2025年九年级中考数学二轮复习之整体思想训练（含解析）

2025年九年级中考数学二轮复习专题之整体思想训练

1.【教材呈现】以下是湘教版七年级上册数学教材126页的部分内容.

例1已知a+b=5,求(a+b)2-4(a+b)的值.

分析：将a+b看作一个整体，则问题就可迎刃而解了.

解：(a+b)2-4(a+b)=52-4X5=5.

“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在数与式、方程与不等式等

方面都有广泛的应用.

【解决问题】(1)已知(x-y)2=5,求2(x-y)2-5(x-y)~+(x-y)?的值；

(2)已知『-26=4,求3/-66-21的值；

(3)当x=l时，代数式mj?+nx+l的值是2025,当x=-1时，求代数式-m/+加+1的

值.

2.【阅读理解】

在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易.

,,3才」3x+2y+z=4①

例E|：已知＜求2x+y+z的值.

解：②-①得：4x+2y+2z=6③

1

③x2得：2x+y+z—3,

所以2尤+y+z的值为3.

【类比迁移】

⑴已知/黑*MM，求力+42的值；

【实际应用】

(2)某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购

买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3

支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号

笔需要多少钱？

3.已知/+冗-2=0,求代数式(%：］+1)+壮？1的值.

4.已知24=3/-x+2y-4盯，B=2J^-3x-y+xy,

(1)化简2A-33

(2)当x+y=5，孙=-1,求2A-35的值；

(3)若2A-33的值与y的取值无关，求2A-35的值.

5.阅读下列材料：已知〃2+〃-3=0,求〃2(〃+4)的值.

解：=

/.a2(〃+4)=(3-。)(。+4)=3〃+12-/-4〃=一/一〃+12,

Va2+a=3,-(〃2+。)+12=-3+12=9.*.«2(〃+4)=9.

根据上述材料的做法，完成下列各小题：

(1)已知。2-4-10=0,求2(〃+4)(4-5)的值；

(2)已知W-x-l=0,求/-2%+1的值；

(3)已知?+4x-1=0,求代数值2?+8/-4/-8x+l的值.

6.数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，/+2〃=1,则代

数式2〃2+4〃+4=2(〃2+2。)+4=2义1+4=6.请你根据以上材料解答以下问题：

(1)若%2-3%=4,则1+2(x2-3x)=；

(2)若代数式X2+X+2的值为10,求代数式-3x2.3尤+5的值.

(3)当x=2时，a^+bx+l的值为9,当x=-2时，求代数式-a^+bx+S的值.

【拓展探索】

(4)把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知。+6=24,

a-b=8,请观察图形，求图②中的阴影部分面积.

7.［阅读感悟］

一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的

值，如以下问题：已知实数x,y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求尤-4y和7x+5y的值.本

题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得尤，y的值再代入欲求值的式子得到答

案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题

还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①-②可得尤-4y=-2,由①+②X2可得

7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.

［解决问题］

(1)已知二元一次方程组产及/=：贝ijx-产，x+y=

(2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需

32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买20支铅笔、20块橡皮、

20本日记本共需多少元？

(3)对于实数x,y,定义新运算：其中a,b,c是常数，等式右边是

通常的加法和乘法运算.已知1X4=16,:！※5=21,求1X1的值.

8.先化简,再求值：(比一奇)其中X满足/+X-2024=0.

9.特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运

算，得出最终答案的一种方法.例如：

已知：〃414+43/+〃2^2+〃11+〃0=6%,贝!J:

(1)取冗=0时，直接可以得到40=0;

(2)取X=1时，可以得到。4+。3+〃2+。1+〃0=6;

(3)取X=-1时，可以得到04-〃3+〃2-41+40=-6.

(4)把(2),(3)的结论相加,就可以得到2〃4+2〃2+2〃0=0,结合(1)〃o=O的结论，

从而得出〃4+〃2=0.

请类比上例，解决下面的问题：

已知46(X-1)6+〃5(X-1)'+44(X-1)4+«3(X-1)3+«2(X-1)2+^1(X-1)+〃0=

4x,

求(1)40的值；

(2)46+〃5+44+〃3+〃2+〃1+〃0的值；

(3)。6+。4+。2的值.

10.我们知道：4x+2x-x=(4+2-1)x=5x,类似地，若我们把(〃+b)看成一个整体，则

有4(〃+。)+2(〃+。)-(〃+。)=(4+2-1)(〃+。)=5(。+。).这种解决问题的方法

渗透了数学中的“整体思想”.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，

其应用极为广泛.请运用“整体思想”解答下面的问题：

(1)把(。-。)看成一个整体，合并3(〃-/?)2-7(〃-/?)2+2(a-b)2；

(2)已知：/+2y=6,求代数式-3/-6y+21的值;

(3)己知a-26=3,2b-c--6,c-d—10,求(ci—ic)+Qb-d)-(2b-c)的值.

11.对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式.

(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式；

(2)解决问题：如果。+6=5,ab=3,求/+贬的值；

(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为(8-x)和(x-2),且(8-x)2+(x

-2)2=20,求这个长方形的面积.

2%+y=6a—1

{x+2y=—5

(1)若x、y满足方程x-y=-4,求”的值；

(2)若-2Vx+yWl,求〃的取值范围.

13.利用完全平方公式(a±6)2=/±2"+廿，可以解决很多的数学问题.

例如：若a+b=3,ab=l,求/十户的值.

解：因为a+b=3,ab—1,

所以(a+6)2=9,

所以a2+b2+2ab=9.

所以cr+b2+2Xl=9.

得a2+b2=~l.

根据上面的解题愿路与方法，解决下列问题：

(1)若x-y=6,x2+y2=40,求孙的值；

(2)如图，点C是线段上的一点，分别以AC,BC为直角边向外作等腰直角三角形，

其中AC=C£>,BC=CE,ZACD^ZBCE^90°,若AB=6,SAACD+SABCE=12,求4

ACE的面积.

14.【阅读理解】在学习第3章《代数式》过程中，我们曾把5(x-2y)-3(2y-x)+8(2祖+3”+1)

-4C2wt+4")中的ax-2y"看成一个字母a,把“2m+3n”看成另一个字母b,将这个代数

式简化为5a-3(-a)+8(b+1)-4(b+n).在数学中,我们把这种方法称为整体代换法，

常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题.

【灵活运用】应用整体代换法解答下列问题：

(1)已知t=—5，求代数式-的值;

(2)已知x=V，求代数式3(3f+2x)+4(-3?-2x+l)-(3?+2x)的值；

(3)计算:2022X(1—i-•••—)-2023X(l+i+i+i+,••+)

乙D什乙U乙_L乙D1乙U乙乙

ill11232021

+2023X(1+.+可+4+…+2023)-2022X•••-2Q22,

15.对于有理数％,y,定义新运算：x°°y=ax+by,x®y=ax-by,其中Q,Z?是常数.已知

31=1,302=8.

(1)求“，/?的值；

(2)若关于x,y的方程组1的解也满足方程x+y=5,求机的值；

(3)若关于无，y的方程组的解为求关于x,y的方程组

[3^1(%+y)84瓦(久-y)=5cl的解

l3a2(x+y)04b2(x-y)=5c2岭

16.小明在解方程向二^-7^二点=2时采用了下面的方法：由

(V24—x—V8—x)(V24—x+V8—x)=(V24—x)2-(—8—x)2=(24-尤)-

(8-x)=16,

又有〃24—X—V8—x—2,可得424—x+、8—x=8,将这两式相加可得'一

(V8^x=3

将V24—x=5两边平方可解得了=-1,经检验x=-1是原方程的解.

请你学习小明的方法，解下面的方程：

(1)方程"2+46+7x2+10=18的解是；

(2)解方程A/4%2+6%—5+V4x2—2x—5=4x.

参考答案

1.【解答】解：(1)因为2(x-y)2-5(x-y)2+(x-y)2=(2-5+1)(x-y)2=-

2(x-y)2,(x-y)2=5,

所以原式=-2X5=-10.

(2)因为3〃2-6人-21=3(a2-2b)-21,a2-2Z?=4,

所以原式=3X4-21=-9.

(3)当x=l时，mx2+nx+1=m+n+1,

所以m+〃+1—2025,

所以m+n=2024.

当x=-1时，-mW+Mx+ln-m-n+l=-(m+n)+1=-2024+1=-2023.

2.【解答】解：⑴1+2：+3：=100；

(5x+6y+7z=26(2)

①+②得：6x+8y+10z=36③，

i

③得：3x+4y+5z=18,

；.3x+4y+5z的值为18；

(2)设购买1本笔记本需要。元，1支签字笔需要6元，1支记号笔需要c元,

由题意得：卜+2)+。=28%

②-①义2得：a+b+c=10③，

③X45得：45a+45b+45c=450,

答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱.

3•【解答】解：(占+D+言

_1+%—1.2

-x—1'(x+l)(x—1)

_X(%+1)(%-1)

-X-1*2

_x(x+l)

=-2-

x2+x

=~2~f

-2=0,

.\X2+X=2,

原式==1.

2

4.【解答】解：(1)VA=3x-x+2y-4xyf8=2^-3x-y+xy,

：.2A-35

=2(3/-x+2y-4孙)-3(2--3x-y+孙)

=6/-2x+4y-8xy-6x^+9x+3y-3xy

=7x+7y-llxy；

(2)当孙=-1时，

2A-33=7%+7y-llxy

=7(x+y)-llxy

=7x1-llX(-1)

=6+11

=17；

(3)，：2A-3B=7x+7y-llxy

=7x+(7-llx)y,

・••若2A-35的值与y的取值无关，则7-11%=0,

,_7

••X-77TT,

，2A-3B

7

-7xYj-+0

49

=IT

5.【解答】解：(1)'：a2-a-10=0

••a.-〃=10,

：.2(〃+4)(。一5)

=2(。2-4-20)

=2X(10-20)

=-20,

：・2(q+4)(。-5)的值为-20；

(2)Vx2-x-1=0

・・/-1,1,

.'.x3-2x+l

=x(x2-2)+1

=x(x+1-2)+1

=J?-x+1

=1+1

=2,

Ax3-2x+l的值为2；

(3)VX2+4X-1=0,

.'.X2+4X=1,X2=1-4x,

.\2X4+8X3-4x2-8x+l

=2?(/+4x-2)-8x+l

=2(1-4x)(1-2)-8x+l

=-2+8x-8x+l

=-1,

代数值2d+8x3_4苫2,8工+1的值为-i.

6.【解答】解：(1)3x=4,

/.1+2(x2-3x)=l+2X4=l+8=9；

故答案为：9；

(2)VX2+X+2=10,

；.X2+X=8,

/.-3x2-3x+5

=-3(/+龙)+5

=-3X8+5

=-24+5

=-19,

二代数式-3/-3尤+5的值为-19；

(3),•当x=2时，办^历十7的值为9,

.•・4。+2。+7=9,

4tz+2Z?=2,

・••当x=-2时，-a^+bx+S=-4a-2/?+8=-(4〃+2b)+8=-2+8=6；

(4)设大正方形边长为％,四个相同的小正方形边长为y,则〃=x+2y,b=x-2yf

Va+b=24fa-b=S,

(x+2y)+(x-2y)=24,(x+2y)-(x-2y)=8,

解得x=12,y=2,

Ax*2*-47=122-4X22=144-16=128,

・・・图②中的阴影部分面积为128.

7.【解答】解：⑴f3x+y=4®,

1%+3y=12②

①-②得：2x-2y=-8,

.*.x-y=-4,

①+②得：4x+4y=16,

.•・x+y=4,

故答案为：-4,4；

(2)设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，

由题意得：+3y+2Z=32%

(9%+5y+3z=58②

①义2-②得：x+y+z=6,

.•・20x+20y+20z=20(x+y+z)=20X6=120,

即购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需120元；

(3);x※尸ax+by+c,

1派4="+4。+。=16①,1X5=〃+5/?+c=21②,

②-①得：b=5,

，〃+c=16-4b=-4,

a+b+c=l,

8.【解答】解：(x-冷)+高鲁

7

_%(%+!■)—3%(%+1)

-x+1x—2

_X2—2X(X+1)2

―x+1x—2

2

_x(x—2)(x+1)

-x+1x—2

=x(x+1)

=x2+x,

•・"满足f+x-2024=0,

.*.X2+X=2024,

・・・原式=2024.

9.【解答】解：(1)当％=1时，〃o=4Xl=4；

(2)当X=2时，可得Q6+〃5+3+〃3+〃2+Ql+〃0=4X2=8;

(3)当X=0时，可得46-〃5+〃4-〃3+〃2-〃1+〃0=0①，

由(2)得得a6+。5+。4+〃3+〃2+al+40=4X2=8②；

①+②得：2。6+2。4+2〃2+2〃0—8,

.*.2(〃6+。4+。2)=8-2X4=0,

46+。4+。2=0.

10.【解答】解：(1)3(a-z?)2-7(a-b)2+2(a-b)2=-2(a-6)2

(2)-3x2-6y+21=-3(/+2y)+21,

当/+2y=6时，原式=-3X6+21=3；

(3),:a-2b=3,2b-c=-6,c-d=10,

•'•a-c=3+(-6)=-3,2b-d=-6+10=4,

(6i—+(Z?-d)-(2/?-c)

1

—a-2Z?+Q2b-c)+c-d

=-3+1x(-6)+10

=10.

11.【解答】角军：(1)(a+Z?)2=。2+2。/?+》2；

(2),.・〃+。=5,

(〃+/?)2=25,

a2+b2+2ab=25,

ab=3,

tz2+fe2=19；

(3),?(8-x)+(x-2)=6,

：.[(8-x)+(x-2)f=36,

・•・(8-x)2+(x-2)2+2(8-x)(x-2)=36,

(8-x)2+(x-2)2=20,

(8-x)(x-2)=8,

・••长方形的面积是8.

12.【解答】解：⑴f2%+y=6a-l®>

1%+2y=-5②

①-②得：x-y=6a+4,

Vx-y=-4,

6ti+4=-4,

4

解得：a=一,

⑵(2x+y=6a-l@^

1%+2y=-5②

①+②得：3x+3y=6〃-6,

「・x+y=2a-2,

-2Vx+yWL

-2<2〃-2W1,

3

二•OVoW21

13.【解答】解：(1),：x-y=6,/+『=40,

(x-y)2=36,

x2-2孙+/=36,

又•.•/+>2=40,

.,.40-2xy=36,

解得：xy=2；

即孙的值是2；

(2)设AC=m，BC=n,

由题意可得：AC+BC=AB,

m+n=6,

又・・,以AC,为直角边向外作等腰直角三角形，其中NACZ)=N5CE=90°,

.\AC=CD=m,BC=CE=n,

・112

••S^ACD+S/\BCE=2fti2+2^=12,

m2+n2=24,

2mn=(m+n)2-(m2+n2),

2.=62-24=12,

••mn--6,

S/^ACE—^AC'EC—^mn—3,

即△ACE的面积为3.

14.【解答】解：(1)令P-Ll=a,

则2(户-/-1)-(?-r-1)+3(?-r-1)

=2a~q+3〃

=4i,

当f=—4时，

a=(-1)2-(--1=-:,

1

则原式=4x(—4)=-1;

(2)令3/+2尤='

贝I」3(3X2+2X)+4(-3X2-2尤+1)-(3：+2x)

=3(3/+2x)-4(3/+2无)+4-(3x2+2x)

=3b-4Z?+4-b

=-2Z?+4,

111171

当x=~b=3x(—@)2+2x(―可)=@一可=-W，

则原式=+4=学

17Q7070ill1

(3)把1—5——-----2n21看成一*个字母根，把1+5+可+Z+卜2n2?看成一个

乙D什乙U乙_L乙。NiU乙乙

字母小

_