浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学 含解析

浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单选题1．已知，则（

）A． B． C． D．2．已知平面向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．23．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（

）

A． B． C． D．4．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（

）

A． B．1 C． D．5．已知圆台的体积为，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为（

）A．6 B． C． D．6．设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．27．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（

）

A． B． C． D．8．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A．6 B．6 C．12 D．12二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．梯形可确定一个平面B．圆心和圆上两点可确定一个平面C．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点D．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行10．下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（

）A．B．复数的虚部为C．复数z为实数的充要条件是D．已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆11．已知向量，的夹角为，，，，则（

）A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为C．的最小值为 D．取得最小值时，三、填空题12．已知复数满足，则.13．在中，，，M为BC的中点，，则.14．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为.四、解答题15．已知复数，其中为虚数单位，.(1)若z是纯虚数，求m的值；(2)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围.16．如图，在中，，，，将绕BC轴旋转一周形成了一个旋转体.(1)求这个旋转体的体积；(2)求这个旋转体的表面积.17．已知向量，.(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角.18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.(1)求角A；(2)若，，求的面积；(3)若，求的最大值.19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.(1)已知向量，求；(2)（i）设向量的夹角为，证明：；（ii）在中，为的中点，且，若，求.题号12345678910答案BAAAAABBACCD题号11答案ABD1．B由共轭复数的定义，即可得到结果.【详解】因为，则.故选：B2．A利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量，，由，得，所以.故选：A3．A利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结，则为的中位线，，

故选：A4．A根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，

由是等腰直角三角形，，斜边，得，因此，，所以原平面图形的面积是.故选：A5．A根据两底面圆半径分别求出其面积，代入圆台体积公式即可求得高.【详解】设圆台的高为，且上下两底面面积分别为根据圆台体积公式可得，解得.故选：A6．A由向量共线定理求解．【详解】由已知，又三点共线，则共线，而不共线，，所以，即，故选：A．7．B由题设得,，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度.【详解】因为中，，，，所以，因为中，，，所以，即,由题意，，，则，在中，由正弦定理得，即，故，故.故选：B8．B根据海伦-秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值.【详解】根据海伦-秦九韶公式，，其中，由题意，可知，则，又，故，当且仅当，即时取等号.故选：B9．AC平行直线确定一个平面判断A，根据不共线三点确定一个平面判断B，根据直线与平面平行的定义判断CD.【详解】因为梯形有两个边平行，可以确定一个平面，故A正确；如果圆上两点是直径的两个端点，此时三点共线，不能确定一个平面，故B错误；直线l与平面平行，根据定义知l与平面内的任意一条直线都没有公共点，故C正确；直线l与平面平行,l与平面内的任意一条直线都平行或异面，故D错误.故选：AC10．CD由复数的相关概念即可判断A，由纯虚数的定义即可判断C，由复数的几何意义即可判断D.【详解】对于A，不全是实数的两个复数不能比较大小，故A错误；对于B，复数的虚部为，故B错误；对于C，设，则，若为实数，则，此时；反之，若，即，则，为实数，故C正确；对于D，设，由可得，即，它表示以原点为圆心，半径为的圆，故D正确；故选：CD11．ABDA先计算，再利用公式计算；B先计算，再利用公式计算；C先利用向量求模公式计算，再求一元二次函数的最小值即可；D求证即可.【详解】由条件可得，，则在方向上的投影向量的模为，故A正确；因，则在方向上的投影向量的模为，故B正确；由，其为开口朝上的一元二次函数，故当时其有最小值，则的最小值为，故C错误；由C选项可知，取得最小值时，则，则，故D正确.故选：ABD12．根据复数模的运算公式进行求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：13．3【详解】延长到，使，因为为的中点，所以四边形为平行四边形，则，，，在中，由余弦定理可得，代入可得，化简可得，即，解得，则.故答案为：14．找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可，所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，所以的中点是外接球的球心，所以，所以该鳖臑外接球的表面积为．故答案为：.15．(1)(2)（1）根据题意，由纯虚数的定义列出方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由复数的几何意义列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由z是纯虚数，则，，故.（2）由z在复平面内对应的点在第三象限，，，所以.16．(1)(2)（1）旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积计算旋转体的体积；（2）利用圆锥的表面积计算旋转体的表面积.【详解】（1）如图所示.在中，，，∴，，∴，设旋转体的底面面积为S，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为和，则旋转体的体积，.（2）由（1）得旋转体的表面积.17．(1)(2)（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.【详解】（1）由题知，，，所以，所以.（2）由题知，，，设向量与向量的夹角为，所以，即，解得，因为，所以向量与向量的夹角为.18．(1)(2)(3)4（1）利用共线向量的坐标表示，正弦定理边化角求解.（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解.（3）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值.【详解】（1）向量，且，则，在中，由正弦定理得，而，则，即，又