2025年人教版八年级数学下册同步训练：正方形（3个知识点+5类热点题型+习题巩固）解析版

第05讲正方形

BI学习目标

课程标准学习目标

1.熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练的应用性质。

①正方形的定义与性质2.掌握正方形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定正方

②正方形的判定形。

③中点四边形3.掌握中点四边形的定义,能够熟练的根据四边形的性质判断中点四边

形的形状。

f!H思维导图

正方形利用正方形的性质求线段长度

利用正方形的性质求角的度数

利用正方形的性质求点的坐标

题型

正方形的判定与性质综合

图形的中点四边形

8!H知识清单

知识点01正方形的定义与性质

I.正方形的定义：

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。

所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。

2.正方形的性质：

同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。

【即学即练1】

1.正方形有而矩形不一定有的性质是（

A.四个角都是直角B.对角线相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

【分析】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：/、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；

8、正方形和矩形的对角线相等，故本选项错误；

C、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项错误；

。、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确.

故选：D.

【即学即练2】

2.如图，已知点E,点尸为正方形48co内两点，C,E,尸三点共线且满足N2£C=NCFD=90°,连接

OE并延长交8c于点G,若EG平分/BEC,AB=后则。£的长为（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【分析】先证明△BCE四△CD尸得CE=OR再证明△DEF为等腰直角三角形，设。B=x,在Rt/XCDF

中由勾股定理列出方程求得x,进而由勾股定理求得DE.

【解答】解：：四边形/BCD是正方形，

：.BC=CD,NBCD=90°,

■:/BEC=9Q°,

ZCBE+ZBCE=ZBCE+ZDCF=90°,

：.NCBE=ZDCF,

在△BCE和△CD尸中，

(/.BEC=乙CFD=90°

、乙CBE=ADCF,

IBC=CD

：.ABCE^ACDF(44S),

:.CE=DF,

；EG平分NBEC,

1

二/DEF=ZCEG=]LBEC=45°,

:,EF=DF=CE,

设EF=DF=CE=x,

9：CF2+DF2=CD2,

（2町2+）=（府2,

•1,

:.DE=7DF24-EF2=近,

故选：B.

【即学即练31

3.如图，在正方形/BCD中，点尸为边CD上一点，BF与AC交于点,E.若NCBF=20。，则N/ED的大

小为65度.

B-------------"C

【分析】根据正方形的对称性可知，ZUBE与关于直线NC对称，得到N4ED=N4EB,禾（I用三

角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解.

【解答】解：•..四边形/BCD是正方形，且ZC为正方/8C。的对角线，

■与△/£）£■关于直线/C对称，NACB=45°,

ZAED=ZAEB,

,/为△E8C的外角，

/.ZAEB=ZCBE+ZACB=200+45°=65°,

/.ZAED=65°,

故答案为：65.

【即学即练4】

4.如图，将正方形。N8C放在平面直角坐标系中，。是原点，A的坐标为（百，1）,则点C的坐标为（）

A.(―\/3)1)B.(-1,—\/3)C.(-1,V3)D.(1,—V3)

【分析】作N£_Lx轴于£,C/_Lx轴于凡证明△OCF丝△NOE,得出对应边相等。尸=NE=1,CF=OE

=百，即可求出结果.

【解答】解：作轴于E,CFLx轴于尸，如图所示:

则NC尸。=/。及4=90°,

.".Zl+Z3=90°,

•..四边形O4BC是正方形，

AOC=OA,ZAOC=90°,

.\Z1+Z2=9O°,

/.Z3=Z2,

(Z.CFO=Z.OEA

在△OCF和△ZOE中，｛N3=Z2,

WC=AO

:.△OCF乌LAOE(AAS),

：.OF=AE=\,CF=OE=®

点C的坐标为(-1,V3);

故选：c.

【即学即练4】

5.如图，已知点E在正方形4BCD内，满足N/£2=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是（）

AD

B

A.48B.60C.76D.80

【分析】先由/NEB=90°,AE=6,2E=8,根据勾股定理求得48=10,再分别求出正方形48CD的

面积和△工班的面积，即可由S阴影=S正方形"CD-SAJEB求出阴影部分的面积.

【解答】解：:NAEB=90°,4E=6,BE=8,

-,-AB=yjAE2+BE2=V62+82=10,

.四边形48co是正方形，

•,S正方形力BCD='屏=10?=10°，

11

■:S4EB=W^E・BE6X8=24,

；・S阴影=S正方形ZBC。-^^AEB~100-24=76,

・•・阴影部分的面积是76,

故选：C.

知识点02正方形的判定

1.正方形的判定:

判定方法文字语言数学语言图形

AB=BC=CD=AD

四条边都相等且

/ABC=/BCD=NCPA=

直接判定四个角也相等的

ZDAB

四边形是正方形

・•・四边形/5CZ）是正方形

邻边相等的矩形;在矩形中，AB=AD

DC

矩形加特殊是正方形二四边形ABC。是正方形

性对角线垂直的矩:在矩形48CD中，AC±BD

形是正方形二四边形N8CD是正方形AXB

有一个角是直角的:在菱形/BCD中，/ABC=90°

菱形加特殊菱形是正方形二四边形/BCD是正方形

性对角线相等的菱:在菱形/5CD中，4c=BD

形是正方形二四边形/BCD是正方形

【即学即练1】

6.已知四边形N2CD中，N/=/8=/C=90°,如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么

这个条件可以是（）

A./。=90°B.AB=CDC.AC=BDD.BC=CD

【分析】先判断四边形/BCD是矩形，由正方形的判定可直接判断。正确.

【解答】解：在四边形N2CC（中，

VZA=ZB=ZC=90°,

，四边形为矩形，

而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，

故。正确，

故选：D.

【即学即练2】

7.在四边形4BCD中，AB=BC=CD=DA,如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条

件可以是（）

A.ACLBDB.AB//CDC.N/=90°D.N4=NC

【分析】利用菱形的判定方法结合正方形的判定进而得出答案.

【解答】解：•.,在四边形N8CO中，/B=BC=CD=ZM,

四边形N3CD是菱形，

当4=90°时，

菱形ABCD是正方形.

故选：C.

【即学即练3】

8.已知：如图，在RtZk4BC中，ZACB=90°,CD是△/8C的角平分线，DE±BC,DF±AC,垂足分别

为点£,F,求证：四边形CED尸是正方形.

【分析】要证四边形。功歹是正方形，则要先证明四边形DKCF是矩形，已知CD平分N/CB,DEL

8C,。尸，/C,故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEO尸

是正方形.

【解答】证明：:CD平分N4C8,DE±BC,DFLAC,

：.DE=DF,NDFC=9Q°,NDEC=9Q°,

又•.•//C8=90°,

...四边形。EC尸是矩形，

,:DE=DF,

二矩形。ECF是正方形.

【即学即练4】

9.如图，在Rta4BC中，/4CB=90°,。为中点，过点。作。EL42,交BC于点、E,过点/作/尸

//BE,交互）的延长线于点尸，连接NE,BF.

（1）判断四边形N班厂的形状，并说明理由.

（2）当RtA48C满足条件AC=BC时,四边形NE8尸是正方形.

【分析】(1)由”〃BE,得NFAD=NEBD,而ZADF=ZBDE,即可根据“N£4”证明△

ADF冬△BDE,得AF=BE,则四边形NE2尸是平行四边形，因为即_L48,所以四边形4E3尸是菱形；

(2)当N/£B=90°时，四边形NE3尸是正方形，由NC=N/E8=90°,点C与点E重合，则NC=

AE=BE=BC,所以当NC=2C或/48C=45°时，四边形4EAF是正方形，于是得到问题的答案.

【解答】解：(1)四边形/切厂是菱形，

理由：,:AF〃BE,

ZFAD=ZEBD,

:•D为4B中点，

：.AD=BD,

在△/£＞尸和中，

(Z-ADF=乙BDE

\AD=BD,

JFAD=乙EBD

：・4ADFm/XBDE(ASA),

:,AF=BE,

二四边形AEBF是平行四边形，

•:DELAB,AF//BE,交皮)的延长线于点R

J.EFLAB,

四边形/即尸是菱形.

(2)•.•四边形/£8尸是菱形，

:.当NAEB=90°时，四边形厂是正方形,

'：ZC=ZAEB=90°,

.,.点C与点E重合，

:.AC=AE=BE=BC,

...当NC=8C时，四边形/班尸是正方形，

故答案为：AC=BC.

注：答案不唯一，如：ZABC=45°.

知识点03中点四边形

1.中点四边形的定义：

连接四边形各边的中点得到的四边形叫做中点四边形。

2.中点四边形的形状：

①任意四边形的中点四边形是平行四边形。

②对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。

③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。

【即学即练1】

10.顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（）

①矩形；

②菱形；

③对角线相等的四边形；

④对角线互相垂直的四边形.

A.①③B.②③C.②④D.③④

11

【分析】连接/C、BD,根据矩形的性质得到NC=AD,根据三角形中位线定理得到芯=/C,FG=~

11

BD,GH^-AC,EH^-BD,进而得到访=/G=G〃=£〃，根据菱形的判定定理即可判断①，进而可

以判断③；根据三角形中位线定理得到£〃〃3D,FG//BD,进而证明四边形EFG"是平行四边形，根

据矩形的判定定理即可判断④，进而可以判断②.

【解答】解：如图1,连接NC、BD,

.四边形48co为矩形，

:.AC=BD,

■:点、E、F、G、8分别为/5、BC、CD、/D的中点,

1111图1

：.EF=~AC,FG=~BD,GH=~AC,EH=~BD,

：.EF=FG=GH=EH,

.•.四边形斯GX为菱形，故①不符合题意；

•••矩形的对角线相等，

顺次连接对角线相等的四边形的中点，所得图形为菱形，故③不符合题意;

如图2,E,F,G,“分别是四边形BC,CD,D4的中点，

J.EH//BD,FG//BD,

J.EH//FG,

同理，EF//HG,

二四边形斯G8是平行四边形,

'JACLBD,

C.EHLEF,

图2

.•.四边形斯G8是矩形，故④符合题意;

,••菱形的对角线互相垂直，

•••顺次连接菱形的各边中点，所得图形为矩形，故②符合题意;

故选：C.

04题型精讲

题型01利用正方形的性质求线段长度

【典例1］如图，在正方形N8CD中，点G在8C边上，连接NG,Z）E_L/G于点E,BTLL/G于点?若

BF=4,DE=9,则所的长为（)

C.12D.2

【分析】由正方形的性质得/8=D4,/BAD=90°,由。E_L/G于点E,于点/，得NAFB=/

DEA=90°,则/比1P=NNDE=9O°-/DAE,即可根据“44S”证明得BF=AE=

4,AF=DE=9,则E尸=4尸-/£=5,于是得到问题的答案.

【解答】解：：四边形/BCD是正方形，

：.AB=DA,ZBAD=90°,

•.,£（E_L/G于点E,AF_L4G于点尸，BF=4,DE=9,

:.NAFB=NDE4=90°,

/.ZBAF=ZADE=90°-ZDAE,

在△R4F和△/£)£中，

(/-BAF=Z.ADE

\LAFB=£.DEA,

VAB=DA

:•△BAF/AADE(AAS),

:.BF=AE=4,AF=DE=9,

：.EF=AF-AE=9-4=5.

故选：A.

【变式1】如图，在正方形/BCD中，。为对角线/C、AD的交点，E、尸分别为边2C、CD上一点，且

OELOF,连接E尸.若//。£=150°,DF=®则E尸的长为（）

A.2B.2+y/2.C.2^2D.+1

【分析】由题意证明尸(4X4),所以OE=OR则△。斯是等腰直角三角形；过点尸作

FGLOD,解三角形OF。即可得出的长，进而可求出斯的长.

【解答】解：在正方形45CQ中，/C和为对角线，

AZAOB=ZBOC=90°,ZOBC=ZOCD=45°,OB=OC,

VZAOE=15G°,

:・/BOE=60°；

•：OELOF,

：.ZEOF=ZBOC=90°,

/.ZBOE=ZCOF=60°,

:.△BOE/ACOF(ASA),

：・OE=OF,

・・・NJEF是等腰直角三角形;

过点尸作b如图，

；・/OGF=/DGF=90°,

•；NODC=45°,

・・・ADGF是等腰直角三角形,

：.GF=DG=

：.OF=2GF=2,

:・EF=ypiOF=2近.

故选：C.

【变式2】如图，正方形45CZ),点E为48边上一点，AE=3,BE=1.N切。的平分线交5C于点尸,

点G是。E的中点，则G厂的长为(

A.2B.2.5C.3D.3.5

【分析】延长4月交45的延长线于点巴根据正方形的性质得/A=/ABC=/

C=90°,AB//CD,则。E=5,根据角平分线的定义及平行线的性质得NCQF=NEr/=N〃，则EH=

DE=5,进而得CZ>=8〃=4,证明△CD/和全等得W=8R则Gb是△£)£7/的中位线，然后根

据三角形中位线定理可得出G厂的长.

【解答】解：延长。月交力5的延长线于点〃，如图所示:

•：AE=3,BE=T,

：.AB=AE+BE=4,

•・•四边形Z8CO为正方形，

：・AD=AB=BC=CD=4,ZA=ZABC=ZC=90°,AB//CD,

在Rt/i/OE中，由勾股定理得：DE=yjAD2+AE2=5,

•；DF平分NECD,

：.ZCDF=ZEDF,

■:AB〃CD,

:・/CDF=/H,ZC=ZCBH=90°,

・•・ZEDF=/H,

：.EH=DE=5,

：.BH=EH-BE=5-1=4,

:・CD=BH=4,

在△0£>/和△5/7F中，

fZC=乙CBH=90°

\CD=BH,

k^LCDF=乙H

:•△CDF"ABHF(ASA),

/.CF=BF,

•点G是。£的中点，

GF是4DEH的中位线,

1

：.GF=~EH=2.5.

故选:B.

【变式3】已知正方形/BCD的边长为4,点尸为线段/D上的动点（不与点/重合），点/关于直线2尸

的对称点为点E,连接尸E,BE,CE,DE,当△CDE是以CK为腰的等腰三角形时，NP的值为_8-4囱

【分析】当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当CE=CD=4时，过点£作£河

。于点M,ME的延长线交8C于点N,则四边形CDWN是矩形，进而得MN=CD=4,AEBC是等

边三角形，则EN=2百，Affi=4-2西，在四边形/8EP中，/PEB=NBAD=90°,NABE=30°,

则//PE=150°进而得/MPE=30°,则/P=P£=8-4百；②当CE=D£时，过点E作EH_LCO,

HE的延长线交AB于点T,则“7是正方形ABCD的一条对称轴，进而得AE=BE=4,则△/BE是等边

三角形，然后在RtA/3尸中可求出/尸=竽，综上所述即可得出“尸的值.

【解答】解：：四边形/BCD是正方形，且边长为4,

:.AB=BC=CD=AD=4,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,

根据轴对称的性质得：PA=PE,AB=BE=4,ZPEB=ZBAD=90a,/PBA=NPBE,

当△"）£是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：

①当C£=CD=4时，过点£作。于点"，ME的延长线交于点N,如图1所示：

图1

:.NNMD=NMNC=NBCD=NCDA=90°,

丁四边形CDW是矩形，

:.MN=CD=4,

,:BE=BC=CE=4,

.•.△E2C是等边三角形，

:.CN=12BC=2,NEBC=60°,

ZABE=NABC-ZEBC=30°,

在RtZ^ECN中，由勾股定理得：EN=y/cE2-CN2=V42-22=2V3，

：.ME=MN-EN=4-2^3,

在四边形48EP中，NPEB=NBAD=90°,NABE=30°,

:.NAPE=90°-ZABE=150°,

：.ZMPE=180°-/APE=3Q°,

在Rt/XPME中，PE=2ME=8-4啦,

：.AP^PE=8-443；

②当CE=D£时，过点E作HE的延长线交N8于点T,如图2所示:

图2

：.DH=CH,

；.HT是CD的垂直平分线，

:.HT是正方形4BCD的一条对称轴,

:.AE=BE=4,

是等边三角形,

；.NABE=60°,

ZPBA=ZPBE=30°,

在RtZ\48尸中，BP=2AP,

由勾股定理得：AB=<BP2—AP2=百/P,

.华=争”亨X4=?

综上所述：当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，NP的值为8-4省或学.

题型02利用正方形的性质求角的度数

【典例1］如图，正方形4BC£>的对角线相交于点O,则的度数是（）

A\D

c

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根据正方形的性质对角线互相垂直可求解.

【解答】解：•.•四边形为正方形，

：.AC±BD于点。，

A90°,

故选：D.

【变式1】如图，在正方形/BCD外侧，以/。为一边向上作等边三角形连接BE,AC,相交于点

F,则/3FC的度数是（）

【分析】根据正方形和等边三角形的性质得NA4Z>=90°,ZBAC=45°,AB=AD=AE,ZDAE=

60°,进而得/84E=150°,NABE=NE=15°,然后根据N8FC=NR4C+N4BE■即可得出答案.

【解答】解：•••四边形NBC。是正方形，

:.AB=BC=CD=AD,NBAD=90°,NR4C=45°,

•..△4DE是等边三角形，

：.AD=AE=DE,ZDAE=60°,

：.AE=AB,ZBAE=ZBAD+ZDAE=150°,

11

：.ZABE^Z.E=~(180°-NBAE)=,x(180°-150°)=15°,

:.NBFC=NBAC+/ABE=45°+15°=60°.

故选：C.

【变式2】如图，在正方形48co中，点£,尸分别是对角线3。，NC上的点，连接CE,EF,DF,若EF

//BC,且/CE尸=a,则NNFD的大小为（)

AD

0

BC

A.aB.2aC.45°-aD.45°+a

【分析】设NC，AD相交于点。，先证明2£=CF,进而可证明△BCE和△(7£)尸全等，则N8CE=NCDF

=a,进而得NODB=45°-a,然后在RtZ\。。尸中，可求出/4FD的度数.

【解答】解：设NC,8D相交于点。，如图所示：

AD

BC

・・•四边形4BCD是正方形，

：.BC=CD,OB=OC,ZEBC=ZFCB=ZFCD=ZCDB=Z45°,ZDOC=90°,

•:EF〃BC,

：,/OEF=/EBC=N45°,ZOFE=ZFCB=,/BCE=/CEF=a,

：.OE=OF,

：.OB-OE=OC-OFf

：.BE=CF,

在△5CE和△CD/中，

(BC=CD

、乙EBC=CFCD,

VBE=CF

:•△BCEQ/\CDF(SAS),

・•・NBCE=/CDF=CL,

：.ZODF=ZCDB-ZCDF=45°-a,

在RtZXOQ/中，ZDOC=90°,

AZAFD=90°-ZODF=90°-(45°-a)=45°+a.

故选：D.

【变式3】如图，在正方形45CD中，E为5C延长线上一点，连接。E,F为BCk一点、,且EF=DE,连

接。EG为CD上一点，且。G=C3连接4G并延长交DE于点连接CM,若/DAM=oc,则N

DCM=()

A.2aB.45°+aC.90。—5aD.45°+~a

【分析】根据正方形的性质证得△NOG和△DC尸全等，得出/ZX4G=NC£>F=a,于是得出尸=90°

-a,推出NDPC=NADF=90-a,再证△££用是等腰三角形，即可得出/EZ)厂的度数，再根据三角形

内角和定理求出出的度数，从而得出是等腰三角形，继而推出△DCM是等腰三角形，从

而求出NDCM的度数.

【解答】解：・・•四边形45C。是正方形，

AZADC=ZDCB=90°,AD=DC,AD//BC,

(AD=DC

在△/OG和△OCF中，(乙4DG=zJ)CF,

WG=CF

:•△ADG/LDCF(SAS),

J/DAG=/CDF,

丁/D4G=a,

：.ZCDF=a,

VZADG=ZADF+ZCDF=90°,

・・・ZADF=90°-a,

■:AD〃BC,

：.ZDFC=ZADF=90-a,

•：EF=DE,

•••△£QF是等腰三角形，

ZEFD=ZEDF=90°-a,

•・•在△/£)河中，/DAM=a,ZADM=ZADF+ZEDF=90-a+90°-a=180°-2a,

AZAMD=1SO°-a-(180°-2a)=a,

・・・ZDAM=/AMD,

•••△4ZW是等腰三角形，

:・AD=DM,

：.DM=DC,

・•.△DC"是等腰三角形，

1

AZDCM=ZDMC=-(180°-/CDM),

\uZCDM=ZADM-ZADC=1SO°-2a-90°=90°-2a,

1

：./DCM=5(180°-90°+2a)=45°+a,

故选:B.

题型03利用正方形的性质求点的坐标

【典例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形O45C的顶点。，2的坐标分别是（0,0）,（4,0）,则

A.(2,-2V2)B.(2五，-2V2)

C.(2,-2)D.(2五，-2)

【分析】根据NC、的互相垂直平分，且O3=4=/C,即有问题得解.

【解答】解：在平面直角坐标系中，正方形O4BC的顶点。，2的坐标分别是（0,0）,（4,0）,如

图，连接/C,交OB于点D,

：.AC,。8的互相垂直平分，且O2=4=/C,

：.OD=DB=DA=DC=2,OD±DC,

点坐标(2,-2),

故选：C.

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，四边形O/8C为正方形，点C坐标为（3,2）,则点N的坐标为

()

【分析】如图所示，过点工作轴于点。，过点C作轴于点区根据正方形的性质，可证

RtA^OD^RtAOCE(ASA),可得。O=EC,AD=OE,根据点C的坐标可确定OE,CE的长，由此即

可求解.

：.OA=AB=BC=OC,ZAOC=90°,

：.ZAOD+ZEOC=90°,ZAOD+ZOAD=90a,

：.ZOAD=ZEOC,

在RtZ\/O。，Rtz^OCE中，

(Z-OAD=乙COE

\AO=CO,

VZ.ADO=Z.OEC=90°

ARtA^OZ)^RtAOC£(ASA),

：.DO=EC,AD=OE,

VC(3,2),

：・OE=3,CE=2,

：.OD=2,AD=3,且点/在第二象限，

：.A(-2,3),

故选：B.

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形/BCD的顶点/(-2,0),3(0,1),则点。的坐标是

C.(-3,V5)D.(-1,3)

【分析】由“44S”可证△4BO0ZXAD/A可得4O=DH=2,BO=AH=\,即可求解.

【解答】解：如图，过点。作DHLx轴于点H,

、：点/(-2,0),8(0,1),

；・4O=2,50=1,

•・•四边形4BCZ)是正方形,

:・AB=AD,ZDAB=90°=/AOB=/DHA,

AZABO+ZBAO=90°=ZBAO+ZDAHf

：.ZABO=ADAH,

在△ZBO和中,

(Z.A0B=乙DHA

\/.ABO=Z.DAH,

LAB=DA

：.AABO^ADAH(AAS),

.,.AO—DH—2,BO—AH—1,

点。(-3,2).

故选：B.

【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形/BCD是正方形，点/的坐标为(1,0)点B的坐标为

(-2,4),点。在第一象限，则点C的坐标为()

y

A.(2,8)B.(3,7)C.(1,8)D.(2,7)

【分析】过点5作BTUx轴，垂足为R过点。作C£J_5R垂足为证明△4F52△BEC,得到

AF=2,CE=BF=4,计算E尸的长即可.

【解答】解：如图，过点5作BFLv轴，垂足为R过点。作垂足为E,

.•.Z2+Z3=90°

・・•四边形4BCD是正方形，点4的坐标为(1,0),点夕的坐标为(-2,4),

:・AB=BC,/ABC=90°,40=1,BF=4,OF=2,

：.AF=3fNl+N2=90°,

・・・N1=N3,

•；AB=BC,ZBFA=ZCEB=90°,

J△AFBQdBEC,

:・BE=AF=3,CE=BF=4,

・・・£/=3+4=7,CE-OF=2,

・・・点。(2,7),

故选：D.

题型04正方形的判定与性质综合

【典例1］已知四边形/BCD是平行四边形，再从①，B=BC,②N/8C=90°,③AC=BD,@AC±BD

四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形/BCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的

是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答.

【解答】解：A,由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是

矩形，所以平行四边形/BCD是正方形，

故本选项不符合题意；

B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得

出平行四边形ABCD是正方形，

故本选项符合题意；

C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四

边形48co是正方形，

故本选项不符合题意；

D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平

行四边形/BCD是正方形，

故本选项不符合题意；

故选：B.

【变式1】如图，在菱形中，对角线/C,50相交于点。添加下列条件，能使菱形成为正

A.4B=DBB.BD=0CC.AC=BDD.N4DC=120°

【分析】根据正方形的判定方法，一一判断即可.

【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）

对角线相等.即满足条件

故选：C.

【变式2】如图，在四边形N8CO中，AD//BC,ZA=90°,AB=BC,ZZ）=45°,CD的垂直平分线交

CD于E,交4D于F,交2C的延长线于G,若4D=a.

（1）求证：四边形48c尸是正方形；

（2）求2G的长.

【分析】(1)先根据=尸C=90°,判定四边形N5C尸是矩形，再根据48=8C,即可得到

四边形4BCF是正方形；

(2)先判定△CEGgZV)EF(44S),得出CG=FD,再根据正方形48cF中，BC=AF,即可得到/尸+尸£>

=BC+CG,即4D=8G=a.

【解答】解：(1)：CD的垂直平分线交。于E,交4D于R

：.FC=FD,

ZD=ZFCD=45°,

.\ZCFD=90°,即N/PC=90°,

又"：ADHBC,ZA=90°,

AZ5=90°,

四边形/5CF是矩形，

又；AB=BC,

四边形48c尸是正方形；

(2)：PG垂直平分CD,

/.CE=DE,ZCEG=ZDEF=90°,

,JBG//AD,

：.ZG=ZEFD,

在△CEG和△£>£尸中，

fzG=乙EFD

\^CEG=Z.DEFf

VCE=DE

：./\CEG^ADEF(AAS),

:・CG=FD,

又•・•正方形/中，BC=AF,

:,AF+FD=BC+CG,

:,AD=BG=a.

B,------------£-------------7G

D

F

【变式3】如图，正方形4BCD中，48=4,点E是对角线NC上的一点，连接。£过点E作E尸，ED,

交48于点尸，以DE、斯为邻边作矩形。斯G,连接/G.

（1）求证：矩形DEFG是正方形;

（2）求/G+/E的值.

【分析】（1）如图，作EALL/。于M,ENLAB于N.只要证明△£1〃£）段ZkENF即可解决问题;

（2）只要证明△/DG四△COE,可得/G=EC即可解决问题.

•.•四边形/8C。是正方形，

ZEAD=ZEAB,

,.•EM_LAD于〃，EN1AB于N,

；.EM=EN,

VZEMA=ZENA=ZDAB=90°,

二四边形NNEW■是矩形，

"：EF±DE,

：.ZMEN=ZDEF=90Q,

ZDEM=ZFEN,

VZEMD=ZENF=90°,

AEMD当AENF,

：.ED=EF,

•..四边形。EFG是矩形，

四边形DEFG是正方形.

(2)解：：四边形。EFG是正方形，四边形/BCD是正方形,

：.DG=DE,DC=DA=AB=4,ZGDE=ZADC=90°,

NADG=/CDE,

:.AADG丝ACDE(SAS),

；.AG=CE,

：.AE+AG^AE+EC^AC=五AD=4瓜

【变式4】如图，正方形4BCD中，48=4,点E是对角线NC上的一点，连接。E.过点E作斯，即,

交N2于点尸，以DE、E尸为邻边作矩形。斯G,连接/G.

(1)求证：矩形。斯G是正方形；

【分析】(1)如图，作于M,EN工AB于N.只要证明△EM)也△瓦VF即可解决问题;

(2)只要证明△NOGgZ\C£)E,可得/G=£•。即可解决问题.

【解答】(1)证明：如图，作于"，EN1AB于N.

;四边形48CD是正方形，

/.ZEAD^ZEAB,

•；E"_L4Z>于M,ENJLAB于N,

：.EM=EN,

,?ZEMA=ZENA=ADAB=90°,

四边形4NEM是矩形，

■:EFLDE,

ZMEN=ZDEF=90a,

NDEM=/FEN,

VZEMD=ZENF=90°,

AEMD乌AENF,

：.ED=EF,

•..四边形。EFG是矩形，

四边形DEFG是正方形.

(2)解：,・•四边形OEFG是正方形，四边形4BCZ)是正方形,

:・DG=DE,DC=DA=AB=4,ZGDE=ZADC=90°,

ZADG=ZCDE,

：・4ADGQ/\CDE(SAS),

；・AG=CE,

AE+AG=AE+EC=AC=近AD=4瓜

题型05图形的中点四边形

【典例1］顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定

【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形.

【解答】解：如图：E,F,G,〃为矩形的中点，则AH=HD=BF=CF,AE=BE=CG=DG,

在RtZXNE”与RtADG〃中，AH=HD,AE=DG,

AAEHmADGH,

：.EH=HG,

同理，AAEH冬ADGHqABEF咨ACGF咨4DGH

：.EH=HE=GF=EF,ZEHG=ZEFG,

•••四边形为菱形.

【变式1】顺次连接四边形/BCD各边中点，得到四边形EFG8,要使四边形EFG8是菱形，应添加的条

件是（）

A.AD//BCB.AC=BDC.ACLBDD.AD=AB

【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分.

【解答】解：添加NC=BD

如图，AC=BD,E、F、G、X分别是线段/5、BC、CD、4D的中点，

则瓦7、尸G分别是△48。、△BCD的中位线，EF、77G分别是△Z8C、△/CD的中位线，

11

EH=FG=~BD,EF=HG=~AC,

.,.当NC=AD时，

EH=FG=FG=EF成立,

则四边形EFG8是菱形.

故选：B.

【变式2】如图，AC,3。是四边形/BCD的对角线，点E,尸分别是AD,2C的中点，点跖N分别是

4C、的中点.若四边形EM7W是菱形，则原四边形/2C。应满足的条件是()

C.ACLBDD.ZABC+ZDCB=90°

11

【分析】根据三角形中位线定理得到FN=EM=~CD,则可证明四边形为平行

四边形，当当EN=FN,即Z2=CD,则此时平行四边形EMFN是菱形，据此可得答案.

【解答】解：；E，F,N,M分别是BC,BD,NC的中点，

：.AE=DE,BN=DN,AM=CM,BF=CF,

:.EN、NF、FM、EM分别为△BCD、AABC、△4CO的中位线，

11

：.EN^FM=~AB,FN^EM^-CD,

：.四边形为平行四边形，

当EN=FN,即/3=CD,则此时平行四边形瓦WFN是菱形，

故选:B.

【变式3】如图，在四边形48co中，E,尸分别是40,2C的中点，G,H分别是AD,NC的中点，顺次

连接各点得到四边形EGFH.

(1)求证：四边形EG切是平行四边形；

(2)若AB=CD,求证：口EGPH是菱形.

BFC

【分析】（1）由三角形中位线定理，得至UG尸〃EH,GF=EH,推出四边形EGFX是平行四边形;

（2）由三角形中位线定理得到尸G=FH,又四边形EGFH是平行四边形，推出口EGEH是菱形.

【解答】证明：（1）:点E与点8分别为40,4C的中点，

是△4DC的中位线，

1

：.EH//CD,EH--CD,

1

同理：GF//CD,GF=~CD,

J.GF//EH,GF=EH,

：..四边形EG切是平行四边形；

（2）:点/与点〃分别为5C,NC的中点，

；.FH是AABC的中位线，

1

1

"：FG=~CD,AB=CD,

：.FH=FG,

由