提优点3　同构函数 高三数学

板块一函数与导数提优点3同构函数知识拓展同构法在近几年的模考中频繁出现，首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧具有相同结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数单调性解题.精准强化练类型一地位同等同构型类型二指对跨阶同构型类型三零点同构型类型突破类型一地位同等同构型(1)(2024·温州统考)已知x，y∈R，则“x>y>1”是“x－lnx>y－lny”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件例1√√含有地位同等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题.规律方法训练1(1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则A.a>2b

B.a<2b

C.a>b2

D.a<b2√由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.故选B.√类型二指对跨阶同构型例2考向1指对同构与恒成立问题∴当a≤0时，(*)不成立，故a>0.当a>0时，(*)整理得ax(eax＋1)≥2(x2＋1)·lnx(x>1)恒成立，即axeax＋ax≥x2lnx2＋lnx2＝lnx2·elnx2＋lnx2(x>1)恒成立.设g(t)＝tet＋t，t>0，则g′(t)＝(t＋1)et＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，∴g(t)＝tet＋t在(0，＋∞)上单调递增.又a>0，x∈(1，＋∞)，例3考向2指对同构与证明不等式已知函数f(x)＝ex－1lnx，g(x)＝x2－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a≤2时，证明：当x>1时，f(x)<ex－1恒成立.规律方法规律方法已知函数f(x)＝x－lnx.(1)求函数f(x)的单调性；训练2令f′(x)＝0，解得x＝1，则当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.类型三零点同构型(1)已知函数f(x)＝xex－a(x＋lnx)有两个零点，则实数a的取值范围是___________.例3(e，＋∞)2(2)已知x0是函数f(x)＝x2ex－2＋lnx－2的零点，则e2－x0＋lnx0＝________.在涉及函数的零点问题时，可根据函数式的结构或转化为方程后构造函数，其实质是把函数式简化，以达到研究函数零点的目的.规律方法训练3当x→0时，φ(x)→＋∞，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，所以a＞1，综上，a的范围为(1，＋∞).【精准强化练】√1.(2024·合肥调研)若2024x－2024y<2025－x－2025－y，x，y∈R，则A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0由2024x－2024y<2025－x－2025－y，x，y∈R，可得2024x－2025－x<2024y－2025－y，由于函数y＝2024x，y＝－2025－x均在R上单调递增，则函数f(x)＝2024x－2025－x在R上单调递增.则2024x－2025－x<2024y－2025－y⇔f(x)<f(y)⇔x<y.A，B选项，y>x⇒y－x＋1>1⇒ln(y－x＋1)>ln1＝0，故A正确，B错误.C，D选项，由条件知|x－y|与1的大小关系无法判断，故C，D错误.√2.已知实数x1，x2满足x13x1＝9，x2(log3x2－2)＝81，则x1x2＝A.27 B.32 C.64

D.81由题意得，x1>0，x2>0.令log3x2－2＝t，则x2＝32＋t，32＋tt＝81，得t·3t＝9，∴x1，t是方程x·3x＝9的根.令f(x)＝x·3x(x>0)，则f′(x)＝3x＋x·3xln3>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴x1＝t，即log3x2－2＝x1，∴x1x2＝(log3x2－2)x2＝81.√√∵ex－a≥lnx＋a，∴ex－a＋x－a≥x＋lnx，∴ex－a＋x－a≥elnx＋lnx，设f(t)＝et＋t，则f′(t)＝et＋1＞0，∴f(t)在R上单调递增，故ex－a＋(x－a)≥elnx＋lnx，即f(x－a)≥f(lnx)，即x－a≥lnx，即a≤x－lnx，

√√6.(2024·茂名模拟)已知mem＋lnn>nlnn＋m(m∈R)，则下列结论一定正确的是A.若m>0，则m－n>0 B.若m>0，则em－n>0C.若m<0，则m＋lnn<0 D.若m<0，则em＋n>2√原式可变形为mem－m>nlnn－lnn，即mem－m>lnn·elnn－lnn，因而可构造函数f(x)＝xex－x，则f(m)>f(lnn).f′(x)＝ex(x＋1)－1，当x>0时，ex>1，x＋1>1，则ex(x＋1)>1，f′(x)>0，当x<0时，0<ex<1，x＋1<1，则ex(x＋1)<1，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.√对于A，取m＝n＝e，则lnn＝1<m，∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(m)>f(lnn)，满足题意，但m－n＝0，A错误.对于B，若m>0，则当lnn≤0，即0<n≤1时，em>1≥n，即em－n>0；当lnn>0，即n>1时，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(m)>f(lnn)，得m>lnn，则em－n>0.B正确.对于C，若m<0，则当lnn≤0，即0<n≤1时，m＋lnn<0显然成立.当lnn>0时，即n>1时，令h(x)＝f(x)－f(－x)＝x(ex＋e－x－2).7.若关于x的不等式x2e3x≥(k＋3)x＋2lnx＋1对任意x>0恒成立，则k的取值范围是______________.(－∞，0]原不等式可变形为e2lnx＋3x－(3x＋2lnx)≥kx＋1，e2lnx＋3x－(3x＋2lnx)－1≥kx，利用ex≥x＋1，可得