2025年中考数学复习：阿氏圆最值模型

阿氏圆最值模型

L如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以C为圆心，6为半径的圆上有一动点D,连接AD、BD、C

D,贝+BD的最小值为()

X.3V15B.4同C.5V5D.6V3

2如图，在。O中，点A、点B在。O上，ZAOB=90°,OA=6,点C在0A上，且OC=2AC,点D是OB的中点,

点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为.

3如图，在R3ABC中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以点C为圆心，3为半径做OC,分别交AC,BC于D,E

两点点P是。C上一个动点，则1P4+PB的最小值为.

4如图在RtAABC中，AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点，点P是扇形AEF的EF弧上任意一点,

连接BP,CP,则”P+CP的最小值是.

B

5如图，已知菱形ABCD的边长为8,NB=60。,圆B的半径为4,点P是圆B上的一个动点，则PD-的

最大值为.

6.如图，在.△ABC中，乙4cB=90。,BC=12,AC=9,,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接

AD、BD、CD,贝2AD+3BD的最小值是

7如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A,点M的坐标为(6,3),点N

的坐标为(8,0),点P在圆上运动则PM+.N的最小值是.

8如图泮圆的半径为1,AB为直径，AC、BD为切线，AC=1,BD=2,P为弧AB上一动点，孝PC+PD的最小

值是()

D

4迪B.2V2C.V5D.V5-1+—

9如图，在平面直角坐标系中,A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,3),P是△AOB外部的第一象限内一动点，且

乙BPA=135。,则2PD+PC的最小值是.

10已知：等腰RSABC中，ZACB=90°,AC=BC=8,0是AB上一点，以。为圆心的半圆与AC、BC均相切，P

为半圆上一动点，连PC、PB,如图，则PC的最小值是.

11(1)初步思考：如图1,在仆PCB中，已知PB=2,BC=4,N为BC上一点且BN=1,试证明：PN=

⑵问题提出：

如图2,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD+巳PC的最小值

(3)推广运用：

如图3,已知菱形ABCD的边长为4,ZB=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD-擀PC的

最大值.

12如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线yx2+bx

+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B.

(1)求抛物线解析式及B点坐标；

(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积

最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

(3)如图2,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+扔4的值最

小，请求出这个最小值，并说明理由.

13如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C(2,-3),且与x轴交于原点及点B(8,0).

(1).求二次函数的表达式；

(2).求顶点A的坐标及直线AB的表达式；

⑶.判断△4B。的形状,试说明理由；

(4).若点P为0O上的动点，且。O的半径为2Vx—动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段A

P匀速运动到点P,再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t

的最小值.

B

如图，抛物线y=a/+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴久=3与

经过点A的直线y=依-1交于点D,与x轴交于点E.

(1).求直线AD及抛物线的表达式；

(2).在抛物线上是否存在点M，使得△2DM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为。B上一个动点，请求出PC+的最小值.

15.如图所示,在△4BC中,Z.B=90°,BA=BC=2,,以B为圆心作圆B与AC相切,点P是圆B上任一

动点，连接PA、PC,则.y[2PA+PC的最小值为.

16.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B，则所有符合=k(»0且辱1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波

罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C(m,0),D(0,n),点P是平面内一动点，

且OP=r,设芸=k，求PC+kPD的最小值.

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步如图1,在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k;

第二步：证明kPD=PM-；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程倍B分)：

解：在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,

又：NPOD=NMOP,/•△POM^ADOP.

【任务】

(1)将以上解答过程补充完整.

(2)如图2,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D为AABC内一动点，满足CD=2,利用(1)中的结

论，请直接写出力。+|BD的最小值.

17.如图，点A,B在。0上且(。2=0B=12,团08,点C是OA的中点，点D在学习笔记：OB上,

且OD=10,动点P在。。上，求PC+广。的最小值.

18.问题提出：如图①，在RtAABC中2C=90。，CB=4,CA=6,©C的半径为2,P为圆上一动点，连接AP、BP,求

4P+aBP的最小值.

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP,在CB上取一点D,使CD=1,

则詈=m=|XZPCD=ZBCP,所以APCDABCP.所以\'"所以PD=；PB,所以AP+1BP=AP+

PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：4P+卷BP的最小值为

(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求+BP的最小值；

⑶拓展延伸：如图3,已知在扇形COD中，ZCOD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,P是CD弧上一点求2PA+PB

的最小值.

图1图2图3

19如图，在平面直角坐标系中，已知4(—4,—4)、5(0-4)、C(0,一6)、£>(0--l),AB与x籥浪,以点E

为圆心，ED长为半径作圆，点M为。E上一动点，求+CM的最小值.

20.如图所示，抛物线与x轴交于A(-l,0),B(3,0)两点与y轴交于点C(0,3),D为抛物线的顶点.

(1).求该二次函数抛物线解析式；

(2).坐标平面内一点M到点B的距离为1个单位，求DM+的最小值.

1.解:在CA上截取CM,使得CM=4,连接DM,BM.：CD=6,CM=4,CA=9,.*Zk=CM=|,VZDCM=ZACD,

.'.△DCM^AACD,

DMCD22g

—=—=一,：•DM=—AD,

ADAC33

.■.IAD+BD=DM+BD,vDM+BD>s/cmtBM,即当B、D、M三点共线时，有最小值，MB即为所求.

在RtACBM中，：ZBCM=90°,CM=4,BC=12,BM=4V10,•••|/W+BD>4V10,•••^AD+BD的最小值为

4VTU.故选：B.

2解：延长OB至[]E,使得BE=OB,连接ME,CE.VOM=6,OD=DB=3,OE=12,.,.OM2=ODOE,

・•・一=—乙MOD=Z.EOM,

ODOM

•••AMODAEOM,.ME=2DM,

MEOE2'

CM+2DM=CM+ME>CE,

又；在RtAOCE中，ZCOE=90°,OC=4,OE=12,

/.由勾股定理得：CE=4V10,CM+2,DM>4VTU,

；.CM+2DM的最小值为WiU,.,.答案为4V10.

3.解：在AC上截取CQ=1,连接CP,PQ,BQ,：AC=9,CP=3,.••华=[•・•CP=3,CQ=1,.•・2=[.・.△4CP△

xlC4>3C/LO

PCQ,.-.PQ=^AP,

.•]。2+「8=。<2+。323(2,二当凤Q、p三点共线时，

(P4+PB的值最小，在R3BCQ中，BC=4,CQ=1,

QB=V17,.-.1PA+PB的最小值V17,

故答案为：V17.

B

4.解：在AB上取一点D,使得AD=1,连接PD,PA,CD.；PA=2.AD=1,AB=4,；.PAD=ABPA=2,；/PAT=

ZPAB,.•.△PAD^ABAP,

.PD_AP_1

•・PB~AB~2’

；.PD=|PB,!PB+CP=CP+PD,•/PC+PD>DC,

在RSACD中，：NCAD=90。，AD=1,AC=4,

CD=|PB+PCNV17,

.《PB+PC的最小值为g.故答案为V17.

5.解：连接PB,在BC上取一点G,使得BG=2,连接PG,DG,过点D作DHLBC交BC的延长线于H.

c：r»PB=A4n,/-B»G=o2r-»,z-»BCcBGPB1

•=8,PB——=BC—=2-

又・.・NPBG=NCBP,•••△PBGs/XCBP,

PG=»C,；四边形ABCD是菱形，，AB〃CD,AB=CD=BC=8,ZDCH=ZABC=60°,

在RtACDH中，CW=1XC£»=4,

DH=V3CH=4V3,.,.GH=CG+CH=6+4=10,

•••DG=y/GH2+DH2=2V37,

•••PD-^PC=PD-PG<DG,：.PD-^PC<2V37,PD一2PC的最大值为2V37.

6.解：由题意知：2AD+3BD=3+BD),当\AD+B。取最小值时，2AD+3BD的值最小.

c

A------------------

如图，在CA上截取CM,使CM=4,连接DM,BM,vCD=6,CM=4,CA-9,.■.—=—=:又：ZDCM=ZA

CDCA3

CD,/.ADCM^AACD,

—=—=DM=-AD,.-.-AD+BD=DM+BD,；.当DM+BD取最小时，2AD+3BD最小.

ADCA333

当B、D、M三点共线时，BM即为DM+BD的最小值，在RtACBM中，：NMCB=90。，CM=4,BC=12,

BM=4V10,•••1AD+BD>4V10,

■-IAD+BD的最小值为4V10,

.♦.2AD+3BD的最小值是12VIU.故答案为：12dm

7.解：如图,取0A的中点D,连接OP,PD,.\0D=2,0P=4,噜=1需/噜=焉

又NP。。是公共角,.-.APOD〜△NOP,|^=|,PD=\PN,：.PM+^PN=PM+PD

：.当M、P、D在三点共线时，PM+PD最小,MD即为所求作MB回。N于B,贝UBM=3,。8=6,

在RtADMB中,MD=V42+32=5,故答案是5.

8.解:连接OC、OP,在OC上中点E,VAC是切线,••・乙4=90。,二0C=V2,0E=亨，•薄=号器=*:

—=—4EOP=/.POC,

OCOP

△OPEAOCP,.•.案=案=今.•.PE=yPC,"-PC+PD=PE+PD,当P、D、E三点共线时,PE+PD最

小，DE即为最小值.

作EF_LOA于F,EQI2B。于Q,

13

...EF=BQ=：,EQ=BF=1

DQ=泄△DEQ中，由勾股定理得:

DE=乎,故选：A.

9.解：如图，由题意可知，P在以。为圆心，半径为2的圆上运动，取0A的中点E,则*=3差=汉•：

乙POE="0C,.必POE△COP,：.^=|,PE=\PC,：.2PD+PC=2(PD+|?C)=2(PD+PE)=2DE,当PD+P

E最小时，即当D、P、E三点共线时,2PD+PC有最小值过点D作DF回0C于点F

在Rt△中,DE=V22+32=V13,

2PD+PC的最小值是2旧,故答案为：2g.

10.解：连接OP、OC,取OB的中点F,连接PF、CF,•••Rt△48c等腰直角三角形，CO平分A.ACB,CO1AB

AC=BC=8,Z.ACB=90°,AB=8Vx

OC=OA=OB=^AB=4Vx

OP=OD=OE=171C=|BC=4,贝!]OF=^OB=2Vx.•.黑=壶=VX器=学=VX在△OPF和A

OBP中,—=—,ZPOF=Z.BOP,.-.AOPF-AOBP,.♦.竺="=返

OFOPPBOP2

PF='P8,二PC+与PB=PC+PF>CF,当且仅当C、P、F三点共线时，PC+fPB取得最小值，・•.CF

Dnr-iBP1T-7••ccccnrcccPNBN1

11.(1)证明：PB=2,BC=4,BN=1,.嚼=：靛=5.又.NB=NB,•必BPNjBCP.-

1

PN=^PC；

⑵.如图2,在BC上取一点G,使得BG=1,

BG_1PB_1BG_PB

PB-2'BC-PB~BC

又二乙PBG=乙PBC,PBG〜△CBP

*造fPG=|PC

PD+^PC=PD+PG>DG,当DPG三点共线时，PD+：PC有最小值，DG即为所求，在Rt△DCG中，

DG=VDC2+GC2=5,.-.PD+[PC的最小值是5.

⑶同⑵中证法，如图3,

当点P在DG的延长线上时，DG即为。。-：。。的最大值,在RtADGF中，最大值为DG=V37.

12.解：(1)直线y=-5x+5,x=0时，y=5,，C(0,5),

当y=・5x+5=0时,解得：x=l；.A(l,0)

•••抛物线”-+c经过A,C两点L二

解得：｛b'16;抛物线解析式为y=/-6X+5

当y=/-6%+5=0时,解得：Xi=1,x2=5,.*.B(5,0).

⑵如图1,过点M作MHJ_x轴于点H.

11

VA(1,0),B(5,0),C(0,5),.\AB=5-1=4,OC=5,SLABC=^AB-OC=|x4x5=10

，・,点M为x轴下方抛物线上的点，，设M(m,m2-6m+5)(l<m<5),MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5

・••^LABM=[AB-MH=|x4(—m2+6m—5)

=-2m2+12m-10=—2(m—3)2+8,

四边形

SAMBC=S-BC+S^ABM=10+[-2(m-3)斗8]

=-2(m-3)2+18

・••当m=3,即M(3,-4)时,四边形AMBC面积最大，最大面积等于18.

(3)如图2,在x轴上取点D(4,0),连接PD、CD

.・.8。=5—4=1,•・.AB=4,BP=2,..•处=处=-VZPBD=ZABP,APBD^AABP,PD

BPAB2'5APBP2

=\AP,：.PC+^PA=PC+PD：.当点C、P、D在同一直线上时，PC+=PC+PD有最小值，CD即为所求.

CD=Voc2+OD2=V41PC+的最小值为V41

13.解：(1):二次函数.y=ax2+bx+c(a丰0)的图象经过C(2,-3),且与x轴交于原点及点B(8,0),.*.c=

0，二次函数表达式可设为：y=a/+bx(a中0),将C(2,-3),B(8,0)代入y=a/+bx得方程，并解得：a=：,

b=-2

二次函数的表达式为y=[/_2%；

(2)•；y=一2%=一4尸—4,.,.抛物线的顶点A(4,-4),设直线AB的函数表达式为丫=kx+m,将A(4,

44

-4),B(8,0)代入，得：｛4。丁=二4解得：k=1直线AB的函数表达式为y=x-8;(3)AABO是等腰直角三

8fc+m=0m=—8

角形.

方法1：过点A作AFXOB于点F,则F(4,0),

ZAFO=ZAFB=90°,OF=BF=AF=4,

△AFO、△AFB均为等腰直角三角形”

OA=AB=4V2,ZOXF=ABAF=45。，

NOAB=90。，AABO是等腰直角三角形.

方法2:•.•△ABO的三个顶点分别是O(O,O),A(4,-4),B(8,0),AOB=8,OA=4<2,AB=4亿•.满足O

B2=OA2+AB2,.•.△ABO是等腰直角三角形;

(3)如图，以0为圆心，2a为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t=：AP+PB,

在0A上取点D,使0D=/,连接PD,则在△APO和4PDO中，满足：*=|,ZAOP=ZPOD,/.AAPO^AP

DO,.-.PDAP=OP/A=工从而得：PD=-AP,.-.t=-AP+PB=PD+PB,：.当B、P、D三点共线时，PD+PB取得

,,2022

最小值，过点D作DGLOB于点G,由于。。=VX且△ABO为等腰直角三角形，则有DG=1,/DOG=45。...动点

E的运动时间t的最小值为：

t=DB=VDG2+GB2=5V2.

14.解(1)解：:抛物线的对称轴x=3,AB=4,.,.A(1,0),B(5,0),

将A(l,0)代入直线丫=kx-l狷k-l=0,解得k=l,

直线AD的解析式为y=x-l;

将A(1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx+5,得：

ra+b+5=0解得•.a=1

125a+5b+5=0'蝌守,%=—6

；•抛物线的解析式为y=%2-6%+5;

(2)存在点M,

,直线AD的解析式为y=x-l,抛物线对称轴x=3与x轴交于点E,...当x=3时,y=x-l=2,；.D(3,2).现在分两种

情况讨论：

①当NDAM=90。时,设直线AM的解析式为y=-x+c,将点A坐标(1,0)代入得-l+c=0,解得c=l,

直线AM的解析式为y=-x+l,

联立方程组得：｛y=-久+ly=/一6%+5,

解得｛；［；(即为A点坐标)或｛x=4y=-3,

点M的坐标为(4,-3);

②当/ADM=90。时，设直线DM的解析式为y=-x+d,将D(3,2)代入，得-3+d=2,解得d=5,.•.直线DM的解

析式为y=-x+5,

•V*^30

联立方程组得｛y=-x+5y=x12-6x+5,解得0=5或｛乂=5y=0,

.••点M的坐标为(0,5)或(5,0),

综上，点M的坐标为(4,-3)或(0,5)或(5,0);

(3)如图，在AB上取点F,使BF=1,连接CF,

BF1PB21BFPB

PB=2.—=-.,•*—=-=­,；•—=—>

PB2AB42PBAB

又丁ZPBF=ZABP,JAPBF^AABP,

PFBF11.

—=—=一,R即nPF=-nPA,

PAPB22

1

PC+^PA^PC+PF>CF,

.••当点C、P、F三点共线时，的值最小，

.••线段CF的长即为所求的最小值，

VOC=5,OF=OB-1=5-1=4,

CF=VOC2+OF2=7s2+42=V41,

PC+的最小值为V41.

15.解:过B作BHXAC于H,取BC的中点D,连接PD,PB,AD,VAC为切线，；.BH为。B的半径，

,/ZB=90°,AB=CB=2,；.AC=V2BA=2V2

BH=-AC=V2,.-.BP=V2,/.—=——=—,ifoZPBD=ZCBP,.".△BPD^A=

2BC2BP2BCBPPCBC

y,.­.PD=yPC,BCP,

PA+^PC=PA+PD,当A、P、D共线时，有最小值，AD即为所求.而AD=V22+l2=®:.PA+P。的

最小值为V5,BPP4+孝PC的最小值为有则伪M+PC的最小值VTU..故答案为：V10.

16.解(1)在0D上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,XVZPOD=ZMOP,AAPOM^ADOP.

AMP:PD=k,；.MP=kPD,；.PC+kPD=PC+MP,当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C,P,M三点共

线时有最小值，利用勾股定理得：

CM=VOC2+OM2—y/m2+(fcr)2=Vm2+k2r2

⑵如图，••・AC=4,*=I，在CB上取一点M，使得CM=：CD=\,.证得4CDM-ACBD,

DC333

黑=黑=”MD=|BD,AD+lBD=AD+MD.•.当A、D、M三点共线时，有最小值，AM即为求.

DL)CDD33

在Rt△ACM中，AM=yJCM2+AC2=字AD+的最小值为苧.

17.解：如图延长OC至£使(OE=24,连接DE,OP,

在RADOE中，OD=10,OE=24,

知唱母，又：NPO—POK

PCOP1

POC-AEOP,PE=2PC,

PD+2PC=PD+PE>DE=26,

.•.当D、P、E共线时，DE即为PD+PE最小值在RtADOE中，DE=yjEO2+DE2=26,

.,.PD+2PC的最小值=26,

-11

•••PC+^PD=1(PD+2PC),

.•.PC+^PD的最小值=13.

18.解：(1)如图1,连接AD,

•••AP+^BPAP+PD,要使AP+(BP最小，

AP+AD最小，当点A,P,D在同一条直线时,AP+AD最小，即：4P+^BP最小值为AD,在RtAACD中.CD

=1,4C=6,.-.AD='AC?+CD2=V37,AP+的最小值为后，故答案为：V37;

(2)如图2,连接CP,在CA上取点E,使CE=|,二ff乙PCE=乙4CP,•必PCE△ACP,.-.喘=

PE=|TIP,1AP+BP=BP+PE,连接BE，则BE即为所求的最小值.同⑴的方法得出+BP的最小值为BE

_2历.

一3'

(3)如图3,延长0