2025年九年级中考数学二轮复习：思想方法之函数思想训练（含答案）

2025年九年级中考数学二轮复习专题思想方法之函数思想训练

一、选择题

3.已知反比例函数>=-，，当-3<x<-2时，y的取值范围是（）

A.0<y<lB.l<y<2C.2<y<3D.-3<y<-2

4.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点尸为完美点.已知二次函

数y=/+6x—竽（aWO）的图象上有且只有一个完美点，且当OWxW机时，二次函数y

=ax1+6x-5（°#0）的最小值为-5,最大值为4,则机的取值范围是（）

A.B.3WAHW5C.D.m^3

5.已知二次函数>=/-无-2,若关于龙的方程/-x-2-仁0在-l<x<3的范围内有解，

则上的取值范围是（）

9Q

A.-3^k<4B.-3<fe<4C.<k<4D.fc<4

6.如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面A8的宽度为4祖.有下列结

论：①当水面宽度为5/”时，水面下降了1.125%；

②当水面下降1根时，水面宽度为2佃小；

③当水面下降2根时，水面宽度增加了（4立一4）小.

其中，正确的是（）

A.0B.1

C.2D.3

4k

7.如图，直线y=—可人与双曲线y=彳交于A,8两点，点。在了轴上，连

接AC,BC,若NACB=90°,△ABC的面积为20,则女的值是（）

A.-10B.-12

C.-15D.-20

8.如图1,在长方形A5CD中，E为3C的中点，点厂从点E出发，沿着E

-C-O-A的方向移动，直至到达点A,停止移动.设点厂移动的距离为x,AAB尸的

面积为y,图2是y关于x的函数图象，则下列说法错误的是（）

图2

B.AB=3C.BC=6

2

9.已知直线丫1=一式，丫2=-5%+2,丫3=尹+3的图象如图所

示.若无论x取何值，y总取yi,yi,”中的最大值，则y的最小

值是()

A.4B.3

179

C.—D.-

75

10.已知a,b,c是三个非负数，且满足。+6=2,3a+b-2c=4,则式子2a-6+3c的最大

值为（）

A.1B.5C.7D.9

11.如图，△ABC是等边三角形，AB=2,AD1BC,垂足为点D,点A

尸从点2出发，沿的路径运动，运动到点A停止，过点P/K

作PE〃AC交边于点E,过点尸作P尸〃交边AC于点R设/X

点尸运动的路程为x,四边形AEP尸的面积为y,则能正确反映y与E/Y\

x之间函数关系的图象是（）人/\

BpDC

如图①，点、是。。上两定点，圆上一动点尸从圆上一定点出

12.A82D

发，沿逆时针方向匀速运动到点4运动时间是无（s）,线段AP的长摩

度是y（c〃z）.图②是y随x变化的关系图象，则图中根的值是（

9

A.-B.4V2

2

图①

14

C.5D.—

3

三、解答题

13.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-2,0）,B（0,-2）,C（1,0）三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点加的横坐标为/，的面积为S,

求S关于相的函数关系式，并求出S的最大值.

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-无上的动点，判断有几个位置能够使

得点P、。、8、。为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点。的坐标.

14.某网络经销商购进了一批以亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫进价为40元/件.当

售价为50元/件时，销售量为500件.在销售过程中发现：售价每上涨1元销售量就减

少10件.设销售单价为x元/件，销售量为y件.

(1)写出y与x的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围).

(2)当销售单价为多少元时，销售总利润为8000元？

(3)若每件文化衫的利润不超过60%,要想获得总利润最大，每件文化衫售价为多少元？

并求出最大利润.

15.我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球,

一副球拍标价80元，一盒球标价25元.体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：

方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；

方案乙：按购买金额打9折付款.

学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球无（尤210）盒.

（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），了乙（元）与x（盒）之间的函数

关系式.

（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？

（3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？

16.炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度h（单位:

米）与时间T单位：秒）满足二次函数表达式：l^at^+bt+c（a#0）,具体数据如表：

t0135

h2274727…

（1）结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为米；

（2）若炮弹高度为42米时，求炮弹的飞行时间.

17.云栖小小mall的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租.已知铺

面两面靠墙，墙长分别为8米和30米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门.经营者共

用去板材45米（不计损耗）.

（1）若三间商铺总面积为180加2,求每间商铺的长和宽分别是多少？

（2）小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板

材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大.已知商铺的租金为每月每平方米200元,

请问小王每月需要付给经营者多少租金？

墙30米

AlClE-

墙8米

~G~BDF

18.某商场计划购进A,8两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示:

价格类型进价四件)售价(元/件)

A3050

B5075

(1)若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？

(2)若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时

获利最多？此时利润为多少元？

19.在平面直角坐标系中，二次函数y=/+ax+2a+l的图象经过点A/(2,-3).

(1)求二次函数的表达式；

(2)若一次函数y=Ax+b(左。0)的图象与二次函数y=/+or+2a+l的图象经过无轴上

同一点，探究实数%,6满足的关系式；

(3)将二次函数y=/+ax+2a+l的图象向右平移2个单位，若点尸(xo,m)和Q(2,

〃)在平移后的图象上，且相＞“，结合图象求期的取值范围.

20.二次函数y=a/+bx+c(a#0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题.

(1)写出方程a^+bx+c=Q的两个根：；

(2)写出不等式ax2+bx+cVO的解集：；

(3)写出y随x的增大而减小的自变量尤的取值范围；

(4)若方程以2+6X+C=A有两个不相等的实数根，直接写出发的取值范围：

参考答案

一、选择题

1.【解答］解：A、反比例函数y=((左WO)的图象经过第一、三象限，则k>0,此时

函数ynf+fcr-Z的对称轴为y=V0,对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本

选项错误；

B、反比例函数y=1（ZWO）的图象经过第一、三象限，则左>0,此时函数>=%2+质-%

的对称轴为y=-£vo,对称轴在y轴的左侧，-k<0,与y轴交于负半轴，与所示图象

相符，故本选项正确；

C、反比例函数y=5（%W0）的图象经过第二、四象限，则左<0,此时函数y=f+fcv-左

的对称轴为y=-2>0,对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；

。、反比例函数y=9（左W0）的图象经过第二、四象限，则上<0,此时，-左>0,函数

y=/+丘-%的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；

故选:B.

2.【解答】解：A、由函数-根的图象可知相>0,-m>0,相矛盾，故本选项错

误；

B、由函数-根的图象可知mVO,-m<0,相矛盾，故本选项错误；

。、由函数y=M-m的图象可知加<0,-m>0,由函数y=£的图象可知相<0,故本

选项正确；

D、由函数-徵的图象可知相>0,-m<0,由函数y=，的图象可知用V0,相矛

盾，故本选项错误；

故选：C.

3.【解答】解：：在y=―1中，-6<0,

第二象限内，y随尤的增大而增大，

当尤=-3时，y有最小值2,当x=-2时，y有最大值3,

.,.当-3vx<-2时，2<y<3,

故选：C.

4.【解答】解：..•二次函数产办2+6x-竽QW0）的图象上有且只有一个完美点，

设完美点的坐标为（小〃），

方程w=/+6w—竽即即2+5〃-竽=。有两个相等的实数根，

/.A=52-4AX（-竽）=0,

••〃=:-1,

・••二次函数ynaW+Gx-5的解析式为：y=-f+6x-5=-（x-3）2+4,

・••当x=3时，函数有最大值为4,

又・・•当OWxWm时，函数最小值为-5,

令--5=-5,

则1=0或6,

，要使函数最小值为-5,最大值为4,

则3WmW6,

故选：c.

5.【解答］解：关于龙的方程x2-尤-2-%=0的解，实质是当二次函数的函数值y为左

时所对应的x的值.

1/二次函数y=/-x-2的二次项系数大于0,

2

；.X=—22时，二次函数有最小值尸4号?=

vvJL'Ct-±

当x=-l时，y=0,当x=3时，y=4.

:关于X的方程/-X-2-左=0在-1<X<3的范围内有解，

9

**«~-74人<4.

故选：D.

6.【解答】解：以线段A3所在的直线为％轴，以A5的垂直平分线为y轴建立平面直角

坐标系.

由题意得：点。的坐标为(0,2),点8的坐标为(2,0).

设抛物线解析式为：y=a/+上

.(k=2

**Ua+/c=0,

解得：卜=一］.

Ik=2

抛物线解析式为：y=—#+2.

①当水面宽度为5根时，x=2.5.

125

・・.尸一/*+2=-1.125.

V|-1.1251=1.125,

・・・当水面宽度为5根时，水面下降了1.125根.

故①正确，符合题意；

②当水面下降1m时，y=-1.

-2%2+2=-1•

解得：x=±V6.

二・水面宽度为：V6—(―V6)—2^/6(m).

故②正确，符合题意；

③当水面下降2根时，y=-2.

-3%2+2=-2.

解得：x=+2V2.

・•・水面宽度为：2V2-(-2V2)=4V2(m).

・,•水面宽度增加了(4V2-4)m.

故③正确，符合题意；

・••正确的有3个.

故选：D.

4

7.【解答】解：设点A(a,—铲)，

则OA=Ja2+g)2=—%,

・・,点。在x轴上一点，ZACB=90°,且△ACB的面积为20,

・・OA.—OB—OC=一方a,

158

zz

1-X(--X(--

S/\ACB=2xOCX(ya+M)2x3x3=20,

解得〃=±3(舍弃3),

・••点A为(-3,4),

:・k=-3X4=-12,

故选：B.

8.【解答］解：由图2得：第一个关键点的坐标是（0,6）.意思是当点尸在点E处时,

AABF的面积为6.

第二个关键点的横坐标为3,此时点厂从点E运动到点。处，移动的距离为3.

:.EC=3.

・・・万为的中点，

：・BE=3,BC=6.

工。选项正确，不符合题意;

,**SAABE=6,

..„2x6.

•»AB=­§—=4.

...2选项错误，符合题意；

第三个关键点的横坐标为如此时点厂移动到点。处，移图1动的距离

为EC+C£)=3+4=7,

•"=7.

选项正确，不符合题意；

第四个关键点的坐标为（小0）,此时点尸移动到点A处，移动的距离为3+4+6=13.

工。选项正确，不符合题意.

故选：B.

9.【解答】解：过》、”的交点作y轴的平行线/,过户、”的交点作y轴的平行线徵,

由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示，

・・・y的最小值是"、”交点坐标的纵坐标值.

联立两直线解析式：—9+2=和+3,

解得尤=—3，代入J2或J3解析式求得y=芋.

故选：C.

10.【解答】解：・・・。+。=2,

・・b~~2-

寸巴b=2-a代入3a+b-2c=4得，c=a-1,

.\2a-b+3c=2a-(2-a)+3(«-1)=6〃-5,

•・・a,b,c是三个非负数,

2-〃-120,

・・・1WQW2,

:.当a=2时6〃-5最大，

・・・6X2-5=7,

故选：C.

11•【解答】解：①当OWxWl时，点尸在线段上.

「△ABC是等边三角形，AB=2,

：.BC=AB=2fZB=ZC=ZBAC=60°.

'：PE//AC,PF//AB,

：.ZBEP=ZBAC=60°,ZBPE=ZC=60°.

NB=ZBEP=ZBPE.

依是等边三角形.

•：BP=x,

S/\BPE=

同理：△尸尸。是等边三角形.

9：PC=BC-BP=2-x.

S^PFC=(2-x)2.

四边形AEPF的面积为y,

；・y=x22--^x2--^(2-x)2=-^(4-x2-4+4x-/)=峭(-2x2+4x)=—^-x2+V3x.

・••此段函数图象是开口向下的二次函数图象.

②当1VXW1+百时，点尸在线段AO上.

VAD±BCf△ABC是等边三角形，

：.ZBAD=ZCAD=30°,BD=\.

AD=V3.

U：PE//AC,

：.ZAPE=ZDAC=30°,

：.ZBAD=ZAPE.

：.AE=EP.

・・,点P运动的路程为次,

••A,P—1+V3—x.

作ENLAD于点N,

：.ZANE=90°,AN=工・

.口zA2+ano1+73-XV3V3+3-V3X

236

11/—y/3+3—y[3x

：.S^APE=^AP^EN=^X(1+V3-x)---------------

__.1/,—V^+3—

同理可得：SAAPF=9x(1+V3-x)---------------.

乙6

V3+3—%

：・y=(1+V3—x).

观察X的二次项系数为正数，那么该范围内的函数图象为开口向上的二次函数图象.

故选：B.

12.【解答］解：从图2看，当尤=2时，y=AP=6,即此时A、。、尸三点共线，

1

则圆的半径为-AP=3,

当x=0时，OB2+OA2=Ap2,

...△OAB是直角三角形，且。

则点尸从点B走到A、0、尸三点共线的位置时，如图所示，

1Q-T7-

此时x=2,走过的角度为90°,则走过的弧长为-x2irXr=等,

4z

3TCo

，点P的运动速度是一+2=手(cm/5),

24图①

当£=切,时，AP=OA=OB,即△。4尸是等边三角形，

ZAOP=60°,

：.ZBOP=360°-90°-60°=210°,

此时点P走过的弧长为：---x2irXr=字，

3602

.77r37r14

••机=1"+W=1"'

故选：D.

二、解答题

13•【解答】解：(1)设此抛物线的函数解析式为：y=a^bx+c,

将A(-2,0),B(0,-2),C(1,0)三点代入，

'4a—2/?+c=0

得，c=—2

a+b+c=0

a=1

解得，b=1,

c=-2

・•・此函数解析式为：-2；

(2)如图1,过点M作y轴的平行线交A3于点O,

・・・〃点的横坐标为处且点M在第三象限的抛物线上,

・••设M点的坐标为(如m2+m-2),-2<m<0,

设直线AB的解析式为y=kx-2,

把A(-2,0)代入，

得，k=-1,

・•・直线A3的解析式为y=-x-2,

・.,MD〃y轴，

・,•点。的坐标为(m，-m-2),

；・MD=-m-2-(机根-2)=-m2-2m,

S^MAB=SAMDA+SAMDB

1

=^MD9OA

=,x2(nr-2m)

=--2m

=-(/n+1)2+l,

:-2<m<0,

...当m=-1时，&M4B有最大值1,

综上所述，S关于m的函数关系式是S=-m2-2m2<m<0),S的最大值为1；

(3)设P(x,d+x-2),

①当08为边时，根据平行四边形的性质知尸。〃03,且PQ=02,

Q的横坐标等于P的横坐标，

又♦..直线的解析式为y=-尤，

则Q(.x,-X),

由PQ=08,得|-x-(?+%-2)|=2,

即|-2x+2|=2,

当-/-2x+2=2时，xi=0(不合题意，舍去)，X2=-2,

：.Q(-2,2)；

当-x2-2x+2--2时，xi—-1+V5,xi--1-V5,

：.Q(-1+V5,1-V5)或(-1-V5,1+V5)；

②当8。为对角线时，。0〃2尸,A与尸应该重合，。尸=2,四边形尸2。0为平行四边形,

则2Q=。尸=2,。横坐标为2,

代入y=-无，

得。(2,-2),

综上所述，点Q的坐标为(-2,2)或(-1+小，1-遮)或(-1-武，1+武)或(2,

-2).

图1

14.【解答】解：(1)设销售单价为尤元/件，上涨了(x-50)元，此时销售量下降了10

(%-50)件，

则销售量y=500-10(x-50)=-10x+1000,

故答案为：y=-10.X+1000.

(2)由题意可得：(-lOx+lOOO)(x-40)=8000,

化简得：x2-140A+4800=0,

解得尤1=60,尤2=80.

答：当销售单价为60或80元时，销售总利润为8000元.

(3)设总利润为W元，则由题意可得：50-40<x-40^40X60%,

解得:50WxW64,

W=(-lOx+WOO)(x-40)=-10(x-70)2+9000,

-10<0,开口向下，对称轴x=70,

；.xW70时，W随x的增大而增大，

又：5O0W64,

当尤=64时，W最大，为8640元.

答：售价为64元时，利润最大，最大利润为8640元.

15•【解答】解：(1)由题意得：

y甲=10X80+25(%-10)=25x+550,

y乙=25义0.9x+80X0.9X10=22.5x+720,

(2)根据(1)中解析式，y甲=25x+550,y乙=22.5x+720,

当尤=15时y甲=25X15+550=925(元)，

y『22.5X15+720=1057.5(元)，

V925<1057.5,

...方案甲更省钱；

(3)根据(1)中解析式,y甲=25尤+550,y蠹=22.5尤+720,

当y甲=1800元时，1800=25x+550,解得：尤=50,

当y乙=1800元时，1800=22.5x+720,解得：x=48,

V50>48,

...学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球.

16.【解答】解：⑴•.•抛物线过点(1,27),(5,27),

抛物线的对称轴为：直线x=3,

..•抛物线的顶点坐标为：(3,47),

结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为47米，

故答案为：47；

(2)设抛物线的解析式为：h=a(?-3)2+47,

:过点(0,2),

.•.9<7+47=2,

解得:a--5,

：.h=-5(Z-3)2+47,

当/i=42时，-5(t-3)2+47=42,

整理得：(t-3)2=1,

解得：ti=2,(2=4,

答：若炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2秒或4秒.

17.【解答】解：(1)设垂直于墙的一边长x米，则G8=BO=OF=生字盘=(16-x)

米，

3x(16-x)=180,

整理得：x2-16x+60=0,

解得：xi=10,%2=6,

(x<8

由题意得：30,