2025中考数学热点题型专练：四边形中的证明与计算问题（含答案解析）

专题09四边形中的证明与计算问题

目录

热点题型归纳.............................................................................................1

题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算....................................................1

题型02以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算..........................................................4

题型03以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算..........................................................8

题型04以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算.......................................................12

中考练场.................................................................................................16

题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述________________________________________

以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块的核心内容之一，它依托平行四边形独特的

性质，综合考查学生对几何知识的理解与运用，常与三角形等知识融合，在中考数学中分值占比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查对平行四边形性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）的熟练运用，以及基于这

些性质进行几何证明和边角计算，同时考查能否结合其他几何图形知识解决综合问题。

2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是平行四边形；利用平行四边形性质证明线段相等、角相等或直线平行；已

知平行四边形部分边角条件，计算其他边角的大小；在平行四边形与三角形等组合图形中，进行边角关系的推理与计

算。

3.高频考点：考点集中在平行四边形的判定定理（如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、

两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形）的应用，平行四边形性质在证明和计算中的运用，以及

平行四边形与三角形全等、相似等知识的综合考查。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够依据已知条件合理选择平行四边形的判定与性质进行证明和计

算；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出平行四边形及相关几何关系；掌握扎实的几何运算能力，准确求

解边角数值。

5.易错点：易错点在于判定平行四边形时条件使用不充分或错误；在运用平行四边形性质时，对边、角、对角线关系

混淆；在综合图形中，不能有效整合平行四边形与其他图形的性质，导致证明和计算出错；计算过程中粗心大意，出

现数值计算错误。

02解题攻略

【提分秘籍】

L平行四边形的性质:———

①边的性质：两组对边分别平行且相等。

②角的性质：对角相等，邻角互补。

③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。

④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。

⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。

2.平行四边形的判定：

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

符号语言：：AB〃DC,AB=DC,.♦.四边行ABCD是平行四边形

②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。

符号语言：：AB=DC,AD=BC（AB〃DC,AD〃BC）,二四边行ABCD是平行四边形.

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

符号语言：VZABC=ZADC,ZDAB=ZDCB,二四边行ABCD是平行四边形

④对角线相互平行的四边形是平行四边形。

符号语言：0OA=OC,OB=OD,回四边行ABCD是平行四边形

【典例分析】

例1.（2024•广东广州•中考真题）如图，ABCD中，3C=2,点E在。A的延长线上，BE=3,若瓦1平分/EBC,

贝3=.

例2.（2023・广东深圳・中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,将线段43水平向右平移。个单位

长度得到线段ER，若四边形ECD尸为菱形时，则。的值为（）

C.3D.4

例3.（2022广东广州•中考真题）如图，在，ABCD中，AD=IO,对角线AC与8。相交于点。，AC+BD=22,贝必8。7

的周长为

【变式演练】

1.（2025•广东揭阳•一模）如图，四边形ABCD为平行四边形,£,厂分别为48和BC的中点，CE=5,。尸=万，AB=45，

C.V35D.后

2.（2025・广东广州•一模）如图，瓦尸是A3C。的边AD上的两点，连接CE,8歹交于点O,4EOb的面积为4,BOC

的面积为9,四边形ABOE的面积为7,则图中阴影部分的面积为.

3.（2024•广东深圳•模拟预测）如图，在ABCD中,E,尸是对角线8。上的两点（点E在点/左侧），且ZAEB=ZCFD=90°.

A

⑴求证：四边形MC厂是平行四边形；

3

⑵当AB=5,tanZABE=-,=时，求2D的长.

4.（2025•广东梅州•一模）如图，ABCD中，点E是凡D的中点，连接CE并延长交朋的延长线于点尸.

⑴求证：AF=AB；

（2）点G是线段A尸上一点，满足ZFCG=/FCD,CG交AD于点、H.

①求证：AHCH=DHGH■,

②若AG=2,尸G=6,求G8的长.

题型02以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述________________________________________

以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块中对特殊平行四边形深入研究的重要内容，依托矩

形特有的性质，综合考查学生对几何知识的掌握与运用能力，常与三角形等知识融合，在中考数学中分值占比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查对矩形性质（四个角是直角、对角线相等且互相平分）的透彻理解与灵活运用，基于这些性质

开展几何证明，以及结合勾股定理、相似三角形等知识进行边角的精确计算，并关注与其他几何图形性质的关联运用。

2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是矩形；利用矩形性质证明线段相等、角相等、直线垂直；已知矩形的边长、

对角线等部分条件，计算内角大小、对角线夹角、面积等边角及图形相关数值；在矩形与三角形、其他四边形构成的

复杂图形中，推导并计算复杂的边角关系。

3.高频考点：考点集中在矩形判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、三

个角是直角的四边形是矩形）的准确应用，矩形性质在证明和计算中的运用，以及矩形与直角三角形（由矩形内角为

直角产生）、等腰三角形（对角线相等产生）相关知识的综合考查，例如运用勾股定理求边长、借助相似三角形求线段

比例。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理选用矩形的判定和性质进行严密证明；拥有

良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出矩形及其蕴含的特殊几何关系；掌握扎实的运算能力，尤其是勾股定理、

相似三角形等知识在矩形边角计算中的应用。

5.易错点：易错点在于判定矩形时条件使用错误或不完整，比如仅依据对角线相等就判定四边形是矩形；在运用矩形

性质时，混淆对角线与边、角之间的关系，致使证明出错；在计算边角时，因对矩形中特殊三角形（直角三角形、等

腰三角形）的性质理解不深，运用勾股定理、相似三角形知识出现偏差；在综合图形中，不能有效整合矩形与其他图

形性质，导致思路中断。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.矩形的性质:

①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的

对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.矩形的判定：

（1）直接判定：

有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。

（2）利用平行四边形判定：

①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。

②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。

【典例分析】

例1.（2022广东广州•中考真题）如图，在矩形A8C。中，BC=2AB,点P为边AD上的一个动点，线段8尸绕点B顺

时针旋转60。得到线段连接PP,CP'.当点P落在边BC上时，/PPC的度数为；当线段CP的长度

最小时，/PPC的度数为

例2.（2023・广东•中考真题）综合探究

如图1,在矩形A2CD中（筋＞短＞）,对角线AC,3。相交于点。，点A关于8D的对称点为A，，连接A4咬50于点E,

连接G4'.

图1图2图3

⑴求证：AA'±CA'；

⑵以点。为圆心，OE为半径作圆.

①如图2,。与CD相切，求证：A4'=y/3CA'；

②如图3,，。与CA相切，AD=1,求。的面积.

【变式演练】

1.（2025•广东•模拟预测）如图，已知四边形AC班）是矩形,点8在直线MN上，若BD平分ZABN,则下列结论不能

推出的是（）

A.2C平分NASA/B.CD//MN

C.o^BOC是等边三角形D.NCOB=2ZABD

2.（2024.广东深圳•模拟预测）如图，矩形A5CZ）的长BC=厉，将矩形对折，折痕为PQ,展开后，再将/C

折到ND所的位置，使点C刚好落在线段AQ的中点尸处，则折痕OE=.

AD

p------------

3.(2025・广东深圳•三模)【问题提出】

(1)如图1,在矩形ABC。中，点E,尸分别是边AD,AB上的点，连接CE与。方交于点。，若？FOC90?,求证:

CE_AB

5F-AD；

4E八

口AE____________

B'-------------------------VCC

图1图2图3

【迁移应用】

(2)如图2,在.A3C。中，AB=4,AD=7,点E,下分别是边A£>,AB上的点，连接CE与。尸交于点。，且

ZCOD+ZBAD=180°,求——的值；

DF

【拓展提高】

(3)如图3,在四边形ABC。中，点E是边上的一点，连接与CE交于点0NBOC=/BAD=NBCD=120。,

AB1BC4田田——士

通】而丁请直接与出访的值.

4.(2024.广东深圳•一模)如图是一张矩形纸片A8CO,点M是对角线AC的中点，点石在5C边上.

X国;区T

勾

图1图2

⑴如图1,将二。CE沿直线OE折叠，使点C落在对角线AC上的点尸处，连接OE,EF,

①若NEDC=30。，DE=l,求对角线AC的长；

CD

②若MF=CD,求/ZMF的度数及此时二二的值.

(2)如图2,若CB=3,CD=2,连接3M、ME,将sMEC沿腔折叠，点C的对应点为点G,当线段GE与线段3M

交于点X且一次花为直角三角形时，求此时3E的长.

题型03以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述

以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何领域中对特殊四边形深入探究的关键内容，借助菱形区

别于一般平行四边形的特殊性质，全面考查学生的几何思维与解题能力，常与其他几何图形知识综合呈现，在中考数

学中分值占比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查对菱形特殊性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分每组对角）的深度理解与灵活运用，以

此为基础进行各类几何证明，以及结合三角函数等知识进行边角的精准计算，并注重与其他几何图形性质的关联应用。

2.高频题型：高频题型包括证明一个四边形是菱形；利用菱形性质证明线段垂直、角平分线关系、线段相等；已知菱

形的边长、对角线长度等部分条件，计算内角大小、对角线夹角、边长与高的关系等边角数值；在菱形与三角形、其

他四边形组成的复合图形中，推理并计算复杂的边角关系。

3.高频考点：考点集中在菱形判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形、四条边相等的四边形是菱形、对角线互

相垂直的平行四边形是菱形）的准确应用，菱形性质在证明和计算中的运用，以及菱形与直角三角形（因对角线垂直

产生）、等腰三角形（四条边相等）相关知识的综合考查，如利用勾股定理计算边长、三角函数求角度等。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推导能力，能依据已知条件合理选择菱形的判定和性质进行严谨证明；拥有敏

锐的图形观察能力，从复杂图形中提炼出菱形及其蕴含的特殊几何关系；掌握扎实的运算技能，特别是涉及勾股定理、

三角函数等知识在菱形边角计算中的应用。

5.易错点：易错点在于判定菱形时错用或漏用条件，如仅依据对角线垂直就判定四边形是菱形；在运用菱形性质时,

混淆对角线与边、角之间的特殊关系，导致证明错误；在计算边角时，因对菱形中特殊三角形（直角三角形、等腰三

角形）的性质把握不准，运用勾股定理、三角函数出错；在综合图形中，无法有效整合菱形与其他图形性质，思路混

乱。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.菱形的性质:

①具有平行四边形的一切性质。

②菱形的四条边都相等。

③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。

④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。

⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。

2.菱形的判定：

（1）直接判定：

四条边都相等的四边形是菱形。

符号语言：VAB=BC=CD=DA,二四边形ABCD是菱形

（2）利用平行四边形判定：

①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。

②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

【典例分析】

例1.（2024.广东・中考真题）如图，菱形ABCD的面积为24,点E是的中点，点尸是上的动点.若△3EF的面

积为4,则图中阴影部分的面积为.

例2.（2022.广东广州.中考真题）如图，在菱形ABC。中，ZBA£>=120°,AB=6,连接BD.

⑴求配>的长;

⑵点E为线段8。上一动点（不与点8,。重合），点尸在边上，且BE=6DF,

①当CELAB时，求四边形A8EE的面积；

②当四边形A8EF的面积取得最小值时，CE+6CF的值是否也最小？如果是，求的最小值；如果不是，请

说明理由.

例3.（2024・广东广州•中考真题）如图，在菱形ABCD中，ZC=120°.点E在射线BC上运动（不与点B,点C重合）,

关于AE的轴对称图形为产.

⑴当/及。=30。时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；

⑵若AB=6+6A/L。为尸的外接圆，设。的半径为

①求，•的取值范围；

②连接ED,直线ED能否与，：。相切？如果能，求血的长度；如果不能，请说明理由.

【变式演练】

1.（2025•广东清远•一模）如图，在菱形A3CD中，AE_L8C于点E,BC=5,AC=6,则AE的长是（）

2.（2024.广东深圳.模拟预测）如图，在菱形ABCZ）中，点E为AD边上一点，连接BE,将线段绕点E逆时针旋转

FG

120。得到EF,EF交CD于点H,连接即，交CZ）于点G,已知/A=120。，AB=3,AE=1,则二7；=.

3.（2025・广东深圳•一模）在菱形ABCD中，ZABC=60,将3CE沿BE翻折至△班后，BF,C尸的延长线分别交AD

于H,G两点，若£|=3,则空的值为一.

DE3AD

AB6,ZABC=60°,

（2）点E以每秒2个单位长度的速度从2点出发向点C运动，同时点。以每秒6个单位长度的速度从。点出发向点8

运动，当其中一点达到终点，另外一点随之停止运动.

①连接EQ,能否为等腰三角形？如果能，求点E,。的运动时间；如果不能，请说明理由;

②连接当N£AQ=30。时，求AE+AQ的值.

5.（2025•广东深圳•一模）如图，在菱形ABCD中，/ASC=60。,AB=8,点、E,歹分别在边3C,CD上，连接AE,

AF.

⑴如图（。），若E，下分别是边BC,C。的中点，连接EF,则瓦=

⑵当BE=6时，请回答下列问题:

①如图（匕），求AE的值；

CF

②如图（6）,若AF平分—D4E时，求一的值;

DF

③如图（c）,若NE4/=60。时，求A尸的值.

题型04以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述________________________________________

以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块里对特殊四边形深度探究的关键内容，凭借正方

形集矩形与菱形特性于一身的独特性质，全面考查学生对几何知识的综合运用与逻辑思维，常与三角形、其他四边形

知识交织，在中考数学中分值占比约4%-8%,

1.考查重点：重点考查对正方形性质（四条边相等、四个角是直角、对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一

组对角）的深度理解与灵活运用，以此为基础展开几何证明，并结合勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识进行

边角的精准计算，同时注重与其他几何图形性质的综合运用。

2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是正方形；利用正方形性质证明线段相等、垂直、角平分线关系；已知正方

形边长、对角线等部分条件，计算内角大小、对角线夹角、面积、周长等边角及图形相关数值；在正方形与三角形、

其他四边形组成的复杂图形中，推导并计算复杂的边角关系与图形面积。

3.高频考点：考点集中在正方形判定定理（一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形、对角线互相垂直

且相等的平行四边形是正方形、有一组邻边相等的矩形是正方形、有一个角是直角的菱形是正方形）的准确应用，正

方形性质在证明和计算中的运用，以及正方形与等腰直角三角形（由正方形性质产生）、全等三角形、相似三角形相关

知识的综合考查，如运用勾股定理求对角线长度、借助全等三角形证明线段关系。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推导能力，能依据已知条件合理选择正方形的判定和性质进行严谨证明；拥有

敏锐的图形观察能力，从复杂图形中提炼出正方形及其蕴含的特殊几何关系；掌握扎实的运算技能，尤其是勾股定理、

全等与相似三角形知识在正方形边角计算与图形关系推导中的应用。

5.易错点：易错点在于判定正方形时条件使用不充分或错误，如仅依据四条边相等就判定四边形是正方形；在运用正

方形性质时，混淆边、角、对角线之间的特殊关系，导致证明错误；在计算边角时，因对正方形中特殊三角形（等腰

直角三角形）的性质把握不准，运用勾股定理、全等与相似三角形知识出错；在综合图形中，无法有效整合正方形与

其他图形性质，思路混乱。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.正方形的性质:

①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正

方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组

对边中点的直线也是对称轴。

2.正方形的判定：

（1）利用平行四边形判定：

一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）

（2）利用菱形与矩形判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

【典例分析】

例1.（2022・广东广州•中考真题）如图，正方形ABC。的面积为3,点E在边C£）上，且CE=1,NA8E的平分线交

于点「点、M,N分别是8E,8尸的中点，则的长为（）

叵

2

V6-V2

2

例2.（2023・广东・中考真题）边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图

中阴影部分的面积为.

例3.（2023•广东广州•中考真题）如图，正方形ABC。的边长为4,点E在边8C上，且鹿=1,尸为对角线80上一动

点，连接C/,EF,则CP+EF的最小值为.

例4.（2024・广东广州•中考真题）如图，点E,尸分别在正方形A3C。的边BC,CO上，BE=3,EC=6,CF=2.求

证：△ABE1s/\ECF.

例5.（2023•广东广州•中考真题）如图，在正方形ABC。中，E是边AO上一动点（不与点A,。重合）.边BC关于BE

对称的线段为8尸，连接AF.

（1）若ZABE=15。，求证：小尸是等边三角形;

⑵延长E4,交射线BE于点G；

①,能否为等腰三角形？如果能，求此时NABE的度数；如果不能，请说明理由；

②若AB=6+娓,求3GF面积的最大值，并求此时AE的长.

【变式演练】

1.（2024・广东广州•二模）如图，在正方形ABC。中，〃为CO上一点，连接40与3£）交于点N,点厂在BC上，点、E

在AD上，连接£尸交于点G,且垂足为若H为AM的中点，则下列结论:①AM=EF；②竺=券;

GDCM

@GH=FG+HE；④/XAHESAGHN.其中结论正确的个数有（）

因£

A.①③B.①④C.②③>D.①②

2.（2024•广东深圳.一模）如图，在正方形ABC。中，3PC是等边三角形，BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,

①AE-FC；②NPDE=15°；③APSC=若；④?DWC=0；

连接80,DP,8。与CP相交于点8.给出下列结论:C

2°APCD口/\BHC乙

⑤DE?=PF•PC.其中正确的结论有（）

AFED

0

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2024•广东广州•二模）如图，正方形ABC£＞中，AB=10,。是BC边的中点,点E是正方形内一动点，OE=2后,

连接DE,将线段DE绕点。逆时针旋转90。得。F,连接AE,CF.

ADAD

「口

"OCBOC

备用图

⑴求证：VADE丝VCDF；

（2）若A,E,。三点共线，连接0/，求线段0尸的长.

（3）当线段取最小值时，求tanN尸OC.

4.（2024・广东清远•模拟预测）如图①,在正方形ABCD中，点E是边BC上的一动点（不与2、C重合），连接

AE,将ABE沿AE翻折，使点B落在点F处，延长EF交DC于点G,连接AG,过点E作EH±AE交

AG的延长线于点H,连接CH.

⑴观察猜想：AE=EH吗?如相等，请说明理由；

（2）尝试探究：如图②，若BEg，求CH的长；

（3）解决问题：如题图③，连接分别与AE.AG交于点M、N.若AB=4®,CH=2,求DG的长.

5.（2024•广东佛山•二模）已知点E是边长为2的正方形ABCD内部一个动点，始终保持NAED=90。.

DF

【初步探究】（1）如图,延长DE交边BC于点尸.当点尸是的中点时，求益的值;

DF

【深入探究】（2）如图,连接CE并延长交边AD于点M.当点M是9的中点时，求益的值;

DF

【延伸探究】(3)如图,连接8E并延长交边CD于点G.当DG取得最大值时，求隼的值.

AE

03中考练场

一、单选题

1.（2025・广东广州・一模）如图,菱形ABCD的对角线AC与8。相交于点O,E为边BC的中点,连接OE.若AC=3,8。=4,

则OE的长为（）

A

2.（2025•广东•模拟预测）如图，点E在矩形ABC。的边BC上，将矩形沿AE翻折，点8恰好落在边C。的点尸处，如

AT）

果NCEF=45。，那么一的值等于（）

A.75B.V2+1C.火匚D.招

2

3.（2025•广东广州•模拟预测）如图，将菱形纸片ABCZ）折叠，使点3落在AD边的点尸处，折痕为CE,若AB=10,

E为A8的中点，/3=60。，则四边形8CEE的面积是（）

A.20布B.25^/3C.40百D.50右

4.（2025•广东深圳•一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,8。相交于点O,AB=6,4MC=60。，点产在

线段AO上从点A至点0运动，连接。尸，以DF为边作等边三角形DEE,点E和点A分别位于。尸两侧，下

列结论：®ZBDE=ZEFC；②ED=EC；③ZADF=NECF；④点E运动的路程是2石；其中正确结论的序号

A.①④B.①②③C.②③D.①②③④

△ZMF之△DOE,ZDOE=60°,

5.（2025・广东佛山•一模）如图，在矩形A3。中，AB=5,BC=5』,点P在线段BC上运动（含8、C两点），将点

产绕点A逆时针旋转60。到点Q,连接DQ,则线段DQ的最小值为（）

A.-B.572C.巫D.3

23

二、填空题

6.（2025・广东深圳•一模）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长线到点E,使CE=£>C,连接AE,交BC于点F.添

加一个条件，使四边形ABEC是矩形.下列四个条件：®ZDAC=ZEAC；®AD=AE；®AB=AD;®ZAFC=2ZABC

中，你认为可选择的是.（填上所有满足条件的序号）

7.（2024•广东深圳•模拟预测）在菱形A5CZ）中，NABC=60。，点E在边上，BE=2CE,A3关于AE对称的直线

CF

交。口于尸，则而的值为

D

B

三、解答题

8.(2025•广东深圳•一模)如图，四边形ABCZ)为平行四边形，对角线AC的垂直平分线所分别交边AD,于点E,

F,垂足为0.

⑴求证：四边形AFCE为菱形；

(2)在BC的延长线上取一点G,使CG=OC,连接OG.若F为的中点，且/G=15。，AB=8,求二R9G的面积.

9.(2025・广东潮州・模拟预测)如图，正方形ABCD中，A3=6,点E在边C。上，且tan4DAE=g,将VADE沿AE对

折至TXAFE,延长匹交边8C于点G,连接AG、CF.

⑴求证：△ABG四△AFG；

⑵求3G的长；

(3)求tan/尸CE的值.

10.(2025・广东广州•模拟预测)问题情境：

如图1,四边形ABC。是菱形，过点A作AEL8C于点E,过点C作bJ.AD于点尸.

H

图2

猜想证明:

(1)判断四边形AEC尸的形状，并说明理由;

深入探究:

(2)将图1中的ABE绕点A逆时针旋转，得到AHG,点E,8的对应点分别为点G,H.如图2,当线段A“经过

点C时，G8所在直线分别与线段A。，8交于点N.猜想线段CH与必)的数量关系，并说明理由.

11.（2024•山东东营.模拟预测）如图1,四边形A3CD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C,。不重合），以

CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段3G、线段的长度关系及所

图1图2图3

（1）猜想如图1中线段BG,线段。E的数量关系是；线段BG,OE的位置关系―

类比探究：

（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a,得到如图2,如图3情形，请你

判断（1）①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2