2025年九年级数学中考三轮冲刺训练：圆中切线的判定与性质综合训练

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中切线的判定与性质综合训练

1.如图，四边形ABC。内接于O。，2。是。。的直径，交的延长线于点E,

平分NBDE.

(1)求证：AE是。。的切线.

(2)若AE=4C»J,CD=6cm,求的长.

2.如图，四边形ABC。内接于O。，对角线3。为O。直径，点E在BC延长线上，且NE

=ZBAC.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)AC//DE,当AB=8,CD=2,求。0的半径.

3.如图，4?是。。的直径，弦垂足为“，连接AC.过加上一点£作EG〃AC

交CD的延长线于点G,连接AE交8于点F且EG=BG.

(1)求证：EG是。。的切线；

(2)延长AB交GE的延长线于点若A8=2,CH=2四求0M的长.

4.如图，△ABC中，ZACB=90°,/A=60°,点。为AB上一点，且3Ao=A8,以。4

为半径作半圆。，交AC于点。，A2于点E,DE与0c相交于足

(1)求证：CB与。。相切；

(2)若AB=6,求。尸的长度.

5.如图所示，△ABC内接于O。，AC是直径，。在O。上，且AC平分/BCD,AE//BC,

交.CD于E,尸在CD的延长线上，且连接AF.

(1)求证：A尸是。。的切线；

(2)连接BF交AE于G,若AB=12,AE=13,求AG的长.

6.如图，△ACB内接于圆。，AB为直径，与点。，E为圆外一点,EO±AB,与

BC交于点G,与圆。交于点R连接EC,且EG=EC.

(1)求证：EC是圆O的切线；

(2)当NABC=22.5°时，连接CR

①求证：AC=CF；

②若AD=1,求线段尸G的长.

7.如图，△ABC内接于OO,AB=AC=10,8C=12,点E是弧BC的中点.

(1)过点E作8C的平行线交A3的延长线于点O,求证：OE是。。的切线;

(2)点尸是弧AC的中点，求所的长.

8.如图，己知AB是。。的直径，AC,BC是。。的弦，OE〃AC交BC于E,过点B作。。

的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.

(1)求证：0c是。。的切线；

(2)若NABC=30°,AB=8,求线段CF的长.

9.如图，在矩形4BC。中，以BC边为直径作半圆。，0£，。4交CC边于点E,对角线

AC与半圆。的另一个交点为尸，连接AE.

(1)求证：AE是半圆。的切线；

(2)若必=2,PC=4,求AE的长.

10.如图，AB是o。的直径，点。在AB的延长线上，C、E是。。上的两点，CE=CB,

NBCD=NCAE,延长AE交BC的延长线于点况

(1)求证：C。是OO的切线；

(2)求证：CE=CF；

(3)若BD=LCD=&,求弦AC的长.

11.如图，AB是。。的直径，直线C。与AB的延长线交于点E,AOLCD,点C是前的

中点.

(1)求证：直线CD与相切于点C；

⑵若/CW=30°,。0的半径为3,一只蚂蚁从B点出发，沿着BE-EC-8爬回

至点、B,求蚂蚁爬过的路程(n«3.14,73^1,73,结果保留一位小数).

12.如图，△ABC为等边三角形，。为BC的中点，作。。与AC相切于点。.

(1)求证：AB与。。相切；

(2)延长AC到E,使得CE=AC,连接BE交OO与点RM,若AB=4,求尸M的长.

13.如图，。是OO上一点，点C在直径的延长线上，且CD是。。的切线，OE〃AD

交CD的延长线于点E,连结EB.

(1)求证：EB是的切线.

(2)若AC=2,40=2返，求。。的半径.

3

CB

14.如图，△ABC中，AB^AC,以AC为直径的。。交BC于点。，点£为C延长线上一

点，且/CDE=L/BAC.

2

(1)求证：DE是＜30的切线；

(2)若A3=3B。，CE=2,求O。的半径.

15.如图，。。与△ABC的AC边相切于点C,与A3、BC边分别交于点。、E,DE//OA,

CE是。。的直径.

(1)求证：A8是O。的切线；

(2)若8。=4,EC=6,求AC的长.

参考答案

1.【解答】（1）证明：连结。4.

・・・。4=0。，

：.ZODA=ZOAD.

•1D4平分

：.ZODA=ZEDA.

：.ZOAD=ZEDA,

J.EC//OA.

VAE±CZ）,

：.OA±AE.

・・,点A在。。上，

・・・AE是。。的切线.

（2）解：过点。作。尸，CD,垂足为点?

•・•ZOAE=ZAED=ZOFD=90°

・•・四边形AO也是矩形.

OF=AE=4cm.EF=OA,

X9.9OFLCD,

DF=-CD=3cm.

2

在RtAODF中，OD=^Qp2_|_£jp2=5cm,

即。。的半径为5cm,

EF=OA=5cm,

：.ED=EF-DF=5-3=2cm,

）

在Rtz^AE。中，AZ=7AE2+ED2=2^,

2.【解答】（1）证明：如图，:友）是直径,

：.ZBCD=90°,

：.ZE+ZCDE=90°,

/E=ABAC,

：.ZBAC+ZCDE=9Q°,

•:/BAC=NBDC,

：.ZBDC+ZCDE=9Q°,

；・NBDE=90°,即：BDLDE,

・・•点。在OO上，

・・・DE是。。的切线；

（2）解：'：AC//DEfBDLDE,

：.BD±AC.

・・・瓦）是。0直径，

：.AF=CF,

：.AB=BC=S,

在RtZXBCO中，^D=7BC2+CD2=782+22=2^

・・・。0半径的长是S7.

3.【解答】（1）证明：连接0E,如图,

•：GE=GF,

：.ZGEF^ZGFE,

而/GFE=NAFH,

：.ZGEF^ZAFH,

'：AB±CD,

：.ZOAF+ZAFH^90°,

/.ZGEA+Z0AF^9Q°,

"：OA=OE,

：.ZOEA^ZOAF,

：.ZGEA+Z0EA^9Q°,即/GEO=90°,

：.OE±GE,

：.EG是OO的切线；

(2)解：连接。C,如图，

设。。的半径为r,则OC=r,OH=i■-2,

在RtZXOCH中，（r-2）2+（2亚）2=尸,解得厂=3,

在RtZXACW中，AC=个（2弧）2+22=2后

'."AC//GE,

：.NM=NCAH,

：.RtAOEMsRtACHA,

.OM=OE即0『一3

"ACCH，2732V2，

2

4.【解答】(1)证明：过。作08,3c与H,

VZACB=90°,

OH//AC,

VZA=60°,

；./HOB=60°,

：.OH=LOB,

2

'：3AO^AB,

：.OA=^BO,

2

C.OH^OA,

...CB与O。相切；

(2)解：-：AB=6,3AO^AB,

：.AE^4,02=4,

「△ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,

是O。的直径,

AZA£)E=90°,

J.DE//BC,

：.AADE^AACB,

△OEFsXOBC,

.AE=DEOE=EF

**ABBC，OBBC?

.4^DE2=EF

**6访’4天，

:.DE=?M，

2

2

5.【解答】证明：(1)・・・AC平分NBC。

ZACB=ZACDf

\9AE//BC

：.ZACB=ZCAE=ZACD

：.AE=CE,S.AE=EF

：.AE=CE=EF

•••△CA/是直角三角形

：.ZCAF=90°

・・・A尸是。。的切线

(2)连接AZ),

•「AC是直径

AZABC=90°=ZADC

VZACB=ZACD9AC=AC,ZABC=ZADC=

90°

AAABC^AADC(A4S)

：.AB=AD=12,BC=CD

在RtZXAEO中，DE=yJ应2_皿2=5

'：AE=CE=EF=13

；・CF=2EF,CD=BC=CE+DE=18,

9：AE//BC

・EGJF_1

**BC^CF7

：.EG=9

・・・AG=AE-EG=13-9=4

6.【解答】(1)证明：连接OC,

•・•OC=OB,

：・NOCB=NB,

u：EOLAB,

：.ZOGB+ZB=90°,

・；EG=EC,

：・NECG=NEGC,

ZEGC=ZOGB,

・•・ZOCB+ZECG=ZB+ZOGB=90°,

・•・OCLCE,

・・・EC是圆O的切线；

(2)①证明：VZABC=22.5°,/OCB=/B,

：.ZAOC=45°,

u：EOLAB,

AZCOF=45°,

•••AC=CT-

：.AC=CF；

②解：作CM_LOE于M,

VAB为直径，

ZACB=90°

VZABC=22.5°,NGOB=90°,

AZA=ZOGB=Z67.5°,

AZFGC=67.5°,

VZCOF=45°,OC=OF,

：.ZOFC=ZOCF=67.5°,

:.ZGFC=/FGC,

；・CF=CG,

；・FM=GM,

VZAOC=ZCOFfCD±OA,CMLOF,

：.CD=DM,

在RtAACZ)和RtAFCM中

[AC=GF

iCD二CM

ARtAACD^RtAFCM(HL),

.\FM=AZ)=1,

：.FG=2FM=2.

7.【解答】(1)证明：连接OE交3。于M,

YE为弧3C中点，

・••由垂径定理得：OELBC,

,:DE〃BC,

：.OELDE,

TOE为半径，

・・・。£是。。切线.

(2)连接AROF交AC于N,

VAB=AC=10,

・・・A在的垂直平分线上，

VOE1BC,

：.BM=CM=6,

・・・A、0、E三点共线，

・・・AE是。。的直径，

ZAFE=90°,

:点尸是弧AC的中点，

/.OF±AC,AN=CN=5,

在RtAABM+,AB=10,BM=6,

AM=7102-62=8'

'：BM'CM=ME-AM,

.皿_・

••1V1匕-BM---C-M_-6X6_—9,

AM82

.•.AE=8+4.5=12.5,

：.OA=OF=^,

4

谭,

：.FN=OF-ON=—--=-^-

442

在RtAAEF中，AF2=AN2+FN2=卫❷,

4

-EF=^^=~

8.【解答】(1)证明：连接OC,

9：OE//AC,

：.Z1=ZACB,

・・・A5是。0的直径，

：.Z1=ZACB=9O°,

：.OD±BCf由垂径定理得OD垂直平分BC,

:・DB=DC,

；・NDBE=NDCE,

XVOC=OB,

：.ZOBE=ZOCE,

即NZ?50=N0CD

・・,。3为。。的切线，05是半径，

：.ZDBO=90°,

：.ZOCD=ZDBO=90°,

即OCLDC,

・・,oc是。。的半径，

・・・。。是。。的切线；

(2)解：在RtAABC中，ZABC=

30°,

.*.Z3=60°,又O4=0C,

AAOC是等边三角形，

：.ZCOF=60°,

在RtZkC。/中，tan/COF=空，

0C

；.CF=4

9.【解答】（1）证明：・・,在矩形ABC。中，ZABO=ZOCE=90°,

VOE±OA,

AZAOE=90°,

ZBAO+ZAOB=ZAOB+ZCOE=9Q°,

：.ZBAO=ZCOEf

：.MABOsxocE,

.AB=AO

**oc丽’

•：OB=OC,

•・•—AB=—AO,

OBOE

VZABO^ZAOE^9Q°,

^ABO^AAOE,

：.ZBAO^ZOAE,

过。作OF±AE于F,

：.ZABO=ZAFO=9Q°,

,ZBAO=ZFAO

在△AB。与△AR9中，，NABO=NAFO,

A0=A0

AAABO^AAFOCAAS),

：.OF=OB,

是半圆O的切线；

(2)解：连接PRFC,尸。并延长交O。于G,

则NG=/ACRZG+ZPFG=9Q°,

是O。的切线，

/.ZAFG+ZPFG^90°,

ZAFP=/G=ZACF,

:NFAP=NACF,

：.AAFP^AACF,

•AF=AP

"ACAF'

:.AF2=AP-AC,

；"=、2(2+4)=2«,

：.AB=AF^2>/3,

：AC=6,

•••8C=〃C2TB2=2娓,

•■-AO=VAB2+OB2=3^

AABO^AAOE,

.AQ_AB

AE^AO)

.372,2V3

"~^£~

:・AE=3M.

10.【解答】解：(1)连接OC,

TAB是。。的直径，

ZACB=90°,

：.ZCAD+ZABC=9Q°,

•；CE=CB,

：.ZCAE=ZCAB,

■:NBCD=NCAE,

:・NCAB=NBCD,

"：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

：.ZOCB^-ZBCD=90°,

：.ZOCD=90°,

・・・CD是。。的切线；

(2)'：ZBAC=ZCAEfZACB=ZACF=90°,AC=AC,

AAABC^AAFC(ASA)，

：.CB=CF,

又•：CB=CE,

：.CE=CF；

(3)•:/BCD=/CAD,NADC=/CDB,

：.ACBD^/\DCA,

•.•—CD=—AD=—AC,

BDCDBC

.V2AD

1V2

：.DA^2,

：.AB=AD-BD=2-1=1,

222

设8C=a,AC=42a,由勾股定理可得：a+(^a)-1-

解得：。=返，

3

•,AC^^―

11.【解答】(I)证明：连接OC,

VOA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

9

：ZOAC=ZDACf

：.ZOCA=ZDAC,

：.OC//AD,

u：ADLCD,

：.CD±OC,

・・・CD为。。的切线，

・•・直线CD与。。相切于点C；

(2)解：,：ZCAD=30°,

：.ZCAE^ZCAD^30°,

由圆周角定理得，NCOE=60°,

：.OE=2OC=6,EC=M"=3M，

食的长为：60%X3=TT,

180

.•.蚂蚁爬过的路程=3+3+n-lL3.

12.【解答】(1)证明：连接。。，作。GLAB于G,如图1所示:

则NOG2=90°,

,/△ABC为等边三角形，

/.ZOCD^ZOBG^ZABC=6Q°,

为2C的中点，

：.OB=OC,

：O。与AC相切于点。，

J.ACLOD,

：.ZODC=9Q°=ZOGB,

'/OBG=NOCD

在AOBG和△OCZ)中，，ZOGB=ZODC，

OB=OC

:.△OBG"AOCD(A4S),

：.OG=OD,.,.AB与O。相切；

(2)解：连接。4、OM,OH±FM^H,如图2所示:

则NOHB=90°,FH=MH,

VCE^AC,AC=BC,

：.CE=BC,

：./CBE=/CEB=L/ACB=3。。,

2

NABE=ZABC+ZCBE=9Q°,

VZOGB=90°,

.••四边形。/ffiG是矩形，

：.OH=BG,

：△ABC是等边三角形，。为BC的中点,

：.OB=^BC=^AB=2,

22

VZBOG=90°-60°=30°,

：.OH=BG=^OB=1,OG=V^5G=遂,

在RtZXOAffi■中，OM=OG=、g,OH=1,

=22

MHVOM-OH=a

:.FM=2MH=2®

13.【解答】(1)证明：连接。£>,如图所示:

：8是O。的切线，

J.ODLCD,

：.Z0DE^9Q°,

\'OE//AD,

：.NBOE=ZOAD,ZADO^ZDOE,

•：OA=OD,

：.ZADO^ZOAD,

：.ZBOE^ZDOE,

rOB=OD

在△OBE和△OOE中，，ZBOE=ZDOE，

OE=OE

；.AOBE丝AODE(SAS),

；.NOBE=NODE=90°,

：.EBLOB,

：02是O。的半径，

.••班是O。的切线.图1

(2)解：连接如图2所示：

设。。的半径为r,

VAB是。。的直径，

/.ZADB^90°,

2-

在RtZkA£)2中，cosZBAD=—=.3-=2^

AB2r3r

在RtZXOOE中，cos/毁二工，

OEOE

'：ZBAD^ZDOE,

•M_r

•.豆OE,

：.0E=M2,

'：0E//AD,

：./\CAD^/\C0E,

2如

.CA=AD即2—3

"coOE>2+7小2，

整理得：3，-r-2=0,

解得：r=l,或r=-2(舍去)，

3

・・・。0的半径为1.

14.【解答】解：(1)如图，连接OO,AD,

〈AC是直径，

ZAZ)C=90°,

：.AD±BC,

VAB=AC,

・•・ZCAD=ZBAD=^ZBACf

2

*：ZCDE=^-ZBAC.

2

：.ZCDE=ZCA