安徽省池州市2024届九年级下学期开学考试数学试卷（含解析）

2023-2024年池州名校九年级下学期开学考

数学试题

注意事项：

1.数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟.

2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.

3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.

4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A,B,C,。四个

选项，其中只有一个选项是正确的）

1.下列图形中.是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A.原图是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意;

B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意;

C.原图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选不项符合题意;

D.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

2.在RtZXABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,贝UtanA的值是（）

答案：C

解：根据题意作图如下,

A

故选：c.

3.若两个相似三角形的对应高之比为1:3,则这两个三角形的面积之比为（）

A.1:3B.1:9C.1:27D.1:81

答案：B

解：相似三角形的对应高之比为1:3,

这两个三角形的面积之比为1:9,

故选：B.

4.二次函数y=—4炉+16%—19的图象的顶点坐标是（）

A.（2,-3）B,（2,3）C.（3,-2）D,（3,2）

答案：A

「y=-4x2+16x-19=—4（x—2）2—3,

，该二次函数的图象的顶点坐标为（2,-3）.

故选A.

5.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（

A.等弧对等弦B.等弧所对的圆心角相等

C.等弦所对的圆心角相等D.等弦所对的圆周角相等

答案：D

解：由题意知，同圆或等圆中，等弧对等弦，A说法正确，故不符合要求;

在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，B说法正确，故不符合要求;

在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，C说法正确，故不符合要求;

在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D说法错误，故符合要求;

故选：D.

6.如图，正比例函数％WO）的图像与反比例函数%=-wO）的图像相交于A,8两点，已

知点3的横坐标为3.当0<%<%时，X的取值范围是（）

C.%>3D.-3<x<0或%>3

答案：B

解：正比例函数,=匕*（勺*°）的图像与反比例函数为=^（42/0）的图像相交于人，8两点,

A,8两点关于原点对称，

「点8的横坐标为3,

，点A的横坐标为—3,

.•.当0<%<%时，尤的取值范围是x<—3,

故选：B.

7.如图，O是4ABe的外接圆，是直径，；。是,ABC的内切圆，连接AD,BD,则205的度

A.120°B.135°C.145°D.150°

答案：B

解：。是外接圆，A8是直径，

ZC=90°,

...在ABC中，ZCAB+ZCBA=90°,

,/。是内切圆，

：.DA,DB是NC4B,NCft4的角平分线,

ZDAB+ZDBA=1(ZCAB+ZCBA)=1x90°=45°,

在，ABD^,ZADB=180°-(ZDAB+ZDBA)=180°-45°=135°,

故选：B.

8.如图，在矩形ABC。中，AC与8。交于点。，AB=46，BC=2右，点E是AB的中点，连接CE

交BD于点F,则OF的长为（

510

D.

3T

答案：c

解：•••四边形A6C。为矩形,

:.AD=BC=2下,AB=CD475-ZABC=ZDAB=90°，AB//CD,OB=OD=^BD,

•••BD=VAD2+AB2=J(2南+(4A/5)2=10，

为AB的中点,

BE==AB=2下,

2

'：AB//CD,

:.Z\BEFs^DCF,

,BFBE275_1

’•而一而一南

BF=-BD=—

33

...OF=OB-BF=5-^-=-.

33

故选：C.

9.一次函数丁=依+。（a是常数且awO）和二次函数,=办2+4%在同一平面直角坐标系中的大致图像

可能是（

解：A、由一次函数丁=6+。的图象可得：a>0,此时二次函数y=办2+4x的图象应该开口向上，对

4

称轴x=------<0,故选项正确；

2a

B、由一次函数丁=6+。的图象可得：a>0Aa<0,矛盾，故选项错误；

C、由一次函数丁=改+。的图象可得：a<0,此时二次函数y=a%2+4x的图象应该开口向下，对称轴

4

x=———>0,故选项错误；

2a

D、由一次函数丁=依+。的图象可得：4Vo且a〉0,矛盾，故选项错误.

故选：A.

10.如图，在ABC中，AB=AC=2,/B4C=90°,点P是A5上一点，将PC绕着点C按顺时针方

向旋转45°得到。C.连接A。，则4。的最小值是（）

A.2-72B.72-1C.V2+1D.-\/2

答案：A

如图，在CB上取一点使得CD=C4,连接P£),

,：AB=AC,ABAC=90°，

AZACB=45°,

又：ZPCQ=45°,

：.ZPCQ=ZACB=45°,

：.ZPCD=ZQCA.

'：PC=QC,

,OCWACQ（SAS）,

DP=AQ,

当QP1.AB时，DP有最小值，即A。有最小值，此时△BDP是等腰直角三角形,

在RtaABC中，

VAB-AC=2,ABAC=90°,

BC=VAB2+AC2=,2?+2?=272，

:•BD=BC-CD=BC-AC=2叵-2,

在Rt3DP中，由勾股定理得。吠+^^=皮）2,

；•DP=等5£>=4（2顶_2）=2—夜，

•••4。的最小值为2-拒，

故选：A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

2

11.已知点尸(。肉是双曲线丁=——上的点，则代数式2"+3=.

X

答案：—1

解：根据题意得，-2=小

a

ab=­2,

，代数式2"+3=2x(-2)+3=-1,

故答案为：-1.

12.如图，己知/I〃/2〃,3，若AB：AC=2:3,DF=12.则所的长为

答案：4

解：7]||4II4，AB:AC=2:3,

DE:DF=2:3,

DF=12,

:.DE=8,

:.EF=DF-DE=12-8=4.

故答案为：4.

13.如图，在ABC中，ZABC=120°,AB=BC,以A3为直径作CO交AC于点。，过点。作

DEL3c于点E,连接OD,OE.若AC=4,贝U,DOE的面积为.

B

答案：上

3

解：如图，连接3。，

c

*

AB是圆。的直径，

.\ZADB=90°,

.\BD±AC,

AB=BC,AC=4,ZABC=120°,

:.AD=CD=-AC=2,N/1=ZC=——

2

:.AB=2BD，DE=~CD=1,

2

：.BD2+AD2=(2BD『,

：.BD=空，AB=^,

33

OD=OA=OB=拽，

3

OA=OD,

ZA=ZODA=ZC=30°,

:.OD//BC,

/ODE=/DEC=90°,

S=--DE-OD=—x1x----------,

DnnOFE2233

故答案为：B.

3

14.已知抛物线y=（x+m）（x-27篦+4）（机是常数）.

（1）当机=2时，抛物线的对称轴为；

（2）若该抛物线不经过第四象限.则机的取值范围是.

答案：①.直线x=—1②.0<加<2

（1）解：当机=2时，y=龙（工+2）=九2+2x=（x+l）~—1,

.••该抛物线的对称轴为直线x=-1,

故答案为：直线x=—1.

（2）解：由题意知，y=（x+m）（x-277i+4）=x2+（4-m）x-2/n2+4m,

当y=0时，x2+（4—m）x—+4?篦=。，

AA=（4-m）2—4（—2m2+4/71）=（3/71-4）2>0,

/.该方程有两个实数根，且占=-根，x2=2m-4,

•.•该抛物线不经过第四象限，且抛物线的开口向上，

...存在以下两种情况：①当该抛物线与x轴只有一个交点时，—m=2m—4,

4

解得m=-；

3

②当该抛物线与x轴有两个交点时，则这两个交点都位于原点左侧，

-m<0_&2m-4<0,

解得0KmK2,

综上所述，机的取值范围是0Km<2,

故答案为：0<加42.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.计算：2cos2450-tan45°+（tan230+sin23°）°.

答案：1

=2x--l+l

2

=1.

16.如图，A8是:。的弦，点。是A3的中点，连接0。并反向延长交CO于点C.若AB=CD=16,

求；。的半径.

C

解：如图，连接Q4,

C

设CO的半径为乙则Q4=OC=r,0D=CD-r=16-r,

:点。是AB的中点，8是过圆心O的直线，

/.CD±AB,AD=-AB=-xl6=S,

22

在RtAOD中，由勾股定理得Qi=")2+0。2,

即/=82+(16—ri解得r=10,

/.。的半径为10.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.如图，在平面直角坐标系中，。钻的顶点都在网格点上，点A,B的坐标分别为(-1,2),(1,3).

(1)将.Q45绕点。按顺时针方向旋转90。，得到.。4耳，画出.0ABi；

(2)以点O为位似中心，在网格内画出△。42与，使。44，与△。人与位似，且相似比为1:3.

答案：(1)见解析(2)见解析

【小问1详解】

(1)ZXBFE^ZXCAB；

BE2

(2)若——=-,AB=5,求砥的长.

CE3

答案：(1)见解析(2)4

小问1详解】

,/AB=AE,

・•・ZABE=ZAEB^

DB=DC,

：.NDBC=/C,

^\BFE^/\CAB.

小问2详解】

..BE_2

•CE-3

:.设BE=2x,CE=3x,

BC=BE+CE=5x,

•：^BFEs&CAB,AB=5^

BEEF2

：.——=——=—,ZBFE=ZBAC=90°,

BCAB5

:・EF=—xAB=2,ZBFA=90°.

5

,:AB=AE=5,

：.AF=AE-EF=3.

在RtvABb中，

BF=yjAB--AF2=4-

五、（本大题共2小题.每小题10分，满分20分）

19.如图，某数学兴趣小组测位一座古塔的高度，从点A处测得塔顶。的仰角是37°,由点A向古塔前进

13.8米到达点8处，由点8处测得塔顶。的仰角是60°.塔底点。与点A3共线，且CDLA5,求古塔

CD的高.（参考数据：sin37°»0.60,cos37°»0.80,tan37°»0.75,73«1.7）

答案：18米

解：由题意知，ZA=37°,ZCBD=6Q°,ZCDB=90°,AB=13.8米,

在RtzXACD中，

AD—------=---------a------=—CD,

tanAtan37°0.753

在中，

CD

VtanZCBD=—,

BD

.…CDCD布CD1.75

tanZCBDtan60033

417

AB=AD-BD=-CD—-'C£>=13.8米，

33

解得：CD=18米，

答：该古塔CD的高为18米.

20.如图，在，ABC中，AB=AC,以AC为直径的O交BC于点、D,交B4的延长线于点E,连接AZ),

CE,DE.

(1)求证：NBAD=NCED；

,一24

(2)若CD=20,tanACDE=—,求AB的长.

7

答案：(1)见解析(2)25

【小问1详解】

证明：是；。的直径，

：.ZADC=90°,即ADSC,

'：AB=AC,

：.ABAD=ACAD,BD=CD,

■:/CAD=/CED,

：./BAD=NCED；

【小问2详解】

解：VZEAC=ZCDE,

24

AtanZEAC=tanZCDE=——

7

•e,AC是CO的直径，

・•・ZAEC=90°,

.EC24

••tunN_E4C-=—.

AE7

设AE=7x,则EC=24x,

AC=VAE2+EC2=25%，

AB=AC=25尤，

BE=AB+AE=25x+yx=32x.

VBD=CD,8=20,

・・・BC=2CD=40.

在RtABEC中，BE2+CE2=BC2，

/.（32尤了+（24尤7=402,

解得x=l（负值舍去），

：.AB=AC=25x=25.

21.柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病.某超市从果

农处进购柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价无（元/千克）

之间的关系如图所示，其中A3为反比例函数图象的一部分，3C为一次函数图象的一部分.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元?

1200

(3<^<5)

答案：（1）y=]x

-20x+340(5<x<17)

（2）当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元

【小问1详解】

解：当3<x<5时，设y与x的函数关系式为丁=工,

X

..•点(3,400)在该函数图象上，

k

400=-,

3

解得：左=1200,

...当3<x<5时，y与尤的函数关系式为y=

x

当5<为<17时，设y与尤的函数关系式为y=依+匕,

5a+b=240[a=-20

\,解得\,

17。+5=0[b=340

即当5cx<17时，y与x的函数关系式为>=-20X+340,

f1200八u、

-------(3<x<5)

综上所述，y与x的函数关系式为丁=xI一一)；

-20x+340(5<x<17)

【小问2详解】

解：设利润为w元，

当3<x<5时，w=(x-3)y=(x—3)x骁。。=1200—36。。,

JCJC

•/k=-3600,

随x的增大而增大，

...W随x的增大而减小，

...当x=5时，取取得最大值，止匕时收=1200^=480,

当5cx<17时，w=(x-3)j=(x-3)(-20x+340)=-20(x-10)2+980,

...当x=10时，w取得最大值，此时w=980,

V980>480,

当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元，

答：当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元.

22.如图，已知AC,5。是正方形ABCD的对角线，点E，尸分别是AB,AD上的点，且NEC"=45°,

CE,CF分别与5。交于点H,G,连接所，FH.

(1)求证：AACFsABCH；

(2)求证：CGCF=CHCE；

FH

(3)求一的值.

CF

答案：(1)见解析(2)见解析

(3)交

2

【小问1详解】

解：AC,是正方形ABC。的对角线，

ZCAF=ZCBH=ZACB=45°,

又・ZECF=45°,

\?ECF?ACE?ACB?ACE,即NAC尸=NBCH,

ACFjBCH,

【小问2详解】

解：AC,是正方形ABC。的对角线，

和ACD均为等腰直角三角形，ZCDG=ZCAE=ZACD=45°,

AC=42BC-AC=42CD-

•/ZECF=45°,

ZACD-ZACF=ZECF-ZACF,即NDCG=NACE,

A/XCDG-MAE,

CGCDCD拒

"CE~CA~OCD—2，

由(1)知八4。/5ABCH,

CHCBCB0

"~CF~~CA~^2CB~~2,

.CGCH

"~CE~~CF'

:.CGCF=CHCE,

【小问3详解】

解：ACEs,BCH,

ACCFACBC

「•--------，即nn---------，

BCCHCFCH

ZFCH=ZACB=45°,

:.LFCH~ACB,

ZFHC=ZABC=90°,

/.AFCH是等腰直角三角形，

FH