2025中考数学重难点复习专练：一次函数解答题（含答案解析）

重难点02一次函数解答题

明考情.知方向

一次函数在中考中是必考内容，涉及的知识点包括一次函数的图像、性质、解析式、平移、旋转、与实际

问题的结合等。例如，2024年的模拟试题中，一次函数的考查形式包括几何变换、图象与系数的关系以及

点的坐标特征等。近年来，北京中考一次函数的难度有所变化。2021-2023年的题目中，一次函数的考查内

容较为基础，主要集中在解析式的求解和图像的绘制。但从2024年的模拟试题来看，题目难度有所提升,

涉及更多几何变换和实际应用问题。这表明一次函数的考查逐渐从单一的知识点转向综合能力的考察。

热点题型解读

【题型1一次函数平移相关】

考查一次函数的综合应用.熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关

键.

1.（中国人民大学附属中学丰台学校2024-2025学年九年级上学期数学期中）在平面直角坐标系无Oy中，一

次函数丁=辰+6伏W0）的图象由函数图象y=2x平移得到，且经过（-1,0）.

⑴求这个一次函数的解析式；

（2）当尤>1时，对于尤的每一个值，函数y=的值大于一次函数、=辰+》（左彳。）的值，直接写出加

的取值范围.

2.（2024年北京市燕山区中考数学押题模拟）在平面直角坐标系中，一次函数了=履+》（左片0）的图象

是由直线y=3x-l平移得到的，且经过点（-1,2）.

（1）求这个一次函数的解析式；

⑵当x<-l时，若对于尤的每一个值，函数丁=〃式（〃冲0）的值都大于一次函数丫=6+匕（左/。）的值，直接

写出根的取值范围.

3.（2024年北京市首都师范大学附属中学大兴北校区中考模拟）在平面直角坐标系宜刀中，一次函数y=丘+6

（左片0）的图象由函数y=2x的图象向下平移4个单位长度得到，且与X轴交于点A.

（1）求该一次函数的解析式及点A的坐标；

（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y=x+”的值小于一次函数y=Ax+6（左#0）的值且大于-3,直

接写出〃的取值范围.

4.（2022•北京海淀•模拟预测）在平面直角坐标系无。丫中，直线y=：x+l与y轴交于点A.

（1）求点A的坐标；

⑵将点A向右平移2个单位恰好落在直线y=履-3上，点（加,％）在直线y=gx+l上，点（加+2,%）在直线

y=kx-3上.若求相的取值范围.

5.（2023•北京石景山•一模）在平面直角坐标系x°y中，一次函数>=丘+优左力。）的图像由函数y=x的图

像平移得到，且经过点41,3）.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x<l时，对于X的每一个值，函数y=7以（利*。）的值小于函数>=丘+优左力。）的值，直接写出册的取

值范围.

【题型2一次函数求解析式】

考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此

题的关键.

6.（北京市第一六一中学2024-2025学年九年级上学期开学）在平面直角坐标系中，一次函数了=丘+6

的图象由函数y=2尤-2的图象平移得到，且经过点4（1,4）.

⑴求这个一次函数的解析式；

(2)一次函数、=乙+6的图象与x轴交于点B,求AOB的面积.

7.(2024•北京东城•二模)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k*0)的图象经过点4(1,0)和B(2,l).

⑴求该函数的解析式；

(2)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=M+；的值小于函数y=Ax+Z?(左/0)的值，当x<-L时，对于x

的每一个值，函数y=+；的值小于0,直接写出，”的值.

8.(2024年北京市第十一中学中考三模)在平面直角坐标系xQy中，一次函数>=履+匕经过点(。⑵，(4,-2).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x44时，对于x的每一个值，函数丁=辰+6的值大于一次函数_y=〃a+〃7的值，直接写出机的取值范

围.

9.(2024•北京海淀•二模)在平面直角坐标系xQy中，一次函数丫="+优左片0)的图象由函数y=gx的图

象平移得到，且经过点(2,4).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数'+〃的值与一次函数>=丘+优左#0)的值的差大于1,直接写出

"的取值范围.

10.(北京市海淀区清华大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学)在平面直角坐标系中，一次

函数丁=履+6的图象经过点(-1,0),(1,2).

⑴求这个一次函数的解析式；

(2)当了>-3时，对于*的每一个值，函数：y=的值小于函数y=Ax+6的值，直接写出加的取

值范围.

【题型3一次函数求参数取值范围】

WV*W

考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟悉利用数形结合是解题的关键.找到临

界值是解答的诀窍。

11.(2024•北京西城•模拟预测)在平面直角坐标系中，一次函数y=^+l(%N0)与反比例函数y=:图

像的一个交点为点M.

⑴当点M的坐标为求加和％的值；

a

（2）当x>l时，对于x的每一个值，一次函数>=履+1（左力0）的值大于反比例函数y=（的值，直接写出上的

取值范围.

12.（2024•北京大兴•一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y="+优左W0）的图象经过点A（l,3）和B（-l,-1）,

与过点（-2,0）且平行于y轴的直线交于点c.

（1）求该函数的表达式及点c的坐标；

⑵当x<-2时，对于X的每一个值，函数的值大于函数>=丘+优上W0）的值且小于-2,直接写

出w的取值范围.

13.（2024•北京平谷•二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k^0）的图象经过点（1,1）和（0,-1）.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x<l时，对于x的每一个值，一次函数〉=m（，〃/0）的值大于函数丫=丘+6（%工0）的值，直接写出相

的取值范围.

14.（2024•北京丰台•二模）在平面直角坐标系宜刀中，一次函数、=履+，优W0）的图象由函数>=2尤的图

象平移得到，且经过点。,1）.

⑴求该一次函数的解析式；

⑵当x>T时，对于x的每一个值，函数y=〃氏+2（加力0）的值大于一次函数y=（女中0）的值，直接写

出m的取值范围.

15.（2024,北京大兴•二模）在平面直角坐标系无Oy中，函数丫=去+6（左片0）的图象由函数>=2x的图象平

移得到，且经过点。,5）.

（1）求这个函数的表达式；

（2）当了<-1时，对于尤的每一个值，函数丫=〃吠0W。）的值大于函数>=辰+）（左/0）的值，直接写出机的

取值范围.

【题型4一次函数与反比例函数综合】

考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，垂线段最短，图象

法求不等式解集，熟练掌握一次函数与反比例关系函数性质是解题的关键.

16.（2024•北京朝阳•一模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=〃式（加工0）的图象和反比例函数

y=与丘0）的图象都经过点A（2,4）.

X

⑴求该正比例函数和反比例函数的解析式;

（2）当x>3时，对于尤的每一个值，函数y=〃a+”（机/0）的值都大于反比例函数）=。（左W0）的值，直

接写出”的取值范围.

17.（北京市石景山区2022-2023学年九年级上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数

乂=：（加*0）的图象经过点4（-1,-6）,一次函数丫2=履-1（左中0）的图象与y轴交于点&

（1）求反比例函数的表达式并直接写出点8的坐标；

（2）当x>2时，对于x的每一个值，都有为<%，直接写出人的取值范围.

18.（2022•北京西城・二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数'=-8+》的图象与x轴交于点（4,0）,且与

反比例函数y='的图象在第四象限的交点为（〃,-1）.

X

（1）求b,加的值；

⑵点P（Xp，X>）是一次函数y=-x+万图象上的一个动点，且满足F<%<4,连接。尸，结合函数图象，直接

xp

写出。尸长的取值范围.

19.（2021•北京丰台二模）在平面直角坐标系xOy中，直线>=履+可左/0）与反比例函数>=2（加片0）的

X

图象交于点A（T㈤,3（2,T）两点.

（1）求机〃的值；

（2）已知点P（a,0）（a>0）,过点尸作x轴的垂线，分别交直线y=6+可左/0）和反比例函数y=*0）

的图象于点M,N,若线段MN的长随。的增大而增大，直接写出。的取值范围.

20.（2023年北京市燕山地区中考二模）在平面直角坐标系xOx中，一次函数y=入+万（左>0）与反比例函数

IYL

y=—（加工0）的图象交于点41,6）和点B.

x

⑴若点3（—6,-1）,求该一次函数和反比例函数的解析式；

⑵当xV-3时，对于x的每一个值，函数y=—（:游0）的值大于一次函数y=kx+6依>0）的值，直接写出％的

取值范围.

限时提升练

（建议用时：20分钟）

1.在平面直角坐标系xOy中，已知函数、=区+6伏工0)与丁=-履+3的图象交于点(2,1).

(1)求上和》的值；

(2)当x>4时，对于x的每一个值，函数丁=7蛆+2(机力0)的值大于丫=-履+3的值，且小于y=fcv+6的值,

直接写出优的取值范围.

2.在平面直角坐标系x0y中，直线、=履+1(左片。)与双曲线y=g(x>0)的交点是A(a,3).

(1)求。和上的值；

⑵当x>3时，对于x的每个值，函数1=7加机力0)既大于函数y=9(x>0)的值，又小于函数y=履+1的值,

直接写出机的取值范围.

3.在平面直角坐标系xOy中，点A(a,2)是函数y=x-l的图象与函数>=勺左wO)的图象的交点.

(1)求a的值和函数y=的表达式；

(2)若函数y=x-i的值大于函数y=?%/0)的值，直接写出X的取值范围.

4.已知y是Z的反比例函数，Z是x的正比例函数.

2

⑴当z=-§时，y=6.当％=6时，z=4.求y与%之间的函数关系式；

(2)证明：丁是龙的反比例函数.

重难点02一次函数解答题

明考情.知方向

一次函数在中考中是必考内容，涉及的知识点包括一次函数的图像、性质、解析式、平移、旋转、与实际

问题的结合等。例如，2024年的模拟试题中，一次函数的考查形式包括几何变换、图象与系数的关系以及

点的坐标特征等。近年来，北京中考一次函数的难度有所变化。2021-2023年的题目中，一次函数的考查内

容较为基础，主要集中在解析式的求解和图像的绘制。但从2024年的模拟试题来看，题目难度有所提升,

涉及更多几何变换和实际应用问题。这表明一次函数的考查逐渐从单一的知识点转向综合能力的考察。

热点题型解读

【题型1一次函数平移相关】

考查一次函数的综合应用.熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关

键.

1.（中国人民大学附属中学丰台学校2024-2025学年九年级上学期数学期中）在平面直角坐标系无Oy中，一

次函数丁=辰+6伏W0）的图象由函数图象y=2x平移得到，且经过（-1,0）.

⑴求这个一次函数的解析式；

（2）当尤>1时，对于尤的每一个值，函数y=的值大于一次函数、=辰+》（左彳。）的值，直接写出加

的取值范围.

【答案】⑴y=2尤+2；

（2）m>4

【详解】（1）解：由图象的平移可知，y=2x+bf

将（一1,0）代入y=2x+Z?得，-2+0=0,

解得，6=2,

回这个一次函数的解析式为>=2X+2；

（2）当龙=1时，y=2xl+2=4,

把点（1,4）代入>=皿，

得机=4,

团当兀>1时，对于x的每一个值，函数,=松（机W0）的值大于一次函数丁=2犬+2的值，

0m>4.

2.（2024年北京市燕山区中考数学押题模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数丁=去+6（左彳0）的图象

是由直线y=3x-l平移得到的，且经过点

⑴求这个一次函数的解析式；

（2）当尤<一1时，若对于尤的每一个值，函数y=的值都大于一次函数y=Ax+6（化二。）的值，直接

写出机的取值范围.

【答案】（l）y=3x+5

（2）m<—2

【详解】⑴解：一次函数>=去+。（左H0）的图象是由直线y=3x-i平移得到的，

:.k=3,即y=3x+b,

•一次函数y=3x+b的图象过点（-1,2）,

2——3+b,

解得：b=5,

.•.此函数解析式为y=3x+5；

（2）解:把点（-1,2）代入y=〃a（〃件0）,得m=-2,

:当x<-l时，若对于x的每一个值，函数y=的值都大于一次函数y=Ax+b（左w0）的值，

m<-2.

3.（2024年北京市首都师范大学附属中学大兴北校区中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b

（发片0）的图象由函数y=2x的图象向下平移4个单位长度得到，且与X轴交于点A.

（1）求该一次函数的解析式及点A的坐标；

（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y=x+〃的值小于一次函数y=+（左#0）的值且大于-3,直

接写出”的取值范围.

【答案】⑴y=2x-4,A（2,0）

⑵-50〃W-2

【详解】（I）解：一次函数>=履+6（人/0）的图象由函数y=2x的图象向下平移4个单位长度得到，

・•・一次函数的解析式为y=2X-4,

当>=。时，0=2%—4,解得：x=2,

：.A（2,0）.

（2）:•当尤>2时，对于x的每一个值，函数，=尤+"的值小于一次函数y=2x-4的值且大于-3,

x+〃<2x—4且x+〃>—3,

即：x>4+nS.x>—3—n,

x>2,

224+H且22—3—九，

解得：-5W〃W-2.

4.（2022・北京海淀•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y=gx+l与y轴交于点A.

（1）求点A的坐标；

（2）将点A向右平移2个单位恰好落在直线丫=履-3上，点（〃?,”）在直线y=》+l上，点（加+2,%）在直线

>=履-3上.若%«%，求机的取值范围.

【答案】⑴点A的坐标为（0,1）

（2）m>0

【分析】（1）代入x=0求出与之对应的y的值，即可得出点A的坐标；

（2）由题意可得％=^机+1,必=2（机+2）-3=2机+1,根据%即可求解.

【详解】（1）当x=0时，y=1x0+l=1,

回点A的坐标为（0,1）;

（2）点A的坐标为（0,1）,将点A先向右平移2个单位，得到点（2,1）,

回点（2,1）恰好落在直线y=履-3上，

回2左一3=1,解得k=2,

团直线解析式为尸2%-3,

回点（"?,3）在直线y=gx+l上，点（加+2,%）在直线>=区-3上.

团％=5根+1,%=2（"z+2）-3=2〃z+l,

团MV必，

E^-7/1+1<2m+1,

2

07/Z>0,

0m的取值范围为机NO.

5.（2023•北京石景山•一模）在平面直角坐标系xOv中，一次函数、=丘+匕（左片0）的图像由函数的图

像平移得到，且经过点41,3）.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当X<1时，对于X的每一个值，函数，=g。77/0）的值小于函数'=履+。（左力0）的值，直接写出7"的取

值范围.

【答案】（i）y=x+2

（2）l<m<3

【详解】（1）解：团一次函数、=依+优左HO）的图像由函数的图像平移得到，

0^=1.

国一次函数>=无+6的图像经过点A（L3）,

01+Z?=3.

回6=2.

团这个一次函数的解析式为y=x+2.

（2）解：由题意，得：x<l时直线，=7"。"二0）在直线y=x+2的下方，

如图：当直线，=7"。"30）在［1，/2之间时，满足题意：

当y=mx（7〃w0）与y=x+2平行时，m=l,

当y=znx（7〃*0）过点A（l,3）时：m=3,

团当时，对于x<l的每一^M直，函数y=3（加片。）的值小于函数y=卮+双发片。）的值.

【题型2一次函数求解析式】

考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此

题的关键.

6.（北京市第一六一中学2024-2025学年九年级上学期开学）在平面直角坐标系xQy中，一次函数，=辰+）

的图象由函数y=2尤-2的图象平移得到，且经过点4（1,4）,

⑴求这个一次函数的解析式；

⑵一次函数丫=依+》的图象与x轴交于点8,求AOB的面积.

【答案】（l）y=2x+2,详见解析

⑵AOB的面积2,详见解析

【详解】（1）回一次函数>=履+6的图象由直线y=2x-2平移得至IJ,

回左=2,

回一次函数的图象经过点A0，4）,

回4=2+6

回6=2,

回一次函数的解析式为y=2X+2；

（2）如图，令y=0,则x=-l,

回AOB=-xlx4=2,

I3VAO3的面积为2.

7.（2024•北京东城•二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k丰0）的图象经过点4（1,0）和B（2,l）.

（1）求该函数的解析式；

（2）当x>3时，对于x的每一个值，函数y=〃a+；的值小于函数>=6+匕（左/0）的值，当了<-1时，对于尤

的每一个值，函数y=nzx+；的值小于0,直接写出册的值.

【答案】（i）y=xT

【详解】（1）解：函数、=去+》（左片。）的图象经过点AQ0）和8（2,1）,

肚+。=0

''\2k+b=V

解得：

[b=-l

该函数的解析式为y=x-i；

（2）解：当x=3时，y=3-l=2,

;当x>3时，对于x的每一个值，函数y=m+g的值小于函数y=Ax+》（左wO）的值,

/.3m+—<2,m<\,

2

解得：m<^-,

2

i,当x<-L时，对于*的每一个值，函数〉=的值小于0,

一YYl-\--W0,

2

解得：m>—,

1

:.m=—.

2

8.（2024年北京市第十一中学中考三模）在平面直角坐标系'Ox中，一次函数y=经过点（0,2）,（4,-2）.

⑴求这个一次函数的解析式;

（2）当％44时，对于％的每一个值，函数丁=丘+力的值大于一次函数丁=如+机的值，直接写出机的取值范

围.

【答案】⑴尸-犬+2

2

(2)—1<m<——

【详解】（1）解：回一次函数广区十人的图象过点（。，2）,（4,-2）,

b=2

团把（。,2）,（4,—2）代入得:

4左+。二一2'

k=-l

解得:

b=2

团一次函数的解析式y=-》+2；

（2）解：由（1）得：一次函数的解析式y=T+2,

当x=4时，y=-2,

回当尤44时，对于x的每一个值，函数y=Ax+8的值大于一次函数，=加+用的值,

才巴X=4代入y=mr+m得：y=5m,

ffl5m<-2，

2

解得：m<--

加=-1,此时函数、=丘+6的值大于一次函数>=侬+机的值,

5

9.（2024•北京海淀•二模）在平面直角坐标系xQy中，一次函数丫="+优左片0）的图象由函数y=gx的图

象平移得到，且经过点（2,4）.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数）=无+〃的值与一次函数>=丘+优左#0）的值的差大于1,直接写出

〃的取值范围.

【答案】⑴y=1x+3

（2）n>3

【详解】（1）解：根据图象平移可得左=（，且经过点（2,4）,

)1-7

团4=—x2+b,

2

解得，b=3,

回一次函数图象的解析式为J=1x+3；

(2)解：根据题意，x+n-^—x+3\>1,

解得，n>——x+4,

团%>2,

回几>3,

当〃=3时，-^+3—x+=-x>1,

n>3.

10.(北京市海淀区清华大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学)在平面直角坐标系兀帆中，一次

函数y=丘+人的图象经过点(TO),(1,2).

⑴求这个一次函数的解析式；

(2)当%>-3时，对于％的每一个值，函数：丁=痛-1(根。0)的值小于函数>=履+。的值，直接写出用的取

值范围.

【答案】(i)y==+i

⑵加的取值范围为:《根VI

【详解】(1)解：团一次函数,=丘+6的图象经过点(TO),(1,2),

{-k+b=O

加，

[k+b=2

[k=l

解得：一，

国这个一次函数的解析式为y=x+i；

(2)解：当天=—3时，y=-3+l=-2,

根据题意得：当x=-3时，-3m-l<-2,

解得：加wg,

12当x>—3时，对于x的每一个值，函数：、=小一1(加片0)的值小于函数丫=履+6的值，

回机的取值范围为:4根VI.

【题型3一次函数求参数取值范围】

考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟悉利用数形结合是解题的关键.找到临

界值是解答的诀窍。

11.(2024•北京西城•模拟预测)在平面直角坐标系中，一次函数^=丘+1仅W0)与反比例函数>=［图

像的一个交点为点M.

⑴当点M的坐标为(1,m)，求加和人的值；

(2)当x>l时，对于x的每一个值，一次函数>=履+1(左H0)的值大于反比例函数y的值，直接写出％的

取值范围.

【答案】(1)加=3,k=2；

(2)k>2.

【详解】(1)将点M坐标代入反比例函数解析式得，

M=3,

团点M的坐标为(1,3),

将点M坐标代入一次函数解析式得，

左+1=3,

解得k=2.

(2)将x=l代入y=日+1得，

y=k+\.

3

将％=1代入y=3中得，

y=3.

回当X>1时，对于X的每一个值，一次函数>="+1仅H0)的值大于反比例函数>=(的值，

0Zr+l>3,

解得％22,

所以上的取值范围是％22.

12.(2024•北京大兴•一模)在平面直角坐标系xOy中，函数y=履+仇%H0)的图象经过点A(l,3)和8(—1,—1),

与过点(-2,0)且平行于y轴的直线交于点c.

⑴求该函数的表达式及点c的坐标；

⑵当x<-2时，对于尤的每一个值，函数>=m'(〃*。)的值大于函数>=日+6(左片。)的值且小于-2,直接写

出〃的取值范围.

【答案】(l)y=2x+l；(-2,-3)

3

(2)1<H<-

【详解】(1)解:回函数户"+取。0)的图象经过点A(l,3)和3(—1,—1),

团将点A(l,3)和5(—L—1)代入y="+/女w0)中，

k+b=3k=2

解得:

-k+b=—lb=\

回该函数的表达式为：y=2x+l,

回与过点(-2,0)且平行于y轴的直线交于点c,

回将X=_2代入y=2x+l中，得y=_3,

EC(-2,-3)；

(2)解：团当xv-2时，对于x的每一个值，函数y=nx(n丰0)的值大于函数y=履+/左片0)的值且小于—2,

通过图象可知，当〉=加(〃/0)的函数值小于一2时，即将H(-2,-2)代入y=〃x(ww0)中，«=1,

3

当y=依(〃/0)的函数值大于函数y=履+仇上w0)的值将C(-2,-3)代入y=nx(nH0)中，〃=孑，

3

回〃的取值范围为：

2

13.(2024•北京平谷•二模)在平面直角坐标系中，一次函数丫=丘+6/大0)的图象经过点(1,1)和(0-1).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x<l时，对于尤的每一个值，一次函数，=7加欢〃-0)的值大于函数y=Ax+b(%H0)的值，直接写出相

的取值范围.

【答案】⑴―；

(2)l<m<2.

【详解】(1)解:回一次函数、=履+6(%声。)的图象经过点(U)和(。，-1),

日把(1,1)和(0,—1)代入y=履+b(kw0)得，

k+b=l

b=-l

解得［f=2

0=—1

，一次函数的解析式为y=2尤-1

当机=1时，两直线相交于点(1,1),

当加=2时，两直线平行，

所以，力的取值范围为1《机42

14.(2024•北京丰台•二模)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=fcr+6(%wo)的图象由函数y=2元的图

象平移得到，且经过点(1,1).

(1)求该一次函数的解析式；

⑵当X>T时，对于X的每一个值，函数y=皿+2(加力0)的值大于一次函数>=丘+6(人力0)的值，直接写

出加的取值范围.

［答案］⑴y=2x-i

(2)2<m<5

【详解】(1)解：团一次函数的图象y="+6由函数y=2x的图象平移得到，

团左=2,贝！Jy=2x+Z?,

回一次函数过点(1,1),

团把x=l,y=l代入y=2x+b可得：1=2+/?,

解得：b=-l,

团一次函数解析式为：y=2x-l；

(2)解：把％=-1代入y=2犬一1,得：尸―3,

才巴犬=一1,，二-3代入y=mx+2可得：-3=-m+2,

解得：m=5,

团当%>-1时，函数丁=如+2的值大于一次函数y=Ax+b的值，

02<m<5.

15.（2024•北京大兴・二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=去+6（左*0）的图象由函数y=2x的图象平

移得到，且经过点（L5）.

（1）求这个函数的表达式；

⑵当尤<-1时，对于x的每一个值，函数、=尔（加X。）的值大于函数y=Ax+3（左片。）的值，直接写出机的

取值范围.

【答案［（l）y=2x+3

（2）m<—1

【详解】（1）解：回一次函数>=米+。（b0）的图象由函数y=2尤的图象平移得到，

回左=2,

团y=2x+Z7,

把点（1,5）代入y=2x+6得

5=2+6,

解得6=3,

国这个一次函数的解析式是y=2x+3；

（2）解：由题意，得x<-l时直线y=F（%N。）在直线y=2x+3的上方，

当x=_］时，y=2x（-l）+3=l,

把（T,l）代入>得1=—m,解得m=-1,

如图：

团当mw-1时，对于x<-l的每一个值，函数>=的（机力。）的值大于函数y=履+优人/0）的值.

【题型4一次函数与反比例函数综合】

00混

考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，垂线段最短，图象

法求不等式解集，熟练掌握一次函数与反比例关系函数性质是解题的关键.

16.（2024•北京朝阳•一模）在平面直角坐标系宜刀中，正比例函数丁=皿（〃?工0）的图象和反比例函数

y=：仕/0）的图象都经过点4（2,4）.

（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）当x>3时，对于x的每一个值，函数y=+"（〃件0）的值都大于反比例函数>=。（左/0）的值，直

接写出a的取值范围.

Q

【答案】（l）y=2x,y=-

X

（2）^>-y

【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数y=（（左片0）的图象都经过点A（2,4）,

X

4

:.m=—=2,k=4x2=8,

2

Q

・••正比例函数解析式为：y=2x；反比例函数解析式为：y=—；

x

88

（2）当％=3时，y=如+〃=2x+〃=6+〃，,=_=

x3

1,当x>3时，对于X的每一个值，函数y=mx+n{m丰0）的值都大于反比例函数y=々％中0）的值，

「、8

6+〃之一，

3

解得“N-g.

17.（北京市石景山区2022-2023学年九年级上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数

乂=：（7〃片0）的图象经过点4（一1,_6）,一次函数丫2=履-1伏工。）的图象与y轴交于点8.

（1）求反比例函数的表达式并直接写出点8的坐标；

（2）当x>2时，对于x的每一个值，都有为<%，直接写出人的取值范围.

【答案】⑴反比例函数的表达式为>5（0,-1）

X

（2）k>2

【分析】（1）待定系数法求解析式，对于直线方=履-1/K0）令尤=0,得y=-l,求得点3的坐标；

（2）令>=£中，x=2,解得：y=3,结合函数图象即可求解.

X

【详解】（1）解：依题意，把点A（T-6）,代入％=三（m*0）

得加=（-l）x（-6）=6,

回反比例函数的表达式为y=g；

X

由必=丘一1（左力。）的图象与y轴交于点B,

令x=o,得y=-i,

05（0,-1）；

（2）解：如图，令y=9中，x=2,解得：y=3,

X

当直线%=区-1伏二。）经过点（2,3）时，

3=21

解得：k=2,

根据函数图象可知，当上22时，

当尤＞2时，对于x的每一个值，都有/＜丫2，

0^＞2

18.（2022•北京西城•二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+》的图象与X轴交于点（4,0）,且与

反比例函数y的图象在第四象限的交点为（〃,-1）.

（1）求加的值；

⑵点P（乙，”）是一次函数图象上的一个动点，且满足，＜为＜4,连接。尸，结合函数图象，直接

写出。尸长的取值范围.

【答案】（1）。=4,m=-5

（2）272＜OP＜V26

【详解】(1)解：把(4⑼代入y=-x+。，得0=-4+0,

解得：b=4,

回一次函数解析式为y=-x+4,

把(〃厂1)代入尸-尤+4,得-1二力+4,

解得：n=5,

把(5,3代入y=丝得，-1=2,

x5

解得：m=-5；

(2)解：如图，

m，

0—<4,

勺

回0<与<5,

回点P在线段2。上运动，

连接。。，过点。作0038。于C,

EA(4,0),B(0,4),D(5,-1),

I3OA=OB=4,(?£>=752+12=A/26»AB=4y/2,

回S〃OAB=—OA-OB=—AB-OC,

22

04x4=4A/2OC,

0<9C=272，

E<9C<0P<0D,

回2&4。尸<底，

19.（2021•北京丰台二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=去+可左#0）与反比例函数y='（〃"0）的

X

图象交于点A（T，"）,B（2,T）两点.

（1）求加，〃的值；

（2）已知点P（a,0）（a>0）,过点尸作x轴的垂线，分别交直线y=6+可左训和反比例函数y=W0）

的图象于点M,N,若线段MN的长随。的增大而增大，直接写出。的取值范围.

、fm=-2

【答案】（1）\。；（2）〃>2

[n=2

【详解】解：（1）回点A（T,〃兀5（2,-1）在反比例函数>='（加。0）的图象上，

x

m

—1=—

J2,

m

n=——

[-1

fm=-2

解得：C；

[n=2

（2）回A（-1,2）B（2,-1）在直线，=丘+）（左WO）上，

{-k+b=2

[2k+b=-l

解得、[k=1-l，

W=i

直线y=-%+i,

2

反比例函数y,

X

2

当x=a时M（〃，-a+1）,N（〃，——）,

a

2L2-«-2|+

MN=-±-l=i----------————

a+aaa

“八crux（。一2）（。+1）

当0<a<2时MN=----------,

a

设xi,X2是0<〃<2上任意两个数且。<玉<2,xi,X2对应的MN值分别yi,y2,

_（玉-2）（%i+l）伍-2）（々+1）

必一%―1，

玉x2

（石々+2）（%2一%）

玉元2

回xxx2>0,xxx2+2>0,%一％i<0，

X-%<°，

回0<a<2,MN=-2乂。+1）随着〃的增大而减小,

a

回MN在0<〃<2随着a的增大而减小，

当〃>2时MN=----------,

a

设Xi,X2是〃>2上任意两个数且玉>%2>2,Xi,X2对应的MN值分别yi,y2,

_（玉-2）（%+1）（X2-2）（X2+1）

M一切一---------------------------，

石x2

（玉工2+2）（石-X2）

石/

团XxX2>0,%］%2+2>0,七一%2>0,

M-必〉°，

团〃>2,MN=-（"—2乂。+1）随着&的增大而增大,

a

回〃的取值范围是">2.

20.（2023年北京市燕山地区中考二模）在平面直角坐标系中，一次函数丁=七+6%>0）与反比例函数

y=—（切血）的图象交于点A（l,6）和点艮

X

（1）若点3（—6,-1）,求该一次函数和反比例函数的解析式；

⑵当xV-3时，对于x的每一个值，函数y=一（〃/0）的值大于一次函数y=kx+。依>0）的值，直接写出人的

X

取值范围.

［答案］⑴y=x+5.y=-

x

(2)k>2

【详解】(1)解：将点A(L6),8(—6,—1)的坐标分别代入>=履+6中,

fk+b=6,

得[-6k+b=-1,

解得

[b=5,

团一次函数的解析式y=X+5.

将点A(l,6)的坐标代入y='中,

X

得m=6,

团反比例函数的解析式>=9.

X

(2)解：由点41，6)在一次函数>=履+，和反比例函数y='的图像上,

X

7,76

回匕=6—左，y=—,

x

令9=kx+6-k,

x

回(6+6)(%-1)=0；

16

回玉=1,x=—,

2k

回当XV-3时，对于x的每一个值，不等式都成立，

12--<-3,

k

0^>2；

限时提升练

(建议用时：20分钟)

1.在平面直角坐标系xOy中，已知函数、=去+6(左=。)与'=-履+3的图象交于点(2,1).

⑴求人和6的值;

(2)当x>4时，对于x的每一个值，函数y=wu+2(mw0)的值大于丁=-履+3的值，且小于丫=丘+。的值,

直接写出根的取值范围.

【答案】(1次的值为1,b的值为-1

31L

（2）——

44

【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想是解决本题的关

键.

（1）将（2,1）代入y=-履+3先求出比再将（2,1）和人的值代入y=fcc+6（女工0）即可求出b；

（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当x>4时，对于尤的每一个值，直线y=e+2（机工0）的图

象在直线y=-x+3的上方且在直线y=x-l的下方，画出临界状态图象分析即可.

【详解】（1）解：由题意，将（2,1）代入y=-履+3得：一2左+3=1,

解得：k=l,

将笈=1,（2,1）,代入函数y=Ax+6（左H0）中,

2k+b=\

得:

k=\

k=l

解得:

b=­l

回左=l,b=—1；

（2）解：^k=l,b=-l,

回两个一次函数的解析式分别为y=x-l,y=-尤+3,

当x>4时，对于x的每一个值，函数,=巾+2（机中0）的值大于y=-x+3的值，且小于y=x-l的值，

即当x>4时，对于x的每一个值，直线,=7m+2（机工0）的图象在直线y=-x+3的上方且在直线了=尤-1的

下方，则画出图象为：

将x=0代入y=mx+2（mw0）,贝1|y=2,

回直线>=%+2（机工0）的图象过定点（0,2）,

将x=4代入>=尤-1,则y=3,

由图象得：当直线）^=如+2（加力0）的图象过点（4,3）时,

则3=4〃，+2,解得：加=；；

将％=4代入y=—x+3,贝|>二一1,

由图象得：当直线y=蛆+2（利w0）的图象过定点（4,-1）时，

-,3

则-1=4机+2,解得：m=—；

4

31

综上，加的取值范围为:--<m<—.

44

2.在平面直角坐标系x0y中，直线，=6+1供片0）与双曲线>=♦（%>0）的交点是4（。,3）.

（1）求。和女的值；

（2）当x>3时，对于x的每个值，函数y=既大于函数y=[（x>0）的值，又小于函数丫="+1的值,

直接写出机的取值范围.

【答案】（1）。=2,左=1

2

（2）-<771<1

【分析】此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键.

（1）先利用反比例函数求出。=2,得到4（2,3）,把A（2,3）代入、=丘+1（左力0）求出左=1；

（2）在同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可.

【详解】（1）解：把（〃,3）代入y=9得到，3=-,

xa

解得。=2,

团A（2,3）,

把A（2,3）代入丁=丘+1（kwO）得到3=2左+1,

解得k=l；

（2）由（1）可知，函数>