2025年中考数学专项复习：圆的综合（山东专用）

专题22圆的综合

考情聚焦

课标要求考点考向

考向一圆切线的判定

考向二圆切线的性质

1.了解三角形的内心与外心。

圆的综

2.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。考向三圆与四边形的综合

合

3,了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。

考向四圆与正多边形的综合

考向五圆中线段的求解

,真题透视,

考点画的综合

A考向一圆切线的判定

解题技巧

(1)证明过某点的直线是切线时，若已知该点在圆上，则常连接圆心和该点，证明辅助线与直线垂直；

(2)证明直线是圆的切线时，若已知直线与过圆心的某线垂直，则常证明圆心与垂足的连线长等于半径

1.(2024•济宁)如图，VA3C内接于。O,。是上一点，AD=AC.E是。。外一点,

ZBAE=ZCAD,ZADE=ZACB,连接3E.

(1)若AB=8,求AE的长；

(2)求证：班是。。的切线.

【答案】(1)AE=8

(2)见解析

【分析】(1)根据N应归=NC4D可得=然后证明ADAE丝ACI^ASA),根据全等三角形

的性质可得答案；

(2)连接OAOB,首先证明NABE=NA£3=NAr)C=NACD,再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出

AOBA=90°--ZAOB,然后计算出ZOBE=ZOBA+ZABE=90。即可.

2

【详解】（1）解：：=

ZDAE=ZCAB,

又ZADE=ZACB,

：.△JQ4E^AC4B（ASA）,

AE=AB=8；

（2）证明：如图，连接0408,

由(1)得：AE^AB,AD=AC,

：.ZABE=ZAEB,ZADC=ZACD,

"：ZBAE=NCAD,

：.ZABE=ZAEB=ZADC=ZACB,

"：OA=OB,

：.AOBA=NOAB=1(180°-ZAOB)=90°-1zAOB,

又,:ZACB=-ZAOB,

2

/.ZOBA=90°-ZACB,

：.ZOBE=NOBA+ZABE=90°-ZACB+ZACB=90°,

,/03是半径，

/.EB是。。的切线.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切

线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.

2.(2024•威海)如图，已知是。。的直径，点C,。在。。上，且2C=CD.点E是线段A3延长线上

一点，连接EC并延长交射线AD于点ENFEG的平分线交射线AC于点X,NH=45°.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若BE=2,CE=4,求AF的长.

【答案】(1)见解析

24

(2)AF=—

【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义

得到N尸=90。是解题的关键.

(1)连接OC,根据圆周角定理得到ZDACn/CABug/DAB,即可得到OC〃AD,然后根据角平分线的

定义得到ZF=NFEG—NFAE2NH=2x45°=90°,然后得到ZOCE=ZF=90°即可证明切线；

(2)设。。的半径为乙moC2+CE2=OE2,可以求出人然后根据即可得到结果.

【详解】(1)证明：连接OC,

则NQ4C=NOC4,

又：BC=CD,

BC=CD，

：.ADAC=ZCAB=-NDAB,

2

/DAC=NOCA,

：.OC//AD,

：.NOCE=NF,

,：EH平济NFEG,

ZFEG=2ZHEG,

：.ZF=ZFEG-ZFAE=2NHEG-2ZCAB=2(ZHEG-NG4B)=2ZH=2x45°=90°,

ZOCE=ZF=90°,

又：OC是半径，

...Eb是。。的切线；

(2)解：设。。的半径为r,贝l]OE=OB+3E=r+2,

VOC2+CE2=OE2,gpr2+42=(r+2)2,

解得r=3,

EA=AB+BE='2.r+2=8,0E=5,

又「OC\\AD,

△ECO^AEFA,

3.(2024•潍坊)如图，已知VABC内接于。O,A3是。。的直径，/A4c的平分线交于点£),过点D

作DE1AC,交AC的延长线于点E,连接3DCD.

(1)求证：/汨是。。的切线；

⑵若CE=1,sinZBAD=1,求。。的直径.

【答案】(1)证明见解析；

(2)9.

【分析】(1)连接0。，由角平分线可得44T>=N£A£>,又由。4=8可得NOAD=NO/M,即得

ZODA=ZEAD,由AE_LAE'得/£AD+NADE=90。，进而可得NaM+NADEug。。，即得即

可求证；

(2)A3是。。的直径可得NZMB+NABC+NDBC=90。，又由(1)知NEW+NADC+NCDEngO。，由

7RAD=7F,AD,ZDBC=ZADC,进而可得Nr>3C=NCDE,再根据ND3C=NC4D,NDCB=NBAD,

ZCAD=ZBAD,可得NCDE=NDBC=NDCB=NBAD,得到B£)=C£),sinZCDE=sinABAD=1,解

RtACDE得至(JCD=BD=3,再解RtAABD即可求解；

本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定

理是解题的关键.

【详解】（I）证明：连接

・・・AD平分/A4C,

ZBAD=ZEAD,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

：.ZODA=ZEADf

*.*DELAE,

AZE=90°,

・•・AEAD+AADE=90°,

・•・ZODA-^-ZADE=90°,

即NODE=90°,

C.OD1DE,

•「OD是。。半径，

・•・DE是。。的切线；

（2）解：:A5是。。的直径，

・•・ZADB=90°,

ZDAB+ZABD=90°,

即ZDAB+ZABC+ZDBC=90°,

Z£AP+ZAT>E=90°,

・•・AEAD+AADC+ACDE=90°,

:.ZDAB+ZABC+NDBC=NEAD+ZADC+NCDE

丁/BAD=/FAD,ZABC=ZADC,

:.NDBC=NCDE,

VZDBC=ZCADfNDCB=/BAD,ZCAD=ZBAD,

：.ZCDE=ZDBC=ZDCB=ZBAD

BD=CD,sinZCDE=sin/BAD=—,

3

CEI

在RtzXCZ）石中，（口=sin/CDE=—,

/.CD=3CE=3xl=3,

BD]

在RtAABD中，——=sinABAD=-,

AB3

AB=3B£>=3x3=9,

即。。的直径为9.

4.（2024•山东）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以点A为圆心，

以AD为半径作交A3于点E，以点8为圆心，以8E为半径作"所交BC于点连接FD交所于另

一点G,连接CG.

“EB

⑴求证：CG为斯所在圆的切线；

（2）求图中阴影部分面积.（结果保留万）

【答案】（1）见解析

（2）3——工

43

【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四

边形ABfD是平行四边形是解题关键.

（1）根据圆的性质，证明3尸=BE=AD=AE=CF,即可证明四边形ABED是平行四边形，再证明△96

是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果.

（2）先求出平行四边形的高。根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可.

【详解】（1）解：连接BG如图，

根据题意可知：AD=AE,BE=BF

又,；AB=BC,

：.CF=AE=AD,

'：BC=2AD,

：.BF=BE=AD=AE=CF,

•:AD〃BC,

・••四边形ABFD是平行四边形,

ZBFD=ZDAB=60°,

;BG=BF,

・•・△班G是等边三角形，

：.GF=BF,

：.GF=BF=FC,

・・・G在以5C为直径的圆上,

ABGC=90°,

:・CG为斯所在圆的切线.

（2）过。作于点”,

由图可得：S阴影=工钻尸。一S扇人即-S扇MG—S,尸G,

在RbAHD中，AD=1,DAB=60°,

JDH=ADsmZDAB=lx—=—,

22

:.S°ABFD=ABDH=2X5=C,

由题可知：扇形AOE和扇形BGE全等，

・qqnTrr160i（AZ））60x^-xl27i

**扇AED-扇呼—360——360———360一—

等边三角形59G的面积为：LGF.DH=LX1X2=B,

2224

•C_C_C_C_C—/T_生_&_35/^_工

••»阴影―»nABFD扇4E0一»扇3&7_»ABRG~~~~1

A考向二圆切线的性质

解题技巧

求三角形内切圆半径时，常结合面积，即厂=斗”

a+b+c

1.（2024•青岛）如图，VA3C中，BA=BC,以BC为直径的半圆。分别交AB,AC于点。，E,过点E作

3

半圆。的切线，交AB于点M,交BC的延长线于点N.若ON=10,cosZABC=-,则半径OC的长为.

A

【难度】0.65

【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关

键在于证明N£ON=NABC,根据等边对等角推出=,则可证明得到NEON=NABC,

再由切线的性质得到/。硒=90。，则解求出OE的长即可.

【详解】解：如图所示，连接OE,

：.ZA=ZBCA,NOCE=/OEC,

：.ZA=/OEC,

：.AB//OE,

：./EON=/ABC,

・・・"'是0。的切线，

・•・ZOEN=90°,

OE3

在RtAEO/V中，cosNEON=cosXABC=----=—,

ON5

3

：.OE=-ON=6f

・,・半径OC的长为6,

故答案为：6.

2.（2024•日照）如图1,AB为。。的直径，A3=12，。是。。上异于A5的任一点，连接过点A

作射线ADLAC,。为射线AD上一点，连接CD.

BA

图1图2

【特例感知】

(1)若3C=6.贝UAC=.

(2)若点CD在直线A8同侧，且NADC=NB,求证：四边形A2CL(是平行四边形；

【深入探究】

若在点C运动过程中，始终有tanNADC=百，连接OD.

(3)如图2,当CD与。。相切时，求的长度；

(4)求OD长度的取值范围.

【答案】(1)673(2)证明见解析(3)2^/21(4)26WODW6A

【分析】(1)根据直径性质得到，/4。8=90。,根据4?=12,BC=6,运用勾股定理可得AC=6豆；

(2)根据NACB=90。.AD±AC,得到AD〃BC.得到=180。，结合NADC=/3,得到

ZBAD+ZADC=l80°,得到AB〃CD,得到四边形是平行四边形；

(3)连接OC.根据tanNADC=6，得到NADC=60。，ZACD=30。，根据切线性质得到，

ZACD+ZACO=90°.得至IjNACD=NOCB,ZB=30。.得至！|AC=6,得到CO=4g,运用勾股定理得

OD=25/21;

(4)过点A作射线AFLAB,使NAOb=60。，连接OC,CF.得到NOE4=30。，OF=12,根据

AF=/OA.AC=^/3AD,可得生=",根据N"O=NC4尸，得至lj△C4FSAZM0,^―=—=73,

ADOADOAD

得到。。=立CF.^OF-OC<CF<OF+OC,得到64c尸418,即得2石VODV6JL

3

【详解】(1)解：：为。。的直径，

ZACB=90°,

'：AB=12,,BC=6,

AC=>JAB2-BC2=6-J3

故答案为：6^3；

(2)证明：・・・A5为。。的直径，

・・・ZACB=9Q°.

•・•AD±AC,

：.ZDAC=90°,

J.AD//BC.

・•・ZB+ZBAZ)=180°,

■:ZADC=ZBf

：.ZBAD+ZADC=180°,

：.AB//CD

・・・四边形ABCD是平行四边形.

(3)解：如图，连接OC.

•・•在RtAACD中，tanZAZ)C=V3,

.・.ZAZ)C=60°,

ZACD=30°,

•・・。。是00的切线，

・・・OCLCD,

：.ZACD-^-ZACO=90°.

又・.,AACO+AOCB=90°,

:.ZACD=ZOCB

：.ZB=ZACD=30°.

：.AC=-AB=6

2f

ACr-

在Rt^ACD中，CD=——=4V3,

cos30

22

在RtAC(9D中，OD=y/CD+OC="(4后+6、=201;

(4)解：如图，过点A作AF_LAB,使NAO尸=60。，连接OC,CF.

则ZOAF=90°,

：.ZOFA=30°,

：.OF=2OA=12,

：.AF=出OA=6A/3,

VtanZADC=A/3,

，AC=mAD,

.・・生=空地，

ADOA

丁ZDAC=ZOAF=90°,

：.ZDAC+ZCAO=ZOAF+ZCAO,

即NDAO=NC4产，

，△C4F6山40,

:•器雀s

.・・OD=—CF.

3

OF-OC<CF<OF+OC,

6<CF<18,

/.2石<OD<6A/3.

【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合.熟练掌握圆周角定理推论，圆切线性质，平行四边形的判定，

含30。的直角三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数解直角三角形，相似三角形的判

定和性质，是解决问题的关键.

3.(2024•泰安)如图，是。。的直径，A”是。。的切线，点C为。。上任意一点，点。为AC的中点，

连接8。交AC于点E,延长80与A”相交于点尸，若Z)F=1,tan3=(,则AE的长为.

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是

解题关键.

先证=可得A/MFSAOBA从而得到三=C2=tanB=L,求得AT>=2,再运用勾股定理可

ADBD2

得4/=有，再根据圆周角定理以及角的和差可得NA£D=NAKD,最后根据等角对等边即可解答.

【详解】解：•.'AB是。。的直径，

ZADB=90°,

*/是。。的切线,

：.ZBAF=90°,

：.ZDAF=ZABD=900-ZDAB,

z^DAFs公DBA，

DF^=tanB=l

ADBD2

DF=1,

：.AD=2,

：.AF=y/5,

:点。为AC的中点,

AD=CD，

：.ZABD=ZDAC=ZDAF,

'：ZADE=ZADF=90°,

：.90°-ZDAE=90°-NDAF,即ZAED=ZAFD,

/.AE=AF=也.

故答案为：x/5.

4.(2024•烟台)如图，AB是。。的直径，VABC内接于。。，点/为VABC的内心，连接C/并延长交。

于点。，E是BC上任意一点，连接AD，BD,BE,CE.

(1)若NABC=25。，求NCEB的度数；

(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；

⑶若C/=2&,求VABC的周长.

【答案】(1)115°

(2)DI=AD=BD,证明见解析

(3)30

【分析】(1)利用圆周角定理得到NACB=90。，再根据三角形的内角和定理求NC4B=65。，然后利用圆

内接四边形的对角互补求解即可；

(2)连接用，由三角形的内心性质得到内心，ZCAI=ZBAI,ZAC1=ZBC1,然后利用圆周角定理得到

ZDAB=NDCB=ZACI,AD=BD,利用三角形的外角性质证得/D4/=4VA,然后利用等角对等边可得

结论；

（3）过/分别作AB,IFVAC,IP±BC,垂足分别为。、F、P,根据内切圆的性质和和切线长定

理得到AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得CF=2=CP,AB=13,进而可求解.

【详解】（1）解：：A8是。。的直径，

Z.ZADB=ZACB=90°,又ZABC=25°,

/.ZCAB=90°-25°=65°,

•..四边形ABEC是0。内接四边形，

ZCEB+ZC4B=180°,

ZCEB=180°-ZCAB=115°；

(2)解：DI=AD=BD,

证明：连接可，

:点/为VABC的内心，

ZCAI=NBAI,ZACZ=NBCI=-ZACB=45°,

2

•*,AD=BD，

AZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

VZDAI=ZJDAB+ZBAI,ZDIA=ZACI+ZCAI,

ZDAI=ZDIA,

：.DI=AD=BD；

（3）解：过/分别作/QLAB,IFVAC,IPA.BC,垂足分别为。、F、P,

•.,点/为VABC的内心，即为VABC的内切圆的圆心.

F、尸分别为该内切圆与VASC三边的切点，

AAQ=AF,CF=CP,BQ=BP,

"：CI=2-j2,ZIFC=90°,ZACI=45°,

：.CF=CZcos45°=2=CP,

VDI=AD=BD,DZ=—13V2,ZADB=90°,

2

：.AB=^AD2+BD2=V2x—=13,

2

・•・VABC的周长为AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2x13+2x2

二30.

【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形

的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答

的关键.

A考向三圆与四边形的综合

1.（2024•德州）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m,CB=CD=8cm,为直角，要在该纸

片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为cm.

【答案】y

【分析】连接AC,作—WC的平分线交AC于点。，作O"23c于H，如图求得AABC丝AADCeSS）,

贝l]NBAC=NZMC,ZACB=ZACD,所以AC平分/R4C和NBCD,加上02平分/ABC,根据角

平分线性质得到点O到四边形ABCD的各边的距离相等，则得到。。是四边形ABCD的内切圆，它是所求的

面积最大的圆形纸片，其半径为OH,接着证明△SO”为等腰直角三角形得到。归=9,设OH=r,则

BH=r,CH=8—r,然后证明△CO/fsAEB,利用相似比可计算出r.

【详解】解：连接AC,作NA3C的平分线，交AC于点。，悍OHLBC于

在VABC和△ADC中,

AB=AD

<CB=CD,

AC=AC

：.△⑷5C%AZ）C（SSS）,

AABAC=ADAC,ZACB=ZACD

.AC平分和/BCD,

QOB平分工ABC,

•・•点O到四边形ABCD的各边的距离相等，

・・・。。是四边形ABC。的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为

ZOBH=-ZABC=45°,

2

・・・△BOH为等腰直角三角形，

:.OH=BH,

设OH=rem,则BH=rem,CH=BC—BH=8—r(cm),

VZABC=90°,OHJ.BC,

：.OH//AB,

:.△COHs/AB,

OHCHr8-r

——=——即nn一=----，

ABCB68

24

/.r=—.

7

即。。的半径为了cm,

・・・圆形纸片的半径为亍cm.

故答案为：—

【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆

是所求的面积最大的圆是解题的关键.

A考向四圆与正多边形的综合

1.（2024•东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多

边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而

无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率兀的近似值为3.1416,如图，。。的

半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计。。的面积，可得兀的估计值为主8.若用圆内

2

接正八边形近似估计0。的面积，可得兀的估计值为.

【答案】2近

【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积

是解题的关键.过点A作AM,03,求得/4。3=360。+8=45。，根据勾股定理可得⑷^+0犷=。^,

即可求解.

【详解】

如图，A3是正八边形的一条边，点。是正八边形的中心，过点A作AM,03,

在正八边形中，乙4。5=360。+8=45。

・•・AM=OM

V0A=l,+=解得：AM=—

2

i

■■S^OAB=-XOBXAM=^-

正八边形为8x与2应

4

/.20=产*万

/.万=2&

.••兀的估计值为2夜

故答案为：20.

2.（2024•济宁）如图，边长为2的正六边形AfiCD即内接于。0,则它的内切圆半径为（）

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；

连接OF,作0G1A产于G,证明AAO尸是等边三角形，可得尸G=1AF=1,然后利用勾股定理求出

2

OG即可.

【详解】解：如图，连接。4,OF,作。G1AR于G,

OF=OA,ZAOF=360°x-=60°,

6

**•^AOF是等边三角形，

OF=OA=AF=2,

OG1AF,

・•・FG=-AF=\,

2

•*,OG=V22—I2=A/3，

即它的内切圆半径为百，

故选：D.

A考向五圆中线段的求解

解题技巧

求解圆中的线段，常见思路有：

(1)构造直角三角形，利用勾股定理;

(2)构造直角三角形，利用三角比；

(3)利用相似三角形对应边成比例。

1.（2024•东营）如图，VA5c内接于。。，A3是。。的直径，点E在。。上，点C是防的中点，AELCD,

垂足为点。，0c的延长线交AB的延长线于点R

⑴求证：C。是。。的切线；

⑵若CD=百，ZABC=60°,求线段AF的长.

【答案】（1）见解析

⑵6

【分析】本题主要考查了圆与三角形综合.熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定.含30。的直角三角

形性质，是解决问题的关键.

（1）连接OC,由。1=OC,威=a，推出NOG4=NZMC,得到OC〃AD,由AELCD,得到CD,OC,

即得；

（2）由直径性质可得NACB=90。，推出miC=N&lC=30。，根据含30。的直角三角形性质得到4。=3,

根据NF=30。，得到AF=6.

【详解】（1）证明：：连接OC,则。4=OC,

ZOAC=ZOCA,

,点C是BE的中点，

：.&=&，

Z.OAC=ADAC,

：.Z.OCA=ADAC,

：.OC//AD,

,：AELCD,

：.CDLOC,

(2)解：TAB是。。的直径，

・•・ZACS=90°,

ZABC=60°,

JABAC=90°-ZABC=30°,

ZDAC=30°,

*：CD=5

/.AD=拒CD=3,

・.,ZF=90°-(ABAC+ZDAC)=30°,

AF=2AD=6.

2.(2024•济南)如图，AB,CD为。。的直径，点E在go上，连接A2£>E,点G在AD的延长线上,

AB=AG,ZEAD+NEDB=45°.

⑴求证：AG与。。相切；

（2）若BG=46,sinZDAE=—,求DE的长.

【答案】（1）证明见解析；

c、2M

⑵丁.

【分析】（1）证明NG4B=90。，即可证明AG是。。的切线；

（2）连接CB,先计算sinZDCE=sinZDAE=工=匹,再计算=变BG=2M=DC,后得到

3DC2

DE=DCsinZDAE=2Mx|解答即可.

本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是

解题的关键.

【详解】（1）解：•.•/£»氏/E4B所对的弧是同弧

:.ZEDB=ZEAB,

ZEAD+NEDB=45°,

Z.EAD+Z.EAB=45°,

即ZBAD=45°,

•「AB为直径，

.\ZADB=90°,

ZB=180°-ZADB-ZDAB=45°,

•：AB=AG,

:.ZB=ZG=45°9

/.ZGAB=90°,

二.AG与。O相切.

NDAE,ZDCE所对的弧是同弧,

:.ZDAE=ZDCE,

・・・OC为直径,

:.NDEC=9U0,

iDE

在RtADEC中，sinZDCE=sinZDAE=-=-----,

3DC

BG=4区ZB=45°,ZBAG=90°,

AB=—BG=2M=DC,

2

DE=DCsinZDAE=2Mx-=

33

3.（2024•淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习.

【操作发现】

小明作出了。。的内接等腰三角形ABC,AB=AC.并在3C边上任取一点。（不与点2,C重合）,连接

AD,然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE.如图①

小明发现：CE与。。的位置关系是,请说明理由：

【实践探究】

连接DE,与AC相交于点如图②，小明又发现：当VABC确定时，线段CP的长存在最大值.

请求出当AB=3A/T5.BC=6时，CF长的最大值；

【问题解决】

在图②中，小明进一步发现：点O分线段BC所成的比与点/分线段DE所成的比始终相

等.请予以证明.

AA

【答案】操作发现：CE与。。相切；实践探究：噜；问题解决：见解析

【分析】操作发现:连接CO并延长交。。于点M,连接AM,根据直径所对圆周角为直角得到NM4c=90。，

根据旋转的性质得到NB=NACE,由圆周角定理推出=等量代换得到NACE=N4MC,利用

直角三角形的性质即可证明NOCE=90。，即可得出结论；

实践探究：证明△ABC得到NB=NADE=NACB,结合三角形外角的性质得到NCD尸=NB4D,

A3BD

易证△ABDSADCP,得至（］一=一,设B£>=X,贝｝|CD=6—x,得到

CF=巫尤（6-x）=-W（x-3『+血，利用二次函是的性质即可求解；

30'730'710

问题解决：过点E作EN〃3c交AC于点N,由旋转的性质知：ZB=ZACE,证明NE7VC=NACB,推出

EN=CE,由旋转的性质得：△ABD四△ACE,

得至l］3Z）=£7V,根据aV〃3C,易证ACDFS处IEF,得至|］乌=空，即可证明结论.

ENEF

【详解】操作发现：

解：连接CO并延长交。。于点M,连接AM,

/M4c=90。，

ZAMC+ZACM=90°,

由旋转的性质得NB=ZACE,

•••ZB=ZAMC,

ZACE=ZAMC,

：.ZOCE=ZACM+ZACE=ZACM+ZAMC=90°,

•：oc是。。的半径，

•••CE与。。相切；

实践探究：

解：由旋转的性质得：ZBAD=ZCAE,AD=AE,

/.=即ZBAC=ZDAE,

-,AB=AC,

.ABAC

~AD~~AE'

AABC^AADE,

\ZB=ZADE=ZACB,

/ZADC=ZADE+NCDF=ZB+/BAD,

ZCDF=ABAD,

/.△ABDS^DCF,

ABBD

~CD~~CF

设HD=x,贝lJCD=6—x,

3Mx

6-xCF

,,CF=^^^-x(6-x)=-^^^-(x-3)2+

问题解决：

证明：过点E作EN〃5c交AC于点N,

:.ZENC=ZACB

由旋转的性质知：NB=ZACE,

•,•ZB=ZACB,

:.ZACB=ZACE,

:.ZENC=ZACE,

:.EN=CE,

由旋转的性质得：△ABD0ZXACE,

/.BD=CE,

:.BD=EN,

•;EN〃BC,

.△CDFs^EF,

CDDF

EN~EF

•：BD=EN,

CDDF

BD~EF

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应

用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键.

新题特训i

一、填空题

1.（2024•山东•模拟预测）如图，平面直角坐标系X。'中，圆心在x轴上的。A与。C同时与纵轴相

%

切.OA=OC=4,直线/：y=百+上交x轴于点8.记8点的横坐标为/，04与G）C的组合图形记为曲

Y

【分析】根据直线/：、=耳+左与曲线M至少有4个不同的公共点，利用一次函数平移，数形结合的思想

找到临界点，解直角三角形，求出直线与坐标轴的交点，即可解答.

当x=0时，贝=当y=。时，贝！1彳=一石左，

:0yH（0,k）,

•：NBOH=90°,

:.OB^y/3\k\,OH=\k\,

OH

tanZOBH=

~OB~~3~

:.N0BH=3UQ,

如图，当直线>=用+上与GM切与点。时，连接AD,

X

此时，直线/：、=耳+左与曲线M有3个不同的公共点,且ZAZM=90°,

1■,AD=4,

4n

：.AB=——=8,则此时点8与点C重合,

sin30

.'.5(^,0)；

YY

当直线>=方+上经过原点。时，此时，8(0,0),直线/：>=国+左与曲线M有3个不同的公共点,

如图，当直线、=国+左与OC切与点E时，连接CE,

同理，此时，点2与点A重合，直线/：丁=西+左与曲线M有3个不同的公共点，且NCEB=90。，03=4,

.•.5(4,0),

X

综上，直线/：>=存+上与曲线M至少有4个不同的公共点，-4</<4且的=0,

故答案为：-4</<4且演-0.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，一次函数的平移问题，一次函数与坐标轴的交

点问题，熟练掌握一次函数平移及直线与圆的位置关系是解题的关键.

2.(23-24九年级下•山东泰安•期中)如图所示，是圆。的直径，EC是圆的切线，E为切点，EC//AB,

若AC与圆的交点为。，且AD=CD,则—ACE的大小为.

【答案】15。/15度

【分析】设圆心为0,连接AE,BE,DE,作。于「根据切线的性质得出。石，CE,设

EF=DF=X,根据勾股定理求出DE=JE尸+DF2=缶，证明△CE0sC4E,得出=三=

ZkCACEAE

EDCD1EF1

求出:百=7k=-7=，得出AE=解直角三角形得出sin/EA/=大=7，求出/E4/=30。,

AECEV2AE2

即可得出答案.

【详解】解：如图，连接OE,AE,BE,DE,作EF,AC于尸，

・・,石C是圆的切线，E为切点,

・・.OE±CEf

EC//AB,

：.OE1AB,

・.•OA=OE,

・•・石为等腰直角三角形，

・•・ZOAE=ZOEA=45°f

AB是。。的直径，

NAEB=90。,

・•・ZO£B=90°-45°=45°,

JZOBE=180。一90°-45°=45°,

,­*独E=，

JZADE=ZABE=45°,

又•：EF_LAC,

：.ZEFD=90°,

・・・△诙为等腰直角三角形,

:.EF=DF,

设EF=DF=x,

则DE=yjEF2+DF2=旧，

9：AB//EC,

：.ZC=ZCABf

VZC-}-ZCED=ZEDF=45°,ZEAD+ZBAD=ZBAE=45°,

・・・ZCED=ZEAD,

•：ZECD=ZACE,

Z^CED^ZXCAE,

.CECD_ED

**CA-CE-AE?

•\CE2=CACD,

,:AD=CD,

：.CA=2CD,

CE2=CACD=2CD?,

CE=yfiCD，

•_E__D_____C__D_______1__

AE=6ED=2x，

EF1

在Rt&4£下中，sinZE4F=—二一，

AE2

・・・NE4F=30。，

・•・ZBAC=ZOAE-ZEAF=15°,

•；0E〃AB,

：.ZACE=ZBAC=15°.

故答案为：15。.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，

三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

3.（2024•山东•模拟预测）如图，在直线/：y=^x上取一点A，使。4=1.过点A作片耳，/,交无轴

-3

于点耳；在直线Z：y=^x上找一点4，使，过点4作4与，/,交X轴于点B2.在直线1：y力X

3,3

上找一点4,使A3B2=OB2……以此类推.若丛（加的内切圆圆心为。］,必映的内切圆圆心为。2,AA3OB,

的内切圆圆心为。3……以此类推，AAOB”的内切圆圆心0„的坐标为.

【分析】根据直线/：y力X,可得幺。4=30。，做用于点C,于点。，。山，。4于

3

点E,设0。半径为加，根据内接圆的性质和角平分线的性质易求得加的值，从而得到。।的坐标，再根据

44=。4以及△A04内角度数易证AAQ片SA4OB?和鸿&劣为等边三角形，从而可得AOA4与△。4巴

的相似比为1:2,进而可得。2的坐标是。I的坐标的两倍，同理。3的坐标是。2的坐标的两倍，即可得出

△4。纥的内切圆圆心on的坐标.

【详解】解：•.•直线/：y力x,

3

=30°,

O\=1,AJBJ_LI,

AA=OR121130。=：0月=[,

AA。片的内切圆圆心为。1，

在△AO4的角平分线上，

如图，做于点c,0口，。用于点0,。山上小于点片，设oa半径为，〃，

由作图可得四边形。。4片为正方形，

OD=OE=l—m,B1C=B、D=AB、-m=-m,

/.OB,=1—m+叵-m=2x昱,

133

3-73

解得：m-

6

(3+733-行

二.Q的坐标为

I66J

・・・A]5]_L/,4与，/，NA0旦=404=30°,

C

.,.△A1OB1^A242(?B2,

,NO4A=ZOB^=60°,

•・•&用=OB1,幺。4=30°,

NO44=30。，

/./旦4员=60。，

.•.△44坊为等边三角形,

OB】=44=B1B2,

“OAOB,1

；.AOA与与△。4鸟的相似比为M=肃=5

UL)2/

又AV毋的内切圆圆心为。1，4。口的内切圆圆心为。2,

连接。Q,OO2,BQ,B2O2,

Q在鸟的角平分线上,

即。1，。2都在NAO用的角平分线上,

ZO.OB,=ZO2OB2fZOiBiO=ZO2B2O=30°,

△OIBQSAOZBZ。,

OXO_OBX\

O2O~OB2~2

则同理可得横、纵坐标的相似比,

\^H22],

同理：。3的坐标为2X

6)

。4的坐标为2323,

，

67

、

的内切圆圆心。”的坐标为2"-',即x2"-2

2〃-2,士里x2"

故答案为:

3

【点睛】本题考查了内接圆的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，角平分线的性质，一

次函数的应用，解题的关键是理解运用角平分线的性质和相似三角形的性质与判定.

二、解答题

4.(24-25九年级上•山东•期末)在现代汽车成为人们出门的代步工具之一，汽车的心脏是发动机，如图1

所示是发动机的一种动力传输工具，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.图2是它的示意图,

图3是其简化图，已知AB=90cm,点A在中轴线上运动，点8在以。为圆心，长为半径的圆上运动,

【分析】连接08',则OF'=OF=30cm,因为AB=90cm,所以AE=AS=90cm,由切线的性质得

ZAW=90°,而AE=AB=90cm,则OA=Jo"+A3"=30厢(cm),即可作答.此题重点考查切线的

性质定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图所示，连接03',

则03'=03=30cm,

AB=90cm,

二AB'=AB=90cm,

•.•A?与。。相切于点B',

A'B'l.OB',

:.ZAB'O^90°,

A'B'=AB=30cm,

：.OA!=^OB'2+A!B'-=7302+902=30M(cm),

AB=OA-OB=30710-30(cm),

即点A到。。最短距离为90函-30卜m.

5.（24-25九年级上•山东滨州•期中）如图，Rt^ABC中，ZC=90°,AB=c,AC=b,BC=a,。。是VABC

的内切圆，求。。的半径「（用含。、b,c的代数式表示）.

（1）小旭同学用面积法，可以构建关于厂的方程

解得r=（结果用含。、b、c的代数式表示）.

小辰同学由切线长定理，可以构建关于厂的方程.

解得「=（结果用含。、b、c的代数式表示）.

（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明.

【答案】（1）一岫；c=b—+a-r；r=-+b~C.（2）相等，证明见解

2222a+b+c2

析

【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出〃、6