反比例函数的图象、性质及应用（讲义）原卷版

第12讲反比例函数的图象、性质及应用

目录

考点三反比例系数k的几何意义

一、考情分析

题型01一点一垂线

二、知识建构题型02一点两垂线

考点一反比例函数的相关概念

题型03两点一垂线

题型01用反比例函数描述数量关系题型04两点两垂线

题型判断反比例函数

02题型05两点和原点

题型根据反比例函数的定义求字母的值

03题型06两曲一平行

考点二反比例函数的图象与性质考点四反比例函数与一次函数综合

题型01判断反比例函数图象题型01一次函数图象与反比例函数图象综

题型02反比例函数点的坐标特征合

题型已知反比例函数图象，判断其解析式

03题型02一次函数与反比例函数交点问题

题型由反比例函数解析式判断其性质

04题型03一次函数与反比例函数综合应用

题型05由反比例函数图象分布象限，求k值考点五反比例函数的实际应用

题型06判断反比例函数经过象限

题型01行程问题

题型已知反比例函数增减性，求参数的取

07题型02工程问题

值范围题型03物理问题

题型08已知反比例函数增减性，求k值题型04分段问题

题型由反比例函数的性质比较大小

09题型05几何问题

题型10求反比例函数解析式

题型11与反比例函数有关的规律探究问题

考点要求新课标要求命题预测

反比例函数是非常重要的函数，年年都

反比例函数相

>理解与掌握反比例函数相关概念.会考，总分值为15分左右，常考考点为：反

关概念

比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线

>能画反比例函数的图象,根据图象和表上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的

达式y=£(k40)探索并理解k〉0和交点问题以及反比例函数的应用与综合题

反比例函数的

k<0时图象的变化情况.等.其中前三个考点多以选择、填空题的形

图象与性质

>能根据已知条件确定反比例函数的表式出题，后三个考点则是基础解答题以及压

达式.轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函

数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐

反比例系数k的

>理解与掌握反比例系数k的几何意义.渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一

几何意义

起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需

反比例函数与要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函

一次函数综合数为背景，考察一些新定义类问题.

综合反比例函数以上特点，考生在复习

反比例函数的

>能用反比例函数解决简单实际问题该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并

实际应用日多注意其与几何图形结合题的思考探究.

一般地，开?如y=k/x（k为常数，k/0）的函数称为反比例函数.

xy=k（k=0、xy/0）

变形,,z―1

反比例函数-------y=kxl（KO）题型01用反比例函数描述数量关系

＞题型02判断反比例函数

的相关概念

等号左边是函数y,等号右边是一个分式题型03根据反比例函数的定义求字母的值

特征"0

分母中含有自变量x,且指数为1

反

比

例

函

数

的

图

象

性

质

及

应

用

题型01行程问题

题型02工程问题

审、设、歹II、写、解:题型03物理问题

反比例函数的实际应用

题型04分段问题

题型05几何问题

考点一反比例函数的相关概念

・夯基・必备基础知识梳理

反比例函数的概念：一般地，形如y=2（k为常数，fc*0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以

写成xy=k（kWO、xyWO）、y—kx~r（kHO）的形式.

反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y,等号右边是一个分式；

②kW0；

③分母中含有自变量x,且指数为1.

易混易错

1.反比例函数y=g（k力0）的自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数.

2.反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k,分母不能是多项式，只能是x的一次单项式.

3.反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.

题型01用反比例函数描述数量关系

【例1】（2023•山西忻州•校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上

的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即?也1=々乙2.如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不

变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力/与力臂L满足的函数关系是（）

A.正比例函数关系B.一次函数关系

C.反比例函数关系D.二次函数关系

【变式「1】（2023•北京朝阳•统考一模）下面的三个问题中都有两个变量:

①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边格

②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口71;

③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t.

其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【变式b2】（2022.北京海淀・北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示意图:

水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高,

那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时.现向贮水壶内注水，则在受水壶注满水之前,

浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（）

D.无法确定

题型02判断反比例函数

【例2】（2023•湖北恩施•校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（）

A./y=--%B.zy=—2xC.Jy=x—-1D.3x）y=2

【变式2-1］（2022.福建南平.统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（）

A.y=5%B.y=2%+3

4

C.y=-D.y=%o2+2%+1

题型03根据反比例函数的定义求字母的值

【例3】（2022上•山东枣庄•九年级校考期末）已知函数y=（巾+1）久而-5是关于％的反比例函数，则6的值

是.

【变式3-1］（2022•江苏南京•校联考一模）已知反比例函数、=绵勺图象经过点（1,3）、Gn,n）,则机〃的

JX

值为.

【变式3-2］（2023•浙江杭州•校考二模）已知点4（-2,爪-1）在反比例函数y=-1的图象上，则m.

【变式3-3］（2022•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y="的图象经过点

（-2,1）,则2的值是（）

A.1B.—2C.-1D.3

考点二反比例函数的图象与性质

一夯基・必备基础知识梳理

一、反比例函数的图象与性质

1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两

个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.

图象特征2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x,对称中心为原

点.

表达y=-（k为常数，k丰0）

X

式

图象F

性k>0k<0

质经过一、三象限（x、y同号）二、四象限（X、y异号）

象限

增减在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大

性

①图象关于原点对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，则（-a,-b）在双曲线的另一支上；

对称②图象关于直线7=无对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，则（b,a）在双曲线的另一支上；

性③图象关于直线丁=-x对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，则（-b,-a）在双曲线的另一支上.

即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.

反比待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：

例函1）设反比例函数的解析式为y=：（k为常数，kWO）；

数解2）把已知的一对x,y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；

析式3）解方程求出待定系数k；

的确4）将所求的k值代入所设解析式中.

定方【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐

法标，即可求出k的值，从而确定其解析式.

易混易错

1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”

这个前提.当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随X的增大而减小，但不能笼统地说当k>0

时，y随x的增大而减小.同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大.

2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置

和函数的增减性，也可以推断出k的符号。

3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的

两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）.

.提升-必考题型归纳

题型01判断反比例函数图象

【例1】（2022.黑龙江绥化•校考三模）当长方形的面积S是常数时，长方形的长。与宽b之间关系的函数图

象是（）

【变式1T】（2023•安徽亳州•统考三模）如图，在A2BC中,/.BAC=20°,AB=AC=2,且始终保持NP4Q=

100°.设BP=X,CQ=y（）

【变式1-2］（2023•河北沧州•统考模拟预测）在平行四边形4BCD中，BD是对角线，AELBD,CF1BD,

垂足分别为E、F,已知力E=2,且NCBF=NE4F,设EF=X,BF=y,假设x、y能组成函数，则y与x

的函数的图象为（）

【变式「3】（2023•河南信阳・统考一模）参照学习函数y=|的过程与方法，探究函数丫=£（久K2）的图象

与性质.

1357

X-2-10123456

2222

24424121

y=--1-2■421

X3537253

212421

y=--1m-2-4■421

x—2Q~23332

（l）m=.

（2）请画出函数y=2（%丰2）的图象；

X—Z

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x<2时，y随x的增大而;（填“增大”或“减小”）

②y=*的图象是由y=:的图象向平移个单位长度而得到的;

③图象关于点中心对称.（填点的坐标）

题型02反比例函数点的坐标特征

【例2】（2023•广西北海•统考模拟预测）下列各点在反比例函数y=:图象上的是（）

A.（-1,2）B.（2,-1）C.（1,3）D.（-1,-2）

【变式2-1］（2023•福建宁德•统考模拟预测）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=£的图象上，

则不在这个函数图象上的点是（）A.（1,6）B.C.（-2,-3）

D.（|,4）

【变式2-2］（2023・辽宁鞍山・统考一模）如图,直线丫=kx（k>0）与双曲线y=：交于4,8两点,若2（2,m）,

则点8的坐标为（）

【变式2-3】（2019・吉林长春・中考模拟）如图，函数尸|（Q0）、尸（（x>0）的图象将第一象限分成了4

2、C三个部分.下列各点中，在B部分的是（）

A.（1,1）B.（2,4）C.（3,1）D.（4,3）

【变式2-4］（2023•陕西渭南•统考一模）已知正比例函数丫=£1%（a为常数，aK0）与反比例函数y=子的

图象的一个交点坐标为（1,根），则另一个交点的坐标为.

【变式2-5］（2022•福建漳州•统考模拟预测）已知直线y=2x与双曲线y=£相交于A,2两点.若点4（2,m）,

则点B的坐标是.

【变式2-6］（2022•陕西西安.交大附中分校校考模拟预测）已知直线尸质与双曲线》=卓的一个交点的横坐

标是2,则另一个交点坐标是—.

题型03已知反比例函数图象，判断其解析式

【例3】（2023•湖南娄底•统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x,y之间关系的是（）

【变式3-1］（2023•江苏徐州・统考二模）在平面直角坐标系中，对于点P（a,b）,若ab>0,则称点尸为“同号

点”.若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是.

题型04由反比例函数解析式判断其性质

【例4】（2023•山西晋城•统考一模）已知反比例函数>=则下列描述正确的是（）

A.图象位于第一、三象限

B.y随x的增大而增大

C.图象不可能与坐标轴相交

D.图象必经过点（|,-|）

【变式4-1］（2022•江西九江•校考二模）关于反比例函数y=的图象与性质，下列结论中不正确的

是（）

A.该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.当k<0时，该函数的图象在第二、四象限

C.该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点

D.当k>0时，函数值y随x的增大而减小

题型05由反比例函数图象分布象限，求k值

【例5】（2023・贵州贵阳•校考一模）反比例函数y=§（k手0）的图象如图所示，贝也的值可能是（）

【变式5-1］（2023•河北沧州・统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（（kK0）的图象如图所示,

则k的值可熊是（）

题型06判断反比例函数经过象限

【例6】（2023•湖南郴州•模拟预测）已知反比例函数y=：（际0）,当打〈无2<。时，当<先，则它的图象

一定在（）

A.一，三象限B.二，四象限C.一，二象限D.三，四象限

【变式6-1］（2023•湖南永州•统考二模）当k>2时,反比例函数y=?的图象位于（)

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

【变式6-2］（2023•上海奉贤・统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数y=（的图象的是（

题型07已知反比例函数增减性，求参数的取值范围

【例7】（2022.黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）反比例函数y=?的图象在每个象限内，y随汇的增大而增大，

则a的取值范围是（）

A.CLZ—3B.CL>—3C.CL4-3D.CL<-3

【变式7-1］（2022•湖北武汉•校考模拟预测）在反比例函数y=手图象上有两点力（久1，%）,B（x2,y2）,为<

0<y2，>%2，则有（）

A.m<--B.m>--C.m>--D.m<--

3333

【变式7-2］（2023・湖北武汉・统考三模）若点（m—1,、1）和（爪+1，3/2）在丫=*的>0）的图象上，若为>%，

则小的取值范围是（）

A.m>1或m<—1B.—1<m<1

C.—1<m<0或0<TH<1D.mH±1

【变式7-31（2022上•陕西渭南•九年级统考期末）若反比例函数y=等在每个象限内，y随x的增大而减小，

则k的值可能是（）

A.-1B.0C.-D.1

2

题型08已知反比例函数增减性，求k值

［例8］（2023・安徽芜湖•统考二模）已知函数为=py2=一久/c>0）,当1<久W3时，函数月的最大值为

a,函数丫2的最小值为。一4,则k=_.

【变式8-1］（2023•陕西咸阳•二模）已知反比例函数y=：（k中0）的图象在每个象限内y随久的增大而增大,

且当1<%<3时，函数y的最大值和最小值之差为4,贝味的值为.

【变式8-2］已知反比例函数y=力0）,当13xW3时，y的最大值与最小值之差是4,则k=

题型09由反比例函数的性质比较大小

【例9】（2023•广东东莞•校联考一模）若点4（一2,为）、B（—1/2）、。（1,乃）都在反比例函数V=早」为常

数）的图象上，则为、y2>为的大小关系为（）

A.yi<y2<y3B.%<为<%C.、2<%<为D.y3<Yi<y2

【变式9-1］（2023•广东湛江•统考三模）若点4（右,月）、B&,%）、C（x3,%）是反比例函数V=-苫图象

上的点，且打<久2<。<X3，则为、〃2、的大小关系是（）

A.Yi<y2<y3B.y3<y2<C.治<为<%D.为<为<治

【变式9-2］（2023・湖北武汉・校联考模拟预测）已知4（久1，%）,3（>2，%）在反比例函数丫=:的图象上，/<0<

x2>且|xj>\x2\,则下列结论一定正确的是（）

A.丫1+丫2>°B.y「y2>°C.yi+y2<°D.yi—%>°

【变式9-3］（2022•河北邯郸•校考三模）已知反比例函数y=5的图象在第一、第三象限内，设函数图象上

有两点/（%1，月）、8（%2，、2），若%1<%2，则丫1与丫2的大小关系是（）

A.yi>y2B.<y2C.=y2D.不能确定

【变式9-4］（2023・湖北武汉・统考二模）已知8（亚,丫2），。（%3，为），为双曲线丫=一：上的三个点，

且久1<犯V%3，则以下判断正确的是（）

A.若看%2>o,则y2y3>oB.若％i%2<0，则y03<。

c.若v°，则y2y3>oD.若％i%3>o,则y2y3<0

题型10求反比例函数解析式

【例10］（2023•陕西商洛•统考二模）已知4（—l,p）与B（2,p-3）是反比例函数y=:图象上的两个点，则k

的值为.

【变式10T】（2022•福建泉州•统考模拟预测）若反比例函数y=:的图象过点（一2,a）、（2,b）,且a-b=-6,

则k=.

【变式10-2］（2023•广东广州•校考一模）反比例函数y=1的图象上有一点P（a,b）,且a、6是方程产―t—

2=0的两根，则k=_.

【变式10-3］（2023•陕西西安・陕西师大附中校考模拟预测）反比例函数y=/（上*0）的图象经过（a,2）,

3+1,1）、（仇6）三点，则b的值为_____.

【变式10-4］（2022•湖北省直辖县级单位•统考模拟预测）如图，直线y=-工+3与y轴交于点4与反比例

函数y=§（kK0）的图象交于点C,过点C作CB1久轴于点B,AO=3BO,求反比例函数的解析式.

题型11与反比例函数有关的规律探究问题

【例11］（2022•河北唐山・统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、8分别

在x轴、y轴上，点Pi在反比例函数y=；（x>0）的图象上，过P/1的中点当作矩形当44止2,使顶点P2落在

反比例函数的图象上，再过P2&的中点B2作矩形B24142P3,使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此

规律可得：

（1）点「2的坐标为

（2）作出矩形B1847418Pl9时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为-

【变式11T】（2023上•湖南•九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数y=:的图象上有4（2,爪）、8两点，

连接48,过这两点分别作x轴的垂线交尤轴于点C、。，已知8。=34（7,点心是CD的中点，连接2居、BF「

得到△力6B；点F2是。&的中点，连接4尸2、BF2,得到AaaB;……按照此规律继续进行下去，则AA/B的

面积为.（用含正整数"的式子表示）

【变式11-2］（2021上.四川成都・九年级校考期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称

为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，

第三个正方形有12个边整点...按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点

的个数共有一个，这些边整点落在函数y=£的图象上的概率是

1，△E2D3E3,…

【变式11-3]（2020上・安徽•九年级校联考阶段练习）如图，等边三角形△。。亚△E1D2E2,

的边。场,ErE2,E2E3…，在无轴上，顶点4，D2,D3…，在反比例函数y=竽的图象上.

（1）第1个等边三角形AODiE1的周长Q=；第2个等边三角形△E1D2E2的周长。2=;第3

个等边三角形△E2D3E3的周长C3=;•­•;

（2）根据（1）的规律，猜想第n（"是正整数）个等边三角形AEn-lDn与的周长Cn=;

（3）计算：C]+C2+C3"I---+。10，

【变式11-4]（2023•江苏徐州•校考三模）如图，在x轴的正半轴上依次截取。4=/〃2=/24，过点4,

3,y=：O＞Pl，2，3,AOPlAl，△41242,

A2,人分别作无轴的垂线与反比例函数。）的图象相交于点。。得。

IS3,52024

^A2P3A3,并设其面积分别为S，S2,以此类推，则的值为（）

1012202320242025

考点三反比例系数k的几何意义

―夯基•必备基础知识梳理

一、一点一垂线

【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面

积为［园.

【拓展一】【拓展二】【拓展三】（前提：OA=AC）

结论：SAAOB=SACODSAAOE=S四边形CEBDSAAOC=|fc|

二、一点两垂线

【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为网.

【拓展一】【拓展二】【拓展三】

结论：S矩形ABOE二S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDSaABCD=|fc|

三、两点一垂线

【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|,

结论：SAABC=2SAABO=IfcI

【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分

的两个三角形面积之和.

如左图，已知一次函数与反比例函数y=5交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C,

则SAAOB=SAAOC+SABOC=-C0*|YAI+-C0*|YBI=2C0(IYAI+IYBI)

如右图，已知一次函数与反比例函数y=5交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C,

则SAAOB=SAAOC"^SABOC="CO•|XAI+—CO*|XB|二5。。(|XA|+|XB|)

四、两点两垂线

【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|

方法一：SAAOB-SACOD—SAAOC—SABOD.【分割】

方法二：作AE_Lx轴于点E,交0B于点M,BF_Lx轴于点F,而S/M)AM=S四边形MEFB,贝!lS/iAOB=S直角

梯形AEFB・

方法三：SAAOB=S四边形COFD-SAAOC-SABOF.【补形】

1

-

方法四：SAAOB=SAAOD-SABOD=-0D*(|YA||YB|)

方法五：AAOB-SABOCAAOCX

S—S=|oc<|xA|-BI)

【拓展】

方法一：当AD/AC（或BD/BF）=m时，则S四边形OADB—m|k.

方法二：作AE_Lx轴于E,则SMAB=S直角梯形AEFB（类型一）.

六、两曲一平行

【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点

围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解.

类型一两条双曲线的k值符号相同

结论：S阴影=|klHk2|S阴影=|kl|-|k2|-S直角梯形AFDE

类型二两条双曲线的k值符号相同

提升-必考题型归纳

以下题型均包括两种类型：已知比例系数求特殊图形面积、以及图形面积求比例系数

题型01一点一垂线

【例1】如图，A是反比例函数y=§的图象上一点，4Bly轴于8,点C在x轴上，若A/IBC面积为2,则

左的值为（）

【变式1T】（2023•安徽・九年级专题练习）如图，等腰直角三角形。4B的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点4在

反比例函数y=g（x<0）的图象上，ANOB的面积为4,则k的值为（）

A.-8B.8C.-4D.4

【变式1-2］（2022上•江西南昌•九年级南昌市第二十八中学校联考期末）若图中反比例函数的表达式均为

y.则阴影部分面积为2的是（）

【变式1-3］（2022.福建福州•校考模拟预测）如图，在y=f勺图象上有两点/、C,过这两点分别向久轴引

垂线，交式轴于8、。两点，连结。4、OC,记△48。、△。。。的面积&,S2,则Si与S2的大小关系是（）

A.S1>S2B.<S2C.S］=S2D.不确定

【变式1-4］（2023•广西北海•统考模拟预测）如图，Pi（-1,4）、「2（-2,2）、。3（-4,1）是双曲线上的三点，过

这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形APiai。、△P2A2O、△P34。、设它们的面积分别是S1、S2、S3,

则S［、*、S3的大小关系为（）

A.Si=$2=S3B.S1=S3<S2C.S2>S3>SiD.无法确定

【变式「5】（2020•吉林四平•统考一模）如图，函数y=|（x>0）和y=：（x>0）的图象将第一象限分成

三个区域，点M是②区域内一点，无轴于点N,则AMON的面积可能是（）

A.0.5.B.1.C.2.D.3.5.

【变式1-6］（2020下•山西太原•九年级太原五中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象

限，B41无轴于点4反比例函数y=：（x>0）的图象与线段AB相交于点C,且C是线段力B的中点，若40AB

的面积为3,贝味的值为.

V

【变式「7】（2023•安徽合肥•校考一模）如图，4B是反比例函数y=:图象上的两点，分别过点4B作无轴

的垂线.已知SAEOF=3,则阴影部分面积为（）

C.8D.9

题型02一点两垂线

【例2】（2023•江苏徐州•统考三模）如图，四边形。2BC是矩形，2DE尸是正方形，点4、。在无轴的正半轴

上，成C在y轴的正半轴上，点B在AB上，点、B、E在反比例函数y=（的图象上，=1,0C=6,则正

方形4DEF的边长为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2-1］（2023•河北秦皇岛•统考一模）如图，在反比例函数丫=久久＞0）的图象上有点P1,P2，P3,它们

的纵坐标依次为6,2,1,分别过这些点作无轴与y轴的垂线段.图中阴影部分的面积记为S1,S2.若Sz=3,

则Si的值为（）

C.5D.6

题型03两点一垂线

【例3】（2023上•山东德州•九年级统考期末）如图，直线y=与双曲线y=左交于A、8两点.过点A作

ABM=2,则上的值是（）

C.mD.4

【变式3-1］（2023•广西贵港・统考一模）如图，点火机，1）和B（-2,n）都在反比例函数y=（的图象上，过

点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N,连接04、OB、AB,若四边形OMAN的面积记作S「AOBA

面积记作S2,则（）

B.Si：S2=1：2

C.Sr\S2=4:3D.Sr\S2=4:5

【变式3-2］（2022下•九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线y=（小力0,机为常数）与

双曲线y=§（kKO,左为常数）交于点A,B,若做-1,砌,3（仇一3）.,过点A作4Ml久轴，垂足为连

接BM,,则A4BM的面积是（）

A.2B.m-1C.3D.6

【变式3-3](2019下•河南南阳•八年级统考期末)如图，正比例函数y=2%的图象与反比例函数y=B的图

象交于4、B两点，过点4作4C垂直x轴于点C,连结8C.若AABC的面积为2.

(1)求k的值；

(2)直接写出：①点力坐标；点8坐标；②当与W2x时，x的取值范围

X

(3)%轴上是否存在一点。，使为直角三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

题型04两点两垂线

【例4】(2023・吉林长春•校考一模)如图，在团ZBCD中，轴，点3、。在反比例函数y=(/cH0)的图

象上，若国的面积是20,则女的值是()

A.10B.15C.20D.25

【变式4-1］（2021.河南许昌.统考一模）如图，点A是第一象限内双曲线y=?（m>0）上一点，过点A作

A3〃x轴，交双曲线y=?（九<0）于点5,作AC〃》轴，交双曲线》=?（九<0）于点C,连接5C.^AABC

9944

C.m=l,〃=-2D.m=4,〃=-2

【变式4-2］（2022•新疆乌鲁木齐・乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，A,8是函数y=?（机>0）

的图象上关于原点对称的任意两点，BC||x轴，AC||y轴，AABC的面积记为S,则（）

A.S=mB.S=2mC.m<S<2mD.S>2m

题型05两点和原点

【例5】（2023•辽宁营口・校考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=§（x>0）的图象与边长是

6的正方形。4BC的两边4B,BC分别相交于M,N两点，△OMN的面积为10.贝瞌的值是（）

A.12B.10C.8D.24

【变式5-1］（2023•福建宁德・统考一模）如图，已知直线，与羽y轴分别交于A,8两点，与反比例函数y=

4％V0）的图象交于C,O两点，连接。C,OD.若△ZOC和△C。。的面积都为3,则上的值是（）

A.-2B.—3C.—4D.-6

【变式5-2X2023•广东东莞・校考一模）如图，点4,C为函数y=/<0）图象上的两点，过4c分别作1x

轴，CDlx轴，垂足分别为B,D,连接04AC,OC,线段OC交力B于点E,且点E恰好为OC的中点.当AAEC

的面积为］时，k的值为（）

4

【变式5-4］（2023•吉林长春•校考一模）如图，平面直角坐标系中，直线CD分别与x轴、y轴分别交于点。、

C,点2、B为线段CD的三等分点，且力、B在反比例函数y=^（久>04>0）的图象上，若△4。。的面积为

12,贝瞌的值为（）

【变式5-5］（2023•浙江温州•统考一模）如图，点4B在x轴的正半轴上，以48为边向上作矩形力BCD,过

点D的反比例函数y=：的图象经过BC的中点E.若ACDE的面积为1,贝味的值为（）

【变式5-6］（2023•安徽合肥・合肥寿春中学校考模拟预测）如图，矩形048C,双曲线y=久久>0）分别交4B、

BCTF,E两点，已知。4=4,OC=3,且SABEF=?，贝的值为（）

8

题型06两曲一平行

【例6】（2023•河南周口・统考二模）如图，过反比例函数y=；（K>0）的图象上一点4作轴交反比例

函数y=；（x<0）的图象于点B,连接。4,OB,若SA04B=4,则k的值为（）

【变式6-1］（2023•青海西宁•统考二模）如图，点4在反比例函数y=:的图象上，点B在反比例函数y=:的

图象上，点C,。在久轴上.若四边形4BCD是正方形，且面积为9,贝必的值为（）

A.11B.15C.-11D.-15

【变式6-2］（2023•辽宁铁岭•校考二模）如图，四边形0A8C是平行四边形，点。是坐标原点，点。在y轴

上，点3在反比例函数y=|（x>0）的图象上，点A在反比例函数y=|（x>0）的图象上，若平行四边形。48C

的面积是7,则々=（）

A.-4B.-5C.-6D.-7

【变式6-3］（2023•黑龙江佳木斯・统考三模）如图，设点P作反比例函数y=,（%>0）的图象上，PC1%轴

于点C,交反比例函数y=?（%>0）的图象于点A,尸Dly轴于点。，交反比例函数y