2025年九年级数学中考三轮冲刺练习：几何压轴题训练（含解析）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习几何压轴题训练

1.在RtZkABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,将△ABC绕点2顺时针旋转得到△4'

BC,其中点A,C的对应点分别为点A',C.

(1)如图1,当点A'落在AC的延长线上时，求AA'的长；

(2)如图2,当点C'落在A8的延长线上时，连接CC',交A'8于点求的

长；

(3)如图3,连接A4',CC',直线CC'交A4'于点。，点E为AC的中点，连接

DE.在旋转过程中，OE是否存在最小值？若存在，求出。E的最小值；若不存在，请说

明理由.

2.如图，在矩形48。中，线段ERG8分别平行于A。、AB,它们相交于点P,点尸1、

P2分别在线段PRPHI.,PPi=PG,PP2=PE,连接P1H、P2F,尸田与P2尸相交于点

Q.己知AG：GD=AE：EB=1：2,设AG=a,AE=b.

(1)四边形E2HP的面积四边形GPFD的面积(填”或“<”)

(2)求证：APIFQSAPZHQ；

(3)设四边形PP1QP2的面积为Si,四边形CPQ8的面积为S2,求善的值.

3.如图，△048的顶点坐标分别为0(0,0),A(3,4),B(6,0),动点P、Q同时从

点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个

单位，点尸到达点2时点尸、。同时停止运动.过点。作分别交A。、AB于点

M、N,连接尸M、PN.设运动时间为，（秒）.

（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；

（2）求四边形MN8P面积的最大值或最小值;

（3）是否存在这样的直线/,总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线/

的解析式；如果不存在，请说明理由;

（4）连接AP,当NOAP=NBPN时，求点N到。4的距离.

4.【模型建立】

（1）如图1,△ABC和△3OE都是等边三角形，点C关于4。的对称点尸在8。边上.

①求证：AE=CD-,

②用等式写出线段A。，BD,。尸的数量关系，并说明理由;

【模型应用】

（2）如图2,△ABC是直角三角形，AB^AC,CD±BD,垂足为。，点C关于AO的对

称点尸在8。边上.用等式写出线段A。，BD,OE的数量关系，并说明理由;

【模型迁移】

（3）在（2）的条件下，若AD=4a,BD=3CD,求cos/AFB的值.

5.综合与实践:

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律,

再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔

的数学天地.

(1)发现问题：如图1,在△A8C和△&£f中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=

30°,连接BE,CF,延长BE交CP于点D则BE与CT的数量关系：,

ZBDC=0；

(2)类比探究：如图2,在△ABC和△>!£1尸中，AB^AC,AE^AF,/BAC=/EAF=

120°,连接BE,CF,延长BE,FC交于点、。.请猜想BE与CF的数量关系及N8OC

的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,△ABC和△&£尸均为等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=9O°,

连接BE,CF,且点8,E,尸在一条直线上，过点A作川垂足为点则3凡

CF,AM之间的数量关系：；

(4)实践应用：正方形ABC。中，AB=2,若平面内存在点尸满足48尸。=90°,PD

=],则S^ABP=.

备用图

V2

6.已知△A08和△MON都是等腰直角三角形(一OA<OM<OA),ZAOB=ZMON=90°.

2

(1)如图1,连接AM,BN,求证：AM=BN；

(2)将△MON绕点。顺时针旋转.

①如图2,当点M恰好在A8边上时，求证：A序+2序=20序；

②当点A,M,N在同一条直线上时，若04=4,0M=3,请直接写出线段AM的长.

7.如图，△ABC中，A(a,0),B(6,0),C(0,c),且满足6=+后=H-2,

(1)BZ)_L4C于。，交y轴于M,求M点坐标；

(2)过点A作AG_LBC于G,交OC于N,若NCAN=15°,求AN的长；

(3)尸为第一象限一点，PQ_L朋交y轴于。.在尸。上截取PE=B4,尸为CE的中点,

求/OPb的度数.

8.(1)如图1,在四边形A8C。中，AB=AD,ZB=ZADC=90°，点E、F分别在边BC、

。上，若/胡2+/曲。=/£4尸则线段8及。/、所之间的数量关系是

(2)如图2,在四边形A8CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,点、E、尸分别在边8C、

CO上，若EF=BE+FD,探究/瓦18、NFAD、/区4下的之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,E是线段AB上一点，CELCF,

且CE=CR过点E作即，尸C交CA的延长线于。，过E作EGLEC交BC于G,连接

DG.若DF=7,EG=1,求。G的长.

图2图3

9.如图①，AABC是等边三角形，48=6.点尸从点A出发，沿折线A8-BC运动.当点

尸不与点A重合时，连结AP,以AP为边向其右侧作等腰三角形AP。,使/A。尸=120°,

延长AQ交边BC于点。，当点。与点C重合，点尸停止运动，连结尸。

(1)当点P在边AB上运动时，AD的长为.

(2)如图②，当点P在边8c上时，求证：/.BAP+^CAD=^BAC.

(3)点P在整个运动过程中，当△PD。是轴对称图形时，求尸。的长.

(4)点P在整个运动过程中，当AB=3BP时，直接写出尸。的长

图②

10.如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,。为AB中点，点E在8c边上(点E不与点8,

C重合)，连接。E,过点。作。尸，。£交AC于点R连接所.

(1)求证：AF2+BE2=EF2

(2)若AC=7,BC=5,EC=1,直接写出线段A尸的长.

CEB

11.如图，ZABC=ZADC=90°，AC与8。相交于点E,ZABD=ZADB.

(1)求证：AC垂直平分瓦)；

(2)过点8作8尸〃CD交CA的延长线于凡如果A8=AF；

①求证：△2CZ)是等边二角形；

②如果G、"分别是线段AC、线段。上的动点，当G”+A”为最小值时，请确定点”

的位置，并思考此时G8与S有怎样的数量关系.

12.如图，点E在正方形A2C。对角线BD上，连接AE、CE,点厂为AB上一点，连接

CF,

交2D于点G.连接ER若AE=EF.

(1)求证：AE=CE；

(2)求NEC「的度数；

(3)经探究，DE、BG、EG三条线段满足某种数量关系，请直接写出们之间的关系式.

13.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D,E分别为BC上两动点，BD=CE.

(1)如图1,若于“交AB于K,求证：AE=EK；

(2)如图2,若所〃交AC于RGFLAG,AG=GF,求证：AD+EF=V2CG；

1

(3)如图3,若A8=4,将AE绕点E顺时针旋转90°得EM,N为中点，当AN+^AM

取得最小值时，请直接写出△AC。的面积.

14.如图，在等腰三角形A8C中，AB=AC,NA8C=30°,点。为BC的中点，点。是线

段。8上的动点(点。不与点。，8重合)，将△A3。沿直线折叠得到△AEQ,连接

CE.

(1)若AB=AC=5,ZBAD=15°,求CE的长；

(2)若N8A£)=a,贝！|NAEC=；

CE

(3)若是等边三角形，请直接写出一的值.

E

15.已知，如图，A8是。。的直径，弦CD_LA8于点E,G是前上一点，AG与。。的延

长线交于点F.

(1)求证：ZFGC=ZAGD.

(2)若C£>=8,BE=2,求OO的半径长；

(3)若G是公的中点，CE=位=2,求GB的长.

16.如图1,F为正方形ABC。内一点，点E在边A。上(不与端点A,。重合)，8E垂直

平分交AF于点。，连接CF.过点。作。G〃CP交射线AF于点G.

(1)求NAFC的大小；

(2)求证：AF=V2DG.

DG

(3)如图2,连接。。，若。OLOG,求—的值.

AD

图2

17.△ABC中，AB^AC,将△ABC绕C逆时针旋转得△£>EC,旋转角为a,连接BD,AD,

BE,DE.

(1)如图1,求证：XMiCsXBEC；

(2)如图2,若/8AC=90°,a=30°,EC=1+V3,求BE的长；

(3)如图3,若/BAD=NBCD,AB=4,BE的长为x,ZkABE的面积为y,求y与x

的函数关系.

18.如图，已知△ABC是等边三角形，AB=8,M为AC中点，。为8c边上一动点，将

绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接CE、DE、ME.

(1)求证：CD+CE=CA；

(2)求出点M到CE所在直线的距离;

7

(3)当时，求CE的值.

参考答案

1.【解答】解：（1）VZACB=90°,AB=5,BC=3,

：.AC=7AB2-BC?=4,

•.•/ACB=90°,△ABC绕点8顺时针旋转得到△&'8C'，点A'落在AC的延长线上,

/.ZA'CB=90°,A'B=AB=5,

RtZkA'BC中，A'C=y/A'B2-BC2=4,

；.AA』AC+AC=8；

(2)过C作CE^AB交AB于E,过C作CO_LAB于。，如图:

•.•△ABC绕点B顺时针旋转得到BC,

：.ZA'BC=ZABC,BC=BC=3,

'：CE//A,B,

：.ZA'BC^ZCEB,

：.ZCEB=ZABC,

:.CE=BC=3,

RtzMBC中，S^ABC=^AC'BC=^AB'CD,AC=4,BC=3,AB=5,

.「八AC-BC12

=亏’

RtACED中，DE=y/CE2-CD2=卜_（第2=1）

Q

同理BD=宁

1OIOQQ

：.BE=DE+BD="=3。+成=3+m=芋

9：CE//AB,

.BM_BCi

•・CE-CiE

.BM3

=_33",

3—

5

：.BM=弄15

（3）存在最小值1,理由如下:

过A作A尸〃AC交C。延长线于尸，连接AC,如图:

:△ABC绕点3顺时针旋转得到BC,

:・BC=BC',ZACB=ZA'CB=90°,AC=A'C,

：.ZBCC=ZBCC,

而NACP=180°-ZACB-ZBCC^900-ZBCC,

ZA'CD=ZA'CB-ZBC'C=90°-Z.BCC,

：.ZACP^ZA'CD,

\'AP//A'C,

：./P=ZA'CD,

：.NP=ZACP,

：.AP=AC,

：.AP=A'C,

在△入「£)和△4CD中,

2P=AA'C'D

/.PDA=AA'DC，

.AP=A'C

:.△APD2△AC。(AAS),

：.AD=A'D,即。是A4'中点，

:点E为AC的中点，

.,.OE是△A4'C的中位线，

：.DE=剂C,

要使DE最小，只需AC最小，此时A、。、B共线，AC的最小值为A5-5C=A8-

=2,

1

・・・Z)E最小为］AC=1.

2.【解答】解：(1),・,四边形A3CQ为矩形，

AZA=ZB=ZC=90°,

9

\GH//ABf

：.ZB=ZGHC=9Q°,ZA=ZPGD=90°,

9

：EF//ADf

：.ZPGD=ZHPF=90°,

・•・四边形尸产CH为矩形，

同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形,

9：AG=a,AE=b,AG：GD=AE：EB=1：2,

：.PE=a,PG=b,GD=PF=2a,EB=PH=2b,

：.四边形EBHP的面积=PE•尸H=2次?，四边形GPFD的面积=PG•尸尸=2",

故答案为：=；

(2)・：PPi=PG,PP2=PE,

由(1)知PE・PH=2ab,PG・PF=2ab,

；・PP2・PH=PP\*PF,

PP2PF

即---=—，

PPiPH

又•：/FPP?=/HPPi,

：.△PP2F^APP1H,

，/PFP2=/PHP1,

'：ZP\QF=ZP2QH,

：・APIFQSLP2HQ：

(3)连接尸i尸2、FH,

..PP2a1PPrb1

*CH~2a~2CF~2b~2

,PP2PPi

••一,

CHCF

:/P1PP2=NC=9O°,

:.APP1P2sACFH,

.PS2_PPl_1SM1PP2_P1P22_1

FH~CF~2S&CFH—FH-4'

PiQFQ

由(2)中△PIBQS/^P2//Q,得」一=—,

P?QHQ

.PiQPQ

••一2，

FQHQ

,：ZPIQP2=ZFQH,

•••△P1QP2s△尸QH,

・S"1QP2=(£lf2)2=工，

S〉FQHFH4'

•Si=SAP'Pp?+S2P'Qp2,Sz=S/\CFH+S/\FQH,

Sl=扣△尸0H=,S2,

.皂=工

…S2—4

3.【解答】解：(1)过点A作x轴的垂线，交MN于点、E,交08于点R

由题意得：0Q=2t,0P=3t,PB=6-3r,

9：0(0,0),A(3,4),B(6,0),

22

AOF=FB=3,AF=4fOA=AB=V3+4=5,

■:MN〃OB,

：.ZOQM=ZOFAfZOMQ=ZAOFf

J.AOQM^AAFO,

.OQQM

••—,

AFOF

.2tQM

••—,

43

3

_3

・••点M'的坐标是(-32t).

2

(2)9：MN//OB,

・・・四边形。所。是矩形，

，QE=OF,

3

：.ME=OF-QM=3-^t,

'：OA=AB.

:.ME=NE,

：.MN=2ME=6-3/,

.**S四边形MNBP=SAMNP+SABNP

11

=.AW・0Q+.・5P・0Q

11

-](6-3t),2t+],(6-3t)•2t

=-6?+12/

=-6(r-1)2+6,

•・,点尸到达点5时，P、。同时停止，

：.0<t<2,

・>=1时，四边形MNB尸的最大面积为6,四边形MN3P面积不存在最小值.

(3),:MN=6-3t,BP=6-3z,

:・MN=BP,

YMN〃BP,

：.四边形MNBP是平行四边形，

・•・平分四边形MNB尸面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点,

设中点为"（x,y\

3

9：M（一如2t）,B（6,0）,

2

133

x=2，（/+6）=4七+3,

.3-

・・x=4y+3,

4

-X4

化简得:3--

4

-%4

・・・直线/的解析式为:3--

(4)①当。=0时，点M和点尸均在点。处，/BPN=/OAP=S,

此时点N在点3处，

・••点N到。4的距离为△045边04上的高，记为力，

11

VS/\0AB=/B・AF=20A•/?,

11

••一x6X4=77x5h,

22

.•.点N到。4的距离为：〃=普

②当0</<2时，

3

VOQ=2t,QM=|r,

0M=去，

•；MN〃0B,

.0M_BN

••=,

OAAB

：・0M=BN=%,

9

：0A=ABf

・•・ZAOB=ZPBN,

又•：/OAP=/BPN,

：.△AOPs^PBN,

.OAOP

•*BP~BN'

■53t

••—,g-,

6-3t-t

2

11

解得：tl=yg,12=0(舍去).

3

*：MN—6-3t,AE=AF-OQ,ME=3-]t,

•..MN一6-c3x-1j1g=-2g5-,

人厂cli25

AE=47-12X正=百，

“厂o31125

ME=3-5xTTQ=-TTZJ

Zlo1Z

'-AM=VME2+W=J(1|)2+*)2=崇.

设点N到。4的距离为A,

*：S^AMN=*MN・AE=

125251125

X-X—=-X-----•fl,

269236

解得：力=孚

③当片2时，不符合题意；

2410

综上所述：点N到。4的距离为二或丁.

53

4.【解答】(1)证明：①•・・△ABC和△5。石都是等边三角形,

：.AB=CB,EB=DB,ZABC=ZEBD=60°,

・•・NABE=NCBD,

：.AABE^ACBD,

：.AE=CD；

②解：AD=BD+DF.

理由如下：

・・・△3。正是等边三角形，

:・BD=DE,

•・•点。与点/关于对称,

：.CD=DF,

\"AD=AE+DE,

：.AD=BD+DF；

(2)BD+DF=V2AD.

理由如下:

如图1,过点B作BE±AD于E,

:点C与点/关于A。对称,

ZADC^ZADB,

y.'：CD±BD,

：.ZADC^ZADB^45°,

y.'：BE±AD,

ABDE是等腰直角三角形,

又•••AABC是等腰直角三角形,

ABBEV2

—=—=—,NABC=NEBD=45°,

BCBD2

NABE=NCBD,

△ABEs^CBD,

CDBC

—=—=V2r,CD=DF,

AEAB

DF=y[2AE,

△BDE是等腰直角三角形,

BD=五DE,

BD+DF=V2(£)E+AE~)=五AD,

即：BD+DF=0AD.

(3)解：如图2,过点A作AGLB。于G,

又；乙4。3=45°,

...△AGO是等腰直角三角形,

又鱼,

：.AG=DG=4,BD+DF=V2A£)=8,

,:BD=3CD,CD=DF,

：.DF=2,

又・・・£)G=4,

:・FG=DG-DF=2,

在RtzXAFG中，由勾股定理得：AF=yjAG2+FG2=V42+22=2遮,

■■COSZAFB=AF^^=T-

5.【解答】解：(1)BE=CF,ZBDC=30°,

理由如下：如图1所示：

•/AABC和Z\ADE都是等腰三角形，

：.AB=AC,AE^AF,

又：/BAC=N£AP=30°,

/.△ABE^AACF(SAS),

：.BE=CF,

：.NABE=NACD,

:ZAOE^ZABE+ZBAC,

ZAOE^ZACD+ZBDC,

：.ZBDC^ZBAC^30°；

(2)BE=CF,NBDC=60°,图1

理由如下：如图2所示：

证明：'：ZBAC=ZEAF=\20°,

：.ABAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即/BAEjCAR

又：AABC和△AEP都是等腰三角形,

：.AB=AC,AE=AF,

：./\BAE^/\CAF(SAS)

：.BE=CF,

：.NAEB=ZAFC,

VZ£AF=120°,AE^AF,

；./AEF=/AFE=3Q°,

：.ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+30°-(ZAFC-30°)=60°；

(3)BF^CF+2AM,

理由如下：如图3所示：

△ABC和都是等腰三角形，

：.ZCAB=ZEAF^90°,AB^AC,AE^AF,

：.ZCAB-ZCAE=ZFAE-ZCAE,图2

即：ZBAE=ZCAF,

：./\BAE^/\CAE(SAS),

:.BE=CF,

'：AM±BF,AE=AF,ZEAF=90°,

：.EF=2AM,

'：BF=BE+EF,

；.BF=CF+2AM；

(4))如图4所示：

连接80,以8。为直径作圆，

由题意，取满足条件的点P,P',则尸D=PD=l.ZBPD^ZBP'D=90；

：.BD=241,

：.BP=<BD2-PD2=J(2鱼尸—12=77,

连接B4,作AF_LPB于点R在BP上截取

,：ZPDA=ABE,AD=AB,

：.AADP^/\ABE(SAS),

：.AP=AE,ZBAE=ZDAP,

：.ZPAE=9Q°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

..PB-PD_V7-1

••AF—2—2，

：&PAB=^PB-AF=

同理可得：SAP，AB二里二

7+V77-V7

故△A8P的面积为：-----或-----.

44

6.【解答】（1）证明：如图1,

■:/AOB=NMON=90°,

ZAOB+ZAON=ZMON+ZAON,

即ZAOM^ZBON,

「△AOB和△MON都是等腰直角三角形，

：.OA=OB,OM=ON,

:.AAOM父ABON(SAS),

:.AM=BN；

(2)①证明：如图2,连接

•：/AOB=NMON=90°,

：.ZAOB-ZBOM=/MON-ZBOM,

即NA0M=N20N,

VAAOB和△MON都是等腰直角三角形，

：.OA=OB,OM=ON,

:AAOM父ABON(SAS),

ZMAO=ZNBO^45°,AM=BN,

:.NMBN=9Q°,

：.MB2+BN2=MN2,

：AMON是等腰直角三角形，

.,.MN2=20^,

，毋+即/=20知2；

②解：如图3,

当点N在线段AM上时，连接BN,设BN=x,

由（1）可知△AOM丝△30N,可得且AM_LBN,

在Rt^ABN中，A/V2+B^2=AB2,

「△AOB和△MON都是等腰直角三角形，。4=4,0M=3,

：.MN=3V2,AB=4A/2,

(x-3V2)2+f=(4V2)2

解得：x=回产，

.._,J46+39

..AM=BDNr=-------，

如图4,

当点M在线段AN上时，连接BN,设BN=x,

由(1)可知△AOM四△BOM可得且AM_L8M

在Rt2\ABN中，AN1+BN1=AB1,

图4

「△AOB和△MON都是等腰直角三角形，。4=4,0M=3,

：.MN=3y/2,AB=4近，

(X+3A/2)2+X2=(4A/2)2,

解得：x=闻13生

：.AM=BN=同,生

综上所述，线段AM的长为V——46+3V匚2或^V——46-3V—2.

22

7.【解答】解：(1)由题可得，a-c20,c-420,

.\a=c,即OA=OC,

・・・AAOC是等腰直角三角形，

.e.ZOA£>=45°,

又,.・3O_LAC,

AZABZ)=45°,

又・・・NBOM=90°,

・・・ABOM是等腰直角三角形，

：.OB=OM,

,•*b=y/CL—c+y]c—CL—2,且a=c,

：.b=-2,即08=2,

：.0M=2,

：.M(0,2)；

(2)9：ZCAN=15°,ZOAC=45°,

：.ZOAN=30°,

VAGXBC,COLAO,NANO=/CNG,

:・/BCO=/OAN=30°,

在△BOC和中，

(ABCO=乙OAN

{CO=A0,

(“08=(AON

:.△BOC"ANOA(ASA),

:.BC=NA,

又・.・RtZ\30C中，80=250=4,

：.AN=4；

(3)如图3,连接。尸，把△OCF绕点。顺时针旋转90°至△。4。处，连接。尸,

由旋转可得，AD=CF=EF,ZOCF=ZOADfOF=OD,

VZAOQ+ZAPQ=1SO°,

・・・NQ4P+NOQP=180°,

XVZEQC+ZOQP=180°,

：.ZOAP=ZEQC

f图1

NPEF=NPAD,

在△尸跖和△Bl。中，

EF=AD

Z-PEF=Z.PAD,

PE=PA

：.APEF^AB4D(SAS),

:・PF=PD,ZFPE=ZDPAf

：.ZFPD=ZQI^=90o,

•:在AOPF和△(?尸。中，

OF=OD

OP=OP,

PF=PD

:•△OPFQXOPD(SSS),

1

ZOPF=ZOPD=^ZFPZ)=45°.

8.【解答】解：(1)如图，在防延长线上取点C,®BG=DF,连接AG.

在RtZXAO尸和RtZXABG中，AD=AB,DF=BG,

ARtAADF^RtAABG(HL).

：.AG=AF9/FAD=/GAB,

•/ZEAB+ZFAD=/EAF,

：.ZEAG=ZEAB+ZGAB=ZEAF.

在4G和△£：?!月中，AG=AF,ZEAG=ZEAF,AE=AE,

：.^\EAG^/XEAF(SAS).

/.EF=GE=BG+BE=BE+DF.

故答案为：BE+DF^EF.

(2)结论：ZEAB+ZFAD=ZEAF.

理由：在班延长线上取点G,使BG=DF,连接AG.

VZABE+ZD=180°.

：./ABG=/D.

在△A。尸和△ABG中，AB=AD,ZABG=ZD,BG=DF,

：./\ADF^/\ABG(SAS).

：.AF=AG,ZFAD=ZGAB.

在△AEf'和△AEG中，AF^AG,EF=BE+DF=BE+BG=EG,AE^AF,

:.AAEF咨AAEG(SSS).

：.NEAF=NEAG,

：.ZEAF=ZGAB+ZEAB=ZEAB+ZFAD.

(3)在。尸上取点H,使HF=EG.根据题意△CEG和△CM都是直角三角形.

,:EC=FC,HF=EG,

：.RtACEG^RtACFH(.HL).

：.CG=CH,ZECG=ZFCH,

又•：NECH+/FCH=90°,

：.ZHCG=ZECH+ZECG=90°,

:.NDCG=NDCH=45°.

在△OCG和△OCH中，CG=CH,ZDCG=ZDCH,DC=DC,

:.△DCG"ADCH(SAS),

：.DG=DH=DF-HF=DF-EG=6.

9.【解答】解：⑴•・,等腰三角形APQ,ZAQP=UO°,

ZAPQ=ZQPA=30°,

VAABC是等边三角形，

：.ZBAC=60°,AB=AC,

：.ZDAC=30°,

：.AD平分NA4C,

：.AD±BC,

1

：.BD=^BC=3f

：.AD=WBD=3®

(2),：ZBAC=60°,NB4Q=30°,

1

/.ZBAP+ZCAD=30a=-ZBAC.

(3)①如图，当尸。=P。时.

VZAPQ=ZQR\=30°,

.•.NPQD=NAPQ+/QB4=60°,

...△P。。为等边三角形，

/.ZADP=60°,

：.ZDPA=90°,

：.PD=|AD=竽.

②如图1,ZPQD^60°,

故当△P£＞。有任意两边相等时，

^PDQ为等边三角形，

?.ZPDQ=60°,

则NPDQ与/AC8重合.

如图2所示：

1Q

贝UPD=^BC=|.

综上所述，P〃=孚或右

（4）①如图，当此时AB=3B尸时，过P作PM_LAD

：.AP=4,

1

：.PM=^AP=2,

：.AM=V3PM=2V3,

：.MD=AD-AM=V3,

：.PD=7PM2+MD?=V7.

②如图，当此时时,

把△A8P绕点A逆时针旋转60°得△ACN,连ND、NC,

过N作NM_L5C,交延长线于

:・CN=PB=2,ZACN=ZB=60°,NCAN=NBAP.

VZW=30o,

：.ZBAP+ZDAC=30°,

：.ZCAN+ZDAC=30°,

：.ZDAN=ZPAD=30°.

在△B4O和△W4O中，

PA=PN.

'乙DAN=乙PAD，

AD=AD

：./\PAD^/\NAD(SAS),

：.DP=DN.

VZNCM=180°-ZACB-ZACN=60°,

：.ZCNM=30°,

1

：.CM="N=l,

：.NM=WCM=V3.

♦；BP=2,

.•.PC=4,

:・PN=PC+CN=5,

：.DN=PN-PD=5-x,

9：DN1+MN1=DM1,

(5-x)2+3=/,

综上所述，PD=V7或g.

10.【解答】证明：（1）延长即至M使。M=Z）E,连接AM,

：£＞为AB中点，

：.AD=BD,

在△BDE与△AOM■中，

（AD=BD

\AADM=乙BDE,

VDM=DE

.'.△BDE^AADM（SAS）,

：.AM=BE,NDAM=NB,

J.AM//BC,

：.ZAMF=180°-/C=90°,

连接MR

\'FD±ME,DE=DM,

：.MF=FE,

.•.在RtAJWAF中，

AA/2+AF2=MF2,

即：AF2+BE1=EF2；

解：（2）设AF=x,

VAC=7,BC=5,CE=\,

贝ijCF=AC-AF=1-x,

BE=BC-CE=4,

VZC=90°,

/.CF2+CE1=EF2,

即：£产=（7-无）2+1,

由（1）知：MF=EF,ZBAF^9Qa,AM=BE,

；故卢=（7-x）2+l,AM=4,

VZBAF=90°,

：.AF2+AM2^MF2,

即：/+4?=(7-x)2+1,

解得：x=玲

17

即：AF=y~.

11.【解答】(1)证明：VZABD=ZADB,ZABC=ZADC=90°,

：.AB=ADfZABC-ZABD=ZADC-/ADB,

・•・A在5。的垂直平分上，NCBD=NCDB,

:・CB=CD,

・・・C在50的垂直平分上，

・・・AC垂直平分8。；

(2)①证明：设N_F=a,

'：AB=AF,

XABF—NF=a,

・・・NBAC是△ABb的外角，

・•・ZBAC=ZF+ZAFB=2a,

由(1)AC±BD,CB=CD,

；・NBCE=NDCE,

♦：BF〃CD,

：.ZF=ZDCE,

:・/F=/BCE=CL,

VZABC=90°,

：.ZBCE+ZBAC=90°,即a+2a=90°,

则a=30°,

AZDCB=2ZBCE=60°,

,:BC=CD,

**•丛BCD是等边三角形；

②G"+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH,

理由:

延长至,使=AD

u：CDLAD,

・・・A与A'关于CD成轴对称，过A'作A'G_LAC于G交。。于H,连接AH,

：.AH=A'H,

：.AH+GH=A'H+GH=A'G,此时GH+A”为最小，

由①知：Z£)CE=30°,即NGCH=30°,

•「A'G_LAC即GH_LCG,

・••在RtZXGCH中，ZGCH=30°,

:・CH=2GH,

・•・GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH.

12.【解答】(1)证明：:四边形ABC。是正方形，

；・NADE=NCDE=45°,

'：DA=DC,DE=DE,

：.AADE^ACDE(SAS),

：.AE=CE.

(2)解：•:EA=EF,

：.ZEAF=ZEFA.

设NDCE=NOAE=x,则NQEC=NZ)EA=135°-x,ZEAF=ZEFA=90°-x,

AZAEF=180°-2ZEAF=2x,

：.ZFEC=360°-2ZDEC-ZAEF=90°.

"：EF=EC,

90°

ZECF==45°・

(3)解：GE2=BG2+EZ)2,证明如下，

将ABCG绕点C顺时针方向旋转90°得到△OCG,连接EG,

VZECF=45°,

NECG=ZDCG'+ZECD=ZBCG+Z£0)=45°=NECG,

■:GC=GC,EC=EC,

.,.△GCE^AG'CE(SAS),

：.EG=EG.

VZEDG=ZEDC+ZG'DC=450+45°=90°,

：.ED2+G'D-=G'E2,

即GEr^B^+ED1.

13.【解答】(1)证明：：/BAC=90°,AB^AC,

180。-90。

・•・ZABD=ZACE=%=45。，

在△A3。和△ACE中，

AB=AC

Z-ABD=Z-ACEJ

BD=CE

：.AABD^AACE(SAS)

：.ZBAD=ZCAE,

又・・・NBAC=90°,£H_LA。于H交AB于K,

・・・NAKE=900-ABAD,ZKAE=90°-ACAE,

：.NAKE=NKAE,

：.AE=EK；

(2)证明：如图，过点。作CHLAC,交比的延长线于点尸,

：.ZPCA=90°,AB=AC,

Q

・・・AABC是等腰直角三角形，

ZACB=ZABC=45°,

•；BD=CE,

：.AABD^AACE,

：.AD=AE,AB=PC=ACf

：.AD+EF=PE+EF=PF,

过G作QGLGC,使GC=GQ,

：.AGCQ是等腰直角三角形，

：.CQ=•CG,

连接/Q，CQ,

•/GF±AG,GF=AG,

AAGF是等腰直角三角形，

:.丛GACm丛GFQ,

：.AC^FQ,ZGAC^ZGFQ=45°,

AZAFQ=ZAFG^-ZGFQ=90°,

：.ZQFC=ZPCF=90°,

：.PC//FQ,

'：AC=PC=FQ.

・・・四边形FPCQ是平行四边形，

：.PF=CQ,

•；PF=AD+EF,

：.AD+EF=V2CG；

(3)解：如图，过点A作AGLBC于G,过点M作M尸，3C延长线于尸，连接MC,

连接GN交AM于过点N作N/〃AM交A3于R

'：AE=ME,ZAEM=90°,

：.ZGAE+ZGEA=ZPEM+ZGEA=90°,

；・NGAE=NPEM,

在AGAE和△尸EM中，

/.GAE=乙PEM

L.AGE=乙EPM,

AE=EM

:.AGAE%APEM(AAS),

：.AG=EP,GE=PM,

又・.,AG=GC,

GC=EP,

：.GC-EC=EP-EC,

:.GE=CP,

；・PM=CP,

：.ZMCP=45°

•・・G为5C中点，N为BM中点、,

：.GN//CM,

：.ZNGC=45°,

:N为B/0中点，FN〃AM,

：.FN是△比!〃的中位线，

尸是AB的中点，FN=%M,

在△AGN和ACGN中，

AG=CG

乙AGN=ACGN,

GN=GN

....△GNA妾MGN(SAS),

:.AN=CN,

：.AN+^AM=CN+NF,

如图，当C、N、P三点共线时，CN+NF的值最小（两点之间，线段最短）,

VZMCP=ZABC^45°,

C.MCI//AF,

y.'：NF//AM,

...四边形AFCM是平行四边形,

1

：.MC=FA=^AB=2f

CM

：.MP=EG=7T=V2,AG=BG=CG=却也

:.BD=CE=2®C£>=2夜+2或=3企,

11

**•S^ACD=2*CD9AG=2—X3A/2X2A/2=6.

14.【解答】解：(1)9：AB=AC,ZABC=30°,

/.ZABC=ZACB=30°,

ZBAC=180°-2ZABC=120°,

由折叠可得：ZBAE=2ZBAD=2X15°=30°,AE^AB,

：.ZCAE=ZBAC-ZBAE=90°,

・・・AACE是等腰直角三角形，

CE=V2AC=5V2；

(2)由折叠可得：ZBAE=2ZBAD=2a,AE=ABf

VAB=AC,

：.AE=AC,

180°-^CAE

・・・ZAEC=ZACE=

2

由（1）知：ZBAC=120°，

：.ZCAE=ZBAC-ZBAE=120°-2a,

・••/AECJ8。。-（管。-2幻=30。+%

故答案为：30°+a；

（3）若aACE是等边三角形，

：.ZCAE=ZAEC=60°,AC=CE=AE,

由（1）知：NA4c=120°,

：.ZBAE=ZBAC-ZCAE=60°,

：.ZBAE=ZCAE,

*：AB=AC,

・・・AE_L8C且过。点，

即COLAE,

'：AC=CEf

：.OE^OA=^AE,

:.CE=2OE,

在RtZXCOE中，

由勾股定理可得：C0=yJCE2-OE2=V3O£,

:点。为BC的中点，

：.CB=2OE=2^T3OE,

.CE20EV3

"BC-2V3OE—3；

15.【解答】（1）证明：如图1,连接AC,

是O。的直径，弦

.•.弧弧AC,

：.AD=AC,

：.ZADC^ZACD,

:点A、D、C、G在。。上，

NFGC=ZADC,

,/ZAGD=ZACD,

：.ZFGC=ZAGD；

(2)解：TAB是OO的直径，C0_LA5于E点,

：.DE=0.5CD=0.5X8=4,

ZADB=90°,

VCZ)±AB,

AZADB=ZBED=ZAED=90°,

ZABD+ZBAD=90°,

ZBAD+ZADE=90°,

ZADE=ZABD,

ARtAADE^RtADBE,

.DEAE

••—，

BEDE

：.DE1=AE*BE,

•；BE=2,

：.AE=AB-BE=AB-2,

A16=(AB-2)X2,

解得：AB=10,

：.OB=0.5AB=5,

・・・OO的半径为：5；

(3)解：如图，过点G作GH，。产于点H,

VZDAG+ZZ)CG=180°,

ZDCG+ZFCG=180°,

：.ZDAG=ZFCG,

•・•弧AG=MGC,

：.AG=CG,

,/NAGD=/FGC,

：.ADAGESAFCG(ASA),

：.CF=AD=3fDG=FG,

GHLDF,

:.DH=FH,

VAB±CZ）,

：.DE=EC=2,

尸=2+2+3=7,

:.DH=HF=35,

：.AE=y/AE2-DE2=V32-22=V5,

：.AF2=AE1+EF2

：.FA=V30,

'：GH//AEf

.GFFH

••—,

AFEF

.FG3.5

‘局二

7

16.【解答】解：（1）连接8月，

：BE垂直平分AR

：.BA=BF,

：.ZBOF=90°,ZABO=ZOBF,

作BQLCF于。，

：.ZBQF^90°

又YAB=BC,

：.BF=BC,

；.NCBQ=NFBQ,

,：ZCBQ+ZFBQ+ZABO+ZOBF^ZABC=90°,

：.ZFBQ+ZOBF=45°即NO30=