2025年九年级中考数学三轮冲刺练习：二次函数与圆的综合训练（含解析）

2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数与圆的综合训练

1.如图1,抛物线y=a7+3办(a为常数，a<0)与x轴交于。，A两点，点8为抛物线的

顶点，点、D,£坐标分别：为。G,0),<?<0),E(m,0)(相>0),连接并

延长与过。，A,8三点的O尸相交于点C.过点C作O尸的切线交x轴于点E.

(1)如图1,①求点A的坐标.②求证：CE=DE；

(2)如图2,连接AB,AC,BE,BO,若△O4B是等边三角形，求抛物线的解析式.

(3)在(2)的条件下，当时，

①求证：AB2=AC-BE；

11

②求而一族的值.

2.如图1,抛物线y=〃/+bx+c与天轴交于。、A(8,0)两点，点B为抛物线的顶点,

连接08

(1)求抛物线解析式；

(2)如图2,以点A为圆心，4为半径作OA,点M在OA上.连接。M、BM,

①当△02M是以02为底的等腰三角形时，求点M的坐标；

②如图3,取0M的中点N,连接8N,当点M在OA上运动时，求线段BN长度的取值

范围.

图1图2图3

3.如图，己知抛物线y=x—2与x轴交于A,2两点,交y轴于点C,以A3为直

径作O。'，QO'经过点C,连接AC,BC.

(1)求O。'的圆心。'的坐标；

(2)如图1,点E是AC延长线上的一点，N2CE的平分线交O。'于点连接8D,

求直线的解析式.

(3)如图2,在(2)的条件下，尸是O。'上一动点(不与B点重合)，连接8/，M是

2尸中点，连接。M,求。M的最大值.

4.如图，抛物线y=o?+6x+c(a,b,c是常数，aWO)的对称轴为y轴，且经过(0,0)

1

和(VH,一)两点，点P在该抛物线上运动，以点尸为圆心的OP总经过定点A(0,2).

16

(1)求a,b,c的值；

(2)求证：在点尸运动的过程中，圆心尸带无轴的距离始终小于半径；

(3)设OP与x轴相交于M(xi,0),N(X2,0)(xi<%2)两点，当是以AM为

底边的等腰三角形时，求圆心尸的纵坐标.

5.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5,4),OM与y轴相切于点C,与x轴

相交于A、B两点.

(1)分别求A、B、C三点的坐标；

(2)如图1,设经过A、8两点的抛物线解析式为y=*Q—5)2+k,它的顶点为E,

求证：直线EA与OM相切；

(3)如图2,过点M作直线PG〃y轴，与圆分别交于RG两点，点尸为弧FB上任意

AP—BP

一点(不与3、尸重合)，连接FP、AP,印，BP的延长线于点N.请问------是否为

PN

定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=2/+bx+c与x轴交于A,B两点，与y

轴交于C点，且OB=OC=2Q4.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点M,使如果存在，求点M的坐标，如果不

存在，说明理由；

(3)若点。是抛物线第二象限上一动点，过点。作DFLx轴于点R过点A,B,。的

圆与。尸交于点E,连接AE,BE,求aABE的面积.

7.如图，抛物线y=a/+6x+cQWO),与x轴交于A(4,0)、。两点，点。(2,-2)为

抛物线的顶点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点£为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作OE,交无轴于8、C两点，点

M为OE上一点.

①射线交抛物线于点P,若BM=&,求点P的坐标；

②如图2,连接0M,取的中点N,连接。N,则线段ON的长度是否存在最大值或

最小值？若存在，请求出。N的最值；若不存在，请说明理由.

8.如图，二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点A(-1,0),B(3,0),点E为二次函数

第一象限内抛物线上一动点，轴于点X,交直线BC于点R以所为直径的圆OM

与BC交于点R.

(1)求b,c的值；

(2)当△EFR周长最大时，求此时E点坐标及周长；

(3)连接CE、BE,当△ERCs/XBRE时，求出E点坐标.

1

9.如图，抛物线一x-4交无轴于A,8两点，交y轴于点C,点尸是位于2,C之

间抛物线上的动点(包括2,C两点)，点E是aAB尸的外接圆圆心.

(1)如图1,若动点P为抛物线的顶点，求圆心E的坐标；

(2)如图2,作轴于点"延长产打交OE于点。，连接外，PB.

AH-HB

①求证：f；一的值为定值；

HP

②如图3,连接A。，BQ,记四边形AP8Q,△APH,△80”的面积依次为S,Si,S2,

若满足遮=+求此时点尸的坐标.

10.已知在以点2为原点、8。所在直线为X轴的平面直角坐标系中，圆内接四边形ABC。

的对角线AC、8。相交于E,AC经过△A3。的内心，且抛物线y="2+bx+c(aWO)经

过2、C、D三点、.

(1)求证：AE・EC=BE,DE；

(2)求证：AC1=AB-AD+CD1-,

(3)△ABE、△DEC、四边形ABCD的面积分别记为Si,S2、S,求同时满足以下三个

条件的抛物线的解析式；

①我=店+疝，

②7AC+BD=VBE+y[DE,

③四边形ABC。的周长为20/.

11.如图，抛物线y=-/+次+3交x轴负、正半轴于A,8两点，交y轴于点C,连接AC,

tan/。4c=3,△ABC的外接圆的圆心为M.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)在AC段的抛物线上是否存在一点P,使SABCP若存在请求出点尸坐标，若不

存在，说明理由；

(3)圆上是否存在。点，使△AOC与△8QC相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不

存在，说明理由.

备用图

12.如图，二次函数>=(x-1)2+q与x轴相交于点A,8,点A在x轴负半轴，过点A的

直线y=x+b交该抛物线于另一点交y轴正半轴于点X.

(1)如图1,若OH=1,求该抛物线的解析式；

113

(2)如图1,若点P是线段上一点，当一+—=—时，求点尸的坐标(用含6

AHADAP

的代数式表示)；

(3)如图2,在(1)的条件下，设抛物线交y轴于点C,过A,B,C三点作。0,经过

点。的直线y=fcc+q交0Q于点F,I,交抛物线于点E,G.当E/=G/+/7时，求2层

的值.

13.已知抛物线y=ad+bx+5(aWO)经过A(5,0),B(6,1)两点，且与y轴交于点C.

(1)求抛物线y=<z?+6x+5(°力0)的函数关系式；

(2)如图1,连接AC,E为线段AC上一点且横坐标为1,O尸是△04E外接圆，求圆

心P点的坐标；

(3)如图2,连接AC,£为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、。三点

的圆交直线AB于点B

①点E在运动过程中四边形。胡尸的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果

不是，请说明理由；

②求出当△AEP的面积取得最大值时，点E的坐标.

14.已知抛物线y=a(久一3/+箸过点C(0,4),顶点为跖与x轴交于A,8两点，如

图所示以AB为直径作圆，记作。£>.

(1)求抛物线解析式及。点坐标；

(2)猜测直线CM与OD的位置关系，并证明你的猜想；

(3)在抛物线对称轴上是否存在点尸，若将线段CP绕点尸顺时针旋转90°,使C点的

对应点。恰好落在抛物线上？若能，求点尸的坐标；若不能，说明理由.

15.已知二次函数y=a/+6尤+c的图象与无轴交于A,8两点，其中点A为(-1,0),与y

轴负半轴交于点C(0,-2),其对称轴是直线x=|.

(1)求二次函数y=ax1+bx+c的解析式；

(2)圆。，为△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，NBCE的平分线交圆。，

于点。，连接A。、BD,求△AC。的面积；

(3)在(2)的条件下，y轴上是否存在点P,使得以P,C,B为顶点的三角形与△28

相似？如果存在，请求出所有符合条件的尸点坐标；如果不存在，请说明理由.

参考答案

1.【解答】(1)①解：令丁=〃/+3以=0,

'.ax(x+3)=0,解得％=0或-3,

・・・A(-3,0)；

②证明：如图，连接PC,连接尸3,延长交x轴于点M,

:。尸过0、A、B三点,5为顶点，

：.PM±OA,NPBC+NBDM=9U°,

又•：PC=PB,

：.ZPCB=ZPBC,

,.,CE为切线，

；・NPCB+NECD=90°,

又丁ZBDM=ZCDE9

；・/ECD=NCDE,

：.CE=DE；

(2)解：如图，作5NLAO于点N,

:△ABC为边为3(AO=3)的等边三角形，

ODF5D3A/3

则，即点(一予---)，

ON=52BN=2522

将点B的坐标代入抛物线表达式得：――=-Q->

242

rn.l2；3

则a=--要，

则抛物线的表达式为：>=一孥x2-2V3x；

(3)①证明：如图，

是等边三角形，

ZBAO=ZABO=ZAOB=60°,

ZACB=ZAOB=60°,

AZACB=ZBAE=60°,

•:/CAE=NOBE,ZBAO=ZABO=60°,

；・NBAO+/CAE=/AEB,ZABO+ZOBE=60°,

：.ZBAC=ZEBA,

・•・ABACs△EBA,

:.AB2=A^BE；

②解：设OE=m，点。的坐标为G,0),

'：ZCAE=ZCBO9NCAE=NOBE,

：.ZCBO=ZEBO,

由角平分线成比例定理可得：BD：BE=OD：OE,

由3、D、E的坐标得，8。2=及+3什9,BE2=m2+3m+9,

…t2+3t+9-t0

即----------=(——)2,

卅+37H+9m

解得：机=五五或/（舍去）,

1_t+3_1,1

m=3F=3+

111

"ODOE-3

2.【解答】解：⑴由题意得：y=^x(x-8)=32-2尤；

(2)①由抛物线的表达式知，B(4,-4),则直线OB和x轴的夹角为45°,

设OA与x轴交于点C,则C(4,0).连接BC,如图，

J.BCLOA.

:CO=CB=4,

...△CB。是以。3为底的等腰三角形.

点M与点C重合时，AMBO是以02为底的等腰三角形.此

时点M(4,0)；

过点4作4M，无轴，交OA于点延长MA交OA于点E,

连接3E,

过点M作MfUy轴于点R如图，

则M(8,4),E(8,-4),F(0,4).

：.MF=ME=8.

,:B(4,-4),

轴.

：.BE±ME,BE=4.

：.NBEM=/MFO=90°,BE=OF=4.

在△A/OF和△MBE中，

MF=ME

乙MFO=4BEM=90°,

OF=BE

：.4M0F乌AMBE(SAS).

；.MO=MB.

.,.△MB。是以OB为底的等腰三角形.此时点M(8,4)；

综上，当△02M是以。2为底的等腰三角形时，点M的坐标为(4,0)或(8,4)；

②设OA与无轴交于点C,则C(4,0).连接BC,CN,AM,

,：A(8,0),

.•.点C是。4的中点.

：N为。M的中点，

:.CN是AOMA的中位线.

1

：.CN=^AM=2.

当点M在。A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知:

BC-CNWBNWBC+CN.

・.・5。=4,

.••4-2W5NW4+2.

・・・线段3N长度的取值范围为：2WBNW6.

3.【解答】解：(1)y-^x-2,令y=0,

解得：x=-1或4,

故点A、2的坐标分别为：（-1,0）、（4,0）,

是O。'的直径，故为的中点，

点。'的坐标为G，0)；

(2)连接O'D,如图1,

,：AB是直径，

ZACB=90°,

90",

：/BCE的平分线为CD,

：.ZBCD=45°,

：.ZDO'2=90°,SPO'D±AB,

图1

15

，圆的半径为-AB=

22

故点。的坐标为G，-|）,

又,：B(4,0),

设直线BD的表达式为：y—kx+b,

（0=4k+b

(k=1

解得:[6=-4'

直线BD的表达式为：>=尤-4；

（3）连接O'M,如图2,

是8尸的中点，

由垂径定理可得，/O'MB=90°,

图2

取。3中点K,则〃在以K为圆心，O'K为半径的圆上运动.

.,.当M运动到如图G点位置时（即。G经过圆心K时），最长.

在RtzX。，OK中，。⑺=擀，O'K=由勾股定理可得，DK=与近,

：.DG=DK+KG=5勺5.

4.【解答】（1）解：•..抛物线>=0?+a+°（a,b,c是常数，aWO）的对称轴为y轴,

1

且经过（0,0）和（血，一）两点，

16

・•・抛物线的一般式为：y=ax1,

12

—=a（，。），

16

1

解得：。=土一，

4

・・•图象开口向上，

抛物线解析式为：y=%2,

]

故〃=4，b=c=O；

1

(2)证明：设P(a,-a2),

4

VB4=心+(2_%)2=]②4+4,

作PH_LMN于X,如图1,

又"/{=#,

：.PA>PH,

圆心P与无轴的距离始终小于半径；

(3)解：连接RW、PN,如图2,

1

设P(〃，-a2),

4

由(2)可知，E4=J/a4+4,

则PM=PN=J^a4+4,

又

则MH=NH=J^a4+4-(1a2)2=2,

故MN=4,

：.M(o-2,0),N(a+2,0),

又(0,2),

：.AM=7(a-2)2+4,AN=J(a+2.+4,

当AN=MN时，J(a+2)2+4=4,

1

解得：a=-2±2百，则一/二4±2百；

4

综上所述，尸的纵坐标为：4+2日或4-2日.

5.【解答】解：(1)如图1,连接CM、AM,连接ME交尤轴于点。，则MELx轴,

与y轴相切于点C,点M的坐标是(5,4),

轴，即C(0,4),OM的半径为5,

：.AM^5,DM=4,

：.AD=DB=7AM2-DM?=7s2_42=3,

AOA=5-3=2,

AA(2,0),B(8,0)；

1

(2)证明：将A(2,0)代入y="(%—5)2+左中，可得k=一

Q

E(5,—彳),图1

q

9

：.DE=

4f

92s

，ME=DE+MD=捺+4=箸，

则,=32+(32=签，M42+g=52+笠=等，ME2=(竽)2=

AMA2+AE2=ME2,

：.MA±AE,

又「MA为半径，

直线£4与OM相切；//V

理由如下：\

连接ARBF,作尸QLA尸于点。，0~A

VZFPN为圆内接四边形ABPF的外角，

:・/FPN=/FAB,

又「MILLAB,目

：.AF=BF9

：.NFAB=ZFBA=ZFPA,

:・/FPN=/FPA,

'：FQ±AP,FN.LPN,

：.FQ=FN,

又,：FP=FP,

：.RtAFPQ^RtAFPN(HL),

:.PQ=PN,

又・：AF=BF,FQ=FN,

：.RtAAFQ^RtABFN(HL),

：.AQ=BN,

.AP-BPAQ+PQ-BPBP+PN+PQ-BP2PN

,•PN-PN~PN~PN~'

6.【解答】解：(1)设点3(2m,0)(m>0),

9

：OB=OC=2OAf

则点C(0,-2m)>B(2m,0),

则抛物线的表达式为：>=*(x-2m)(x+m)=-mx-2m2),

VC(0,-2m),

则-m2=-2m,

解得：m=2,

则抛物线的表达式为：产#-x-4；

(2)存在，理由：

由(1)知，点A、B、C的坐标分别为：(-2,0)、(4,0)、(0,-4),

在抛物线上存在点M,使/ABC=N3CM,理由如下：

过点C作CM//x轴，交抛物线于点M,

：OB=OC,NBOC=90°,

:ABOC是等腰直角三角形，

ZABC=ZOCB=45°,

・.•ZABC=/BCM,

：.ZBCM=45°,

：.ZOCM=90°,

・・・CM_Ly轴，

把y=-4代入y=#-x-4=-4,

解得=2,X2=O(点。的横坐标，舍去)，

・••点M的坐标为(2,-4)；

(3)点A的坐标为(-2,0),

.9.AB=6f

设过点A、B、。得圆的圆心为点G,

：GA=GB,

...点G在线段A3的垂直平分线上，

设点G的坐标为(1,力,

同理可得点G在线段DE的垂直平分线上，

轴于点R

设。(m,H),则E(m,2t-n),

ii

.,.S^ABE-2,xAB*EF=x6X(2f-a)=3(2/-n),

VGZ)2=GA2,

/.(1-机)2+(/-/i)2=(-2-1)2+(0-r)2,

整理得m2-Im+l+n2-2tn-9=0①，

:点D在抛物线上，

.12

m-m-4=〃,

2

得苏=29+2〃+8②，

将②代入①得，n2-2切+2〃=0,

・"W0,

.,.n-2什2=0,即2t-〃=2,

A5AABE=3⑵-九)=6.

7.【解答】解：(1)由抛物线顶点式表达式得：y=a(x-2)2-2,

将点A的坐标代入上式并解得：a=今

故抛物线的表达式为：y=-2)2-2=#-2x①；

(2)①如图1,连接EM,

点E是。4的中点，则点E(2,0),圆的半径为1,则点2(1,0),C(3.0),

:.BM=EM=1,

；BM=V2,

.•.△BEM为等腰直角三角形,

当点尸在x轴上方时，此时点M的坐标为(2,1),

故设直线3尸的表达式为：y^ax+b,将点8(1,0),M(2,1)的坐标代入得:

(0=a+b

tl=2a+b'

解得：｛;=、，

3=-1

故直线BP的表达式为：y=x-1②，

联立①②并解得：x=3+小或x=3-币(不合题意，舍去)，

・，・y=2+V^,

此时，点尸的坐标为：(3+夕，2+V7)；

当点尸在x轴下方时，M(2,-1),

故设直线5尸的表达式为：y=rruc+n,将点3(1,0),M(2,-1)的坐标代入得：

(0=a+b

t—1=2a+b'

解得：於二。

故直线BP的表达式为：y=-x+1③，\叶

联立①③并解得：x=l+百或无=1一旧(不合题意，舍去)，\

■'•y=-V3,\

此时，点P的坐标为(1+V3,-V3)；

综上，点尸的坐标为(3+V7,2+V7)或(1+V3,-V3)；

②线段0V的长度存在最大值或最小值，理由如下：弋

连接BN、BD、EM,如图2,图2

则BN是△OEM的中位线,故BN=^EM=彳而BD=7(2-I)2+(0+2)2=V5,

在△BN£>中，2。-BNWNDWBD+BN,

即逐一Q.5WNDWV5+0.5,

故线段DN的长度最小值和最大值分别为花-0.5和岔+0.5.

8.【解答】解：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+6x+c中，

彳日(一1—b+c=。

F-9+3b+c=0'

解得｛，二:

(2):以所为直径的圆OM与BC交于点R,

：.ZERF=9Q°,

•；y=-W+2x+3,

0C=0B=3,

：.ZCBO=ZOCB=45°,

又丁。。〃即，

：.ZEFC=ZOCB=45°,

:•△ER尸为等腰直角三角形，

・••当尸R周长最大时，E尸最长，

VC(0,3),B(3,0),

即可得到直线3C解析式为：y=-x+3,

设E(zn,-m2+2m+3),F(m,-m+3),

EF=-m2+3m=—(m—1)2+工

QQ

当m=?时，EF=],

Z4

・••点E的坐标为（|,苧）,

n/n9942

在RtZkEFR中，ER=FR=牛,的周长为一+——；

o44

(3)若AERCsABRE,则NCER=NEBR,

：.ZCEB=90°,

设E(机，-m2+2m+3),过点8和E分别作平行于x轴、y轴

的直线，垂足为N,直线交于点G,

•：/CEN+NBEG=90°,ZCEN+ZNCE=90°,

ZBEG=ZNCE,

又,：NCNE=/BGE=9b°,

：.ACNE^/\EGB,

NECN

BG-EG'

m-m2+2m

-m2+2m+33-m

解得7nl=主号$，租2=1『（舍去）,

・TPZI+A/S

・・E]——，

当点E在对称轴左边时，

•；△ERCsdBRE,

：.NREC=NRBE,

•：/REC+NCEF=NRBE+/FEB=45°,

；・/CEF=NFEB,

延长EC交x轴于K,

・・,直线EK的解析式为y=(-m+2)x+3,

3

：.K(------,0),

m-2

•；EFLBK,NCEF=/FEB,・・.EF垂直平分线段3K,

1+3

•,•旧IIc—-m一2,，

解得m=

「115

・・•点E(-,—)；

24

综上所述，点E的坐标为d苧，岑5）或吟/）.

9.【解答】（1）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x=l,顶点为（1,-女,

当尸为抛物线的顶点时，P（1,-1）,

连接胡，设抛物线的对称轴交无轴于点R如图,

9

OF=1,PF=|.

VA(-2,0),

：.OA=2,

：.AF=OA+OF=3.

设OE的半径为八则E4=EP=厂,

9

：.FE=PF-PE=^-r.

,：AF1+EF2=AE1,

9

则9+(--r)?=?,

2

解

得-_

^

4

95

•」-

：2-1434-

5

•(;

：，4-

•・•点尸是介于5、。之间的抛物线上的动点（包括8、。两点）,

11

，设尸(m,—m2-m-4),贝！J0V根V4,—m2-m-4<0,

22

11

OH=m,PH=-(—m9-m-4)=-Tym9+m+4,

22

VA(-2,0),B(4,0),

・・・O4=2,05=4,

.*.AH=m+2,BH=4-m.

由相交弦定理得：

AH・BH=PH・QH,

.AH-BH_(m+2)(4-m)

_lm2+m+4

②作砂，尸。于点R连接EQ,

设点尸G,-?-Z-4),则点HO,0),

2

〔[1i

则SI=SAAPH=2XAHXPH=]G+2)4),S=S四边形APBQ=6XPQX=3P。,

设S3=SAAQH,S4=SABHP,

：S=S1+S2+S3+S4,且岔=a+国

即5=51+52+2店可，

贝IjS3+S4=2忘屈

11

・.・S3=AxAHXQH,S4=XPHXBH,

则呼=~=--，贝IS3s4=S1S2,

S2S4BH

则(底-医)2=0,

则S3=54,

:圆E为AAB尸为外接圆，

则EP=EQ=EA=AE,

•：NPAB=/PQB,ZAHP^ZQHB,

：.AAHPsAQHB,

rAHHP

即--=---，

QHBH

则AH・BH=HP*QH。

•・・S3=S4,则AH・QH=HP・5H②，

由①・②得：BH2=HQ2,

AHXBH

=2,

PH

则HQ=2,

则XP=XH=2,yp=>x4-2-4=-4,

则点尸(2,-4).

10.【解答】(1)证明：・・・NC4。与NC5A是弧CD所对圆周角,

：.ZCAD=ZCBAf

又・・・ZBCA与ZADE是弧CD所对圆周角，

：.ZBCA=ZADE,

：.△AEDs^BEC,

.AE_ED

•.—,

BEEC

：・AE・EC=BE・DE；

(2)证明：・・•AC经过△A3。的内心，

.'AC平分NBA。，

：.ZBAC=ZDAC9

又,：/BAC=/BDC,

：.ZDAC=ZBDC,

又,.・NC=NC,

.'.△CDE^ACAD,

.CD_CE_

•.=,

ACCD

：.CD2=CE'AC,

又：ZACB^ZADB,

：.AAEDsAABC,

.AEAD

••二,

ABAC

：.AB*AD=AE*AC,

：.CD2+AB^D=CE-AC+AE-AC=AC-(CE+AE)=AC2；

(3)解：设△?1£)£；、△BEC面积分别为S3、S4,

.•包=竺=也

S4ECS?

.,.S1S2=S3s4,

,:遮=医+底,

**•S=Si+S?+2JS],S2,

.*.S3+S4=2JS]•S2=2ds3•S4,

二(疝-医)2=0,

：.S3=S4,

又•・,XAEDsABED,

・••△AED义4BED(5SS),

：・AE=BE,ED=EC,

\'y/AC+BD=4BE+VDE,

：.AC+BD=BE+DE+2"BE•DE=BD+2、BE•DE=BD+27AE•EC,

：.AC=2AMe•EC=AE+EC,

：.(.AE+EC)2=4AE'EC,

：.(AE-EC)2=0,

C.AE^EC,

:.AE=BE=EC=DE,

四边形A2C£＞为矩形，

又・；BC=CD,

四边形ABC。为正方形，

又；周长为20或，

：.BC=5V2,

：.C(5,-5),D(10,0),

设抛物线解析式为y=a/+bx,代入得：

C—5=25a+5b

(0=100。+10/

解得：卜飞，

3=-2

...y=/12—2n%.

11•【解答】解：(1)•・,抛物线y=-f+fct+B交y轴于点C,

：.C(0,3),

・•・OC=3,

nr

\9tan^0AC=^=3,

：.OA=1.

：.A(-1,0),

代入抛物线解析式y=-W+fci+3得：

0=-1-Z?+3,

解得b=2,

...该二次函数的解析式为y=-/+2x+3；

(2)在AC段的抛物线上存在一点P,使SABCPM'I；理由如下:

令y=-/+2x+3=-(x-3)(x+1)=0,

解得：xi=-1,X2=3,

：.B(3,0),

设P(x,-X2+2X+3),

..•点尸在AC段的抛物线上，

-IWxWO,

如图1,过P作PZ_Lx轴于L

图1

贝|J：S^BCP—S^BOC+S梯形PZOC-SAPLB

1

=2[3x3+(-%?+2,x+3+3)x(—x')—(3—%)X(-%?+2%+3)]

J27

=不好—方％,

.3293

-V"x2-3x=l,

解得，乂=三等或”=当豆(舍去),

...点尸纵坐标为:-%2+2%+3=-x2+3x-x+3=-1-3-尸+3="尸

，点P坐标为(宁，1)；

(3)圆上存在。点，使△AOC与△BQC相似；理由如下:

如图2,

由(1)可知：B(3,0),

VC(0,3),

：.BC=3近，

•：AB的垂直平分线是抛物线的对称轴尤=1,

...点M的横坐标是1,

,.•△AOC是直角三角形，△AOC与△BQC相似，

...△■BQC是直角三角形，

不是直径，

图2

点Q是OM的直径的一个端点，

①当/BCQ是直角，则B0是直径，

C.CQLBC,

AAOCsAOCB,

.££_££_££即如_这一殁

AOCOCA13V10

：.BQ=2V5,CQ=V2,

：.BM=QM==V5,

设点M(1,f),

.••V(3-l)2+t2=V5,

解得，f=l或-1(舍去)，

：.M(1,1),

VB(3,0),

设点Q(m,n),

・・,点〃是3。的中点，

户=1

解得：｛:二「1'

：.Q(-1,2)；

②当/BQC=90°时，则C。是直径，

设Q(相，几)，

・・,点〃是C。的中点，

・［竽=1

解得：｛:二4，

：.Q(2,-1)；

综上，满足条件的。(-1,2)或。(2,-1).

12.【解答】解：(1)-：OH=1,

：.H(0,1),

把H(0,1)代入y=x+b,得1=1,

••y=~x+1,

令y=0,得x+l=0,

解得：尤=-1,

(-1,0),

把A(-1,0)代入y=(x-1)~+a,得0=(-1-1)2+a,

解得：a=-4,

•,-y=(x-1)2-4,

即该抛物线的解析式为y=/-2x-3；

(2)在y=x+b中，令尤=0,得y=8,令y=0,得尤=-b,

AA(-b,0),H(0,b),

OA—OH=b,

AAOH是等腰直角三角形，

：.ZHAO^45°,AH=42b,

如图1,设尸(尤，x+b),过点P作PK±AB于点K,

则PK=x+b,NAKP=NALD=90°,

：.△APK和△ADZ均为等腰直角三角形，

：.AP=V2PK=V2(尤+b),AD=y/2AL=V2(XD-X4),

图i

由y=(x-1)2+a和y=x+b联立，

得：(x-1)2+a=x+b,

整理得：x2-3x+tz-Z?+1—0,

••XA+XD3，

・・xz)=3-XA=3+Z?,

.\XD-xA=3+b-(-Z?)=3+24

BPAD=V2(3+2。),

113

*AHAD~AP"

113

,-----_|_-------------=-------------

,•"bV2(3+2Z?)&匕)'

.b2+2b,2b2+3b

・・，

x=1+/x+b=1+b'

「,b2+2b2b2+3b

点尸的坐标为(-r1，———

1+b1+b

(3)由题意得：j=x2-2x-3,C(0,-3),

当y=0时，x2-2x-3=0,

解得：Xl=-1,X2=3,

.1.A(-1,0),B(3,0),

：OQ经过A、B、C三点,

—1+3

...点。在线段AB的垂直平分线上，即点。的横坐标为=1，

:点。也在线段BC的垂直平分线上，OB=OC=3,

...点。在第二、四象限角平分线上，即点。的横纵坐标互为相反数,

：.Q(1,-1),

如图，过点。作。/，x轴于点X,连接B。，

则08=1,BH=3-1=2,

：.BQ=y/BH2+QH2=V22+l2=V5,

：.FI=2BQ=2y/5,

；EI=GI+FI,EI^EF+FI,

：.EF=GI,

:.EF+FG=FG+GI,即EG=FI=2正,

/.EG2=20,

•直线y=/zx+q经过点Q(1,-1),

-1=h+q,

•»q--h-1,

.'.y=hx-h-与y=x1-2x-3联立，

得W-2x-3=/zx-/i-1,

整理得：x2-(/z+2)x+h-2=0,

.'•XE+XG=h+2,XE*XG=h-2,

.\yE=h*xE-h-1,yG=h9xG-/z-L

VEG2=(XE-XG)2'-+(yE-yG)2

2

=(1+/!2)(XE-XG)

=(1+层)[(XE+XG)2-4XE9XG]

=(1+/12)[(/z+2)2-4(万-2)]

=(层+1)(/?2+12),

，(层+1)(庐+12)=20,

.,2V201-13

••h,-2，

.•.2/z2=V201-13.

13.【解答】解：(1)),・,抛物线y=o?+"+5(〃#0)经过A(5,0),B(6,1)两点,

25a+5b+5-o

36a+6I+5-1

D

r1

la--

得

解3

<8

(b-

-3-

，抛物线解析式为：尸炉-三+5；

(2)当x=0时，丁=g2一发+5=5；

：.C(0,5),

设直线AC：y=kx+5,

将A(5,0)代入直线AC,

得0=5左+5,

:・k=-1,

,直线AC：y=-x+5,

YE为线段AC上一点且横坐标为1,

：.E(1,4),

・・・。尸是△Q4E外接圆，

・・・圆心P必在弦OA的垂直平分线上，

5

设尸(一，力，

2

'：AE=EP,

：.(5-|)2+(7)2=(1-|)2+(4-02,

解得t=I，

53

二・圆心尸点的坐标为(；，-)；

22

(3)①如图，过3作轴于“，

VA(5,0),C(0,5),B(6,1),

：.OA=OC,AH=BH,

：.ZOAE=45°,ZOAF=ZBAH=45°,

又。：/OFE=/OAE,ZOEF=ZOAF,

：.ZOEF=ZOFE=45°,

：.OE=OF,ZEOF=180°-45°X2=90°,即△OEF是直角三角形;

：.ZEOC=ZFOA,

在△EOC与△尸OA中，

OC=OA

Z.EOC=^FOA,

OE=OF

:•△EOgXFON(SAS),

S^EOC=S/\FOA,

S四边形OEAF—S/\EOA+S/\FOA

=S^EOA+S/\COE

1

=SACOA=-^OA*OC

25

F

四边形OEAF的面积是定值，这个定值为空；

2

②：四边形OEAF的面积是定值，

.•.当△AEF的面积取得最大值时，△EOP的面积最小,

当0E最小时，△EOF的面积最小，

：OE_LAC时，OE最小，0c=04,

:.CE=AE,即E为AC中点，

,55

当△。所的面积取得最小值时，£点坐标为（?-）.

14.【解答】解：⑴•.•抛物线y=a（久一3/+半过点C（0,4）,

9Q+=4,

••〃=~7•

•••抛物线解析式为y=-1(x-3)2+^=-1x2+|x+4；

1Q

令y=0,则一4/+_x+4=0,

解得：1=-2或8,

・・・A(-2,0),B(8,0),

：.0A=2,08=8,

：.AB=10.

TAB为直径作圆，圆心为O,

：.DA=DB=5,

：.DO=DA-0A=5-2=3,

：.D(3,0)；

(2)直线CM与相切，理由：

连接OC,DM,MC,过点M作"轴于点E,如图,

・・•点M为抛物线的顶点,

25

•'•M(3,—),

4

25

：.ME=3fMD=^,

VC(0,4),

0C=4,

'：MD±AB,EA±OB,EMLOE,

・•・四边形MEOD为矩形，

・•・OE=MD=

9

：.EC=OE-OC=^r,

q

••.CM2=