2025年九年级数学中考复习：图形的性质 常考热点填空题 提升训练

2025年春九年级数学中考复习《图形的性质》常考热点填空题专题提升训练（附答案）

1.如图，△ABC中，乙B=90°,ZX=24°,E,尸分另!］是边AB,AC上的点，连接EF,将△AEF

沿着£尸折叠，得到AAEF,当4F所在直线与AB垂直时，N2EF的度数是.

2.如图，在平行四边形4BCD中，对角线AC,BD交于点。，过点。作。E1.4C交AD于点E,

连接EC.若ACDE的周长为7,则回28CD的周长为.

3.如图，正方形4BCD的边长为1,点尸在边40上，S.PE1AC,PF1BD,垂足分别为£、

F,则PE+PF的值为.

4.如图，在△ABC中，/.ABC=90°,AB=BC,点4的坐标为（一7,3）,点B的坐标为（一2,0）,

5.如图，在四边形4BCD中，延长BA、FE,交于点M,延长CD,与FM交于点N,若NBMF+

^CNF=90°,AB=5,CD=12,E.F分别是4。、BC的中点，则EF=.

DC

F

B

6.如图，△ABC中，4。是中线，AE平分NBAC,CFLAE^F,AB=10,AC=4,则。尸的

长为______

7.如图，四边形48CD为菱形,N28C=70°,延长BC到E,在NDCE内作射线CM,使得NECM=

15°,过点D作DF1CM,垂足为F,若DF=VIU,则对角线BD的长为

8.如图，在扇形40B中，。4=2,N20B=90。，点C为4B的三等分点，D为OA.上一动点,

连接DC,DB.当DC+DB的值最小时，图中阴影部分的面积为(结果保留兀)

9.如图，在矩形4BCD中，4B=2BC,点M是。9边的中点，点E,尸分别是边AB,BC边

上的点，且4F_LME于点G,若BE=4,BF=2,则ME=.

10.如图，在平面直角坐标系中，点4(3,0),P是y轴正半轴上的一个动点，AABP是等腰直

角三角形,NB4P=90°,C是点P正上方一点，连接BC,若NBCP=45°,则PC的长为.

11.如图，平行四边形。ABC的顶点4在％轴的正半轴上，点D(3,2)在对角线。B上，反比例函

数y=£(k>0,x>0)的图象经过C,D两点•已知平行四边形O4BC的面积是18,则点B的坐

标为.

12.如图，矩形4BCD中，AB=4,AD=2,点£是4D延长线上一点，连接BE交AC于点?若

/-ACB=2^AEF,则线段DE的长为.

13.如图，AB是。。的直径；弦CD交AB于点F,BF=2OF,弦4E1CD于点G,连接CE,CE||

AB.若CG=4,则FG=,AB=

14.如图，把矩形4BCD沿EF对折，使点8与点。重合，折痕EF交BD于G,P为DG上一个

动点，若FC=2,DC=4,则PF+PC的最小值为.

15.如图，已知△ABC,AC=BC=6,ZC=90°.。是AB的中点，。。与AC,8C分别相

切于点。与点E.点尸是。。与4B的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G.则

Z.CDG=,CG=.

16.如图，在正方形4BCD中，4B=8百，点E为边4D上一点，连接BE,点G在BE上,

以GE为边作等边△£■七,点尸落在CD上，M为GF中点，连接CM,则CM的最小值为

17.在矩形中，=5,BC=3,将矩形28CD绕点/顺时针旋转得到矩形49

点8的对应点B,落在直线CD上，连接DD',则。。'的长度为.

18.如图，矩形ABCD中，。。为XABC的内切圆，过点。作AB的平行线，分别

交AD,BC于点E,F,交AC于点G,交。。于点H.

(1)若点。为EF的黄金分割点，则tanzCXB的值为

(2)若EG=2GH=4,则矩形ABCD的面积为.

19.如图，在RtAAOB中，ZXOB=90°,BO=2AO=5,在B。或B。的延长线上取点P,连

接2P,再作△PAG,其中2P=4G,^PAG=2ABAO,取PG中点H,连接。"，则下列结论

正确的是—

①sin^APG=②4PHO=APAO,③BP=V5OH,④连接BG,则BG的最小值为8.

20.如图，在△ABC中，2LABC=90°,BA=BC,把△ABC绕点/逆时针旋转得到△4DE,

点。与点8对应，点。恰好落在4C上，过E作EF||4B交BC的延长线于点尸，连接BD并延

长交EF于点G,连接CE交BG于点〃.下列结论:①BD=DG；②CH=EH；③BD=V2DH；

@DG=y[2EG.其中正确的有(填正确的序号).

参考答案

1.解:"E,F分别是逅IB,4C上的点*

团当4F所在直线与4B垂直时，有以下两种情况：

①如图：延长4F交4B于点X,

设2EF=a,

由三角形的外角性质得：/-EFA'=AAEF+4FHE=a+90°,

由折叠的性质得：乙EFA=Z.EFA'=cr+90°,

在A4EF中，ZX+Z.AEF+/.EFA=180°,

•，•24°+a+a+90°=180°,

解得：a=33。，

••・Z.AEF=a=33°；

②如图,

CF

'A'

在△ABC中，Z.B=90°,乙4=24°,则NC=66°；

将AAEF沿若EF折叠，得到则有N&FE=乙4//

A'FLAB,NB=90°

A'FWBC,

AAA'FA=NC=66°,

又；/LA'FE=UFE,且NA'FA=^A'FE+Z-AFE=66°,

•••^A'FE=AAFE=33°；

在A2EF中，ZX=24°,ZXFF=33°,

•••^AEF=180°-24°-33°=123°,

故答案为：33。或123。

2.解：团在平行四边形4BCD中，对角线AC,BD交于点。,

回。2=OC,AD=BC,AB=CD

又EIOE1AC,

回OE为AC边的垂直平分线,

EEC=EA,

E1ACDE的周长=DC+DE+EC=DC+DE+EA=DC+DA7,

回目ABC。的周长=2（DC+。/）=2X7=14,

故答案为：14.

3.解：如图，对角线2C与交于点。,

AD

BC

回正方形4BCD边长为1,

^\AD=CD—1,AC1BD,

团乙。/0=45°；

SAC2=AD2+CD2=l2+I2=2,贝IMC=V2,

0PE1AC,PF1BD,

^Z.PEC=/.PFB=90°；

又EL4C1BD,

国四边形EPOF是矩形，

HPF=OE,

又EIND4。=^APE=45°,

EL4£=PE,

^AE+OE=OA=-AC=-xV2=—,

222

EPE+PF=—.

2

故答案为：乎.

4.解：如图，过Z作4。1%轴于0,过C作CE，》轴于E,

则=乙CEB=90°,

•••Z-ABC=90°,

・•.Z.ABD=Z-BCE,

又•・•AB=BC,

/.△ABD三△BCE（AAS）,

AD=BE,BD=CE,

又•・•点/的坐标为（一7,3）,点B的坐标为（一2,0）,

・•.BE=3=AD,BD=CE=5,

OE=3—2=1,

.・•点C的坐标为(1,5),

故答案为：(1,5).

5.解：连接BD,取BD的中点连接EH,HF,

B

回£、尸分另IJ是4。、BC的中点，

151

0EHIIAB,EH=^AB=|,HF||CD,HF=^CD=6,

^HEF=A.BMF,乙HFE=CCNF,

0ZFMF+乙CNF=90°,

^HEF+乙HFE=90°,

^EHF=90°,

0EF=VEH2+HF2=J住J+62=

故答案为葭.

6.解：如图，延长CF,交/B于点G,

A

财E平分乙MC,

团乙C/F=4GAF,

0CF1AE,

^AFC=AAFG=90°,

在△AFC和△AFG中，

2AFC=^AFG=90°

AF=AF,

、^CAF=2LGAF

0AAFC=A^FG(ASA),

^AG=AC=4,CF=GF,

胤48=10,

回BG=AB—AG=6,

又固4。是AABC的中线，CF=GF,

回DF是△BCG的中位线，

1

^\DF=-BG=3,

2

故答案为：3.

7.解：如图，连接/C交于“，

回四边形ABCD为菱形，/.ABC=70°,

1

⑦BH=DH,AC1BD,CB=CD,Z.CBD=-^ABC=35°.AB||CD,

2

⑦乙DHC=90°,乙CDB=乙CBD=35°,DCE=AABC=70°,

团乙ECM=15°,

国KDCF=55°,

0Z)F1CM,

MFD=90°

国乙CDF=35°=乙CDB,

在△CD"和△CDF中，

ZCHD=(CFD

乙CDH=乙CDF

CD=CD

0ACDH=△CPF(AAS),

即H=DF=V10,

国BD=2A/T0,

故答案为团2m.

8.解：如图，过点B作关于4。的对称点尸，连接CF交/。于点。，此时，DC+BD=DC+DF=

CF,值最小，如图：

设BD与。C交于点E,

回点C为三等分点，乙408=90。，

1

^AOC=-Z.AOB=30°,

3

团乙BOC=LAOB-^AOC=60°,

回。C=OF=OA=2,

i

团乙OFC=乙OCF=-Z.BOC=30°,

2

WB=OF,OA1BF,

回OF=DB,

^DBF=乙CFO=30°,

^BDO=180°-^AOB-乙DBF=60°

回DF=DB,OF=OB,

国乙FDB=2（BDO=120°,

^\Z-CDB=60°,

国kCED=180°-乙FCD一2CDB=180°—30°-60°=90°,

在Rt^DOF中，Z.CFO=30°,则OF=2。0,

WF2=OD2+OF2,

回4。。2=亦+%

解得：OD=W（负值已舍去），

回乙AOC=（FCO=30°,

团CO=OD=—,

3

在RtACDE中，DE=|CD=y,

ME=7CD2—DE2=J律?—（勺=1,

05ADC£=|PE-CE=jx^xl=^,

在RtABE。中，NEB。=30°,

1

回。E=-OB=1,

2

回BE=y/OB2-OE2=V22-l2=V3,

回SNOB=|0E-BE=|xlxV3=^,

_90°XTTX22_

,扇形20B=-就-=n,

_30°XTTX22_1

5扇形40c=360。=3n，

13s阴=S扇形AOB—S4EOB-$扇形A。。+SADCE

V31V3

=71-------—71+—

236

_27T-V3

—3'

故答案为：等昌

9.解：团四边形4BCD为矩形，

团乙0=Z-DAB—Z-B—90°,AB=CD,AD=BC,

团点M是CD边的中点，

1

回DM=-CD.

2

如图，作MH1AB于，

团乙。=Z-DAB=Z.AHM=90°,

团四边形D4HM为矩形，MH=AD=BC,

11

胤4”=DM=-CD=-AB

22f

^AH=BH,

国4F1ME,

^GAB+乙AEG=90°,

^EMH+乙MEH=90°,

0ZEMH=/-GAE,

国乙MHE=乙ABF=90°,

舐ABFMHE,

^MHHE

0—=—，

ABBF

胤48=2BC,

回”E=1,

胤4”=BE=BE+HE=5,

匿48=10,

[3MH=AD=5,

回ME=7MH2+HE2=V26,

故答案为：V26.

10.解：如图，过点B作BM1%于点M,BNly轴于点N,

v△4BP是等腰直角三角形,

/.AP=AB,/-BAP=90°,

・•・4PAO+Z.BAM=90°,

•••Z-OPA+Z-PAO=90°,

・•・乙OPA=/-BAM,

/.△ABM三△PA。，

・•.PO=AM,OA=BM

•・Y(2,0),

•••OA—2,

・•.BM=2,

•・•乙BNO=乙BMO=乙MON=90°,

・•・四边形ONBM是矩形,

ON=BM=2,

•・•Z.BCN=45°,

・•・乙CBN=90°-45°=45°,

・•・CN=BN,

・•.PC=CN-PN=BN-（P。-ON）=OM-PO+BM=OA+AM-AM-^rBM=2+2=

4,

故答案为：4.

11.解：团反比例函数、=5（攵＞。,第＞。）的图象经过点。（3,2）,

回/c=3x2=6,

回反比例函数的解析式为y=;,

EIOB经过原点O,

团设直线。8的解析式为y=mx（m。0）,

团。B经过点。（3,2）,

团2=3m,

2

[Em=一，

3

回直线OB的解析式为y=|x,

国反比例函数y=《经过点C,

回设C（a,g）,且a＞0,

自四边形04BC是平行四边形，

WC\\OA,S|30ABe=2s△OBC，

团点2的纵坐标为?

EIOB的解析式为y=-x,

回％=一:

96'

a*a.

9

团BC=—cif

a

16/9\

回S^OBC=2XaX\a~a）,

国平行四边形OABC的面积是18,

团S平行四边形0/BC=2sAOBC=2X2XaX)=18,

解得：a=|或a=—|（舍去），

回点5的坐标是（6,4）,

故答案为：（6,4）.

12.解：如图，连接

回四边形/BCD是矩形，

团ZDIIBC,^BAD=90°,

^\Z-ADB=乙ACB,

^\Z-ACB=2/-AEFf

^\Z-ADB=24AEF,

^\Z-ADB=Z-AEF+乙DBE,

团N/EF=乙DBE,

^DE=DB,

^BAD=90°,AB=4fAD=2,

0DB=y/AB2+AD2=V42+22=2倔

EIDE=2A/5,

故答案为：2曲.

13.解：如图所示，连接BE,4C,

D

回AB是直径，

回乙ZEB=90°,

囿4E1CD,

团44Go=90°=乙AEB,

回GF||BE,

0AAGF—△ABE,

^AGAFGF

团—=—=—，

AEABBE

MF=2OF,

设。F=%,贝1伤尸=2%,

回。A=OB=OF+FB=3%,

^AB=6x,AF=4%,

回CEIIAB

△AGFEGC,

团GF=2CG=2x4=8,

回BF||CE,CF||BE,

团四边形BFCE是平行四边形，

团BE=CF=CG+GF=4+8=12,

胤4B||CE,

^\Z-BAE=Z.AEC,

^\Z-ADC=Z-AEC,

^\Z-BAE=Z.ADC,

回BE=AC=12,

在RtAACG中，AG2=AC2-CG2=122-42=128,

在RtAMG中，AG2=AF2-GF2=(4x)2-82,

回(4x)2—82=128,

解得，x=2-\/3(负值舍去)，

EL4B=6x=12V3；

故答案为：①8；②12V3.

14.解：如图，

连接CE交于点P,

由折叠知，点£与点/关于BD对称，

回PE=PF,

EIPF+PC=PE+PC=CE,即止匕时PF+PC的值最小.

团矩形ABCD中，FC=2,DC=4,

SAB=CD=4,^ADC=zX=乙ABC=4BCD=90°,

0ZCDF+乙EDF=90°.

由折叠知，A'D=AB=CD=4,NA=LA=90°,^A'DF=Z.ABC=90°,

^A'DE+/.EDF=90°,

S^A'DE=乙CDF,

0AA'DE=△CDF(ASA),

^A'E=CF=2,

SDE=V42+22=2V5,

fflCF=J(2而『+42=6,即PF+PC的最小值为6.

故答案为：6.

15.解：如图，连接OD.

c

•・,OD=OF,

1

・•・乙ODF=Z.OFD=-Z.DOA=22.5°,

2

・•.Z.CDG=(CDO-乙ODF=90°-22.5°=67.5°,

Z-C=Z-ADO—90°

・•.OD||CB,

ADO~〉ACB,

AD_AO_DO

"~AC~~AB~~BC

•・•。是/B的中点，

.AD_AO_DO_1

"AC-AB~BC-2f

1

・•・OD=-BC=3,

2

-AC=BC=6,ZC=90°,

AB=6V2,则。8=3a,

•・•OD||CG,

・•.Z.ODF=Z.G,

•・•OD=OF,贝lUODF=乙OFD,

・•.Z.BFG=Z.OFD=Z.G,

：.BF=BG=OB-OF=3A/2-3,

•••CG=BC+BG=6+3V2-3=3夜+3,

故答案为：67.5°,3V2+3.

16.解：13正方形4BCD,

回CD=AB=8V3,乙EDF=90°,

如图，以DF为边构造等边三角形△DFH,连接GH,DM,过C作CN_LDM于N,

0AEFG^AOF”是等边三角形，

回EF=GF=GE,DF=FH=DH,乙HDF=乙DFH=(EFG=60°,

^DFE=乙HFG=60°-乙HFM,

0ADFE三AHFG(SAS),

^EDF=Z.GHF=90°,

团欣为GF中点，

团MH=MF,

WF=DH,DM=DM,

0ADMH三△DMF(SSS),

i

SZ.HDM=乙FDM=-2/.HDF=30°,

El当点E在4。上运动时，点初在ON上运动，当CM_LDN时，CM最小,

0ZCD/V=4FDM=30°,

13cM最小值=号CD=1x8V3=4V3,

故答案为：4>/3.

17.解：延长EM,过点。，作"E交于点E,

团矩形4BCD绕点A顺时针旋转得到矩形D'EIDA,AB=5,BC=3,

^DAB'+/.DB/A=90°,4DAB'+/.EAD'=90°,/.ADB'=/.AED'=90°,AD=AD'=3,

AB'=5,

0ZDBM=AEAD',DB'=>/52-32=4,

0AADB'D'EA,

^ADAB'DB'

回的=莉=左

解得：ED'=l，AE=^,

27

WE=2

皿=肾7寻=酒

如图所示，连接8B，，DD',

团矩形4BCD绕点/顺时针旋转得到矩形AB'LD,AB=5,BC=3,

SAD=AD'=3,AB=AB'=5,^BAB'+^DAB'=90°,^DAD'+乙DAB，=90°,

WD=V52-32=4,^BAB'=^DAD',

MB'=5-4=1,

0BB,=V32+l2=V10,

啜=弟=L

^ABAB'

回访=标'

[?]△ABB'~AADD’,

「BB'AB5

团--7=----=一,

DD'AD3

WD'=-VTo,

故答案为：|VTU或

18.解：（1）如图，设AB、AC分别与O。相切于点M、N,连接。M,

则。M_L4B,AN=AM,

回四边形ABC。是矩形，

^\Z-EAB=/.ABF=90°,

^\EF\\AB,

^AEF=90°,

回四边形ABFE是矩形，

^AB=EF,Z.EFB=90°,

即。FIBC,

团BC与。。相切，

回点F为切点，

MN=CF,BF=BM,

团。MLAB,

团乙。MB=Z-OMA=90°,

团40MB=乙MBF=Z-BFO=90°,乙EAM=乙AEO=乙AMO=90°,

团四边形。MBF是正方形，四边形/EOM是矩形,

^BF=BM=OF,AM=E。，

若0为EF的黄金分割点，不妨设EO=1,贝!MN=AM=EO=1,BF=BM=OF=

通-1

2

财=等

设CF=x,则CN=x,BC=等+x,

团AC=1+%,

^AB2+BC2=AC2,

22

回（等）+（等+久）=（1+%）2，

解得X=等，

丽=^+学=V5+1,

or,遥+1

团atn4cZB=—

AB4+1

2

故答案为：2；

(2)0EG=2GH=4,

SIGH=2,

连接。N,则NOHG=AEG=90°,

由(1)可得，四边形4E0M是矩形，

^AE=OM,

回。N=AE,

又EINOGN=乙4GE,

0AOGN三△AGE(AAS),

EIOG=AG,

设O。的半径为r,贝UAG=OG=r+2,AE=r,

^\AE2+EG2=AG2,

042+r2=(r+2)2,

解得丁=3,

^\AB=EF=4+2+3x2=12,AM=E。=4+2+3=9,

MN=AM=9,

设CF=CN=m,则ZC=9+TH,BC=m+3,

BAB2+BC2=AC2,

团122+(m+3)2=(9+m)2,

解得m=6,

^BC=6+3=9,

0矩形ABCD的面积为48-BC=12X9=108,

故答案为：108.

19.解：如下图所示：连接Z”，

AP=AG,点”为PG中点,

・•・由等腰三角形三线合一性质可知，AH1GP,且平分NPAG,

1

・•・4PAH=乙GAH=-Z-PAG

2

•・•/.PAG=2(BAO,

・•・乙PAH=NBA。，

•・•乙AOB=Z-PHA=90°,

・•.Z.ABO+匕BAO=90°,^APH+APAH=90°,

・•・4APH=乙ABO,

在RtZMB。中，AAOB=90°,BO=2AO=5,

ab=+52=|V5,

5

.An—.ACCZO7V5,1

•••smZ-APG=smZ-ABO=—==一丰一,

4B*52

故①错误；

如下图所示，及442。与口144”「的斜边是4「,

・••点4P,0,“四点共圆，

:.乙PHO=Z.PAO,

故②正确；

如下图所示，

由①可知NPA"=NBA。，

AOAH=/_BAP,

由②可知NPH。=/.PAO,

在△2PE和△HOE中，/.AEP=/.HEO,

：.LAPH=^AOH,

在RtAABO和RtMPH中，Z.PAH=Z.BAO,AAOB=^AHP=90°,

・•・Z.ABP=乙APH,

・•・乙ABP=，

••.△ABP~XAOH,

BPAB

OHAO

由①可知AB=|逐，AO=1，

BP=遮OH,

故③正确；

.・.。4是的BQ垂直平分线，

AB=AQ,

Z-BAQ=2Z.BA0,/-ABO=Z.AQO,

•・•"AG=2(BAO,

・•.△BAP=△QAG(SAS),

••・Z-ABO=Z-AQGf

•••Z-BAP=Z-QAGf

•・•AP=AG,

•••Z-PAG=Z-BAQ,Z-APB=乙AGQ,

・••/-OQG=2/.AQ0=2乙ABO,

即点G在NOQG的边QG上运动，

当BG1QG时，BG最小，如图所示：

BQ=10,

作AU1BG于U,

・•・^AGU+AUAG=90°,

•・•乙AGU+^AGQ=90°,乙APB+^PAO=90°,

・•.AAGU=乙PAO,

•・•/-AUG=/-AOP=90°,AG=APf

.*.△AUG三△POA(AAS),

•••UG=OA=~,AU=PO,

2

设AU=PO=x,BU=y,

在RtAABU中，AU2+MU2=AB2,BP%2+y2=(j)2+520,

在RtAGBQ中，BG2+QG2=BQ2,BP(5+x)2+(|+y)2=102@,

x=]