北京市某中学2024-2025学年高一年级下册段考四数学试题（解析版）

2025北京二中高一（下）段考四

数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）

1.已知集合"={.V=2sinx},N=z,则McN等于（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,2}C.{0,1,2}D.[-2,2]

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的值域，结合集合的交集，可得答案.

【详解】由"={y|y=2sinx}=[—2,2],则McN={-2,—1,0,1,2}.

故选：A.

2.已知向量；=（2,1）,^=（1,-2）,则方—3万的坐标为（）

A.（-1,-5）B.（-1,7）C.（1,-5）D.（1,7）

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可

【详解】«=（2,1）,&=（1,-2）,a-3b=（2,1）-3（1,-2）=（2,1）-（3,-6）=（-1,7）.

故选：B.

3.已知向量Z=（i,k）,3=（2,1）,若则实数左=（）

11

A.-B.---C.2D.—2

22

【答案】A

【解析】

【分析】由向量共线的坐标表示形式，可直接得到左值.

【详解】因为向量Z=（i次）,石=（2,1）,且％〃B，

所以1x1—2左=0,解得/=

2

故选：A.

4.已知向量方=(T,5),b=(2,m),若a_/_b，则加的值为()

22

A.——B.-C.-10D.10

55

【答案】B

【解析】

【分析】根据垂直向量的坐标表示，可得答案.

【详解】由题意可得—1x2+5加=0,解得机=g.

故选：B.

5.将函数＞=$11112》+7]的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍长度，再向右平移5

个单位长度，所得到的图像解析式是

A./(%)=cosxB./(%)=sinxC./(x)=sin4xD./(x)=cos4x

【答案】B

【解析】

【详解】函数y=sin[2x+?]的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍长度，得

y=sin[x+?j

再向右平移彳个单位长度，所得到的图像解析式是/(X)=siiu,

故选：B.

,2»wsinA

6.在AABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知c=5,b=3,A=——，则-----

3sinC

7537

A.-B.-C.一D.-

5773

【答案】A

【解析】

分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果.

【详解】由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，得a=7,

,­»esinAa7

由正弦定理：----=—=—.

sinCc5

故选A

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.

7.若实数。，》满足a>0，b>0,则是“a+lna>b+ln〃”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【详解】构造函数y=x+lnx,x>0,y'=l+L>0,故函数y=x+lnx在(0,+?)上单调递增，即由

“a>b>6”可得到“a+lna>〃+lnb”，反之，由“a+lna>〃+lnb”亦可得到“a>Z?>0"

选C

"，且器Jr1

8.若非零向量存与AC满足+则VABC为()

|AC|2

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.底边和腰不相等的等腰三角形

D.等边三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得NA的角平分线与8c垂直，可分析出VA3C是等腰三角形，根据数量积公式可求角

4即可判断.

ABAC____

【详解】因为分别为与通，〃同向的单位向量，

可知NA的角平分线与垂直，则AB=AC,

UUUUIUU

上ABAC,,/“1口””1

又因为一HHH----HHH-=1X1XCOSZA=—,即COSA=一,

\AB\|AC|22

且NAe(O,7r),则NA=1,所以VA3C是等边三角形.

故选：D.

9.在AABC中，角所对的边分别为。,b,c,S表示△ABC的面积，若。以)55+灰2娟=。5111。，

S=-(b2+c2-a2),则B等于()

4'

A.90°B.600

C.45°D.30°

【答案】C

【解析】

【详解】由acos5+Zxx)sA=csinC和正弦定理，得sinAcosZ?+sinBcosA=sinCsinC，

即sin(A+3)=sinCsinC,即sinC=l,--00<C<180°C=90°-则由S=!成=’(/+c?—〃)，

24'

得。=匕,即3=45°;故选C.

10.已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则中•(而+南的最小值是()

34

A.—2B.---C.D.—1

23

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.

【详解】建立如图所示的坐标系，以3C中点为坐标原点，

则40,圆5(-1,0),C(l,0),

设P(x,y),贝U丽=(—羽百―y),PB=(-l-x,-y),PC=(l-x,-y),

贝I」PA>(PB+PC)=2x2-20+2y2=2[x2+(y-与?_|]

.•.当尤=0,y=时，取得最小值2x(-=)=-],

,242

故选：B.

11.若3,反工均为单位向量，且£%=0，——则卜+的最大值为（）

A.72-1B.1C.72D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据数量积运算律化简得出伍+5}021,再根据数量积求解模长的最大值即可.

【详解】因为成瓦工均为单位向量，且7石=0，

因为（商一忑）—乙）<0,所以年（商+5）i+^2<o,

故选：B.

12.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点尸从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次

跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点。（33,33）所跳跃次数的最小值是（）

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.

【详解】每次跳跃的路径对应的向量为

111111tlUUU.U.UU1

q=（3,4）,4=（4,3）,Cj=（5,0）,4=（0,5）,4=（-3,-4）也=（-4,-3）,c2=（-5,0）,4=（0,-5）,

因为求跳跃次数的最小值，则只取q=（3,4）,4=（4,3），G=（5,0）,4=（0,5）,

设对应的跳跃次数分别为a,仇c,d,其中a,b,c,deN,

UUttl111111tl

可得=+她+cq+d&=（3a+4Z?+5c,4〃+3Z?+5d）=（33,33）

则Lm，两式相加可得7（a+Z?）+5（c+d）=66,

।JUI3d—JJ

a+b=8a+b=3

因为Q+b,C+d£N,贝卜,个或＜

c+d=2c+d=9'

a+b=8

当｛,c时，则次数为8+2=10；

c+d=2

a+b=3

当,则次数为3+9=12；

c+d=9

综上所述：次数最小值为10.

故选：B.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上)

—.3—■

13.已知=—=则实数2=.

4

【答案】-3

【解析】

______—.3—.

【分析】将通=丽—百代入AP=—中，整理即可求解.

4

【详解】由题，因为通=而—序,

所以衣=：初=：(而—丽)，即匹=—3万，

所以4=—3,

故答案为：-3

14.在VA5C中，5=3，3sinC=4sinA,且VA5C的面积为36，则边长AC为.

【答案】历

【解析】

【分析】利用正弦定理角化边和三角形面积公式可构造方程求得©J利用余弦定理可求得结果.

详解】由正弦定理得：3c=4。，

SARC=—acsinB=^-ac-3y/3<.".ac=12,即'a?=12，解得：a=3,c=4,

“BC243

由余弦定理得：AC~=+c~—2tzccosB=25—24cos—=13,AC--\J13-

3

故答案为：713.

15.已知函数/(x)=cos(sinx),方程/(%)=岑在［-兀,兀］内解的个数为

【答案】4

【解析】

TTTT

【分析】根据给定条件可得sinx二一或sin%=—-,进而确定解的个数.

66

/&7Cjr

【详解】由cos(sinx)=N—，得sinx=—+2E,左eZ或sinx=——+2Qi,左eZ,

266

jrjrjrjr

ffl］-l<sinx<l,则左=0,sin%=—或sinx=——,而一£(0,1),——e(-l,0),

6666

7171

因此sinx=一在［0,兀］内有两个解，sinx=-一在［一兀,0)内有两个解，

66

所以方程/(x)=岑在［-兀，兀］内解的个数为4.

故答案为：4

16.已知a,夕均为锐角，cosa—,sinB=,则cos2a=，2。—/?=.

714

171

【答案】®.--

73

【解析】

【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出cos2cr,先确定2。一6的范围，再求出2a-£的正弦值即可.

【详解】因为cosa=2"，

7

21

所以cos2a=2cosa-\-—,

7

又因a,夕均锐角，所以则2ae(0,7i),

所以2ae，所以—〃e，sin2a=Jl-cos22a=-----

又因sin,=之叵，所以cosp=Jl—sin2/?=»,

a-£)=sinlacoscos2asin/?=------x--------x------=—

77147142

TT

所以2a_/二耳.

Ijr

故答案为：一；一.

73

17.如图，在同一个平面内，向量反，加,反的模分别为1,1,J5,两与反的夹角为a,且

tana=7,05与灰1的夹角为45°，若OC=加,则租+〃=.

【解析】

【详解】以。4为了轴，建立直角坐标系，则A(L0),由双的模为&与函与反的夹角为a,且

tana=7知,cosa=,sina=~~~~，可得c(g，二)，5(cos(a+45)s%(a+45。)),

13

,J341—-(134)一―二“57

■-B\，由OC=mOA+nOB可得7*7=m^~n^~nH,机，

155)155J155J7444

一=—n

[55

:.m+n=3,故答案为3.

【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难

题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：

(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；(2)三角形法则(两箭头间向量

是差，箭头与箭尾间向量是和)；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范

围与最值问题时用起来更方便.

18.主动降噪耳机让我们在嘈杂环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪

声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声,已知某噪声的声波曲线为

/(x)=2sin[gx+e，°|<|J,且经过点(1,2),给出以下四个命题

①函数+是奇函数；

②函数了(%)在区间(1,2)上单调递减;

⑧出wN*，使得/(1)+/(2)+/⑶+…+/(«)>2；

④存在常数优，对于任意实数x,使得/(x+l)+/(x+2)+/(x+3)=〃z.

其中正确的命题为(请写出所有正确命题的序号).

【答案】①②④

【解析】

【分析】由题意，代入已知点求得函数解析式，根据正弦函数的奇偶性，可得①的正误；利用整体思想，结

合正弦函数的单调性，可得②的正误；由函数解析式求得周期，分情况求和，可得③的正误；利用三角函数

的和差公式以及诱导公式化简等式，可得④的正误.

【详解】将(1,2)代入/(x)=2sin]gx+c；可得/(l)=2sin[2g兀+9]=2,

3

27rjrjr

化简可得---1-0=一+2kli(keZ),解得(p=-----b2kMkGZ)，

326

2兀兀

由冏<］，则0=一，故〃x)=2sin——x----

36

/%+—=2sin—x+-=2sin—%,故①正确；

I4)(3I4)6)3

由l<x<2,则殳〈生x—四〈生，易知函数八%)在(1,2)上单调递减，故②正确;

2362

由函数的最小正周期@，且/⑴=2,/(2)=-2,/(3)=-1,

T

则当〃=3左(左£时时，J/(z)=^[/(l)+/(2)+/(3)]=-Z：<0,

f=l

当“=3左+1(kwN)时，^/(/)=/:[/(1)+/(2)+/(3)]+/(1)=2-/:<2,

Z=1

当“=3左+2(左wN)时，^/(z)=Z:[/(l)+/(2)+/(3)]+/(l)+/(2)=-Z:<0,

«=1

故③错误;

2兀兀、小.(2兀7兀1小.(2兀兀

/(x+l)+/(x+2)+/(x+3)=2sin—xH—1+2sin—x~\-----+2sin—x

31)(36)(36

C2兀J.2兀7兀2兀.7兀\J.2TI兀2兀.兀)

=2cos——x+2sm——xcos----Feos——xsm——+2sm——xcos----cos——xsm—,

3(3636J3636)

=2cos—X-A/3sin-x-cos—x+V3sin-x-cos—x=0,

33333

故④正确.

故答案为：①②④.

三、解答题（本题共5小题，共60分，请将答案填在答题纸上）

19.已知卜|=1,a-b=—,（a+Z?）,（a—Z?）=万.

（1）求M的值；

（2）求向量与夹角的余弦值.

【答案】（1）—

2

⑵更

5

【解析】

【分析】⑴直接展开（Z+4仅=代入同=i即可求解；

（2）先分别求出口+囚,,-0,再直接代入向量夹角公式即可求解.

【小问1详解】

因为伍+5）・（互一方）=右2_彳2=]_忖：

一,

2

所以B=4；

【小问2详解】

日一方二J（万一5）=y]a2+b2-2a-b=/+L=也,

V22

万+方=J（万+5）=，方之+户+2万・5=LI,A/W

1+-+1=——

V22

1

一一（a-b\（a+b\2=小

所以cos。b,a+b=\二：一J二

归一石।万+》&M―5

-------X----------

22

即向量B与Z+B夹角的余弦值为避

20.已知函数/(x)=sin120x—+2cos2a)x(a>>0)的周期为兀.

(1)求。的值及函数/(%)的单调递增区间；

7T5冗

(2)若xe[±,二竺],求/(%)的最大值和最小值以及取得最值时相应x的值.

36

JT7T

【答案】(1)0=1,[-----1-AJI,kjiH—[(左£Z)

36

(2)尤=：,/Wmax=1；x=/(XU=0

。ZD

【解析】

【分析】(1)由三角函数恒等式化简函数解析式，根据周期可得参数值，利用整体思想，结合正弦函数的单

调性，可得答案；

(2)利用整体思想，结合正弦函数的单调性与最值，可得答案.

【小问1详解】

f(x)=sin(2G九一二)+2cos2cox=sin2cox--cos2cox+cos2a)x+1=smClcox+—)+1.

6226

由于函数的最小正周期为兀，所以刃=1,

兀

故/(x)=sin(2x+—)+l,

6

JTJiTTTTJI

令----1-2k7i<2x+—<2kn+—(^eZ),解得----\-hi<x<hi+—(kEZ),

26236

jrjr

故函数的单调递增区间为[——+E,E+—]〃£Z).

36

【小问2详解】

.7T5兀1..7T5jClllTrll,.->兀、1..

由％r—,—],则2%H—G[—,----],所以sinz(/2尤H—)£r[―1,1],

3666662

所以当2工+2=年，即x3时，/«ax=1+1=|;

ooJ22

所以当2x+2=型，即工=女时，/(xU=-1+1=0

623

21.在VABC中，a,4c分别为角A5c所对的边，已知(2a-c)cos5=Z?cosC.

(1)求角B的值；

(2)若VA3C为锐角三角形，且Z?=l,求VA3C的面积的取值范围.

【答案】（1）-；（2）~~~~A-1,

3164

【解析】

【分析】（1）利用给定条件结合正弦定理边化角，借助和角的正弦及三角形内角和定理即可作答；

（2）用正弦定理角表示边，借助三角恒等变换公式化三角形面积为且sin（2A-e）+且即可作答.

6612

【详解】（1）在VABC中，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cos5=sin5cosC,

即2sinAcos3=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

而Ae(0,»)，则sinA>0,cosB=g,又

所以3=—；

3

abc222.c

(2)VABC中，由正弦定理得：——-=———=.=不，于是有〃=—7=sin=—，=smC,

sinAsinBsmC,3.3,3

0<A<-

由(1)知3=工，则有A,而VA3C是锐角三角形，于是有1.2，解得

33八2万“万

从而得S4ABe=^csinB=-j=sinAsin(^--A)=-^sinA(^-cosA+^sinA)

1,也.11—COS2A、币.…兀、6

=’(—sin2A+----------)=—sin(2>4一一)+—,

y/34226612

因2A弋呜〉则卜in（2A一四1,因此得*＜S…乎,

所以VA3C的面积的取值范围吟，争.

22.已知函数〃x）=x+0+0关于尤的不等式4（力＜。的解集为0,3）.

X

（1）求实数。，6的值;

（2）求关于X的不等式犷?（力＜（加-3）（%-1）（加6尺）的解集；

(3)若不等式/(2，)-左二一工-？々2。在R上恒成立，求实数左的取值范围.

【答案】(1)“=3,b=T,(2)当机<1时，解集为(山,1),当初=1时，不等式无解，当机>1时，解集为

(1,根)，(3)左《-5+直

2

【解析】

【分析】

f1+3=—

(1)由题意得不等式X2+陵+4<0的解集为(1,3),由根与系数的关系得<.,从而可求出实数

[lx3=a

a,b的值；

(2)由口(力<(加—3)(九一得f+3-4x<(7〃-3)(x-l),即(x-l)(xm)<0,然后分

m<1>m=\,机〉1求解即可；

k3k

(3)令/=2"(/>0),则/⑺——2左20在(0,+8)上恒成立，即/+——4——2k>0,即

ttt

1一(4+2Q/+3-%>0令g«)=产_Q左+4»+3—左，然后分对称轴在y轴左侧和右侧两种情况求解

t

即可

【详解】(1)因为关于尤的不等式4>(x)<0的解集为(1,3),即不等式必+法+々<0的解集为(1,3),

1+3=—b

所以〈。，解得。=3,b=T,

1x3=4

3

所以/(%)=%+——4,

x

(2)由#(x)<(m-3)(x-l)(meR),+3-4x<(m-3)(x-l),

即x?—(〃z+l)x+〃z<0,(x-l)(x-m)<0,

若"Z<1,贝！)7“<九<1,若机=1,则不等式无解，若7”>1,贝！]1<X<772,

所以当机<1时，解集为(冽,1),当m=1时，不等式无解，当机>1时，解集为(1,加)

k

(3)令”2*(r>o),则/⑺——2左20在(0,+8)上恒成立，

t

即/+?—4—七一2左20,即/一(4+21»+3—.Ng,

ttt

令g«）=/2_（2左+4）/+3—左,

2k+4

当------二左+2＜0,即左＜—2,对称轴在y轴左侧，所以g(0)=3—左20,即左＜3,所以左＜—2,

2

当左＞—2时，即对称轴在y轴右侧，则八=(2左一4)2—4(3—左)《0,解得—2〈左/支十万

2

综上左(—5+®

2

【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法，第(3)问解题的关键是构造二次函数

g«)=〃—(2左+4»+3—左，则，〉0,所以分抛物线的对称轴在＞轴左侧和右侧两种情况求解，考查分

类讨论思想和计算能力，属于中档题

23.给定奇数“23,设',是"X”的数阵.与表示数阵第，行第1/列的数，%=，或-LW'且为.=吗

I0,i=j

(i=l,2,L,〃;/=l,2,L,n),定义变换/为“将数阵中第f行和第1列的数都乘以—1”，其中

/e{l,2,L,n}.设T=(4W，L，4)",e{l,2,L,〃},r=l,2,L,s(seN*).将&经过外变换得到A，4经过

线变换得到4,L,AT经过Q变换得到4.记数阵4中1的个数为。(》•

’01-P

(1)当”=3时，设4=101,T=(l,3),写出A，4,并求〃⑴，%⑵；

I-11oj

(2)当77=5,s＞2时，对给定的数阵4,证明：〃(2)-〃⑴是4的倍数;

(3)证明：对给定的数阵人,总存在T,使得以⑸忘史上.

0-1“f0-1-1、

【答案】(1)A=-1o1,4=-1o-1；7；(1)=4,〃⑵=°

-Joj

,11oj1-1

(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由A，4变换的由来，可得A，4，由〃⑺的定义即可求解,

(2)由变换仪的定义以及〃(r)的定义即可求解,