2025年中考数学冲刺复习：相交线与平行线、全等三角形、圆、无刻度作图大题综合（解析版）

猜押06相交线与平行线、全等三角形、

圆、无刻度作图大题综合

押题依据

猜押考点3年武汉真题考情分析押题依据难度

2023年第18题（平行以解答题形式考查平行线相交线与平行线是几何基

相交线与线性质与等边三角形判性质、角平分线应用及三础，常与三角形综合考查，

中

平行线定）2022年第18题（平角形形状判定，需结合逻2025年可能会作为基础题型

行线角度计算与证明）辑推理与几何证明考查

综合考查全等三角形的判全等三角形是几何证明核心

全等三角2024年第18题（三角

定定理，平行四边形的判工具，常与其他图形综合，中

形形全等的判定）

定2025年持续考查

2024年第20题（圆的

切线证明与三角函数应

综合考查切线性质、圆周圆是几何重难点，常与三角

用）2023年第20题（圆

圆角定理、勾股定理等，需形、四边形结合，2025年仍中

周角定理与勾股定理）

通过辅助线构建几何关系为重点题型

2022年第20题（圆与

等腰直角三角形综合）

2024年第21题（旋转、

对称与作图）2023年第以网格为背景，考查旋转、

无刻度作图体现几何直观与

无刻度作21题（旋转与相似三角对称、平行四边形等几何中偏

动手能力，武汉中考高频考

图形构造）2022年第21变换的作图能力，需结合难

点，2025年延续命题

题（对称与全等三角形几何性质分析

应用）

押题陵测

题型一相交线与平行线

1.（24-25九年级上•湖北武汉•期末）如图，在△4BC中，ZCAB=70°,在同一平面内，将△NBC绕点A旋

转到△/8'C',使得CC'〃/3,求/C4C'的度数.

【答案】40°

【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键.由旋转的性质得出/C=/C',再结合

CC//AB,可推出结果.

【详解】解：•.•将绕点A旋转到△，夕C,

AC=AC,

：.ZACC=ZACC,

又：CC//AB,

：.AACC=ACAB=70°,

NAC'C=70°,

.•.ZC4C=180°-2x70°=40°.

2.(24-25九年级上•湖北武汉・期末)如图，将△4BC绕点A按逆时针方向旋转80。得到连接2”

⑴判断的形状为;

Q)若AE〃:BD,求/C4。的度数.

【答案】(1)等腰三角形

(2)30°

【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，

(1)根据旋转的性质可推出结论；

(2)根据旋转的性质得出/E/C=/D48=80。，根据平行线的性质得出/E4D==50。，从而得出结

果；

解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角；旋转前后的图形全等.

【详解】(1)解：・••将A/BC绕点A按逆时针方向旋转80。得到

AB=AD,

・・.△4BD的形状为等腰三角形，

故答案为：等腰三角形；

(2)•••将△4BC绕点A按逆时针方向旋转80°得到LADE,

・•.AB=AD,/BAD=ZCAE=80°，

AABD=ZADB=1(180°-Z5y4D)=1x(180o-80°)=50°,

AE//BD,

ZEAD=ZADB=50°..

ZCAD=ZCAE-ZEAD=80°-50°=30°,

.•.NC4D的度数为30。.

3.(2024•湖北武汉•模拟预测)如图，BE是△/BC的角平分线，点。在N8上，且DE〃BC.

(2)在8C上取一点尸，连接砂，添加一个条件，使四边形3DE尸为菱形，直接写出这个条件.

【答案】(1)见解析

⑵在BC上取一点F,使得BF=DE,

【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、菱形的判定等知识点，掌握菱形的判定方法成

为解题的关键.

(1)根据角平分线的定义和平行线的性质得到ZDBE=/D班，然后根据等角对等边即可证明结论；

(2)根据菱形的判定定理即可解答.

【详解】(1)解：:BE是//8C的角平分线，

:.ZDBE=ZCBE,

■：DE//BC,

：.ZDEB=ZCBE,

•••ZDBE=ZDEB,

•*.DB—DE.

(2)解：如图：在BC上取一点尸，使得毋'=DE,连接E尸，则四边形5。斯为菱形，理由如下：

-：DE//BC,BF=DE,

••・四边形BDEF为平行四边形,

DB=DE,

四边形2Z）所为菱形.

4.（新考向）如图，直线。〃6,直线。〃d,Nl=108。，求N2,/3的度数.

【答案】Z2=108°,Z3=72°

【分析】本题考查了平行线的性质，根据。〃6可求出/2的度数，根据。〃d可求出/3的度数.

【详解】解：・"IS,4=108。,

Z2=Z1=1O8°.

'：c//d,

Zl+Z3=Z180°,

Z3=180o-Zl=180°-108°=72°.

5.（新考向）如图，AB//CD,AEFG的顶点尸，G分别落在直线。上，GE交AB于点H,GE平

分NFGD,若NEFG=NEGF=1Q°,求NEPS的度数.

【答案】30。

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质.由角平分线的定义求出

ZEGD=70°,由三角形内角和定理求出ZE,再由平行线的性质求出"HG=/EG。=70。，利用平角的定

义求出ZFHE,最后再根据三角形内角和定理即可求出NEFB.

【详解】解：；GE平分ZFGD,

.-.ZEGF=ZEGD,

•••ZEFG=ZEGF=70°,

：.ZEGD=70°,NE=180°-ZEFG-NEGF=40°,

•••AB//CD,

ZFHG=NEGD=70°,

NFHE=1SO°-ZFHG=110°,

ZEFB=180°-ZE-ZFHE=30°.

题型二全等三角形

1.（2025・湖北武汉•模拟预测）如图，在等边8c中过顶点A作E为上任意一点，连BE,

将/E绕点A逆时针旋转60。，点E对应点为点尸.

⑴求证：“BE%ACF；

⑵连接EC,请添加一个与线段相关的条件，使四边形/EC尸为菱形.（不需要说明理由）

【答案】（1）证明过程见详解

（2）添加条件：AE=EC（答案不唯一）

【分析】（1）根据等边三角形，旋转的性质得到==运用边角边即可求证;

（2）添加条件：/£=EC,根据菱形的判定和性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：•・•△28C是等边三角形，

AB=AC,ZBAC=60°,

•••将AE绕点A逆时针旋转60°,

；.NEAF=60°,

ABAC-ADAC=NEAF-ADAC,即ABAE=ZCAF,

在和"CF中，

AB=AC

<NBAE=ZCAF,

AE=AF

.•.AABEQAACF（SAS）；

（2）解：如图所示，

添加条件：AE=EC,

由(1)的证明可得，AE=AF,ZBAE=ZCAF,

是等边三角形，AD1BC,

ABAD=ACAD,

；.NEAC=ZFAC,

•••AE=EC,

ZEAC=ZECA,

ZFAC=ZECA,

.-.AF\\EC,^.AF=AE=EC,

四边形/EC尸是平行四边形，

二平行四边形/ECF是菱形，

二添加条件：4E=EC(答案不唯一).

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，

掌握等边三角形的性质，全等的三角形的判定和性质，菱形的判定方法是解题的关键.

2.(2025•湖北武汉•一模)如图，在口43CD中，点、E,P分别在48和DC上，且跖经过对角线NC的中

点。.

(1)求证：“AEO知CFO；

(2)连接/月和CE,请添加一个条件，使四边形NECF是菱形.(不需要说明理由)

【答案】(1)见解析

(2)£7_1/。或/£=£。或/。平分/£/斤(答案不唯一)

【分析】此题考查全等三角形的判定，平行四边和菱形的判定，解题的关键熟练掌握平行四边和菱形的判

定定理；

(1)根据平行四边形的性质得出乙4£。=/。尸。，ZEAO=ZFCO.进而利用AAS证明三角形全等即可；

(2)根据平行四边形的判定与性质和菱形的判定解答.

【详解】(1)证明：•••四边形/2CD是平行四边形，

AB//DC,

：.ZAEO=ZCFO,ZEAO=NFCO.

•・・。是/C的中点，

OA=OC.

・•.AAEO=ACFO.

(2)添加砂，/C,

理由：四△CFO,

/.OE=OF,

-：OA=OC,

・•・四边形AECF是平行四边形，

-EFLAC,

・•・四边形4EC尸是菱形；

添加AE=EC,

理由：•・•△//。^△。尸。，

AE=CF,

在口48cZ）中

AE//FC,

・•・四边形AECF是平行四边形,

AF=CE,

•••AE=EC,

AE=CF=AF=CE,

・•・四边形4EC尸是菱形；

添加/C平分/切尸，理由如下:

・・•四边形45CD是平行四边形，

ABIIDC,

ZOAE=ZOCF.

•••0是4。的中点，

：,OA=OC,.

在4AEO和△CR9中

ZOAE=ZOCF

<OA=OC

ZAOE=ZCOF

：.AAEO%CFO,

・•.OE=OF,

-OA=OC,

.•.四边形AECF是平行四边形，

♦:AC平分NEAF,

；.NEAC=ZFAC,

AB//DC,

ZEAC=ZFCA,

ZFAC=ZFCA,

•••AF=CF,

.•・四边形NEC厂是菱形；

综上所述：添加或=或/C平分/E4F（答案不唯一）.

3.（2025•湖北武汉•模拟预测）如图，在口/BCD中，点G,，分别是CD的中点，点E,尸在对角线NC

上，且/E=CF.

⑴求证：AAGE乌八CHF；

（2）请添加一个条件，使四边形GFHE是菱形（不要求证明）.

【答案】（1）见解析

Q）GE=GF（答案不唯一）

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得/A4C=//C。，根据中点的性质可得/£=C〃，根据全等三角

形的判定方法“边角边”即可求证；

（2）由（1）可知△NGE经△SR（SAS）,可得GE=HF,NAEG=NCFH,运用平角的计算可得

ZGEF=AHFE,可得四边形GFHE是平行四边形，再进一步即可求证.

【详解】（1）证明：•••四边形是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,

■■.ABAC=NACD,

•.•点G,X分别是48,。的中点，

AG=BG=-AB,CH=DH=-CD,

22

；.AG=CH,

在AAGE与ACHF中，

AG=CH

<ZGAE=AHCF,

AE=CF

△/GE空△CHF(SAS).

(2)证明：添加：GE=GF,理由如下：

由(1)可知，AAGE咨ACHF(SAS),

：.GE=HF,NAEG=NCFH,

■：NAEG+ZGEF=180°,ZCFH+NHFE=180°,

ZGEF=AHFE,

GE//HF,

••・四边形£G/W是平行四边形.

­,•GE=GF,

••・四边形是菱形.

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识

的综合运用是解题的关键.

4.(新考向)如图，在口48CD中，对角线NC与2。相交于点O,过点。作一条直线分别交ND,BC于点、

⑴求证：OE=OF；

(2)已知。4=连结/尸，CE.求证：四边形4FCE为矩形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)证明AO/E%OC/(ASA),即可得出结论；

(2)先证明四边形/FCE是平行四边形，再证明/C=EF,然后由矩形的判定即可得出结论.

本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的

判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】(1)证明：•••四边形是平行四边形，

,­,AD//BC,OA=OC.

ZOAE=ZOCF.

在ACME和△OC/中，

ZOAE=ZOCF

<OA=OC,

AAOE=NCOF

.•.AOAE^AOCF(ASA),

OE=OF.

(2)证明：-.OA=OC,OE=OF,

••・四边形AFCE是平行四边形.

又「OA=OE,

；.AC=EF,

••・四边形NFCE为矩形.

5.(新考向)如图，△4BC中，AD1BC,垂足为。，BEVAC,垂足为E,与BE相交于点尸,

BF=AC.

⑴求证："DC"ABDF；

Q)若DF=2,//=3,求8C的长

【答案】(1)见解析

⑵7

【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用AAS证明两个三角形全等”是解本题的关

键.

(1)先证明NBDF=NADC,ACAD=ZFBD,然后根据AAS,再结合已知条件可得结论；

(2)根据。尸=2,AF=3,得出4。=/尸+。尸=3+2=5,根据A4DC咨AAD厂得出8。=/。=5,

CD=DF=2,最后根据和差间的关系，得出答案即可.

【详解】(1)证明：•••AD1BC,

NBDF=ZADC=90°,

•；BE工AC,

ZBEC=90°,

ACAD+ZACD=ZACD+NDBF=90°,

ACAD=NDBF,

•；BF=AC,

:.AADCABDF'S；

(2)解：DF=2,AF=3,

..AD=AF+DF^3+2=5,

•••AADCaBDF,

...BD=AD=5,CD=DF=2,

：.BC=BD+DC=5+2=7.

6.（新考向）如图，在△/8C中，点£在48边上，且点K不与点A,3重合，点。在NC的延长线上，ED

交BC于点、F,过点G作EG///C交5c于点G.

⑴若点尸是ED的中点，求证：AEGF冬ADCF；

⑵在（1）的条件下，若BE=DC=CF,ND=20。,求//的度数.

【答案】（1）证明见解析；

⑵乙1=100。.

【分析】（1）由EG//ZC,点/是瓦>的中点，则=ZFEG,EF=DF,然后根据“AAS”证明AEGFADCF

即可；

（2）由3E=DC=CF,AEGF%DCF,则DC=EG=BE=CF=GF,再根据等边对等角，对顶角相等,

三角形内角和定理即可求解.

【详解】（1）证明：••・EG///C,点尸是血的中点，

ZD=2FEG,EF=DF,

在AEGF与ADCF中，

ZD=ZFEG

<ZEFG=ZCFD,

EF=DF

：.AEGFADCF{A2,

⑵解：“EGF均DCF,

：.DC=EG,CF=GF,

BE=DC=CF,

DC=EG=BE=CF=GF,

:"D=NCFD,ZB=ZEGB,NFEG=NEFG,

•；ND=20°,

:.ND=ZCFD=NEFG=20°,NEFG=ZFEG=20°,

.-.ZB=NEGB=40°,ZACF=40°,

■.ZA=180°-ZB-ZACF=100°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，对顶角相等，三角形内角和

定理，掌握知识点的应用是解题的关键.

题型三圆

1.（2025•湖北武汉•模拟预测）如图，在。。中半径。4,03,连接48,C为平面内一点，连接/C、BC,

ZOAC=30°,ZOCA=30°,连接CO并延长交48于点D

⑴求证：0c为。。的半径；

⑵若03=1+6，CD=3+C,求。8的长度.

【答案】（1）见解析

⑵行

【分析】（1）根据等角对等边即可证明结论；

（2）过点。作D£J_08于点E,则NOEO=N8ED=90。证明48。。=30。，求出OD=CD-OC=2,则

DE=goD=l,得到OE=百，求出的=O8-OE=1,勾股定理即可求出。3即可.

【详解】（1）证明：•••NCMC=30。，ZOCA=30°,

ZOAC=ZOCA,

：.AO=CO,

・・•。/是。。的半径，

・•.OC为。。的半径；

（2）解：过点。作。E_L08于点E,则/。瓦＞=/8£。=90。，

•.•在00中半径CM1.02,0A=0B,

.-.ZBOA=90°,

N4CB=LZAOB=45°,ZOAB=NOBA=45°

2

ZOCB=ZACB-AACO=15°

■：OC=OB=AO,

20cB=NOBC=15°,

ZBOD=ZOCB+NOBC=30°,

■：CO=OB=\+y[?>,CD=3+V3,

.-.OD=CD-OC=1,

,-.DE=-OD=\,

2

OE=yJOD2-DE2=V3，

.-.BE=OB-OE=1,

DB=4DE2+BE2=Vl2+12=41

【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、含30。角直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练

掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键.

2.（2025•湖北武汉•一模）如图，P/是。。的切线，A为切点，N3是直径，8c是弦，连接OP,PC,

BC//OP.

⑴求证：PC是。。的切线；

（2）连接NC,交0P于。点，连接AD,若BD〃CP,PD=2.

①求的长；

②直接写出的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵①1②血

【分析】（1）连接OC,由切线的性质定理可得/尸/。=90。，由两直线平行同位角相等可得

ZAOP=ZOBC,由两直线平行内错角相等可得/COP=/0C8,由等边对等角可得/02C=/OCB,进而

可得乙4OP=NCOP,再结合Q4=OC,OP=OP,利用SAS可证得△CM尸也△OCP,于是可得

ZPCO=ZPAO=90°,即OCL尸C,然后由切线的判定定理即可得出结论；

（2）①由BC〃。尸，BD〃CP可得四边形ADPC是平行四边形，于是可得8C=DP=2,由切线长定理可

得尸/=PC,再结合。4=OC,可得OP垂直平分NC,则=再结合0/=。8,可知是△NBC

的中位线，由三角形的中位线定理可得OO=gBC,由此即可求出的长；②由OP垂直平分NC可得

NPDA=NADO=9Q°,由直角三角形的两个锐角互余可得/PND+/4PD=90。，由（1）得NP/O=90。,

则进而可得=由此可证得于是可得一二一,即

ADOD

AD2=ODPD,进而可得＞。=JOD.PD,由此即可求出4D的长.

BC//OP,

ZAOP=ZOBC,ZCOP=ZOCB,

■：OB=OC,

ZOBC=ZOCB,

ZAOP=乙COP,

又・.Q=OC,OP=OP,

:.^OAP^OCP(SAS),

ZPCO=Z.PAO=90°,

OC1PC,

・•・oc是。。的半径，

PC是。。的切线；

(2)解：BC//DP,BD//CP,

••・四边形8DPC是平行四边形，

BC=DP=2,

■.■PA,尸C是。O的切线，

PA=PC,

又：O4=OC,

。户垂直平分NC,

DA=DC,

又，：OA=OB,

是A/BC的中位线，

:.OD=~BC=-x2=\.

22

②「OP垂直平分NC,

/PDA=ZADO=90°,

，/PAD+ZAPD=90°,

由(1)得："40=90。,

ZPAD+ZOAD=90°,

/APD=ZOAD,

:AAPDs小OAD,

,PDAD

\4D~~OD，

AD2=ODPD,

AD=yJODPD=Vb^2=41-

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质,

切线长定理，三角形的中位线定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等边对等角，线段垂直平分线的

判定，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握

相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

3.(24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习)如图，是△/BC的外接圆，48是。。的直径，点。为延

长线上的一点，连接CD,若NBCD=NA,

(1)求证：直线CD是。。的切线；

(2)若/C=28C,/£>=6,求。。的半径.

【答案】(1)证明见解析

琏

【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识,

熟练掌握圆的切线的判定是解题关键.

(1)连接OC,先根据圆周角定理可得N/C8=90。，从而可得乙4。0+/2。0=90。，再根据等腰三角形的

性质可得44co=乙4,则N"D+Z8CO=90。，然后根据圆的切线的判定即可得证；

3

(2)先证出△8CDSAC4D,根据相似三角形的性质可得CD=3,8。=己，再根据线段的和差可得的

长，由此即可得.

【详解】(1)证明：如图，连接OC,

A

O

\\\\JB

\\I

\\I

CD

••・45是OO的直径，

・•.NACB=90°,

.-.ZACO+ZBCO=90°,

-OA=OC,

・•.NACO=NA,

.・.N4+/BCO=9。。,

•・•/BCD=/A,

："BCD+/BCO=9G。,

.•・NOC0=9O。，即OC_LCZ),

又・・・OC是oo的半径，

・•・直线CD是。。的切线.

(2)解：在△BCD和△C4。中，

)/BCD=ZA

[ZD=ZD'

・•・/\BCDs/\CAD,

BCBDCD

••就一五一茄‘

-AC=2BC,AD=6,

BDCD

^~CD~~6~~2,

13

：.CD=3,BD=—CD=—,

22

39

AB=AD-BD=6——=—,

22

1Q

・・.。。的半径为7/5=二.

24

4.(24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习)如图，45是OO的直径，点C、。在O。上，AD、BC交于点E,

且OD1BC,。过点E作斯_L/5于点?

【答案】（1）见解析

（2）2^Z1

2

【分析】（1）连接/C,根据垂径定理可得而=6,利用圆周角定理得到/C/E=/E4E,再由是的

直径，可得到N/CB=90。，最后由角平分线的性质可得出结论；

（2）连接CO,设BCQD交于点、G,可设EF=a,BF=2a,则BE=dEF?+BF2=^a，可得8C=a+其,

则CG=32C=g（a+氐），再求得

GE=®1a.再证明AN£CSA£）£G,最后由相似三角形的性质可得出结论.

2

BD=CD>

ZCAE=NFAE,

是的直径，

ZAC，

■：EFVAB,

CE=EF

(2)解:如图，连接CO,设BCQD交于点G,

根据3尸=2£F,可设石尸=Q,B尸=2a,

贝（JBE=^EF2+BF2=屈.

结合（1）知CE=EF=a,

BC=a+y/5a,

则CG=g8C=：（a+V^z）,

:NACB=9Q°=NCGD,

:.AC//OD,

:.AAECSADEG,

,DEGEV5-1

"14E~~CE~2

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟

知圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

5.(24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习)如图△ABC中，XABC=90°,C。平分//C8交于点。，以

点。为圆心，08为半径作。O.

(1)求证：与/C相切；

(2)若2c=6,/C=10,求。。的半径.

【答案】(1)证明过程见详解

(2)3

【分析】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，角平分线的性质定理，圆的切线的定义，过圆心作直线

的垂线是解决此类问题常添加的辅助线.

(1)过点。作。尸，。于点/，，利用圆的切线的性质定理和角平分线的性质得到。尸=02,再利用圆的

切线的定义解答即可；

（2）利用切线长定理和勾股定理解答即可得出结论.

【详解】（1）证明：过点。作。b_LC4于点尸，如图,

ZABC=90°，OB为半径作。。.

8。是的切线，

•.・CO平分/NC8,OB1.CB,OF1CA,

OF=OB,

・「OB是。。的半径，

尸为。。的半径，

圆心到直线/C的距离等于。。的半径，

:/C是。。的切线；

（2）解：；2C、NC是。。的切线，BC=6,

:.CB=CF=6,

■：AC=10,

AF=AC-CF=4,

■■■RaABC中，侦=^AC2-BC2=V102-62=8，

「RtANOF中，AO2=AF2+OF2,

即（8=0^+42,

:.OB=3,即。。的半径为3.

6.（新考向）如图，在△NBC中，AB=AC,。是BC的中点，/4BC的平分线交/。于点E.点。在4D

的延长线上，以。为圆心，OE为半径的。。经过点B,C.

⑴若/3=26,BDM,求。。的半径；

⑵设。。与的延长线交于点尸，M是CF的中点，MD的延长线与交于点N.求证：BN=BD.

【答案】(1)2

(2)见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相

关知识点是解题的关键.

(1)因为=。是的中点，所以AD垂直平分8C.又AB=26,BD=^,所以/民4。=30。,

ZABD=60,由于BE是—4RD的平分线，所以N4BE=NDBE=3。。.从而48£。=60。，又OB=OE,得

至ijNOBE=Z8ED=60°,得出NN8O=//BE+NO8E=30°+60°=90。.设。。的半径为「，则。8=/，

OA=2r,所以(2出了+r=(2疗，解得厂=2.故0O的半径为2.

(2)在Rt^CD厂中，M是CF的中点，所以MO=MC=ZMDC=ZMCD,

ZMDF=ZMFD.由于/MFD=ZD5E,ZMDF=ZADN,所以NDBE=NADN,NADN+NBDN=90°,

NDBE+NBDN=9Q°,即2E_LND,又BE是—NAD的平分线，所以NBND=NBDN,故BN=BD.

【详解】(1)解：如图，连接。£,

-：AB=AC,。是BC的中点，

•••40垂直平分8c.

•••AB=2^3,BD=y/3,

.^_BD_也_1

sin/5D/AZT)=——六——,

AD2/2

ZBAD=3Q°,

A/ABD=90°-ABAD=60°,

•・,BE是的平分线，

A/ABE=/DBE=30。.

A/BED=60°,

・「OB=OE,

/OBE=/BED=60°,

NABO=/ABE+/OBE=30°+60°=90°,

设OO的半径为乙则05=，OA=2r,

AB2+OB2=AO2

.•.（2百『+产=（2r）2,

解得r=2.

故OO的半径为2.

A

AF

（2）证明：在Rt^CDb中，〃是C尸的中点,

:.MD=MC=MF.

ZMDC=ZMCD,ZMDF=ZMFD.

•・•ZMFD=ZDBE,ZMDF=ZADN,

AZDBE=ZADN,

•：ZADN+ZBDN=90°,

:"DBE+/BDN=90。,

/.BE1ND,

是/ZB。的平分线，

・•.ZBND=ABDN,

BN=BD.

7.（新考向）如图，△48。内接于OO,连结4。交C5于点，交O。于点E,已知Nl+N2=90°.

⑴求证：tanZ1=—；

Ji.

（2）若CD=3,AC-4,求N8的长；

（3）若C/=C8,设。。的半径为心求△4BC的面积（用含r的代数式表示）.

【答案】（1）见解析

⑵回不7

⑶（行+M

2

【分析】（1）先根据圆周角定理可得乙4c£=90。，再由同角的余角可得/4EC=/2,则CD=CE,最后由

三角函数定义即可得结论；

12

（2）如图2,过点。作3，/£于"，根据勾股定理可得ZE=5,由面积法得。0=不，由勾股定理得

915

EM=~,由等腰三角形的三线合一的性质得：DE=2EM=r,最后由圆周角定理，对顶角相等，等角对

58

等边即可解答；

(3)如图3,连接C。并延长交48于尸，连接02,先根据垂径定理得：ZAFO=ZBF0=90°,AF=BF,

根据三角形的内角和定理得：NDCE=NACB,则蓝=前，A/OB是等腰直角三角形，设/尸=。，贝U

OF=a,由勾股定理和三角形的面积即可解答.

【详解】(1)证明：如图1,

图1

••・4E•是。。的直径，

；./ACE=90°,

：.Z1+ZAEC=9Q°,

Zl+Z2=90°,

NAEC=Z2,

CD=CE,

八CE

tanZ1=-----,

AC

「CD

.♦.tanz_l=-----；

AC

(2)解：如图2,过点。作。眩，4£于",

A

B

图2

•；CD=CE=3,AC=4,ZACE=90°,

••AE=^32+42=5,

••.S/M=LX3X4='X5CM,

△ABH22

9

由勾股定理得：EM=

5

•：CD=CE,CMIDE,

/.DE=2EM=—

8

VZADB=Z2,/B=/E,Z2=Z£,

ZADB=ZB,

7

/.AB=AD=-；

(3)解：如图3,连接CO并延长交45于R连接08,

B

图3

,；CA=CB,

­•CA=CB/CAB=ACBA,

：.CFLAB,

.-.ZAFO=ZBFO=90°fAF=BF,

由（2）知：N2=/E=NADB=/CBA,

；"DCE=/ACB,

工彘二读,

・・・N4OB=NEOB=90。,

OA=OB,

・•・△405是等腰直角三角形，

NOAB=NOBA=45。,

在RM/QB中，AF=BF,

：.OF=-AB=AF=BF,

设AF=a,贝|OF—a，

'-'OA1=AF2+OF2,

•••r=41a，

S△ABC=~2ABCF,

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形

的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键.

8.(新考向)如图，尸为圆。外一点，PA、心分别切圆。于A、B.连接尸。，交圆。于点。，延长尸

交圆。于点C.连接NC,BC.连接40并延长，交BC于点、E.

(1)证明：点。是荔的中点.

(2)若点£是8C的中点，求NAPC的度数.

【答案】(1)见解析

(2)30度

【分析】本题考查了圆的切线性质，垂径定理以及相关角度计算，解题的关键是熟练运用圆的切线性质和

垂径定理等知识进行推理和计算.

(1)利用切线长定理证明△/PC也△BPC,从而得出Z4cp=N3CP,得到7万=而5即可得结果；

(2)通过点E是8C中点推出/E_LBC,AB=AC,由(1)得经ZiBPC,AC=BC,△4BC是等边

三角形，得到乙4c8=60。，再结合圆的性质和平行线性质，求出//PC的度数.

【详解】(1)证明：；尸/、PB分别切圆。于A、B,

PA=PB,NAPC=NBPC.

又；PC=PC,

AAPC/BPC,

ZACP=ZBCP

■-AD=Bb'即点。是荔的中点.

(2)•••点E是8c的中点

AELBC,

垂直平分8C,连接4B,则=

:.AC=BC

ZUBC是等边三角形，

/ACB=60。

，NBCP=NACP=工NACB=30。

2

丁PA是圆。的切线，

，PALAE,

PA//BC

A/APC=NBCP=30°

9.（新考向）如图，点8在以AC为直径的O。上，点。在4c的延长线上，连接45、BC、BD,

ZCBD=/BAD.

FF4

（2）点厂是延长线上一点，过点尸作也，/。于点若宁=彳，CD=2,求OO的半径.

DF5

【答案】（1）见解析

⑵8

【分析】（1）通过圆周角定理的推论得443。=90。，推得/8/。+/。3。=90。，结合题意即可求证；

ORFF4

（2）证得ADOBs^DFE,可得上===彳，设OO的半径为人代入，解一元一次方程即可求解.

ODFD5

FBD

:.ZABC=90°,ZBAD+ZOCB=90°,

：OC=OB,

/OBC=/OCB,

ZBAD+ZOBC=90°.

/CBD=/BAD,

:"CBD+/OBC=9G。,即NOB。=90。，

.•.05是o。的切线.

（2）解：•/EFVAD,

:"DEF=90。.

•・•由（1）得NOBD=NDEF=90。,ZD=ZD

ADOBsADFE,

.OB_OP

••而—而‘

.OB_FE_4

一历一访一

5OB=4OD.

设O。的半径为「，

OB=OC=r,OD=OC+CD=r+2,

5r=4（r+2）,

解得r=8,

/.O。的半径为8.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质,

熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

题型四无刻度作图

1.（24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习）如图是由小正方形组成的（7x7网格，每个小正方形的顶点叫做格

点.48,C三点是格点，点P在8c上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.（每个任务画线不超过3

条）

(1)在图1中，fflnABCD,再在上画点E,使得DE=8P；

(2)在图2中，在线段42上画点尸，使COS/3CF=^5;在线段/C上画点G,^AB1=AG-AC.

【答案】(1)图见详解；

(2)图见详解

【分析】(1)根据平行四边形的性质，取格点。，使得CD=4B,连接C。，再连接然后连接AD,

交NC于一点O,连接P。并延长交4D于点E,nABCD,点E即为所求；

(2)取格点后2、月，连接^当、AF2,交于点3,作射线C02交N3于点厂.点尸即为所求；取格点4、

K2,连接4K2,交NC于点G,点G即为所求作的.

【详解】(1)解：取格点。，使得CD=4B，连接CD,再连接4D,然后连接3。，交/C于一点。，连

接尸。并延长交/。于点E,得口4BCD,点K即为所求；

图1

理由：,:AB〃CD,AB=CD,

四边形/BCD是平行四边形，

AD//BC,AD=BC,BO=DO,

ZEDO=ZPBO,

ZEOD=ZPOB,

.•・A£OD也APOB(ASA),

ED=PB-,

(2)解：如图，取格点与、F2,连接8旦、AF2,交于点2,作射线C&交42于点尸.点尸即为所求;

取格点A、K”连接4长2,交/C于点G,点G即为所求作的.

理由：在△Bcq和△马附中,

BG2=E?F?

<Z,BF2E2=/CG?B,

BF2=CG2

「.△5CG2四△七2和(SAS),

ZCBG2=ZBE2F2,

•.•ZBE2F2+ZE2BF,

ZCBG2+ZE2BF2=ZE2BC=90°,

由网格特点可知，四边形45月当是矩形,

是对角线的中点，^BD2=^BE2,

22

BE2=+52=y/26,BC-A/1+5=>/26，

吟字

:.CD?=^BD^+BC2=

./…BC后2辨

CD25

2

・二点尸即为求作的点;

由作法及图可知:

22

在中，〃/=6,H2K广5,l2K2=^5+6-

5

sin4H212KL矗=--,tanZH2I2K2=|,

22

在Rt△/上2。中，AL?=6，CL2=5,AC=\J5+6=V^T，

sin/8/C=-1==更®,tanZBAC=-f

V6?616

/H212K2=ABAC,

•.•ZBAC+ZCAI2=90°f

/H212K2+ACAI2=90°,

・•・△4G/2是直角三角形，

.-.Z^GZ2=90°,

・•/口iKAG5病

..sm=-----=--------,

222Al,61

,”一25府

..A.\J-----------,

61

.,./GZC=25府〉府=25,

61

•••AB-=5?=25,

AB2=AG-AC,

.••点G即为求作的点.

【点睛】本题考查格点作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质解直角三角形及勾股定理的应用、全

等三角形的性质和判定.熟知相关性质定理是正确解答此题的关键.

2.(2024・湖北武汉•模拟预测)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△N2C的顶点4,C均落在格

点上，点3在网格线上.

(1)线段/C的长等于；

(2)半圆。以为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图:

①画/A4c的角平分线/£；

②在线段N2上画点尸，使4P=/C.

【答案】⑴6

(2)见解析

【分析】本题考查勾股定理，无刻度直尺作图，中位线

(1)利用勾股定理求解；

(2)取2C中点。，连接0D与圆相交即为E,此时由中位线可得〃/C,再结合。£=。4即可得到

NE=NEAO=NEAC,即/A4c的角平分线ZE；

(3)取3c与网格线的交点。，连接OD延长交。。于点£,连接/£交3C于点G,连接8E,延长NC

交BE的延长线于尸，连接尸G延长尸G交于点尸，点P即为所求.

【详解】(1)AC=yJl2+22=45-

故答案为：V5;

(2)①如图，4E即为所求：

3.(2024•湖北武汉•模拟预测)如图是由小正方形组成的6x5网格，每个小正方形的顶点叫做格点.口ABCD

的4个顶点都在格点上，£是边与网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程

用虚线表示.

图1图2

(1)在图1中，先画4F〃CE交3。于点G,交边CD于点尸，再在CD上画点“，使得G2平分Z4GH；

(2)在图2中，先画的高/尸，再分别在边48和3c上画点M、N,使得MN〃4C,^,MN=AP.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)取边与网格线的交点尸，连接力尸，即N尸〃CE,取格点尸，连接。尸、GP,易证

^ABD=£>.PBD（SSS^,进而证明A/BGGA尸8G（SAS）,则N4GB=NPG8,即GP与CD的交点即为点7/；

（2）取格点J、K,连接血交/。于点。，则点。是中点，连接CO交DK于点厂，由网格可知

AC=CD=5,进而得到COLN。，由因为OKL/C,则点尸是A/CD高线的交点，连接/尸并延长交CD

于点P,线段4P即为A/C。的高；由A/CD的面积公式，可得/P=DK=3,取格点。、R、W、T,连接。尺

交于M,连接叮交8C于点N,连接MN即可.（由相似三角形可知，^=^|=|,篇=:，则

黑二R,可得ACV〃/C,且塔="进而得出跖V=3=/尸）

BMBN4c5

【详解】（1）解：如图1,即为所求作；

A

C

图1

（2）解：如