广东省东莞某中学2024-2025学年高二年级下册第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

东莞实验中学2024-2025学年第二学期第一次段考

局一数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1(疝2耳’=()

A.2sinxcosxB.-2cos2xC.2cos2xD.2

2.从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同组队方案共

有()

A.60种B.50种C.40种D.30种

3.日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知h水净化到纯净

度为X%时所需费用(单位：元)为c(x)=普~(80<x<100),那么净化到纯净度为95%时所需净化

费用的瞬时变化率是()元/t.

A.120B.160C.-160D.-100

4.已知函数/(x)=ex—2x+3,则/(%)在定义域上()

A有极小值5—21n2B.有极大值5—21n2

C有最大值D.无最小值

5.若函数/(X)=依+ln2x在区间(1,3)上单调递增，则实数人的取值范围是()

A.一；，+0°)B.--^,+cojC,[-1,-H»)D.(-oo,

6.在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝

3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无

人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有()种灯光组合.

①

V

②/',、④

c/⑥'、'、⑤

③冷中泞

⑦⑧

A.18B.15C.12D.9

7.下列图象中有一个是函数/(x)=gd+以2+

(〃2_1)%+](aeR,aNO)的导函数/'(x)的图象，则

/(-1)=()

33333

8.已知方程/(x)=lnx+x—a?有两个零点，则实数。的取值范围为()

1+e

(

A.0,1)B.7'FD.。营

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.请把正确选项在答题

卡中的相应位置涂黑.

9.现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是()

A,从中任选1个球，有15种不同的选法

B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法

C.若要选出不同颜色2个球，有31种不同的选法

D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

10.已知函数y=/(x),其导函数y=/'(x)的图象如图所示，则关于丁=/(尤)的论述错误的是()

A.在(-8,0)上为减函数B.在％=0处取极小值

C.在(1,2)上为减函数D.在x=2处取极大值

11.已知函数=g(x)=x-lnx,则下列说法正确的是()

A./(Inx)在(0,+")上是增函数

B.gd)在(0,+8)上是增函数

C.Vx>l,不等式/(依)2/(lnf)恒成立，则正实数。的最小值为:

D.若g(x)=t有两个零点七,％2，则西+工2<2

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

12.若C：+C；=15,则m=.

13.曲线/(x)=sinx-2cosx—1在点,o］处的切线方程为.

14.用半径为尺的圆形铁皮剪出一个圆心角为a的扇形，制成一个圆锥形容器.当该容器的容积最大时，

扇形的圆心角a=.

四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分,

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指

定的区域内，超出指定区域的答案无效.

1,

15.已知函数/'(x)二］厂—4x+31nx.

(1)求了(%)的单调区间；

(2)求/(%)在区间-,e上的最大值.

e

16.如图，在三棱台ABC-A与G中，平面ABC,ABJ.AC,AB=AC=2,44=1,

(1)证明：5与，平面AMC；

(2)求平面和平面AMC夹角的余弦值.

17.已知数列｛4｝是等差数列，首项4=1,公差为d且4，%，生成等比数列・

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵若dwO,数列也｝满足a=aj2〃T,求数列也｝的前〃项和却

22

18.已知椭圆G：=+A=l(a〉6〉0)的左、右焦点分别为耳,心，上、下顶点分别为M，N,且四边形

a~b~

RMF?是面积为8的正方形.

(1)将椭圆C的标准方程；

(2)过点/分别作直线〃A,MB交椭圆于A3两点，设两直线斜率分别为左1，6，且

匕+左2=8,证明：直线AB过定点.

19.已知/(x)=—e*+以，g(x)=2x+bsinx,aeR,/?eR.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若a=—1,曲线y=/(x)的任意一条切线，都存在曲线y=g(x)的某条切线与它垂直，求实数6的

取值范围.

东莞实验中学2024-2025学年第二学期第一次段考

高二数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

L（sin2“=（）

A.2sinxcosxB.-2cos2xC.2cos2xD.2

【答案】C

【解析】

【分析】由基本初等函数求导公式及复合函数的求导法则即可求解.

【详解】（sin2x）=2cos2x.

故选：C.

2.从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共

有（）

A.60种B.50种C.40种D.30种

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2种情况讨论：

①选出的3人为2男1女，有C；C；=18种选法；

②选出的3人为1男2女，有C；C；=12种选法；

所以一共有18+12=30种选法.

故选：D.

3.日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知h水净化到纯净

度为九％时所需费用（单位：元）为c（x）=粤&（80<%<100）,那么净化到纯净度为95%时所需净化

费用的瞬时变化率是（）元/t.

A.120B.160C.-160D.-100

【答案】B

【解析】

【分析】由题意求出函数的导函数，然后令％=95即可求解.

【详解】因为c(x)=4。。。(80<x<100)，

100—x

40004000

所以d(x)=(一

100-%"(100-X)2)

4000

贝I]c'(95)==160,

(100-95)2

故选：B.

4.已知函数/(x)=e=2x+3,则〃力在定义域上()

A.有极小值5—21n2B.有极大值5—21n2

C.有最大值D.无最小值

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，求得/'(x)=e*-2,得出函数的单调性，结合极值与最值的概念与求法，逐

项判定，即可求解.

【详解】由函数2x+3,可得/'(x)=e*—2,

令/'(%)=0,即e*-2=0，解得x=In2,

当xvIn2时,/'(X)<0,函数/(力(―s/n2)单调递减;

当x>In2时,/'(力>0,函数4%)在(由2,+8)单调递增,

所以当x=ln2时，函数八可取得极小值，极小值为/(ln2)=5—21n2,

也是函数/(%)的最小值，所以A正确，D错误;

同时，函数/(%)无极大值，也无最大值，所以B、C错误.

故选：A.

5.若函数/(力二丘+ln2x在区间(1,3)上单调递增，则实数上的取值范围是()

11

A.--,+ooB.—,+ooC.[-1,+co)D.

36

【答案】A

【解析】

【分析】由函数在(1,3)上单调递增，可得/'(x)20,从而可求出实数人的取值范围

【详解】由/(1)=丘+ln2x,得/■'(x)=Z+L,

X

因为函数/(%)=履+ln2x在区间(1,3)上单调递增，

所以/''(x)=左+,20在区间(1,3)上恒成立，即左2—L恒成立,

XX

因为工£(1,3),所以—1<—<——,

%3

所以％2--,

3

所以实数%的取值范围为一

故选：A

6.在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝

3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无

人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有()种灯光组合.

③过一一汶………其⑷

：<……X

⑦⑧

A.18B.15C.12D.9

【答案】C

【解析】

【分析】利用已知条件，通过分类求解即可.

【详解】若发出2种光，则有A：=6种；若发出3种光，贝第A；=6种，

则共有12种.

故选：C

7.下列图象中有一个是函数/(x)=gY+以2+(/—])x+i(aeR,awO)的导函数/'(%)的图象，则

/(-1)=()

【答案】D

【解析】

【分析】求出/(%)的导函数发现为开口向上的抛物线，由aW0得到r(%)的图象必为第3个图，由图象知

尸(0)=0解得。的值，即可求出〃_1).

【详解】解：+ax?+(/_i)x+l(aeR,aw0)

f\x)—+2ax+-1)=(x+a+1)(%+ci—1),

.••导函数/'(x)的图象开口向上.

又・aw。,，/'。)的图象必为第3图.

由图象特征知/(0)=/_1=o,且对称轴x=—a>0,

a=-1,/（%）=x3-x2+1

故/■（-：1）=-}

故选：D.

8.已知方程/(x)=lnx+x—依?有两个零点，则实数。的取值范围为()

1+e

A.（0,1）C.一丁

【答案】A

【解析】

【分析】求定义域，令/(£)=0得"三=a有两个根，构造g(x)="三，求导得到其单调性，得

XX

到最值，结合函数图象特征得到实数a取值范围.

【详解】/(x)=InX+X—加的定义域为(0,+8),

令〃x)=0得lnx+x—双2=o,即与三=。有两个根,

人/、lnx+x皿|—+1|-x2-(inx+x)-2x

令g(x)=一则“JxJ〈Jl-x-21nx,

Xol人J4

令/z(x)=l-A：-21nx,显然/z(x)=l-1一21nx在(0,+8)单调递减，

又//⑴=1—1一0=0,故当X£(0,l)时，/z(x)>0,当X£(l,+8)时，/z(x)<0,

故X£(0,l)时，g'(x)>o,当X£(l,+8)时，g'(x)<o,

1nK-I-y

所以g(x)=——2—在xe(0,1)上单调递增,在xG(1,+8)上单调递减,

X

故g(x)=@F的最大值为g⑴=1,当X>1时，8(1)=生产>0恒成立，

当X趋向于。时，g(%)二.%:%趋向于-00，

X

故要想M：：x=a有两个根,需满足Qe(0』)

故选：A

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.请把正确选项在答题

卡中的相应位置涂黑.

9.现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是()

A,从中任选1个球，有15种不同的选法

B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法

C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用分步与分类计数原理计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种不同的

选法，所以选项C错误.

【详解】A.从中任选1个球，有4+5+6=15种不同的选法，所以该选项正确；

B.若每种颜色选出1个球，有4x5x6=120种不同的选法，所以该选项正确；

C.若要选出不同颜色的2个球，有4x5+5x6+4x6=74种不同的选法，所以该选项错误；

D.若要不放回地依次选出2个球，有15x14=210种不同的选法，所以该选项正确.

故选：ABD

10.已知函数y=/(x),其导函数y=/'(x)的图象如图所示，则关于y=/(x)的论述错误的是()

A.在(TO,0)上为减函数B.在尤=0处取极小值

C.在(1,2)上为减函数D.在x=2处取极大值

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据导函数的图象判断丁=/'(尤)的符号，进而确定y=/(x)的区间单调性和极值，即可得答案.

【详解】由图知：在区间(f,0),(2,4)上由(力>0,即y=/(x)递增;

在区间(0,2),(4,+。上/'⑺<0,即y=/(x)递减；

所以％=0、彳=4处取极大值，x=2处取极小值，

综上，A、B、D错，C对.

故选：ABD

11.已知函数/(x)=e、—x,g(x)=x-lnx,则下列说法正确的是()

A./(Inx)在(0,+。)上是增函数

B.g(e*)在(0,+。)上是增函数

C.V%>1,不等式恒成立，则正实数。最小值为2

D.若g(x)=t有两个零点项,々，则西+马<2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据导数求函数的单调性，可判断选项A,B；将不等式进行等价转化，参变分离即可判断选项C；

根据g(x)=f有两个零点不々，构造函数应用极值点偏移可判断选项D.

【详解】对于A,7(Inx)=x-lnx=g(x),xe(0,+oo),

|x—1

又当xe(0,+oo)时，g'(x)=l--=----，当0<x<l时，g'(x)<0；

XX

当xe(l,+s)时，g'(x)>0,所以函数/(Inx)在(0,1)上单调递减，在(1,+s)上单调递增，故选项A错

误；

对于B,当x>0时，ev>1,令/=e"贝！k>Lg(.t)=t-int,

因为/("-3t-1

>0,所以g⑺在(1,+8)上单调递增;

t

因为f=e，在(0，+8)上单调递增，根据复合函数的单调性可知:

g(e*)在(0,+CO)上单调递增,故选项B正确；

对于C,当x>l时，lnX2>inl=0，又因为。为正实数，所以以>〃>0,

因为/Xx)=e%—1,所以当x>0时，-(%)>。恒成立，

所以函数/(幻在(0,+8)上单调递增，则由/(依)2/(1口/)得：依之inf,

口r、21nx人一、21nx/1、、2(1-Inx)

即12-----,令h(x)=------(x>1),贝!J/z(x)=----2-----------，

XXX

当x£(l,e)时，hf(x)>0；当％£(e,+8)时，h\x)<0；

故函数/z(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

222

所以力(X)max=^(e)=—，所以〃之—，则正实数Q的最小值为一，故选项C正确；

eee

对于D,函数g(%)=，有两个根4％2，等价于函数g(%)-，有两个零点不，x2，

1Y—1

因为[g(无)一口=1—-=——，则g(x)T在(0,1)上单调递减,在(L+8)上单调递增,

XX

因为函数有零点，则凶⑺一焉=g67=i—<0,解得/>1，

设0<%<1<尤2，令〃(％)=g(x)-g(2—x),xC(0,1),

因为//(x)=g，(x)+g[2—x)=土^+=2]—?,

x2-xx(2-X)

当0<x<l时，h'(x)<Q,函数/z(x)单调递减；

所以函数/I(%)在(0,1)上单调递减，所以h(x)>〃⑴=0,

即当0cx<1时，g(x)>g(2-x),由题意g(X2)=g(%)〉g(2-Xi),

因为々>1，所以2-X]>1,且g(x)在(1,+8)上单调递增,

所以％2〉2-%，即%+%>2,故选项D错误，

故选：BC.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

12.若C：+Cj=15,则m=.

【答案】5

【解析】

【分析】利用组合数公式，列式求解作答.

【详解】依题意，~~—=15,即〃，+m-3。=0,因加eN*,加22,解得加=5,

2

所以根=5.

故答案为：5

13.曲线/'(x)=sinx-2cosx—1在点[g,0)处的切线方程为.

【答案】2x-y-n=Q

【解析】

TT

【分析】求出/(%)在尤=万的导数值，根据导数的几何意义即可求切线方程.

【详解】/"(%)=cosx+2sinx,

(TV)jrjr

则曲线y=/(x)在处的切线斜率k=cos]+2sin5=2,

切线方程为y=即2%_,_兀=0.

故答案为：2x-y-n=0.

14.用半径为尺的圆形铁皮剪出一个圆心角为a的扇形，制成一个圆锥形容器.当该容器的容积最大时,

扇形的圆心角夕=

2#

【答案】------71

【解析】

【分析】设圆锥底面半径为「，高为〃，那么V=!口2丸，再根据产=4—丸2,代入得到

3

V=-71(7?2-/Z2)/Z,利用导数求得函数的最大值，以及/2和r,R,而圆心角£=啜.

【详解】设圆锥的底面半径为「，高为"体积为V,则产+川二尺?，

因此V=g兀//1=：兀(氏2—/)丸=—!兀/?+：兀氏2纵0<“<尺)，

则V'=—兀层+工水2,令V'=0,解得/?=走尺，

33

当0<丸(走R时，V'X),V单调递增，

3

当氏〉丸〉且R时，v'<0,V单调递减，

3

所以当/时容积最大，

3

把人=代入产+川=尺2,得厂=逅尺

33

由Ra=2nr,得a=?娓n,

3

即圆心角为a=垣兀时容积最大.

3

故答案为：城兀

3

四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分,

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指

定的区域内，超出指定区域的答案无效.

1,

15.已知函数/(x)=/X—4%+31n%.

(1)求了(%)的单调区间；

(2)求/(x)在区间-,e上的最大值.

【答案】⑴单调递增区间为(0,1),(3,+8为递减区间为(1,3)

【解析】

【分析】(1)利用导数判断函数的单调性；

(2)根据函数的单调性求最值.

【小问1详解】

易知函数的定义域为(0,+8),f(x)=x—4+°=(l)(x-3),

XX

令/'(x)>0,得0<%<1或%>3,

令广⑴<0,得1<%<3,

故函数/(%)在(0,1)上单调递增，在(L3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增,

函数/(%)的单调递增区间为(0,1),(3,+功；递减区间为(1,3).

【小问2详解】

由(1)得，当!<x<l时，函数/(%)单调递增，

e

当1(光<e时，函数/(%)单调递减，

7

所以/(X)a=/■⑴=一1

16.如图，在三棱台ABC-AgG中，平面ABC,ABJ.AC,AB==2,4月=1,

=73,M为8月的中点.

(1)证明：5与_1平面AMC；

(2)求平面和平面AMC夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】（1）连接A3],可证由A4],平面ABC,得ACLBB],利用线面垂直的判定定理

即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，求平面4MC的法向量为“，由（1）知平面AMC的一个法向量为，利

用夹角公式即可求解.

【小问1详解】

（1）如图，连接A耳，由题意知朋J■平面44G，所以4&，4用，又A4=LA4,=J§，所以

股=2=A3,

因为M是8月的中点，所以

因为平面ABC,所以A%LAC,又A51AC,ABryA\=A,所以AC,平面A&用5,所

以AC，BB].

因为ACcA"=A,所以55],平面AMC.

【小问2详解】

以A为坐标原点，以直线A8,AC,A4分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

5（2,0,0）,4（l,0,G）,A（0,0,73）,C（0,2,0）,

所以A£4]=——,0,-^-,T4JC=^0,2,—5/3j.

I22J

设平面A.MC的法向量为n=（x,y,z）,

3x/3

AJL4.•〃——xH-----z—0//—\

则j*22,取〃=（2,3,2,3）,

\C-n=2y—yf3z=0

由(1)知平面AMC的一个法向量为=(—1,0,百卜

BB］，n42

因为cos

HR2^5-51

2

所以平面4MC和平面AMC夹角的余弦值为二.

17.已知数列｛4｝是等差数列，首项4=1,公差为d且4，%,生成等比数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵若dwO,数列也｝满足a=6j2"T,求数列也｝的前〃项和7；.

【答案】(1)4=2〃-1或a”=l

(2)3+(2〃-3)x2”

【解析】

【分析】(1)根据等比中项的性质得到(l+d)2=lx(l+4d),即可求出d,从而求出通项公式;

(2)由(1)可得勿=(2〃—1>2"T,再利用错位相减法计算可得.

【小问1详解】

因为4，a"%成等比数列，又4=1，

所以而=%%，即(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2或d=0,

当d=2时数列｛4｝的通项公式%,=2〃—1；

当d=0时数列｛a“｝通项公式a“=l；

所以=2〃-1或a”=1.

【小问2详解】

因为dwO,所以。“=2〃一1,

所以d=%-2"T=(2〃T>2"T,

所以7；=lx20+3x2i+5x22++(2”—1)x2日,

则27；=1x21+3x2?+5x2^++(2〃-1)x2",

所以=1X2°+2X2'+2X22++2X2”--⑵?-1)X2"

=1+^2^2L(2­I)X2"=—3+(3—2〃)x2",

所以＜=3+(2〃一3)义2".

22

18.己知椭圆G：=+二=l(a〉6〉0)的左、右焦点分别为耳,心，上、下顶点分别为M，N,且四边形

a一b~

RMF[N是面积为8的正方形.

(1)将椭圆C的标准方程；

(2)过点/分别作直线MA,MB交椭圆于A3两点，设两直线MAMB的斜率分别为发水2,且

匕+七=8,证明：直线A3过定点.

22

【答案】(1)—+^=1;

84

(2)证明见解析；

【解析】

【分析】(1)根据四边形耳M&N是面积为8的正方形即可求出。涉的值，得到椭圆C的标准方程.

(2)讨论直线A3的斜率存在和不存在两种情况，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点.

【小问1详解】

因为四边形耳M8N是面积为8的正方形，a2^b2+c2,

所以/=8,/=°2=4,

22

则椭圆C的标准方程为—+^=1.

84

设直线AB斜率存在，设其方程为丁=依+〃?,根，土2,

y=kx+m

由＜/J=^>^1+2k2%2