶数，

，x=8,

(x+2)

8-2

=(8+2)丽

2715.

13.已知|2x-4|+.y+3=2x.2)2,则x+y=7.

【分析】利用非负数的意义，求出x的取值范围，进而将原式化简，再根据非负数的意义求出x、y的值,

代入求值即可，

【解答】解：：《工有意义，

2》0,

...x22,

•♦・|2x-4|+^§=(V^2)2，

2x-4+Vy+3=x-2,

BpVy+3+x-2=0,

vVy+3^0,x-220,

.\y+3=0,x-2=0,

・・y=-3,%=2,

••x~^~y2-3=-1

故答案为：-1.

14.已知X-2AB?-3y=0,则空△"包=_21_.

xWxy-y11

【分析】先把x-2仿-3y=0因式分解，得到x和〉的数量关系，再代入代数式中可求值.

【解答】解：由己知，得(Vx+Vy)(Vx-sVy)=o，

Vx>0,y>0,

•*-Vx+Vy>o>

*e•Vx-3丘=0,

'.x=9y,

当x=9y时，

原式=18y+3y+3y=j£

9y+3y-y11

15.观察下列等式：

第1个等式：牝

第2个等式：02=,1-L=6-&，

V2W3

第3个等式：的=7工一=2-%,

V3+2

第4个等式：a4=—匕=遍-2,

2W5

按上述规律，计算ai+az+W"1----"=—Vn+1~1

【分析】首先根据题意,可得：01+°2+。3+…==然后根据分母有理数化的方法，求出算

Vn+1+Vn

式的值是多少即可.

【解答】解：第1个等式：^=^^=72-1，

1W2

第2个等式:。2=7-1y--V2>

V2W3

第3个等式：的=1==2-%，

V3+2

第4个等式：04=—丁=&-2,

2W5

。1+。2+的+…+。麓

—V2_1+V3-V2+，,，+Vn+l~Vn

=Vn+l-1

故答案为：Vn+1-1.

16.计算：（1）3/ab，•（3b）+（3^^）（b>0）,

⑵不字旁楞,恳4

【分析】（1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可.

（2）先根据二次根式有意义的条件得出。<0,再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求

解即可

【解答】解：（1）.”>（）,

.,.a>0,

・••原式=（"■（V）义^]Jab，♦a3b管

=

b

=a2b2V7b

b

_a2bVab,

(2)V-.bmMn2+司普'区•日有意义’

2a2

=-2^6Ia|

=2^6aV-a•

17.在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知、+歹=-6,盯=4,求

把x+y=-6,刈=4代入，得伤（X5=1X（-6）一3.

xy4

显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程.

【分析】利用二次根式的性质结合x,y的关系得出它们的符号，进而化简求出答案.

【解答】解：x+y=-6,xy=4,

•".x<0,y<0,

(x+y)

xy

把x+y=_6,中=4代入，得原式=一标上去）=-他=3.

xy4

18.先来看一个有趣的现象:,这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟

“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如:

房噫匾二匾等等.

（1）①请你写一个有“穿墙”现象的数；

②按此规律，若点（a,6为正整数）,则的值为71.

（2）你能只用一个正整数"（〃22）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律;

【分析】（1）①答案不唯一可以举例说明感.

②判断出a,b的值，可得结论；

（2）通过观察例子中数据的特点即可得出规律，再仿照例子即可证明.

【解答】解：（1）①

②由题意。=8,6=63,

/.a+6=8+63=71.

故答案为：71；

（2）结论:

n-n+n

理由:2=

^-1n2-l

19.阅读下列材料，然后回答问题.

【思维启迪】

【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上2这样的式子，其实我们还可以将其进一步化

V3+1

2二2(«-1)=2(遍-1)

=V3-1-

简:V3+1=(V3+1)(V3-1)=(V3)2-1