安徽省宿州市萧县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

萧县2023-2024学年度第二学期期中质量检测八年级数学试卷

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（每题4分，共40分）

1.有下列数学表达式：①3>°；②4x+5>°；③X=3；@x2+x,⑤x+2<x+l,其中是不等式的有

（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】

【分析】此题主要考查了不等式的定义，正确把握不等式的定义：用不等号表示不等关系的式了叫不等式是

解题关键.

直接利用不等式的定义判定即可得出答案.

【详解】解：③x=3是等式不是不等式，④炉+尤是整式不是不等式；

®3>0；②4x+5>0；⑤x+2<x+l,共有3个是不等式.

故选：B.

2.数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图

形又是中心对称图形的是（）

A.）〈有害垃圾

B.可回收物

C.厨余垃圾D.其他垃圾

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形概念进行判断即可.

【详解】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意;

B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

3.如图，将绕点C顺时针方向旋转43。得VACB',若则/B4C等于（）

A.43°B.45°C.47°D,50°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角；旋转前、后的图形全等.先利用旋转的性质得到NAC4'=43°,NA=NA,则根据利用

直角三角形两锐角互余可计算出NA=47°,从而得到NBAC的度数.

【详解】解：：ABC绕点C顺时针方向旋转43。得到VACB',

ZACA=43°,ZA=ZA,

'：AC±A!B',

•••ZA'=90°—43°=47°,

二ZfiAC=47°.

故选：C.

4.下列命题的逆命题成立的是（）.

A.全等三角形的对应角相等

B.若三角形的三边满足标+廿=02,则该三角形是直角三角形

C.对顶角相等

D.同位角互补，两直线平行

【答案】B

【解析】

【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据全等三角形的性质、勾股定理、对顶角的定义、平行线

的性质进行判断即可.

【详解】A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；

B、若三角形的三边满足々2+〃=02,则该三角形是直角三角形的逆命题为若a、b、c为直角三角形的三

边,则满足a2+b2=c2,此逆命题为真命题;

C、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；

D、两条直线平行，同位角互补逆命题为同位角互补，两条直线平行，此逆命题为假命题.

故选：B.

【点睛】本题考查了命题与定理、逆命题等知识，判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误

的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理.

%+2>0

5.把不等式组1°八的解集表示在数轴上，正确的是（）

%-2<0

【答案】D

【解析】

6.已知：如图，一ABC.

求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角.

下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①...NA+N3+NC>180°,这与“三角形内角和等于180。”相矛盾.

②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立.

如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.

③假设有两个（或三个）直角，不妨设NA=N3=90°.

@VZA+ZS=180°,

这四个步骤正确的顺序应是（）

A.④③①②B.③④②①C.①②③④D.③④①②

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到

4+4=180。，进而得到NA+NB+NC>180°,这与“三角形内角和等于180。”相矛盾，则假设不成

立，据此可得答案.

【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②，

故选D.

7.如图，-ABC中，ZB=2NC,A。是高，BD=2,CD=7,则A5长为（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质定理，在上取一点E,使

BD=DE=2,由ADSBC,得出AB=AE,=三角形的外角性质定理得出

ZAEB^ZC+ZEAC,进一步得出NC=NE4C,AE=CE=5,即可求出A3的值.

【详解】解：在上取一点E,使BD=DE=2,

,:CD=Q,

/•CE=5,

•••ADIBC,

AB=AE,

:.ZAEB=ZB，

,/ZAEB=ZC+ZEAC,

又NB=2NC,

：.ZC=ZEAC,

AE=CE=5,

:.AB=5,

故选：B.

8.亚运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，亚运会结束

后，商店准备将这批服装降价处理，打X折出售，使得每件衣服的利润不低于5%,根据题意可列出来的

不等式为（）

X

A.300x-200>200x5%B.300.--200>200x5%

10

X

C.300---200>300x5%D.300%>200x(1+5%)

10

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用.设售价可以按标价打x折，根据“每件衣服的利润不低于

5%”即可列出不等式.

【详解】解：按标价打x折出售，根据题意，得

X

300---200>200x5%.

10

故选：B.

3x-tn>0

9.若关于彳的不等式1「的整数解共有4个，则机的取值范围是（）.

[x-l<5

A.6<m<9B.6<m<9C.6<m<9D.6<m<9

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出3x—机>0和x—1W5两个不等式的解集，解得x>一,x<6,根据％46判断出原不

3

等式组的四个整数解为6,5,4,3,再来判断，〃的取值范围即可.

3x-m>0

【详解】解：原不等式组为1,

x-l<5

解不等式3x-m>0,得X>一,

3

解不等式x—1W5,得了<6,

・原不等式组有四个整数解，

原不等式组的整数解为6,5,4,3,

:.6<m<9.

故选：D.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据整数解的个数来判断根的取值范围是解题的关键.

10.如图，3。是的角平分线，BA=BC=10,AC=12,DE//BC,P,。分别是3D和BC

上的任意一点，连接K4,PC,PQ,AQ,给出下列结论:

@PC+PQ>AQ.

②4£+。石=5。；

24

③PC+PQ的最小值是不；

④若平分NB4C,则的面积为9.

其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】①根据等腰三角形性质得出3D垂直平分AC,得出AP=PC,根据三角形三边关系即可得

出结论；

②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明NEDB=NEBD，

ZADE=ZBAD,得出EB=E。，EA=ED,即可得出结论；

③过点A作AW，5c于点当点尸在AM与3。交点上时，AP+PQ=AM,此时AP+PQ最小,

且最小值为AM,根据等积法求出AM即可;

SAD63

④过点尸作P/VLA5于点M得出尸N=PQ,求出不APD^=二3=右=£，即可求出结果.

、APBAn1UJ

【详解】解：①•••54=50=10,3D是二ABC的角平分线,

BDJ_AC,AD=CD=—AC=6,

2

.••BD垂直平分AC,

：.AP=PC,

，PC+PQ=AP+PQ,

,；AP+PQ>AQ,

：.PC+PQ>AQ,故①正确；

②，：BC,

:./EDB=NDBC,ZADE=ZACB,

：加>是，RC的角平分线，

，ZEBD=ZDBC,

：.ZEDB=ZEBD,

EB=ED，

•：AB=BC,

：.ZBAC=ZACB,

ZADE=ZACB,

ZADE=ZBAD,

：.EA=ED,

：.AE=DE=BE=-AB=-BC,

22

/•AE+DE=BC,故②正确；

③根据解析①可知，PC+PQ=AP+PQ,

.•.当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，

过点A作于点如图所示：

当点P在AM与交点上时，AP+PQ=AM,且最小值为A”,

:BD平分NABC,

BDVAC,,

•*-BD=VAB2-AD2=8，

S=—ACxBD=—BCxAM,

■ABRC22

A…M=-A-C-x-B-D=-1-2-x8=—48,

BC105

48

即PC+PQ的最小值是y,故③错误；

④过点P作/W_LAB于点N,如图所示:

：平分/斜。，PDA.AC,

：.PN=PD,

.SA?。_AD=6=3

-

sAPB5)

,S4APD+^AAPB=SAAB。=5X6x8=24，

33

x1x249

SAPD=T—r5ABD=-='故④正确;

J+3o

综上分析可知，正确的有①②④.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的

性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

II.不等式x+5>0的解集是.

【答案】1〉—5

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可解答；掌握不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号符号不变是解题的

关键.

【详解】解：1+5>0,

x+5—5>0—5

x>-5.

故答案为：x>—5.

12.如图，将ABC沿5C方向平移2cm得到石斯，若,的周长为16cm,则四边形A班。的周长

为.

【答案】20cm##20厘米

【解析】

【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原

图形的形状和大小完全相同.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应

点.连接各组对应点的线段平行且相等.先根据平移的性质得到CF=AD=2cm,AC=DF,而

AB+BC+AC=16cm,则四边形A班。的周长=AB+BC+CE+DP+AD,然后利用整体代入的方

法计算即可.

【详解】解：ABC沿方向平移2cm得到.力•斯，

OF=AD=2cm,AC=DF,

..ABC的周长为16cm,

AB+BC+AC=16cm,

二四边形A班D的周长=AB+5C+Cb+DF+AD

=AB+BC+AC+CF+AD

=16+2+2

=20(cm).

故答案为：20cm

13.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在NAOB上，两把直尺的接触点为C,边Q4与其中一把

直尺边缘的交点为。，点C在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、4cm,则。。的长度是cm.

【解析】

【分析】本题考查角平分线的判定定理，平行线的性质，等角对等边；

过。作于N,由角平分线性质定理的逆定理推出CO平分得到/COD=/NOC,

由平行线的性质推出/OCO=/NOC,得至ij/COD=,因此OD=CD,由

PC=4—1.9=2.1(cm),即可得到OD的长度是2.1cm.

【详解】解：过C作。VLOfi于N,

由题意得：CM=CN,

CM±OA,

..CO平分NAOB,

:.NCOD=NNOC,

DC//OB,

:.ZDCO=ZNOC,

:.ZCOD=ZDCO,

/.OD-DC,

D、C在这把直尺上的刻度读数分别是1.9、4,

.-.r>C=4-1.9=2.1(cm),

.•.0£）的长度是2.1。11.

故答案为：2.1cm.

14.如图，。是等边外一点，AD=3,CD=2,则3D的最大值是,此时的面积为

A

【解析】

【分析】以CD为边作等边△£）色,连接AE.利用全等三角形的性质证明皮）=4石，利用三角形的三

边关系即可解决问题；当3D取最大值时，则点4D、E三点共线，过点A作A/LCE,交CE延长线于

F,过点2作3GLAC于G,利用等边三角形性质和勾股定理求出AC、BG长，然后利用三我面积公式

求解即可.

【详解】解：以CD为边作等边△£）色,连接AE.

BC=AC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°,

:.ZBCD=ZACE,

在△BCD和/\ACE中，

BC=AC

</BCD=ZACE

CD=CE

ABCD咨AACE(SAS),

BD—AE，

在VAD石中，

AD=3,DE=CD=2,

:.AE<AD+DE，

:.AE<5，

当点A、D、E三点共线时，AE最大，

;AE的最大值为5,

.•.BD的最大值为5.

当3D取最大值时，则点A、D、E三点共线，如图,

过点A作”，CE,交CE延长线于尸，过点8作36,4。于G,

•.•等边△OCE,

ZAEF=60°,CE=CD=2,

：.ZEAF=30°,

：.EF=-AE=-x5=-,

222

FC=EF-CE=L

2

由勾股定理，得AF=JAE2_E于

2

•*-AC=VAF2+CF2=V19

:等边；ABC,BGVAC

•*-BC=AC=>/19>CG=-AC=^~

22

/•BG=7SC2-CG2=垣

2

ABC=~AC-BG=—xy/19x-^—=

故答案为：5；与否.

4

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短，勾股定理.求得当

3D取最大值时，则点A、。、E三点共线是解题的关键.

三、解答题（本大题共2小题，第15题5分，第16题7分，共12分）

15.解不等式，并把解集表示在数轴上：3x—122x+l.

【答案】%>2,解集表示在数轴上见解析

【解析】

【分析】本题主要考查解一元一次不等式，把解集表示在数轴上.

根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得；再把解集在数轴上表示出来即可.

【详解】解：3%-1>2%+1

移项，得：3x-2x>l+l,

合并同类项，得：x>2,

将解集表示在数轴上如下：

-1012345

4x+6<3%+7

16.解不等式组2x+l.

<l+x

【答案】—2<xWl

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求

出这些解集的公共部分.

分别解两个不等式得到xW1和x>-2,则利用大小小大中间找得到不等式组的解集即可.

4x+6<3x4-7@

【详解】解：bx+i,三,

<1+%(2)

解不等式①得xWl,

解不等式②得x>-2,

所以原不等式组的解集为—2<xWL

四、解答题（本大题共2小题，第17题6分，第18题12分，共18分）

17.电信部门要修建一座电视信号发射塔尸，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到

两条高速公路相和”的距离也必须相等.请在图中作出发射塔尸的位置.（尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹）

n

【答案】见解析

【解析】

【分析】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，根据题意，P点既在线段A3的垂直平分线

上，又在两条公路所夹角的平分线上.得到两线交点即为发射塔尸的位置是解决问题的关键.

【详解】解：设两条公路相交于。点.P为线段A5的垂直平分线与NMON的平分线交点或是与

NQON的平分线交点即为发射塔的位置.

如图，满足条件的点有两个，即尸、P'.

18.如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),8(-1,4),C(0,2).

(1)将△ABC以点。为旋转中心旋转180。，画出旋转后对应的△AbBCi.

(2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2)；则点2的对应点坐标是

(3)将△ABC以点。为旋转中心顺时针旋转90。，直接写出点A对应点的坐标

(4)若将△481C1绕某一点旋转可以得到△A2&C2,请直接写出旋转中心的坐标为.

【答案】(1)见解析(2)(-3,0)

(3)(2,3)(4)(-1,-2)

【解析】

【分析】(1)根据题意作图即可;

(2)先根据点A(-3,2)经过平移后得到点4(-5,-2),得到△ABC的平移方式为向左平移2个单位长

度，向下平移4个单位长度，由此求解即可；

(3)先根据题意画出旋转图形，然后根据得到的图形即可得到答案；

⑷先得到4(3,—2),4(—5,—2),G(0,—2),。2(-2,—2),再由旋转中心在线段A4和线段

的垂直平分线上，即可得到旋转中心的坐标为(-1,-2).

【小问1详解】

解：如图所示，用£即为所求；

【小问2详解】

解：•.•点A(-3,2)经过平移后得到点儿(-5,-2),

△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，

.•.点2(-1,4)向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度对应点坐标为(-3,0),

故答案为：(-3,0)；

【小问3详解】

解：如图所示，是△ABC绕原点。顺时针旋转90度后的图形，

.,.点A对应点的坐标为(2,3)；

故答案为：(2,3)；

解:如图所小,A（3,-2）,&（-5,-2）,G（。，—2）,G（—2,-2）,

..•旋转中心在线段44和线段的垂直平分线上,

...旋转中心坐标为（-1,-2）.

故答案为：（-1,-2）.

八y

I----1----T----1----1---------I----T----T----1----

p

>

X

【点睛】本题主要考查了画旋转图形，平移作图，根据平移前后点的坐标判断平移方式，根据平移方式确

定平移后点的坐标，找旋转中心等等，解题的关键是熟知平移相关知识.

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19.如图，在.A6C和△Z5CB中，ZA=ZD=90°,AB=CD,AC与BD交于点E,过点E作

EF，BC于煎F.

AD

BC

F

（1）求证：AC=BD；

（2）求证：BF=CF.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性

质，证明三角形全等是解题的关键.

（1）证Rt_ABC^Rt_DCB（HL）,即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得NACB=NDBC,则3E=CE,再由等腰三角形的性质得出结论.

【小问1详解】

证明：在RtABC和RtDCB中,

BC=CB

AB=DC'

.-.RtABC^RtDCB（HL）,

/.AC=BD；

【小问2详解】

证明：由（1）得Rt_A5CgRt—DGB,

.-.ZACB=ZDBC,

BE=CE,

.•.二BEC是等腰三角形，

又・EF±BC,

:.BF=CF.

20.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙两种

笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比

购买一本乙种笔记本多花费5元.

（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？

（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好

赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售

价的8折出售.如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，求至多需要购买多少本甲

种笔记本？

【答案】（1）一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元；

（2）至多需要购买21本甲种笔记本.

【解析】

【分析】（1）设购买一本甲种笔记本x元，一本乙种笔记本y元，根据题意，列出方程组，解方程组即可

求解；

（2）设需要购买本甲种笔记本，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解；

本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，列出二元一次方程组和一元一次

不等式是解题的关键.

【小问1详解】

解：设购买一本甲种笔记本x元，一本乙种笔记本y元，

\5x+20y=250

根据题意得

x-y=l

x=10

解得《

〔，=5

答：购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元;

【小问2详解】

解：设需要购买加本甲种笔记本,

根据题意得：（10—2）m+5X80%（35-m）<225,

解得〃叱21工，

4

二加取最大整数为21，

答：至多需要购买21本甲种笔记本.

六、解答题（本题满分12分）

2x-y=1+2。

21.已知关于x、y的方程组“，.

x+4y=2+a

（1）若此方程组的解满足一l<x+y<3,求a的取值范围;

（2）在（1）的条件下，若关于加的不等式2aHi—机>21—1的解集为机<1，求满足条件的。的

整数值.

【答案】（1）-2<a<2

（2）-1、0

【解析】

【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式;

（1）根据-l<x+y<3列出关于a的不等式，可解得。的范围;

（2）结合（1）,由。为整数，可得。的值.

【小问1详解】

2x-y=l+2a®

x+4y=2+a②’

①+@）得：3x+3y—3+3ci,

x+y=1+a,

-1vx+y<3,

—1<1+aW3,

解得-2va«2；

【小问2详解】

「关于机的不等式2〃机一机>2a—1的解集为m<1，

/.2f2—1v0,

1

Cl<C—,

2

—2<aW2,

C1

—2<Q<一,

2

，满足条件的〃的整数值是-1、0.

七、解答题（本题满分13分）

22.如图，直线4的解析式为y=2x-2,直线乙与x轴交于点。，直线笈>=依+人与x轴交于点A,

且经过点B,直线小4交于点C（m,2）.

（1）求加的值;

（2）求直线右的解析式;

（3）根据图象，直接写出日+6W2x—2的解集.

【答案】（1）m=2；

（2）直线4的解析式为y=-X+4；

（3）解集为xN2.

【解析】

【分析】本题考查的知识点是求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次

方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是熟练掌握一次函数的相关知识点.

（1）把点C的坐标代入直线4的解析式即可求出m的值；

（2）根据8、C的坐标，利用待定系数法列出二元一次方程组即可求解；

⑶根据图象解答即可.

【小问1详解】

解：・直线4经过点c（m,2）,

/.2m—2=2,

解得加=2.

【小问2详解】

解：由（1）得，C（2,2）,

直线4经过5（3,1）,C（2,2）,

3k+b=l

"<2k+b=2,

k=—1

解得：\>

b=4

•・・直线6的解析式为y=-x+4.

【小问3详解】

解：由图得：即-x+4W2x-2的解集为x»2.

八、解答题（本题满分15分）

23.△ABC和△£>£（?是等腰直角三角形，ZACB=