北京某中学2025年中考数学零模试卷（含答案）

2025年北京理工大学附中中考数学零模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

2.如图，直线48,CD相交于点。，OELAB,若乙4。。=34。，则乙。OE的度数是（）

尸

A.34°

B.56°

C.66°

D.146°

3.实数Q,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

1gI1?1_________L

-2-1012

A.a>—1B.6>1C.—a<bD.—b>a

4.已知关于久的方程第2一4%+九=0有两个不相等的实数根，贝1伍的取值范围是（）

A.n<4B.n<4C.n>4D.n=4

5.一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，这三个球除颜色外完全相同.摇匀后，随机从中摸出一个小

球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（）

3ill

AjB-3C-4D-2

6.党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位.“二万八千亿”用科

学记数法表示为（）

A.0.28x1013B.2.8x1011C.2.8x1012D.28xIO11

7.已知NP4Q=36。，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：

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①分别以4,B为圆心，大于，4B的长为半径画弧，相交于两点M,N；

②f乍直线MN交射线4P于点D,连接BD；

③以B为圆心，B力长为半径画弧，交射线2P于点C.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A./.CDB=72°B,△ADBs^ABC

C.CD-.AD=2:1D.Z.ABC=3/.ACB

8.如图，在菱形4BCD中，AABC=60°,点P和点Q分别在边CD和上运动

（不与4C、。重合），满足DP=AQ,连结4P、CQ交于点E,在运动过程中，

则下列四个结论正确的是（）

2

（DAP=CQ；②NAEC的度数不变；③4APD+乙CQD=iso0；@CP^AP-EP

A.①②B.③④C.①②④D.①②③④

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.分解因式：x3-x=

10.方程$+工=0的解为

2x4-3x

11.某中学开展“读书伴我成长”活动,为了解八年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20

名学生的读书册数进行调查，结果如表：

册数/册12345

人数/人25742

根据统计表中的数据估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有人.

12.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=§的图象经过点P（2,m）,且在每一个象限内，y随久的增大而减

小，则点P在第象限.

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15.如图，△力BC中，NA=90。，AB=AC,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分A

别交B4BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两

弧交于点F,作射线BF交AC于点D.若点。到BC的距离为1,则AC=B）N------C

16.某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植4、B两种树种.经过试种后发现，种植力种树苗a棵,

种下后成活了（：a+5）棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了（6-2）棵.第一阶段两种树苗共种植了40棵，

且两种树苗的成活棵树相同，则种植4种树苗棵.第二阶段，该园林局又种植4种树苗根棵，B种树苗n

棵，若m=2n,在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植Z种树苗成活棵数种植B种树苗成

活棵数（填“>”或“="）.

三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题5分）

计算：（-1厂3+|V7-1|-（1）-2+2cos45。-78.

18.（本小题5分）

先化简，再求值：J—Z—（a+2-----）,其中a?+3a—1=0.

19.（本小题5分）

r4（x—2）<x—5

解不等式组：3计1

匕->久

20.（本小题6分）

如图，在四边形力BCD中，NDCB=90。，AD//BC,点E在BC上，AB//DE,AE平分N8AD.

（1）求证：四边形ABED为菱形；

（2）连接BD,交力E于点。，若2E=6,sin^DBE=求CD的长.

21.（本小题6分）

某校在商场购进2、8两种品牌的篮球，购买力品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，

且购买4品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个月品牌篮球多花

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30元.

(1)问购买一个月品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？

(2)该校决定再次购进力、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，4品牌篮球

售价比第一次购买时提高了8%,8品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种

品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？

22.(本小题5分)

4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生.统计这部

分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析.下面给出了部分信息.

a.初一、初二年级学生得分的折线图

得分＜分

b.初三年级学生得分：10,9,6,10,8,7,10,7,3,10.

c.初一初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下:

年级初一初二初三

平均数88m

中位数88.5n

根据以上信息，回答下列问题：

⑴由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是(填“初一”或“初

二”)；

(2)统计表中m=,n=；

(3)由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，

将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：(写出符合题意的序号).

①平均数；②中位数；③众数；④方差.

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23.（本小题5分）

在平面直角坐标系％Oy中，函数y=ax+b（aW0）的图象经过点（一1,4）,与函数y=2%的图象交于点

（1）求m的值和函数y=ax+b（aW0）的解析式；

（2）当％>1时,对于％的每一个值,函数y=kx-k+2（fcW0）的值大于函数y=ax+b的值，且小于函数y=

2%的值，直接写出k的取值范围.

24.（本小题6分）

如图，4B为。。的直径，BD=CD,过点力作。。的切线，交。。的延长线于点E.

(1)求证：AC//DE-,

(2)若2C=2,tanE=求。E的长.

25.（本小题5分）

小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到

第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面

的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线.如图1和

图2分别建立平面直角坐标系xOy.

图I直发式图2间发式

通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离单位：dm）的相关数据，如表

所示:

表1直发式

x(dm)02468101620

y(dm)3.843.964m3.843.642.561.44

表2间发式

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%(dm)0246810121416

y^dm)3.362.521.68n02.003.203.603.20

根据以上信息，回答问题：

(1)表格中小=，n-；

(2)直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；

(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为四，“间发式”模式下球第二次接触

台面时距离出球点的水平距离为d2,则由d2(填或

26.(本小题6分)

在平面直角坐标系久0y中，已知抛物线y=-x2+2mx—m2+m—2(m是常数).

(1)求该抛物线的顶点坐标(用含税代数式表示)；

(2)如果点4(a,乃)，8Q+2,丫2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有为>力，求a的取值

范围.

27.(本小题7分)

在△ABC中，AC=BC,乙4cB=90°,点D是线段上一个动点(不与点A,B重合)，^ACD=a(0<a<45°),

以。为中心，将线段OC顺时针旋转90。得到线段DE,连接EB.

(1)依题意补全图形；

(2)求NEDB的大小(用含a的代数式表示)；

(3)用等式表示线段BE,BC,AD之间的数量关系，并证明.

28.(本小题7分)

对于线段MN和点P给出如下定义：点P在线段MN的垂直平分线上，若以点P为圆心，PM为半径的优弧向前

上存在三个点4B,C,使得△ABC是等边三角形，则称点P是线段MN的“关联点”.例如，图1中的点P

是线段MN的一个“关联点”.特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点P是线段MN的“强关联

点”.

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在平面直角坐标系xOy中，点4的坐标为(2,0).

⑴如图2,在点的(1,一3),C2(l,0),C3Q，苧)，以(2,1)中，是线段。A的“关联点”的是;

(2)点B在直线丫=苧刀上.存在点P,是线段。力的“关联点”，也是线段。B的“强关联点”.

⑦直接写出点B的坐标；

卷励点。在第四象限且AD=2,记=a.若存在点Q,使得点Q是线段AD的“关联点”，也是。8的“关

联点”，直接写出a及线段4Q的取值范围.

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参考答案

l.D

2.B

3.D

4.A

5.B

6.C

7.C

8.D

9.x(x+1)(久-1)

10.x—1

11.130

12-

13.22°

1猾

15.1+72

16.22>

17.解：原式=-1+—1—4+y/~2,—2，^

=—6.

18.解：由于小+3a—1=0

•••a2+3a=1

、

原e式I=砺a—百3十a不2—97

CL—3CL—2

---------------------\/_________________

3a(a—2)Q+3)(a—3)

_1

—3a(a+3)

_1

3(a2+3a)

_i

一3

第8页，共17页

40—2)<%-5®

19.解:

、Z

解不等式⑦得：%<1,

解不等式领：x>-l,

・•.不等式组的解集是—1〈尤W1.

20.(1)证明：•••AD//BC,AB//DE,

：.AD//BE,ADAE=4AEB,

••・四边形4BED为平行四边形,

•••4E平分N8/W,

/.DAE=Z-BAE,

Z.BAE=Z.AEB,

•••BA—BE,

;平行四边形ABED为菱形；

(2)解：•.•四边形力BED为菱形，AE=6,

AO=0E=3,BO=DO,AE1BD,

^.RtABOE^,sin^DBE==f,

BE5

3

，BE=—=5,

5

BO=VBE2-OE2=A/52—32=4,

BD=8,

"S菱形ABED=yE-BD=BE-CD,

6x8_24

2x5—T'

21.解：(1)设购买一个4品牌的篮球需久元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元,

由题意得：衣”=2X喘

xx+30

解得：%=50,

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

则％+30=80.

答：购买一个月品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元.

(2)设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进4品牌篮球(50-a)个，

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由题意得：50x(1+8%)(50-a)+80x0.9a<3060,

解得：a<20,

答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球.

22.解：(1)由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一.

故答案为：初一；

(2)由题意得，m=^x(10x4+9+6+8+7x2+3)=8,

把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9,故中位数几=竽=8.5,

故答案为：8,8.5；

(3)将其中的数据6改为9,则平均数、中位数和方差改变，众数不变.

故答案为：①②④.

23.解：(1)把(l,zn)代入数y=2第得：m=2,

把(一1,4),(1,2)代入y=ax+b得:

(—a+b=4

ta+b=2'

解得

S=3

•••y=—%+3；

(2)在丫=kr-々+2中，令第=1时，y=2,

・,・函数y=fcx-fc+2图象过(1,2),

如图：

//O

由图可得，k的取值范围是—l<k<2且kKO.

24.(1)证明：•.•第=比，

•••Z-BAD=Z.CAD,

DO=DA,

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・••Z-ODA=Z.OAD,

Z.ODA=Z.CAD,

・•.DE//AC；

(2)解：如图，连接。C,过点。作。尸1AC于点F,

・•.AOFA=90°,

由(1)知，DE//AC,

・•.Z,OFA+(FOE=180°,

••・乙FOE=AFOA+^AOE=90°,

••,ZB为。。的直径，ZE为。。的切线，切点为4

•••AB1AE,

••・乙OAE=90°,

•・•/,AOE+ZE+/-OAE=180°,

••・ZXOE+ZE=90°,

Z.FOA=乙E,

在△FOZZkZE。中，

AFOA=乙E,Z-OFA=A.EAO=90°,

••.△FZOSA/OE,

.OF_AF

AEOA

AF_OA

•t•—,

OFAE

,厂

,**tCLTlE—~1j

—OA——1,

AE2

AF1

.•.釜AE=2OA,

OF2

•・•OA=OC,OF1AC,

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1

•••AF=CF=^AC=1,

OF=2,

在Rt△。力F中，OA2=AF2+OF2,

.­.。弟=仔+22=i+4=5,

OA=

•••AE=2A0=2<5,

OE=VOA2+AE2=J(<5)2+(2<5)2=725=5.

25.解：(1)由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：m=3.96；

在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，

设这条直线的解析式为旷=/«+/人力0),把(0,3.36)、(8,0)代入，得

解得：”不黑之,

lb=3.36

这条直线的解析式为y=-0.42%+3.36,

当x=6时，y=-0.42X6+3.36=0.84,

表格2中，n=3.84；

故答案为:3.96,3.84；

(2)y=—0.01(%—4)2+4；理由如下：

由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：“直发式"模式下，抛物线的顶点为(4,4),

・••设此抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4(a<0),

把(0,3.84)代入，得3.84=a(0—4)2+4,

解得：a=-0.01,

••・"直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y=-0.01(x-4)2+4；

(3)当y=0时，0=—0.01(%-4)2+4,

解得：比1=一16(舍去)，£2=24,

“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为询=24；”间发式”模式下，球第一次

接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：

“间发式”模式下，这条抛物线的顶点坐标为(16,3.20),

设这条抛物线的解析式为y=m(x-16)2+3,2(m<0),

把(8,0)代入，得0=机(8-16)2+3.2,

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解得：m0.05,

••.这条抛物线的解析式为y=-0.05(%-16)2+3.2,

当y=0时，0=—0.05(x—16)2+3.2,

解得：xr=8,K2=24,

•••d2=24dm,

•*•d]—d，2，

故答案为：=.

26.解：(1)y=—x2+2mx—m2+m—2=—(%—m)2+m—2,

••・抛物线顶点坐标为Qn,血-2).

(2),・,抛物线顶点(m,TH—2)在第四象限，

fm>0

Vn-2<0'

解得。Vm<2,

•・・抛物线开口向下，

•••x>血时，y随工增大而减小，

・••点4B在对称轴右侧时，满足题意，即。之机，

当点”在对称轴左侧时，设点4(a,yD关于对称轴对称点4,坐标为(2zn-a,yi),

・••点3在A/右侧时，满足题意，即2zn-aVa+2,

解得Q>m-1,

a>m—1,

0<m<2,

a>1.

27.解：(1)补全图形如下：

•••乙4=(ABC=45°,

•••乙CDB=4/+匕ACD=45。+a,

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・・•乙CDE=90°,

・♦・LEDB=乙CDE-乙CDB=45°-a；

(3)BC=/L4D+BE,证明如下：

如图1,过点。作DM148,交AC于点F,交BC的延长线于点M,

贝lj4M08=乙CDE=90°,

・•・乙MDB-乙BDC=(CDE-乙BDC,

即4COM=乙EDB,

•・•乙MBD=45°,

・•・ZM=乙MBD=45°,

・•・DM=DB,

由旋转的性质得：DC=DE,

­.ADCM^ADEB(SAS)f

••・CM=BE,

•・•4M=45°,Z.ACB=90°,

・•・乙CFM=90°-45°=45°,

・•・乙CFM=Z-M,

・•・CF=CM,

・・・CF=BE,

在中，=45°,

.AD<2

••,cosa—F

・•・AF=yJ~2AD,

•・•AC=AF+FC,

：•AC=y[2AD+FC，

第14页，共17页

•••CF=BE,BC=AC,

BC=y/~2AD+BE-

28.解：⑴•.T(2,0),

0A的垂直平分线为x=1,CM=2,

・•.C4不是“关联点”，

-3),C2(l,0),C3Q苧),

oc1=/To,。。2=1,0c3=苧,

•.•^ox=^<7To,

••.C1，。3是线段。4的“关联点”，

故答案为：的，C3；

（2）⑦由（1）知，P在直线x=1上，

P是线段。B的“强关联点”，

:.乙POB=30°,

8在直线y=上，

tanz.BOA=苧，

.­.