反比例系数k的几何意义（8种题型+18道专项训练题）（解析版）-初中数学

反比例系数k的几何意义

（8种题型汇总+专题训练+18道针对训练题）

【题型汇总】

单系数k

反

比

例

函

数

中

k

的

几

何

意k符号相同两条同号k值曲线+平行线

义

利用k的几何意义与矩形的性质巧求k值

其它k的几何意义与中点辅助线结合巧求k值

【专项训练】

题型01一点一垂直

1.（2023・湖南•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点2在反比例函数y=§（k为常数，fc>0,%>0）

的图象上，过点4作x轴的垂线，垂足为B,连接。4若△OAB的面积为卷，贝恢=.

【答案】Y/3I

【分析】由k的几何意义可得：=得，从而可求出k的值.

【详解】解：UOB的面积为学=9=居，

所以k=兴

故答案为：苓

【点睛】本题主要考查了人的几何意义.用人表示三角形的面积是本题的解题关键.

2.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，反比例函数y=*久<0）的图象经过平行四边形4BC。的顶点4

。。在久轴上，若点8（—1,3）,SaABC0=3,则实数k的值为.

【分析】本题考查了反比例函数，根据4B的纵坐标相同以及点4在反比例函数上得到2的坐标，进而用代数

式表达AB的长度，然后根据SDABCO=3列出一元一次方程求解即可.

【详解】•••4BC。是平行四边形

48纵坐标相同

・・・8（—L3）

・・・/的纵坐标是3

”在反比例函数图象上

・・・将y=3代入函数中，得到％=1

•••心）

k

\AB\=-1——

••SCMBC。=3,B的纵坐标为3

\AB\x3=3

即：（一i—g）x3=3

解得：k=—6

故答案为：-6.

3.（2024•江苏苏州•中考真题）如图，点N为反比例函数y=—?（％<0）图象上的一点，连接2。，过点。作

。力的垂线与反比例y=%x>0）的图象交于点2,则费的值为（）

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数人的几何意义，三角形相似的判定

和性质，数形结合是解题的关键.过/作AC,x轴于C,过2作BDlx轴于。，证明△力。CsaOBD,利

用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.

【详解】解：过工作4clx轴于C,过8作BOlx轴于。，

・"△/c。=5xI—1|=5，SABDO=5x|4|=2,Z-ACO—Z-ODB=90°,

-OALOBf

：./-AOC=（OBD=90°-乙BOD,

・•.△ZOC〜△080,

=（―）\即，隹丫，

SABDO2\OB）

=I（负值舍去），

故选：A.

4.（2024・甘肃定西•模拟预测）如图，点/在反比例函数y=%k<0,x<0）的图象上，点C在x轴的正

半轴上，4c交y轴于点2,若点8是4C的中点，△4。8的面积为1,则左的值为.

【分析】过点a作acy轴于。，则△ADB三△COB,即可求得B。=OB,得出△AOB的面积的面

积=1,再根据反比例函数的k的几何意义得结果.本题主要考查了反比例函数的k的几何意义的应用，全

等三角形的判定和性质，关键是求得△4。。的面积.

•・,点B是/C的中点，

：.AB=BC

在△ZOB和△COB中，

(Z.ADB=心COB

]Z-ABD=乙CBO,

IAB=BC

.-.△i4D^=ACO^(AAS),

•••BD—OB,

S4ABD—S^AOB—1，

S/^4。。=2，

根据反比例函数k的几何意义得!因=SAAOD=2,

•••|fc|=4,

•・,fc<0,

•••k=-4.

故答案为：—4.

5.(2021・四川乐山•三模)如图，/、8是双曲线》=嚏上的两点，过/点作NClx轴，交OB于D点、,垂足

为C,连接。4,过5点作BElx轴，垂足为£若44。。的面积为1,。为。2的中点.

(1)四边形DCEB的面积为；

(2)求人的值；

(3)若/、B两点的横坐标恰好是方程--3x+2=0的两个不同实根，求点E到直线OA的距离.

【答案】(1)1

16V73

(/O)X73

【分析】(1)根据反比例函数人的几何意义得到A4OC与△20E面积相等，进而得到四边形82E面积与

A4O。面积相等，即可得到结果；

(2)证明△CODsAEOB,根据。为。8中点，得到面积之比为1：4,求出△COD面积，得到△80E面积,

即可确定出发的值；

(3)先根据因式分解法解一元二次方程，确定点力的坐标，根据勾股定理可得。4的长，最后根据三角形

面积公式可得结论.

【详解】(1)解：以、6是双曲线上的两点,轴，BElx轴，

・・・SAAOC=SABOE,即S4AOD+SACOD=SACOD+S四边形CDBE,

,-S^AOD—1,

•*S四边形CDBE=SAAOD=1j

故答案为：1；

(2)解：・・23轴,5及Lx轴，

•­ACWBE,

:.ACODFEOB,

,：D为OB中点，

•,C是OE的中点，

:CD=/E,

:・S^COD：S*OE=1：4,

••.SACOD：S四边形CDBE=\：3,

1

•t-S/^DOC—^9

4

・・・S*OE=g,

''-k=l；

(3)解：,・・%2-3x+2=0,

(x-1)(x-2)=0,

*,•%/=1,=2，

・••点4的横坐标为1,点5的横坐标为2,

当x=l时，y=^=1,

o

.■.A(1,j),

.••。/=』2+6)2=券,

连接AE,设点E到OA的距离为h,

■­•S^OAE—^x2x：=夕0•4，

.*=噂，即点E到直线OA的距离是曙.

【点睛】此题考查了反比例函数系数左的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特点，相似三角形的判定

和性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数系数左的几何意义是解本题的关键.

题型02一点两垂直

6.(2023・湖南•中考真题)如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点/是反比例函数y=3k40)图像

上的一点，过点/分别作AM轴于点ANly轴于直N,若四边形AMON的面积为2.则后的值是

()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【分析】证明四边形4N0M是矩形，根据反比例函数的k值的几何意义，即可解答.

【详解】解：「aMlx轴于点四，4Nly轴于直N,/.MON=90°,

四边形力MON是矩形,

四边形力MON的面积为2,

|同=2,

•••反比例函数在第一、三象限，

fc—2,

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点,

过点分别作无轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为网是解题的关键.

7.(2023・陕西・中考真题)如图，在矩形。4BC和正方形CDEF中，点/在〉轴正半轴上，点C,尸均在x轴

正半轴上，点。在边BC上，BC=2CD,AB=3.若点、B,£在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例

函数的表达式是.

【分析】设正方形CDEF的边长为加，根据BC=2CD,AB=3,得到8(3,2m),根据矩形对边相等得到

OC-3,推出E(3+巾,771),根据点3,E在同一个反比例函数的图象上，得到3x2m=(3+771)711,得到

m=3,推出y=g

【详解】解：•,•四边形。ABC是矩形，

■■.OC=AB=3,

设正方形CDEF的边长为m,

■■■CD=CF=EF=m,

■■BC=2CD,

.-.BC=2m,

E(3+m,m),

设反比例函数的表达式为y=p

••-3x2m=(3+m)m,

解得m=3或zn=O(不合题意，舍去),

.例3,6),

：.k=3x6=18,

••・这个反比例函数的表达式是y=

【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性

质，上的几何意义.

8.如图，点4、B是双曲线丫=:上的点，分别过点4、B是作无轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为

2,则两个空白矩形面积的和为.

【分析】根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可.

【详解】解：•点/、3是双曲线上的点，

■■.S^ACOG=S能形BEOF=6,

■:S阴影DGOF=2,

­•S矩形ACDF+S矩形BDGE=6+6~2-2—8.

故选：D.

【点睛】本题主要考查反比例函数k值的几何意义，将k转换成矩形的面积是解答本题的关键.

9.（21-22九年级下•云南昭通・期中）如图，点P在反比例函数y=%x<0）的图像上，过点P作轴于

点M,轴于点N,若矩形PMON的面积为3,则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为

【分析】因为P点在反比例函数丫=（（乂<0）的图像上，故点尸的横、纵坐标之积是上而点P的横、纵坐

标的绝对值又对应矩形PMON的长（W、宽ON,由已知条件"矩形PMON的面积为3”，即0M0N=3,从而

建立k的方程，求出k的值即可得到该反比例函数的解析式.

【详解】解：设尸的坐标是

,尸在丫=式刀<0）上，.•.m-n=k,

又矩形PMON的面积为3,.•.0M-0N=3,即|m|•|n|=3,

由于点P在第二象限，故m<0,n>0,

・•・—m•n=3,即—k=3,

.,.k=-3,

该反比例函数的解析式是y=-|

故答案为：y――^

【点睛】本题考查了反比例函数解析式中比例系数人的几何意义.要求反比例函数解析式，关键是确定比

例系数上一般而言，只须把函数图像上的一个已知点的坐标代入所设函数解析式y=£（k片0）中，即可求

出左.但有时候只需知道该点横、纵坐标之积即可.因为由函数解析式y=：(k*O)变形可知：xy=k.本

题借助“矩形PMON的面积为3”这一条件间接给出了点P的横、纵坐标之积，这是解题的关键.通过本题我

们可以总结得出反比例函数比例系数的几何意义：一般地，对于反比例函数y=%k大0)上的任意一点，它

与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.

题型03两点一垂直

10.(21-22九年级上•安徽合肥•期中)如图，直线y=与双曲线y=?交于点/方.过点N作4P，无轴，

垂足为点P,连接BP.若8的坐标为(3,2),贝IJS4BPO=.

【分析】先根据反比例函数和正比例函数的性质求出点4的坐标，从而可得。P的长，再根据三角形的面积公

式即可得.

【详解】解：由题意得：点4与点B关于原点。对称，

・••8(3,2),

••・4(-3,—2),OP边上的高为2,

AP1x轴，

•­•OP=3,

则SZJJPO=]X3x2=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质(对称性)是解

题关键.

11.(2021•贵州贵阳•中考真题)如图，一次函数y=kx—2/c(fc丰0)的图象与反比例函数y=乎%n-1#=0)

的图象交于点C,与久轴交于点4过点C作CBly轴，垂足为B,若S^BC=3.

(1)求点a的坐标及nt的值；

(2)若A8=2V2,求一次函数的表达式.

【答案】(1)(2,0),m=-5；(2)y=—|x+

【分析】(1)在直线了=履+左中令y=0可求得/点坐标；连接C。，得S^OBC=SN4BC=3,根据反比例函

数比例系数的几何意义，即可求解；

(2)利用勾股定理求出08=2,设C(b,2),代入反比例函数，求出C点坐标，再利用待定系数法，即可求

解.

【详解】解：(1)在丫=kx—2k(k力0)中，令y=0可得。=kx—2k,解得x=2,

・•/点坐标为(2,0)；

连接CO,

■■CBly轴，

・•・CBIIx轴，

・',SAOBC=S/X4BC=3,

:点C在反比例函数y=—1丰0)的图象上,

•••|771—11=2s△Rog=6,

・••反比例函数y=F(m—1丰0)的图象在二、四象限，

—1=—6,即：m=-5；

(2)•・•点4(2,0),

-'-OA=2,

又*AB=25

.♦.在RtzXAOB中，02=J(2烟2—22=2,

■■CBly轴，

・••设C(b,2),

.•.2=?，即6=-3,即C(-3,2),

把C(-3,2)代入y=kx—2k,得：2=—3k—2k,解得：k=--,

•••一次函数的解析式为：y=-|x+^.

【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足

两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数夕=5中k的几何意义的应用.

12.（2024・山西•模拟预测）如图，正比例函数y=ax（"0）与反比例函数y=%k>0）的图象交于4B两

点，过点4作4Cly轴，垂足为C,连接BC,SA4BC=2.

(1)求反比例函数y=2的表达式.

(2)若4(1,a),以48,AC为边作平行四边形4BDC,点。在第三象限内，求点。的坐标.

【答案】(i)y=|

(2)0(-2,-2)

【分析】(1)联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得力仁,a),B(—£—a),图形结合分析，再根据

S&ABC=2,由此即可求解；

(2)把点4代入反比例函数解析式可得a=2,则47=1,根据点关于原点对称可得现一1,—2),再根据平

行四边形的性质可得BD=AC=1,由此即可求解.

【详解】(1)解：:正比例函数y=ax(a70)与反比例函数y=>。)的图象交于点4B,

(k(k

解得，孙二心久2=-，

lyi=a(y2=-a

根据图形可得，a>0,k>0,

••,AC_Ly轴，

.■.AC=5，点B到4C的距离为g=a—(—a)=2a,

11k

=2AC'hB=2XaX2a=2,

•,.fc=2,

・••反比例函数解析式为：y=g

(2)解：由(1)可知，反比例函数解析式为y=g且点4(1,a)在反比例函数图象上,

2

•>-a=-=2,即4(1,2),

''AC_Ly轴,

：.AC=1,

•••正比例函数与反比例函数交于点4B,

.•.点4B关于原点对称，

•••3(—1,—2),

•.,四边形4BDC是平行四边形，

.-.AC=BD=1,BD\\AC,

.■■£»(-2,-2).

【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二

次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键.

13.(2023•四川乐山•二模)如图，已知正比例函数y=2久与反比例函数y=40)的图象都经过点力和点

8,点/的横坐标为1,过点N作x轴的垂线，垂足为连接BM.

⑴这个反比例函数的解析式;

(2)的面积.

【答案】(i)y=|；

⑵2

【分析】(1)根据题意将x=l代入正比例函数y=2x,求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数y=§

(k*0)求出解析式即可；

(2)根据反比例函数关于原点对称，从而得出S&43M=2SA4M0，据此求解即可.

【详解】(1)解：•・,点A在正比例函数y=2%的图象上，

：.y=2x1=2,

闻1,2)；

又：点A在反比例函数y=1(/c丰0)的图象上，

9k

解得：fc=2,

・••反比例函数的解析式为y=I；

(2)解：“(l,2),

.-.AM=2,OM=1,

・•・SA4MO=—xlx2=l,

=2s△/M0=2.

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称

性.

14.(2022•四川成者B•模拟预测)如图，已知一次函数3/=/^+1与反比例函数丫=/勺图象相交于4(2,3),B

两点，过点B作轴于点C,连接AC.

(1)求鼠b的值和B点坐标；

⑵将AZBC沿久轴向右平移，对应得到△4/0,当反比例函数图象经过40的中点M时，求AMAC的面积;

(3)在第一象限内的双曲线上求一点P,使得tanNPCA=|.

【答案】(l)k=l,b=6,(-3,-2)

(2片

/QX/V545-153V545+45A

(叭~~10-116/

【分析】(1)将/点坐标代入一次函数和反比例函数解析式，求出两个解析式后，再联立起来，即可解出2

点坐标；

(2)先在/C上取中点坐标N,得到M、N点的纵坐标是一样的，可算出“点坐标，再利用SAMAC=SAAMN

+SACMN的面积计算求出AM4C的面积；

(3)过点4作x轴的垂线，交x轴于点Q,可知tan-lCQ=a然后在直线C力上方找一点P,使得P,。关于C4

((a+3)2+炉=9,

对称，即满足乙4cp=乙4“，设P(a,b),就得到］三(巴+3)=2，这样P点坐标就出来了，然后算出直

线CP的解析式，与反比例函数联立就可算出点尸的坐标；

【详解】(1)将4(2,3)代入一次函数表达式y=k久+1与反比例函数表达式y=*

得k=1,b=6,

叫y=3

解得阴3或忧二3

・••8点坐标为(一3,—2)；

(2)如图1,取4C中点N,则点N的坐标为(一：，1)，连接MN,

设点M坐标为代入y=得m-4,

1927

・•••^AMAC=S&AMN+S'CMN=万X5X(3—0)=彳;

(3)如图2,过点4作x轴的垂线，交X轴于点Q.易知tanN力CQ=m，

・•・在直线C4上方找一点P,使得P,。关于C4对称，即满足乙4cp=N4CQ,

设点P(a,b),a<0,b>0,

(a+3)2+炉=%27

则有,|但+3解得

2.丁

••・一制，

・•・直线CP'的函数表达式为y=冬+1,

OO

y=—8x4--8

联立,6解得

'X=V^T5(%=7^+15

—io_'或|—W'(全小)

_3V545+45_3(7545-15)1五本人

(y=-u=—u-

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，三角函数值的应用；熟练掌握一次函数与反比例函数的

图像与性质，三角函数值的应用是解决本题的关键.

题型04两点两垂直

15.（2023•黑龙江•中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，4B过原点。，底边BC||x轴，双曲线y=§过4#

两点，过点C作CDIIy轴交双曲线于点。，若S4BCD=12,贝收的值是（）

【答案】C

_b,_g,然后过点/作4E1BC于E,求出

0/

BC=46,点D的横坐标为一36,再根据S^BCD=12列式求出CD,进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代

入反比例函数解析式即可求出k的值.

【详解】解：由题意，设

・・,/B过原点。,

,"(一仇—勺，

过点A作4E1BC于E,

...△ABC是等腰三角形，

：.CE—BE=b—(—h)=2b,

■.BC=4b,点。的横坐标为一3b,

•.•底边BC||x轴，CD||y^,

■■SABCD=^BC-CD=Y4b-CD=12,

--CD=也

二点。的纵坐标为：一(一：)=?,

D\D/D

••.Mi胃)，

•••fc=—3b•—=—3(6+fc),

解得：k=—•!，

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点8坐

标，正确表示出点Z）的坐标是解题的关键.

16.（2021・河南许昌•一模）如图，点4是第一象限内双曲线歹=?（冽＞0）上一点，过点4作48〃%轴，

交双曲线＞=?（n＜0）于点5,作/C〃y轴，交双曲线＞=?（«＜0）于点C,连接5C.若△ZBC的面积为

贝!］冽，〃的值不可能是（）

C.m=\,n=-2D.m=4,n--2

【答案】A

【分析】设A的坐标为(x,十)，分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出(m—n)2

=9m,再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可.

【详解】解：•.•点A是第一象限内双曲线y=号(m>0)上一点，

.••设A的坐标为(x,9，

轴，AC〃y轴，且B、C两点在y=2(n<0)上，

••.B的坐标为喈，?)，C的坐标为(x,",

nxmn

.-.AB=x--,AC---,

Q

•.'△ABC的面积为5,

：^ACxBA=l，

(若)

.,.(m—n)2=9m,

•••将m和n的值代入，只有选项A中不符合.

故选：A.

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能

力.

17.(2023•广东东莞•模拟预测)如图，点48(1,3)分别位于反比例函数y=§图像的两分支上，且BC1y轴

于点C,ADlx轴于点。，连接CD,延长力D,BC交于点尸，连接AB,分别与x轴，y轴相交于点E,F.△PAB

的直角顶点尸落在第二象限.

(1)求左的值.

(2)求证：CDWAB.

(3)当四边形48CD的面积为6时，直接写出点尸的坐标.

【答案】(1)3

(2)见解析

⑶P(-Q)

【分析】(1)把8(1,3)代入反比例函数y=§中，计算即可.

Qprpn

⑵设“(风》则。g0),C(0,3),证明器=会即可证明C0I4B.

(3)设/(犯九)，则P(Tn,3),D(ni,0),C(0,3),PC=0—m=—m,PB=1—m,PD=3—0=3,PA=3—n,根

据SaPZB—S^PCD=S四边形/BCD列式计算即可.

【详解】(1)把B(l,3)代入反比例函数y=9中,

得3=p

解得k=3,

故人的值为3.

/C、3

⑵•••y=p

设a(吟,

则D(m,0),C(0,3),PC=O-m=-m,PB=1-m,PD=3-0=3,PA=3--,

PC-mmPD3.m

PB-1-m-m-VPA~3-——m-l,

PC_PD_

'~PB~~PAJ

-.CDWAB.

(3)设

则P(7n,3),D(m,0),C(0,3),PC=0—m=—m,PB=1—m,PD=3—0=3,PA=3—n,

,:S&PAB—S^PCD=S四边形ABC。，

解得n=-6,

【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，熟练掌握反比

例函数的解析式，平行线分线段成比例定理是解题的关键.

题型05两条同号k值曲线+平行线

18.（2022・湖南林K州•中考真题）如图，在函数y=幻＞0）的图像上任取一点/,过点/作〉轴的垂线交函

数y=—*久＜0）的图像于点3,连接。4,OB,则△40B的面积是（）

【答案】B

【分析】作/Olx轴，BClx轴,由SAOBE=2^OCBE，SA40E=/400£即可求解;

【详解】解：如图，作4D1X轴，5cL:轴,

''SOCBE=BC-BE=8,SAD0E=AD-AE=2

•\SoCBE+^ADOE—10

'•'SAOBE=^OCBE，SAAOE='^ADOE

1

：*S、AOB=SAOBE+SAZOE=^SQCBE+S/OOE)=5

故选:B.

【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识，结合图像进行求解是解题的关键.

19.(2023•湖南湘西•中考真题)如图，点/在函数y=：(x>0)的图象上，点5在函数y=|(x>0)的图象

上，且4BII*轴，轴于点C,则四边形2BC。的面积为()

【答案】B

【分析】延长BA交y轴于点D,根据反比例函数k值的几何意义得至I|SODO=：X2=1,S矩形"BD=3,根

据四边形4BC。的面积等于S矩形OCBD—S^ADO,即可得解.

【详解】解：延长艮4交y轴于点D,

・••481|%轴，

・・.£M_Ly轴，

・・・点Z在函数y=：(%>0)的图象上，

•一△/OO=~x2=1,

・・,BCJ_x轴于点C,OBly轴，点/在函数y=|(%>0)的图象上，

••,S矩形OCBZ)=3,

二四边形ABC。的面积等于S矩形0CB£)—^ZlADO—3—1—2;

故选B.

【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用.熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键.

20.(2022•山东日照•中考真题)如图，矩形。N8C与反比例函数月=，(肩是非零常数，x>0)的图象交于

点M,N,与反比例函数於=母(后是非零常数，尤>0)的图象交于点2，连接。“，ON.若四边形

的面积为3,则肩为=（）

【答案】B

【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数人的几何意义即可得出结论.

【详解】解：•.•点河、N均是反比例函数丫1=?（肩是非零常数，x>0）的图象上，

•'•^AOAM=S^ocN=那1，

•••矩形O/8C的顶点8在反比例函数及=§3是非零常数，x>0）的图象上，

•.,S矩形OABC=k2,

:，S四边形OMB"S矩形。ABC-S^OAM-S△OCN=3,

••・左2-肩=3,

左厂左2=-3，

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数左的几何意义：在反比例函数y=：图象中任取一点，过

这一个点向x轴和丁轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值因.

21.（2022•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）如图，正方形O/8C的顶点/、C分别在x轴和y轴上，E、尸分别

是边48、。/上的点，且“CF=45。，将沿着C/翻折，点E落在x轴上的点。处.已知反比例函

数%=?和处=当分别经过点从点E,若%。。。=5,则肩-后=.

【分析】作EHLy轴于点尸，则四边形BC/ffi、都为矩形，禾佣折叠的性质得乙DC，=N8CE,

证明△BCE三△OCD,则面积相等，根据反比例函数系数左的几何意义得岛-心的值.

（详解］解：作EHly轴于点H

则四边形8C〃E、/EZ/O都为矩形，

•.NEC/=45。，ZkECF翻折得到ACDF,

；ZBCE+乙OCF=45。,

•"OC+NOC尸=45。，

；.4BCE=KOCD,

■：BC=OC,LB=ACOD,

:.4BCE三AOCDCASA),

■■.SABCE=SACOD=5,

：.SACEH=5,

S矩形BCHE=\Q,

・•・根据反比例函数系数k的几何意义得:

岛-k2=S矩形BCHE=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了反比例函数系数人的几何意义，折叠的性质，正方形的性质和全等三角形的判定和性

质，利用折叠和全等进行转化是关键.

22.(2024・湖南郴州•模拟预测)项目式学习:

rq1

【答案】⑴y2=|;(2)4.5；(3)(4)SABDE=-k2y

【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数人的几何意义、

矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数人的几何意义是解答此题的关键.

(1)先根据点8的坐标和矩形的性质，求得点E(3,2),再把点E(3,2)代入>0),即可求解;

(2)根据点2的坐标和矩形的性质，求得点。的纵坐标为4,代入y2=：求出横坐标，即可得出点。(|,4),

从而可求得BD=|,BE=^AB=2,然后利用SMDE=S距形O^BC—SMOD—S/^OE—S/^BDE=七一七—

SABDE，即可求解；

(3)设则则BE=\—'=*BD-m—^=^m,根据S^BDE=XBD

求解即可；

(4)设B(科3,则"(警’9"(科9则BE=鲁-铝■,BD=m-*=Tm,根据S—=

：BExBD=，幺二"x牛丝TH求解即可.

227YI心

【详解】解：(1)的坐标是(3,4),AE=BE,四边形OZBC是矩形，

・・./3,2),

,•,£在、2=氢x>0)上，

:«2=3x2=6,

6

•••及=3

(2)2的坐标是(3,4),CB||%,。在CB上，

■■-D的纵坐标为4,

■■D在及=:上，

■■D的横坐标？=|,

二呜4),

：.BD=3-|=|,BE=\AB=2,

■■B的坐标是(3,4),

•••七=3x4=12,

•••S/kOOE=S距形O/BC—SMOD—^AAOE-S^BDE=七一k2-^ABDE

yc,13r,39

=12—6--x-x2=6--=-；

(3)vfc1=4,k2=1,

设B(科9则。E(m，9，

413m3

：.BE=--------=—,BD=m——=-m,

mmm44

■■SABDE=糊xBD=ixx=I；

（4）设3（叫灯,则。

:.BE=———=—"Z-,BD=m—mk2ki—k.2

mmm七一七m,

1

-''SABDE=^BEXBD=^Xxa=布（七一©A；

NZ771

即S/iBDE=入（的一卜2）2■

题型06两条异号k值曲线+平行线

23.（2022•黑龙江•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OA4D的顶点3

在反比例函数y=|的图象上，顶点/在反比例函数y=§的图象上，顶点。在x轴的负半轴上.若平行四边

形。历1。的面积是5,则左的值是（）

C.-1D.-2

【答案】D

【分析】连接。4,设48交歹轴于点C,根据平行四边形的性质可得SA4OB=，口0840=|，ABWD,再根

据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解.

【详解】解：如图，连接04,设交y轴于点C,

••・四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5,

15

，SAAOB~^LJOBAD=5，AB\\ODj

••ABly轴,

,2"

・・•点5在反比例函数y=嚏的图象上，顶点4在反比例函数y=嚏的图象上,

••$△008=^ACOA=~2

5

=

:，s4A0B—S4C0B+^ACOA2~22

解得：k——2.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性

质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键.

24.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，点/在反比例函数y=图像的一支上，点8在反比例

函数y=—4图像的一支上，点C,D在无轴上，若四边形4BCD是面积为9的正方形，则实数k的值为.

【分析】如图：由题意可得SOME=\k\=-k,S0CBE=g=一*再根据SOZME+S"BE=9进行计算即可解

答.

,・,点A在反比例函数y=丰0）图像的一支上，点B在反比例函数y=-白图像的一支上,

••・四边形4BCD是面积为9的正方形，

・••SOZME+SOCBE=9,即一5一^=9,解得：k=-6.

故答案为—6.

【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作'轴、y轴的垂线，

它们与X轴、歹轴所围成的矩形面积为人的绝对值.

25.（2024•四川广元•二模）如图1,点/是反比例函数A：y=：（无<0）图象上的任意一点，过点A作4B_Lx

轴，交另一个反比例函数/2：y=*k<0,x<0）的图象于点2,且△AOB的面积为5.

（l）k=_.

⑵①若点/的纵坐标是一1,求乙4。8的度数；

②如图2,将①中的△40B绕点。顺时针旋转一定的角度.延长。A,0B,分别交八，%于点M,N,若

点M的横坐标为一4,求直线MN的解析式.

【答案】（1）—8

（2）①90。；②y=?x+葛

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的

几何意义：

（1）根据反比例函数比例系数的几何意义得至ljS&!oc=Tx2=1,进而得至=4,则可得到k=-8；

（2）①先求出/、3坐标，进而求出。42+05=45即可得到答案；②过点〃■作MHlx轴于"过点N

作NGly轴于G,贝IJS^OHM=1，S^OGN=4；求出M（—4,—J），得到。"=4,HM=1,证明

△OHMF0BN,得至IJ（黑］=（翳1=^^=4,贝”0G=2OH=8,NG=2MH=1,可得N（—1,8）,

再利用待定系数法求出对应的直线解析式即可.

【详解】（1）解：设与久轴交于C,

••・481%轴，点4在反比例函数h：y=|(x<0)的图象上，

1

•■•S2Aoe=]X2=1，

•・・△4。8的面积为5,

••$△800=4,

,点B在反比例函数L：y=T(k<0,x<0)的图象上，

.•.如=4,

「反比例函数L：y=与(卜<o，x<0)的图象经过第二象限，

••.k=-8；

(2)解；①在y=|(x<0)中，当y=-1时，x=-2,在丫=—g(x<0)中，当x=-2时，y=4,

二-2,-1),B(—2,4),

■.BC=4,OC=2,AC=1,AB=5,

.-.OB2=OC2+BC2=20,OA2=OC2+AC2=5,

.-.OB2+OA2=25=AB2,

aAOB是直角三角形，且乙力。8=90。；

②如图所示，过点Af作轴于X,过点N作NGJ.y轴于G,

"OHM=4)BN=90°

•・•点M和点N分别在反比例函数y=|(x<0)和反比例函数y=—0）的图象上,

:S^OHM=1，S&OGN=4;

在y=|(%<0)当,当'=—4时,'=一'!，

4,_[)，

.-.OH=4,HM=1,

由旋转的性质可得NMON=匕AOB=90°,

"HOM+乙HON=90°=乙BON+Z.NOH,

"HOM=乙BON,

・•.△OHMOBN,

S^OGN_彳

嚅）J（豁SMHM'

：.OG=2OH=8,NG=2MH=1,

.•.N(—1,8)；

设直线MN解析式为y=k'x+bf

卜轨，+b=4,

I—k'+b=8

(117

k=—

痣，

(b=T

••・直线MN解析式为y=YX+T-

26.（2023•河南濮阳•模拟预测）如图，反比例函数y=>0）和y=|（x>0）的图象如图所示，点C（a,O）是

%轴正半轴上一动点，过点C作无轴的垂线，分别与y=|(x>0)和y=|(x>0)的图象交于点4B.

Q

⑴当a=2时，线段力B=£,求4B两点的坐标及k值.

(2)小明同学提出了一个猜想：“当k值一定时，AOAB的面积随a值的增大而减小.”你认为他的猜想对吗？

请说明理由.

■2

【答案】⑴点4为(2,—抄，点B为(2,3),k的值为一3.

(2)小明猜想不正确，理由见解析

【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形面积，一次函数的性质等知识点，其中理解反比例函

数k的几何意义是解题的关键.

(1)由过点c作X轴的垂线叫解析式为4、B两点可知：当点C为(a,0),则点B坐标为(a分,点4坐标为(a,—(

),再将a=2,4B=?代入计算即可求解.

(2)根据题意列出48的关系式，再根据公式54048=/8-。。代入化简即可得出结论.

【详解】(1)由题意可知：点C为(a,0),则点B坐标为(a$,点力坐标为(a,—今.

当。=2时，则点/为(2,一)点B为(2,3),

:.BC=3.

9

•・•AB=

3

・•・AC=AB-BC=

--k=一3

22,

•••k=-3.

•••点4为(2,—/，点B为(2,3),k的值为-3.

(2)由题意可知：AB=-a--a=a0C=a.

SAOAB=•0C='a•9=g(6—k)=-*+3.

"k值一定，

。48的面积一定，

,小明猜想不正确.

27.(2023・安徽•一模)已知，反比例函数y=：(x>0)和反比例函数y=—g(x<0)如图所示.

(1)点A在反比例函数y=|(x>0)的图象上，过点/作〉轴的垂线交反比例函数y=-<0)的图象于点

B,交y轴于点点尸在x轴上，连接P4PB,求aPAB的面积；

(2)直线y=n(n>0)交反比例函数y=|(x>0)的图象于点C,交反比例函数y=-长久<0)的图象于点D,

若CD=4,求"的值.

【答案】(1)5

⑵71=|

【分析】(1)如图，连接。408,根据反比例函数比例系数与面积的关系，可得SA°4M=1,S^OBM=4,

根据=S^QAM+S2XOBM求的值，根据可得S/kPZB的值；

(2)当y=n时，y=|=n,%=|,y=-|=n,x=-可得点C的横坐标为、，点。的横坐标为一小

根据CD=]_(_?=弓,CD=4,可得3=4,计算求解即可.

【详解】(1)解：如图，连接040B,

••△OZM=1，S4OBM=4,

•••$△0/3=AOAM+S/\OBM=1+4=5,

・•・481|%轴,

•'•^APAB=S&OAB=5;

(2)解：当y=zi时，、=|=九，％=：，y=—^=n,8

X=--n

・••点c的横坐标为:，点。的横坐标为一*

210

.,.rCnD=----I(——=——

n\nJn

-CD=4,

解得71=I，

经检验，兀=£是分式方程的解，

：.n-5

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数与面积的关系，反比例函数与一次函数综合等知识.解题的关键

在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

题型07利用k的几何意义与矩形的性质巧求k值

28.（2022・湖北黄石•中考真题）如图，反比例函数y=§的图象经过矩形48CD对角线的交点£和点/，点

B、C在x轴上，△OCE的面积为6,则卜=.

【分析】如图作EF18C,由矩形的性质可知=设E点坐标为（a,6）,则/点坐标为（c,26）,

根据点4E在反比例函数y=：上，根据反比例函数系数的几何意义可列出。6=42儿，根据三角形OEC的

面积可列出等式，进而求出发的值.

【详解】解：如图作EEL8C,贝怔尸

设E点坐标为（〃，b）,则4点的纵坐标为2b,

则可设4点坐标为坐标为（。，2b）,

・・・点4,E在反比例函数y=以上，

-9-ab=k=2bc,解得：a=2c,故BF=FC=2c-c=c,

・・・OC=3c,

i1

故S/\OEC=5XOCxEF=5x3cxb=6,解得：bc=4,

：.k=2bc=8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形，反比例函数系数左的几何意义，能够熟练掌握反比例

函数系数k的几何意义是解决本题的关键.

29.（2023•湖南张家界•中考真题）如图，矩形。A8C的顶点4,C分别在y轴、x轴的正半轴上，点。在48

上，且反比例函数y=3k>0）的图象经过点。及矩形04BC的对称中心M,连接

0D,0M,DM.若△0DM的面积为3,则人的值为（）

~d\c~~x

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】设B点的坐标为(a,b),根据矩形对称中心的性质得出延长。M恰好经过点3,M(粉，确定。生力),

然后结合图形及