宁夏银川市某中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年宁夏银川六中八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列不等式一定成立的是（）

A.5a>4«B.x+2<x+3C.-a>-laD.—^>—

aa

2.（3分）在数轴上表示不等式-2的解集，正确的是（）

I111I>1111；A

A.-3-2-101B.-3-2-101

----------------->-i----1----1------>

C.-3-2-10D.-4-3-?-10

3.（3分）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示，ZB=45°,Z£=30°

则NBFD的度数是（）

A.10°B.15°C.25°D.30°

4.（3分）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.一个锐角和一条斜边分别对应相等

B.两条直角边分别对应相等

C.一条直角边和斜边分别对应相等

D.两个锐角分别对应相等

5.（3分）如图：△ABC中，ZC=90°，AC=BC,DELABE,且AB=6c机（

c

D

AEB

A.6cmB.4cm

C.10cmD.以上都不对

6.（3分）如图，在△ABC中，NC=60°，D是BC上一点，OELLA3于点E,则/瓦甲的度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

7.（3分）如图，△ABC的三边A8、BC、AC的长分别为20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三

个三角形AOAB:SAOBC:&OAC=（）

A.1：1：1B.6：4：3C.2：3：4D.4：3：2

8.（3分）等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

9.（3分）如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形（3,0）,则A点的坐标是（）

A.（2,3）B.（2,3）c.（旦，^V3_）D.（3,«）

222222

10.（3分）现规定一种新运算，其中a、6为常数，若（2X3）+（冽※1）,则不等式红2

2

<-m的解集是（）

A.尤〈-9B.尤<0C.x>1D.x<2

3

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.（3分）命题:"如果ab=0,那么。=0,6=0"的逆命题是，它是一个命

题（填“真”或"假”）.

12.（3分）一次函数y=-3尤+12中x&〃6sp;时，y<0.

13.（3分）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多20°,则该等腰三角形中最小的内角的度

数是.

14.（3分）枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以

200元/罐的价格购进一批枸杞芽茶，设售出数量为x罐，要使总销售额不低于13万

元•

15.（3分）直线/i：y=x+l与直线3相交于点尸（a,2）,则关于x的不等式〃的

解集为.

16.（3分）如图：△ABC中，ZACB=90°，CD是高，BD=3cm,则AO=cm.

17.（3分）若方程组.'-的解x,y满足尤+y>5.

-x+2y=m-1

18.（3分）如图，在△ABC中，AB^AC,。是BC的中点，M是EP上的一个动点，BC=4,则2M+DM

的最小值为

三、解答题（共66分）

19.（15分）解下列不等式:

(1)3尤-1W2(x-1)；

⑵旨＜x+l；

(3)x+3_2x-l

3-

20.（6分）如图，己知/A=ND=90°,E、歹在线段8C上，且AB=C£>,BE=CF.求证：AF=DE.

21.（6分）如图，在△ABC中，A8的垂直平分线分别交48、BC于点D、E,连接AE,AG,求线段8C

的长.

22.（6分）为加强校园消防安全，学校计划购买A,2两种型号的灭火器共50个.其中A型灭火器的单

价为540元/个，则最多可购买A型灭火器多少个？

23.（6分）图①图②图③均是5X5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称

为格点.点A,只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作AABC

(1)在图①中，△ABC是面积为4.5的锐角三角形.

(2)在图②中，△A8C是面积为5的直角三角形.

(3)在图③中，△A8C是面积为2.5的钝角三角形.

24.(7分)下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务.

x+5«/3x+2

亍*2

解：x+5-2W3x+2……第一步

x-3x^2-5+2,…第二步

-2x<-1,…第三步

…第四步

2

(1)任务一：

①以上解题过程中，第一步变形的依据是.

②第步出现错误，这一步出现错误的原因是.

(2)任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上.

25.(10分)某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并

且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示：

商场优惠条件

甲商场第一台按原价收费，其余的每台优惠25%

乙商场每台优惠20%

(1)设学校购买X台电脑，选择甲商场时，所需费用为广元，选择乙商场时，所需费用为V元，请分

别求出yi,”与x之间的关系式.

(2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下

(3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，设总运

费为w元，从甲商场购买。台电脑，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？

26.(10分)【定义】到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.

【举例】如图①所示，若PB=PC,则点尸为△ABC的准外心.

【应用】如图②所示，C。为等边三角形ABC的高，准外心P在高上，且PD'AB

【探究】已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5,46=3,试探究融的长.

图1图2图3

2024-2025学年宁夏银川六中八年级（下）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BCBDACCCCB

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列不等式一定成立的是（）

A.5。>4。B.x+2<x+3C.-a>-2aD.—^>—

aa

【分析】根据不等式的性质分析判断.

【解答】解：A、因为5>4,而aW6时，即5aW4a；

B、因为3<3,不等号方向不变；

C、因为而aWO时，即-aW-2a；

D、因为4>2,而。<0时，即&<2,故错误.

aa

故选：B.

2.（3分）在数轴上表示不等式xN-2的解集，正确的是（）

【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答.

【解答】解：•••不等式x2-2中包含等于号,

...必须用实心圆点，

*可排除A、B,

..•不等式x2-2中是大于等于，

，折线应向右折，

可排除D

故选：C.

3.（3分）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示，NB=45°,NE=30°,

则NBFD的度数是（）

A.10°B.15°C.25°D.30°

【分析】根据直角三角形的性质可得/氏4。=45°,根据邻补角互补可得/胡尸=135。，然后再利用

三角形的外角的性质可得135°+30°=165°.即可.

【解答】解：：/8=45°,

.,.ZBAC=45°,

.•.ZEAF=135°,

AZAF£）=135°+30°=165°,

AZBF£>=180°-ZAFD=15°

故选：B.

4.（3分）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.一个锐角和一条斜边分别对应相等

B.两条直角边分别对应相等

C.一条直角边和斜边分别对应相等

D.两个锐角分别对应相等

【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、可以利用角角边判定两三角形全等；

2、可以利用边角边判定两三角形全等；

C、可以利用边角边或乩判定两三角形全等；

。、两个锐角对应相等，符合题意.

故选：D.

5.(3分)如图：/XABC中，ZC=90°，AC=BC,DELABE,MAB=6cm()

A.6cmB.4cm

C.10cmD.以上都不对

【分析】由NC=90°,根据垂直定义得到。C与AC垂直，又平分NC4B交于。，DE±AB,

利用角平分线定理得到OC=OE,再利用HL证明三角形AC。与三角形全等，根据全等三角形的

对应边相等可得AC=AE,又AC=BC,可得3C=AE,然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的

周长，将其中的DE换为QC,由CQ+Z)B=BC进行变形，再将8C换为AE,由AE+EB=AB,可得出

三角形的周长等于A8的长，由A8的长可得出周长.

【解答】解：：NC=90°,.•.DCLLC,

又4。平分NCAB交于。，DE±AB,

:.CD=ED,

在RtAACD和RtAA££>中，

fDC=DE；

lAD=AD，

RtAACD^RtAAED(HL),

J.AC^AE,又AC=BC,

.,.AC=AE=BC,又AB=6C7W,

ADEB的周长=O8+8E+EO=Z)8+CZ)+8E=BC+BE=AE+EB=A8=6aw.

故选：A.

6.(3分)如图，在△ABC中，NC=60°,D是BC上一点，DELAB于点E,则/即尸的度数为()

A.90°B.100°C.110°D.120°

【分析】由三角形内角和定理求得NA=70°；由垂直的定义得到/AED=/ABD=90°；然后根据四

边形内角和是360度进行求解.

【解答】解：如图，：在△ABC中，ZB=50°,

?.ZA=70°.

,：DE±AB于点E,Z）F_LAC于点F,

：.ZAED=ZAFD^90°,

：.NED尸=360°-ZA-ZAED-ZAF£>=110".

故选：C.

7.（3分）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三

个三角形AOAB:SAOBC:SAOAC=()

A

O

B

A.1：1：1B.6：4：3C.2：3：4D.4：3：2

【分析】由角平分线的性质可得，点。到三角形三边的距离相等，即三个三角形的A3、BC、CA的高

相等，利用面积公式即可求解.

【解答】解：过点。作。DLAC于。，于E,

是三角形三条角平分线的交点，

：.OD=OE=OF,

：A8=20,BC=30,

•'•5AOAB：SAOBC：S/\OAC=2：3：2.

故选：C.

8.（3分）等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【分析】分为两种情况：①高8。在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高

在△ABC外时，求出ND4C,根据平角的定义求出NBAC即可.

【解答】解：①如图,

R

；BD是△ABC的高，AB=AC^AB,

2

AZA=30°,

②如图，

；CD是△ABC边BA上的高，OC=工，

2

4c=30°,

AZBAC=180°-30°=150°,

综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°.

故选：C.

9.（3分）如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形（3,0）,则A点的坐标是（）

A.（旦，3）B.（g，3）C.（旦，-^3.）D.（旦，V3）

222222

【分析】过点A作ACLx轴于点C,由等边三角形的性质结合点8的坐标求出OA、OC的长度，再由

勾股定理即可求出AC的长度，进而可得出点A的坐标.

【解答】解：过点A作轴于点C,如图所示.

,.•△492是等边三角形，2点的坐标是（3,

：.OA=OB=3,OC=BC=旦3,

27

在RtZXAC。中，。4=3旦，

4

22

・•.AC=VOA-OC=^32-（1-）2=

...点A的坐标为（3,3巨）.

22

故选：C.

10.（3分）现规定一种新运算，a^.b=ab+a-b,其中a、b为常数，若（2X3）+（能※1）,则不等式“,

2

<-m的解集是（）

A.x<--B.尤<0C.x>1D.x<2

3

【分析】先根据新定义得到2X3+2-3+%X1+相-1=6,解得，"=1,则不等式化为迎2<-1,然后

2

通过去分母、移项可得到不等式的解集.

【解答】解：：（2X3）+（m※4）=6,

.'.2X6+2-3+mX7+m-1=6,

・・rn^~2,

,•.3x~2<-1,

3

去分母得3尤-6<-2,

移项得3x<8,

系数化为1得x<0.

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.（3分）命题："如果ab=O,那么cz=O,6=0”的逆命题是如果a=0,b=0,那么2=0,它

是一个真命题（填“真”或“假”）.

【分析】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命

题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，再根据实数的乘法法则判断真假.

【解答］解："如果油=0,那么。=0,6=7,它是一个真命题，

故答案为：如果a=0,b=0；真.

12.（3分）一次函数y=-3尤+12中x>4&wbsp：时,y<0.

【分析】j<0即3x+12<0,解不等式即可求解.

【解答】解：根据题意得：-3尤+12<0,

解得：尤>7.

故答案为：>4；

13.（3分）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多20°,则该等腰三角形中最小的内角的度

数是32°或20°.

【分析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论即可得出结论.

【解答】解：设ZB=3x+20°,

①当NA=NC为底角时，2x+（6x+20°）=180°,则NB=180°-32°-32°=116°,32°；

②当N8=NC为底角时，2（3x+20。）+x=180°,故三个角的度数分别为20°,80°；

③当时，x=8x+20o；

该等腰三角形中最小的内角的度数是32°或20°♦

故答案为：32°或20°.

14.(3分)枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以

200元/罐的价格购进一批枸杞芽茶，设售出数量为x罐，要使总销售额不低于13万元200(1+30%)

xN130000.

【分析】根据总销售额不低于13万元列出不等式即可.

【解答】解：根据题意得：200(1+30%)130000；

故答案为：200(1+30%)X》130000.

15.(3分)直线A：y=x+l与直线，2：相交于点尸(a,2),则关于x的不等式x+1，〃觊+”的

解集为.

【分析】首先把PQ,2)坐标代入直线y=x+l,求出a的值，从而得到尸点横坐标，再根据函数图

象可得答案.

【解答】解：将点尸(a,2)坐标代入直线>=尤+1,

从图中直接看出，当时，

故答案为：x^l.

16.(3分)如图：AABC中，ZACB=90°,CO是高，BD=3cm,则9cm.

【分析】根据同角的余角相等求出/BCZ)=/A=30°,再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求

出BC、AB的长，然后根据AD=AB-BD计算即可得解.

【解答】解：VZACB=90°,CDLAB,

.'.ZBCD+ZAC£>=90°，ZA+ZACD=90°,

：.ZBCD=ZA=30°,

*.*BD=3cm,

:♦BC=2BD=2cm,AB=2BC=T2cm,

：.AD=AB-BD=9cm.

故答案为：7.

17.（3分）若方程组［2x-y=3的解x,y满足x+y>5—>3.

I-x+2y=in-1

【分析】方程组两方程相加表示出尤+y,代入已知不等式求出m的范围即可.

【解答】解：①+②得：x+y—m+2,

：x+y>5,

A777+8>5,

解得：相>3,

故答案为：能>3.

18.（3分）如图，在△ABC中，AB^AC,。是2C的中点，M是所上的一个动点，BC=4,则3M+DW

的最小值为6.

【分析】连接A。，由于△A2C是等腰三角形，点。是BC边的中点，故ADL3C,再根据三角形的面

积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点8关于直线£尸的对称点为点A,故

AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论.

【解答】解：连接AD,

：△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点,

：.AD±BC,

S^ABC=—BC*AD=—,解得AZ）=6,

22

是线段AB的垂直平分线，

点B关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为BM+MD的最小值，

.•.8M+DW的最小值为7,

三、解答题（共66分）

19.（15分）解下列不等式:

(1)3尤-1W2(x-1)；

(2)x-1;

~2~<x+l

(3)x+3_2x-l

3-

【分析】（1）先再移项，合并同类项，把X的系数化为1,即可得到不等式的解集;

（2）先去分母，移项，合并同类项，把尤的系数化为1,即可求出不等式的解集；

（3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1,即可求出不等式的解集.

【解答】（1）解：3尤-1W4X-2,

移项得，3x-4xW-2+1,

合并同类项得，xW-3；

(2)解：*l<x+8,

2

去分母得，X-K2X+6,

移项得，尤-2x<2+8,

合并同类项得，-尤<3,

系数化为1得，尤〉-3；

(3)解：旦-旦二L》8,

23

去分母得，3(x+3)-5(2尤-1)24,

去括号得，3x+9-7x+226,

合并同类项得，-尤2-5,

系数化为1得，xW5.

20.(6分)如图，己知NA=NZ)=90°,E、P在线段BC上，且AB=CD,BE=CF.求证：AF=DE.

【分析】由“HL”可证RtZXAB尸会RtADCE,可得AF=OE.

【解答】证明：

:.BE+EF=CF+EF,

即BF=CE,

VZA=ZD=90°,

...△ABE与△QCE都为直角三角形，

在RtAABF和RtADCE中,

[BF=CE,

IAB<D)

.•.RtAABF^RtA£)C£(HL).

C.AF^DE.

21.(6分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交43、8C于点。、E,连接AE,AG,求线段BC

的长.

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,GA=GC,再根据三角形的周长公式计算，得到

答案.

【解答】解：垂直平分AB,GP垂直平分AC,

：.EA=EB,GA=GC,

「△AEG的周长为10,

：.AE+EG+AG=10,

：.BC=BE+EG+GC=AE+EG+GC=10,

线段BC的长为10.

22.(6分)为加强校园消防安全，学校计划购买A,2两种型号的灭火器共50个.其中A型灭火器的单

价为540元/个，则最多可购买A型灭火器多少个？

【分析】设可购买A型灭火器机个，则购买3型灭火器(50-W)个，利用总价=单价X数量，结合

总价不超过21000元，可列出关于机的一元一次不等式，解之可得出机的取值范围，再取其中的最大

整数值，即可得出结论.

【解答】解：设可购买A型灭火器机个，则购买2型灭火器(50-祖)个，

根据题意得：540m+380(50-m)W21000,

解得：机《空，

2

又：根为正整数，

m的最大值为12.

答：最多可购买A型灭火器12个.

23.(6分)图①图②图③均是5X5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称

为格点.点4只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC

(1)在图①中，△ABC是面积为4.5的锐角三角形.

(2)在图②中，△ABC是面积为5的直角三角形.

(3)在图③中，△ABC是面积为2.5的钝角三角形.

【分析】(1)画底为3,高为3的锐角三角形即可.

(2)结合勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可.

(3)结合钝角三角形的定义画图即可.

【解答】解：(1)如图①，锐角二角形4BC即为所求(答案不唯一).

(2)如图②，直角三角形ABC即为所求(答案不唯一).

(3)如图③，钝角三角形ABC即为所求(答案不唯一).

24.(7分)下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务.

x+5«73x+2

-2-一*2

解：x+5-2W3x+2…第一步

x-3x^2-5+2,…第二步

-2xW-1,……第三步

点工…第四步

2

(1)任务一：

①以上解题过程中，第一步变形的依据是不等式性质2.

②第四步出现错误，这一步出现错误的原因是不等式两边除以-2时，不等号的方向没有改

变.

(2)任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上.

【分析】任务一：①根据不等式的基本性质，即可解答；

②根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答；

任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答.

【解答】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是进行去分母；

②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边除以-2时；

故答案为：①不等式的基本性质2；

②四；不等式两边除以-4时；

去分母得，x+5-2W5x+2,

移项合并同类项得，-2尤忘-2,

系数化为1得，了》工.

6

把解集表示在数轴上如图所示:

-5-4-3-2-1012345

25.(10分)某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并

且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示：

商场优惠条件

甲商场第一台按原价收费，其余的每台优惠25%

乙商场每台优惠20%

(1)设学校购买尤台电脑，选择甲商场时，所需费用为yi元，选择乙商场时，所需费用为”元，请分

别求出yi,”与x之间的关系式.

(2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下

(3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，设总运

费为卬元，从甲商场购买。台电脑，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？

【分析】(1)根据题意列出算式即可；

(2)①若甲商场购买更优惠，可得不等式6000+(1-25%)X6000(x-1)<(1-20%)X6000x,

解此不等式，即可求得答案；

②若乙商场购买更优惠，可得不等式6000+